Формула знаходження площі бічної поверхні піраміди. Як обчислити площу піраміди: основи, бічну та повну

- Це багатогранна фігура, в основі якої лежить багатокутник, а інші грані представлені трикутниками із загальною вершиною.

Якщо в основі лежить квадрат, то піраміду називається чотирикутний, якщо трикутник - то трикутної. Висота піраміди проводиться з її вершини перпендикулярно до основи. Також для розрахунку площі використовується апофема- Висота бічної грані, опущена з її вершини.
Формула площі бічної поверхні піраміди є сумою площ її бічних граней, які рівні між собою. Однак цей спосіб розрахунку застосовується вкрай рідко. В основному площа піраміди розраховується через периметр основи та апофему:

Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні піраміди.

Нехай дана піраміда з основою ABCDE та вершиною F . AB =BC =CD =DE =EA =3 см. Апофема a = 5 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Знайдемо периметр. Оскільки всі грані основи рівні, то периметр п'ятикутника дорівнюватиме:
Тепер можна знайти бічну площу піраміди:

Площа правильної трикутної піраміди

Правильна трикутна піраміда складається з основи, в якій лежить правильний трикутник і трьох бічних граней, які рівні площі.
Формула площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди може бути розрахована у різний спосіб. Можна застосувати звичайну формулу розрахунку через периметр та апофему, а можна знайти площу однієї грані та помножити її на три. Оскільки грань піраміди – це трикутник, то застосуємо формулу площі трикутника. Для неї буде потрібна апофема і довжина основи. Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди.

Дано піраміду з апофемою a = 4 см і гранню основи b = 2 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Для початку знаходимо площу однієї з бічних граней. В даному випадку вона буде:
Підставляємо значення у формулу:
Так як у правильній піраміді всі бічні сторони однакові, то площа бічної поверхні піраміди дорівнюватиме сумі площ трьох граней. Відповідно:

Площа усіченої піраміди

Усіченоюпірамідою називається багатогранник, який утворюється пірамідою та її перетином, паралельним підставі.
Формула площі бічної поверхні усіченої піраміди дуже проста. Площа дорівнює добутку половини суми периметрів підстав на апофему:

Піраміда- один з різновидів багатогранника, утвореного з багатокутників і трикутників, які лежать в основі і є його гранями.

Причому на вершині піраміди (тобто в одній точці) усі грані поєднуються.

Для того, щоб обчислити площу піраміди, варто визначити, що її бічна поверхня складається з кількох трикутників. А їх площі ми зможемо легко знайти, застосовуючи

різні формули. Залежно від того, які дані трикутників нам відомі, ми шукаємо їх площу.

Перерахуємо деякі формули, за допомогою яких можна знайти площу трикутників:

1. S = (a * h) / 2 . У цьому випадку нам відома висота трикутника h , яка опущена на бік a .
2. S = a*b*sinβ . Тут сторони трикутника a , b , А кут між ними β .
3. S = (r * (a + b + c)) / 2 . Тут сторони трикутника a, b, c . Радіус кола, яке вписано в трикутник - r .
4. S = (a * b * c) / 4 * R . Радіус, описаного кола навколо трикутника. R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Цю формулу слід застосовувати лише тоді, коли трикутник є прямокутним.
6. S = (a²*√3)/4 . Цю формулу застосовуємо до рівностороннього трикутника.

Лише після того, як розрахуємо площі всіх трикутників, які є гранями нашої піраміди, можна обчислити площу її бічної поверхні. Для цього будемо використовувати перелічені вище формули.

Для того щоб обчислити площу бічної поверхні піраміди, жодних складнощів не виникає: потрібно дізнатися суму площ усіх трикутників. Виразимо це формулою:

Sп = ΣSi

Тут Si є площею першого трикутника, а S п - Площа бічної поверхні піраміди.

Розглянемо з прикладу. Дана правильна піраміда, її бічні грані утворені декількома рівносторонніми трикутниками,

« Геометрія є наймогутнішим засобом для удосконалення наших розумових здібностей».

Галілео Галілей.

а квадрат є основою піраміди. Причому ребро піраміди має довжину 17 см. Знайдемо площу бічної поверхні цієї піраміди.

Розмірковуємо так: відомо, що гранями піраміди є трикутники, вони рівносторонні. Також нам відомо, яка довжина ребра даної піраміди. Звідси виходить, що це трикутники мають рівні бічні боку, їх довжина 17 див.

Для обчислення площі кожного з цих трикутників можна використовувати таку формулу:

S = (17 ² * √ 3) / 4 = (289 * 1.732) / 4 = 125.137 см ²

Так як ми знаємо, що квадрат лежить в основі піраміди, то виходить, що ми маємо чотири рівносторонні трикутники. А це означає, що площа бічної поверхні піраміди легко розрахувати за такою формулою: 125.137 см² * 4 = 500.548 см²

Наша відповідь наступна: 500.548 см² - така площа бічної поверхні цієї піраміди.

Паралелепіпед - це чотирикутна призма, в основі має паралелограм. Існують готові формули для розрахунку бічної та повної площі поверхні фігури, для яких необхідні лише довжини трьох вимірів паралелепіпеда.

Як знайти площу бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда

Необхідно розрізняти прямокутний та прямий паралелепіпед. Основа прямої фігури може бути будь-якою паралелограм. Площу такої фігури необхідно обчислювати за іншими формулами.

Сума S бічних граней прямокутного паралелепіпеда обчислюється за простою формулою P*h, де P – периметр і h – висота. На малюнку видно, що у прямокутного паралелепіпеда протилежні грані рівні, а висота h збігається з довжиною ребер, перпендикулярних до основи.

Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда

Повна площа фігури складається з бічної та площі 2-х підстав. Як знайти площі прямокутного паралелепіпеда:

Де a, b та c – це виміри геометричного тіла.
Описані формули прості розуміння і корисні під час вирішення безлічі завдань геометрії. Приклад типового завдання наведено на наступному зображенні.

При вирішенні подібних завдань слід пам'ятати, що підстава чотирикутної призми вибирається довільно. Якщо за основу прийняти грань з вимірами x і 3, то значення Sбок буде іншим, а Sповін залишиться 94 см2.

Площа поверхні куба

Куб - це прямокутний паралелепіпед, у якого всі 3 виміри рівні між собою. У зв'язку з цим формули повної та бічної площі куба відрізняються від стандартних.

Периметр куба дорівнює 4a, отже, Sбок = 4 * a * a = 4 * a2. Дані висловлювання не є обов'язковими для заучування, але значно прискорюють вирішення завдань.

Перед вивченням питань про дану геометричну фігуру та її властивості слід розібратися в деяких термінах. Коли людина чує про піраміду, йому видаються величезні споруди в Єгипті. Так виглядають найпростіші з них. Але вони бувають різних видів та форм, а значить і формула обчислення для геометричних фігур буде різною.

Піраміда – геометрична фігура, Що позначає і є кілька граней. По суті - це той же багатогранник, в основі якого лежить багатокутник, а з боків розташовані трикутники, що з'єднуються в одній точці - вершині. Фігура буває двох основних видів:

• правильна;
• усічена.

У першому випадку, в основі лежить правильний багатокутник. Тут усі бічні поверхні рівніміж собою і сама постать порадує око перфекціоніста.

У другому випадку, підстав дві - велика в самому низу і мала між вершиною, що повторює форму основного. Іншими словами – усічена піраміда є багатогранником з перетином, утвореним паралельно підставі.

Терміни та позначення

Основні терміни:

• Правильний (рівносторонній) трикутник– фігура з трьома однаковими кутами та рівними сторонами. І тут всі кути мають 60 градусів. Фігура є найпростішою із правильних багатогранників. Якщо ця фігура лежить в основі, то такий багатогранник називатиметься правильною трикутною. Якщо в основі лежить квадрат, піраміда називатиметься правильною чотирикутною пірамідою.
• Вершина- Найвища точка, де сходяться грані. Висота вершини утворюється прямою лінією, що виходить від вершини до основи піраміди.
• Грань- Одна з площин багатокутника. Вона може бути у вигляді трикутника у випадку з трикутною пірамідою або у вигляді трапеції для усіченої піраміди.
• Переріз- Плоска фігура, що утворюється в результаті розсічення. Не варто плутати з розрізом, тому що розріз показує і те, що знаходиться за перетином.
• Апофема- Відрізок, проведений з вершини піраміди до її основи. Він також є висотою тієї межі, де знаходиться друга точка висоти. Дане визначення справедливе лише стосовно правильного багатогранника. Наприклад – якщо це не усічена піраміда, то грань буде трикутником. В даному випадку висота цього трикутника і стане апофемою.

Формули площі

Знаходити площу бічної поверхні пірамідибудь-якого типу можна кількома способами. Якщо фігура не симетрична і є багатокутником з різними сторонами, то в даному випадку легше обчислити загальну площу поверхні через сукупність усіх поверхонь. Іншими словами – треба порахувати площу кожної грані та скласти їх разом.

Залежно від того, які параметри відомі, можуть бути потрібні формули обчислення квадрата, трапеції, довільного чотирикутника і т.д. Самі формули у різних випадкахтеж матимуть відмінності.

У разі правильної фігурою знаходити площу набагато простіше. Достатньо знати лише кілька ключових параметрів. У більшості випадків потрібні обчислення саме для таких фігур. Тому надалі будуть наведені відповідні формули. В іншому випадку довелося б розписати все на кілька сторінок, що тільки заплутає і зіб'є з пантелику.

Основна формула для обчисленняплощі бічної поверхні правильної піраміди матиме такий вигляд:

S=½ Pa (P – периметр основи, а – апофема)

Розглянемо один із прикладів. Багатогранник має основу з відрізками A1, А2, А3, А4, А5, і всі вони дорівнюють 10 см. Апофема нехай дорівнюватиме 5 см. Для початку треба знайти периметр. Так як всі п'ять граней основи однакові, можна знаходити так: Р = 5 * 10 = 50 см. Далі застосовуємо основну формулу: S = ½ * 50 * 5 = 125 см в квадраті.

Площа бічної поверхні правильної трикутної пірамідиобчислити найлегше. Формула має такий вигляд:

S =½* ab *3, де а – апофема, b – межа основи. Множина трійки тут означає кількість граней основи, а перша частина – площа бічної поверхні. Розглянемо приклад. Дана фігура з апофемою 5 см і гранню основи 8 см. Обчислюємо: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 см у квадраті.

Площа бічної поверхні усіченої пірамідиобчислювати трохи складніше. Формула має такий вигляд: S =1/2*(p _01+ p _02)*a , де р_01 і р_02 є периметрами основ, а – апофема. Розглянемо приклад. Допустимо, для чотирикутної фігури дано розміри сторін основ і 6 см, апофема дорівнює 4 см.

Тут для початку слід визначити периметри основ: р_01 = 3 * 4 = 12 см; р_02=6*4=24 див. Залишилося підставити значення основну формулу і отримаємо: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 див у квадраті.

Таким чином, можна знайти площу бічної поверхні правильної піраміди будь-якої складності. Слід бути уважним і не плутатиці обчислення з повною площею всього багатогранника. А якщо це все ж таки знадобиться зробити - досить обчислити площу найбільшої основи багатогранника і додати її до площі бічної поверхні багатогранника.

Відео

Закріпити інформацію про те, як знайти площу бічної поверхні різних пірамід, вам допоможе це відео.

Чи не отримали відповідь на своє запитання? Запропонуйте авторам тему.

Циліндр – це фігура, що складається з циліндричної поверхні та двох кіл, розташованих паралельно. Розрахунок площі циліндра – це завдання геометричного розділу математики, яке вирішується досить просто. Існує кілька методів її вирішення, які в результаті завжди зводяться до однієї формули.

Як знайти площу циліндра – правила обчислення

• Щоб дізнатися площу циліндра, необхідно дві площі основи скласти з площею бічної поверхні: S = Sбок. + 2Sосн. У більш розгорнутому варіанті дана формула виглядає так: S = 2 π rh + 2 π r2 = 2 π r (h + r).
• Площа бічної поверхні даного геометричного тіла можна вирахувати, якщо відомі його висота і радіус кола, що лежить в основі. В даному випадку можна виразити радіус із довжини кола, якщо вона дана. Висота може бути знайдена, якщо в умові задано значення твірної. У цьому випадку утворювальна дорівнюватиме висоті. Формула бічної поверхні даного тіла виглядає так: S = 2 π rh.
• Площа основи вважається за формулою знаходження площі кола: S osn = π r 2 . У деяких завданнях може не даватися радіус, але задаватися довжина кола. З цієї формули радіус виражається досить легко. С=2π r, r=С/2π. Потрібно пам'ятати про те, що радіус – це половина діаметра.
• При виконанні всіх цих розрахунків число π зазвичай не переводиться в 3,14159… Його потрібно просто дописувати поруч із числовим значенням, яке було отримано в результаті обчислень.
• Далі необхідно лише помножити знайдену площу підстави на 2 і додати до отриманого числа обчислену площу бічної поверхні фігури.
• Якщо завдання вказується, що у циліндрі є осьовий перетин і це – прямокутник, то рішення буде трохи іншим. У такому випадку ширина прямокутника буде діаметром кола, що лежить в основі тіла. Довжина фігури дорівнюватиме утворює або висоті циліндра. Необхідно вирахувати потрібні значення і підставити вже відому формулу. В даному випадку ширину прямокутника потрібно розділити на два, щоб знайти площу основи. Для знаходження бічної поверхні довжина множиться на два радіуси і на число π.
• Можна вирахувати площу даного геометричного тіла через його об'єм. Для цього потрібно з формули V = π r 2 h вивести недостатню величину.
• У обчисленні площі циліндра немає нічого складного. Потрібно лише знати формули та вміти виводити з них величини, необхідні для проведення розрахунків.