Формула проекції переміщення через координати. Рівноперемінний прямолінійний рух
Як, знаючи гальмівний шлях, визначити початкову швидкість автомобіля і як знаючи характеристики руху, такі як початкова швидкість, прискорення, час, визначити переміщення автомобіля? Відповіді ми отримаємо після того, як познайомимося з темою сьогоднішнього уроку: "Переміщення при рівноприскореному русі, залежність координати від часу при рівноприскореному русі"
При рівноприскореному русі графік має вигляд прямої лінії, що йде вгору, оскільки його проекція прискорення більша за нуль.
При рівномірному прямолінійному русі площа чисельно дорівнюватиме модулю проекції переміщення тіла. Виявляється, цей факт можна узагальнити для випадку не тільки рівномірного руху, але й для будь-якого руху, тобто показати, що площа під графіком чисельно дорівнює модуль проекції переміщення. Це робиться строго математично, але ми скористаємося графічним способом.
Мал. 2. Графік залежності швидкості від часу при рівноприскореному русі ()
Розіб'ємо графік проекції швидкості часу для рівноприскореного руху на невеликі проміжки часу Δt. Припустимо, що вони такі малі, що на їх протязі швидкість практично не змінювалася, тобто графік лінійної залежності на малюнку ми умовно перетворимо на драбинку. На кожній її сходинці ми вважаємо, що швидкість майже змінилася. Припустимо, що проміжки часу Δt ми зробимо нескінченно малими. У математиці кажуть: робимо граничний перехід. В цьому випадку площа такої драбинки необмежено близько співпадати з площею трапеції, яку обмежує графік V x (t). А це означає, що і для випадку рівноприскореного руху можна сказати, що модуль проекції переміщення чисельно дорівнює площі, обмеженій графіком V x (t): осями абсцис та ординат та перпендикуляром, опущеним на вісь абсцис, тобто площі трапеції ОАВС, яку ми бачимо малюнку 2.
Завдання з фізичної перетворюється на математичне завдання – пошук площі трапеції. Це стандартна ситуація, коли вчені фізики становлять модель, яка описує те чи інше явище, а потім у справу вступає математика, яка збагачує цю модель рівняннями, законами – тим, що перетворює модель на теорію.
Знаходимо площу трапеції: трапеція є прямокутною, оскільки кут між осями - 90 0 , розіб'ємо трапецію на дві фігури - прямокутник та трикутник. Очевидно, що загальна площа дорівнюватиме сумі площ цих фігур (рис. 3). Знайдемо їх площі: площа прямокутника дорівнює добутку сторін, тобто V 0x · t, площа прямокутного трикутника дорівнюватиме половині добутку катетів - 1/2АD·BD, підставивши значення проекцій, отримаємо: 1/2t·(V x - V 0x), а, згадавши закон зміни швидкості від часу при рівноприскореному русі: V x (t) = V 0x + а х t, цілком очевидно, що різниця проекцій швидкостей дорівнює добутку проекції прискорення а х на час t, тобто V x - V 0x = а х t.
Мал. 3. Визначення площі трапеції ( Джерело)
Враховуючи той факт, що площа трапеції чисельно дорівнює модулю проекції переміщення, отримаємо:
S х(t) = V 0 x t + х t 2 /2
Ми з вами отримали закон залежності проекції переміщення від часу при рівноприскореному русі в скалярній формі, у векторній формі він виглядатиме так:
(t) = t + t 2/2
Виведемо ще одну формулу для проекції переміщення, в яку не входитиме як змінний час. Розв'яжемо систему рівнянь, виключивши з неї час:
S x (t) = V 0 x + а х t 2 /2
V x (t) = V 0 x + а х t
Уявімо, що час нам невідомий, тоді висловимо час із другого рівняння:
t = V x - V 0x / а х
Підставимо отримане значення у перше рівняння:
Отримаємо такий громіздкий вираз, зведемо в квадрат і наведемо такі:
Ми отримали дуже зручний вираз проекції переміщення для випадку, коли нам невідомий час руху.
Нехай у нас початкова швидкість автомобіля, коли почалося гальмування становить V 0 = 72 км/год, кінцева швидкість V = 0, прискорення а = 4 м/с 2 . Дізнаємося довжину гальмівного шляху. Перевівши кілометри в метри і підставивши значення формулу, отримаємо, що гальмівний шлях складе:
S x = 0 - 400(м/с) 2/-2 · 4 м/с 2 = 50 м
Проаналізуємо таку формулу:
S x = (V 0 x + V x) / 2 · t
Проекція переміщення - це напівсума проекцій початкової та кінцевої швидкостей, помножена на час руху. Згадаймо формулу переміщення для середньої швидкості
S x = V ср · t
У разі рівноприскореного руху середня швидкість буде:
V ср = (V 0 + V к) / 2
Ми впритул підійшли до вирішення головного завдання механіки рівноприскореного руху, тобто отримання закону, за яким змінюється координата з часом:
x(t) = x 0 + V 0 x t + а x t 2 /2
Щоб навчитися користуватися цим законом, розберемо типове завдання.
Автомобіль, рухаючись зі стану спокою, набуває прискорення 2 м/с 2 . Знайти шлях, який пройшов автомобіль за 3 секунди та за третю секунду.
Дано: V 0 x = 0
Запишемо закон, за яким змінюється переміщення з часом при
рівноприскореному русі: S х = V 0 x t + а х t 2/2. 2 c< Δt 2 < 3.
Ми можемо відповісти на перше питання задачі, підставивши дані:
t 1 = 3 c S 1х = а х t 2 /2 = 2 · 3 2 / 2 = 9 (м) - це шлях, який пройшов
c автомобіль за 3 секунди.
Дізнаємося скільки він проїхав за 2 секунди:
S х (2 с) = а х t 2 /2 = 2 · 2 2 / 2 = 4 (м)
Отже, ми з вами знаємо, що за дві секунди автомобіль проїхав 4 метри.
Тепер, знаючи ці дві відстані, ми можемо знайти шлях, який він пройшов за третю секунду:
S 2х = S 1х + S х (2 с) = 9 - 4 = 5 (м)
Найважливіше для нас - це вміти обчислювати переміщення тіла, тому що знаючи переміщення можна знайти і координати тіла, а це і є головне завдання механіки. Як же обчислити рух при рівноприскореному русі?
Формулу визначення переміщення найпростіше отримати, якщо скористатися графічним методом.
У § 9 ми бачили, що за прямолінійному рівномірному русі переміщення тіла чисельно дорівнює площі фігури (прямокутника), розташованої під графіком швидкості. Чи це правильно для рівноприскореного руху?
При рівноприскореному русі тіла, що відбувається вздовж координатної осі X, швидкість з часом не залишається постійною, а змінюється з часом згідно з формулами:
Тому графіки швидкості мають вигляд, показаний малюнку 40. Пряма 1 цьому малюнку відповідає руху з «позитивним» прискоренням (швидкість зростає), пряма 2 - руху з «негативним» прискоренням (швидкість зменшується). Обидва графіки належать до випадку, коли в момент часу тіло мало швидкість
Виділимо на графіку швидкості рівноприскореного руху маленьку ділянку (рис. 41) і опустимо з точок а і перпендикуляри на вісь Довжина відрізка на осі чисельно дорівнює тому малому проміжку часу, за який швидкість змінилася від її значення в точці а до її значення в точці Під ділянкою графіка вийшла вузька смужка
Чи проміжок часу, чисельно рівний відрізку досить малий, то протягом цього часу зміна швидкості теж мало. Рух протягом цього часу можна вважати рівномірним, і смужка буде тоді мало відрізнятися від прямокутника. Площа смужки тому чисельно дорівнює переміщенню тіла за час, що відповідає відрізку
Але такі вузькі смужки можна розбити всю площу фігури, розташованої під графіком швидкості. Отже, переміщення за весь час чисельно дорівнює площі трапеції. Площа ж трапеції, як відомо з геометрії, дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту. У нашому випадку довжина однієї з основ трапеції чисельно дорівнює довжина іншого - V. Висота ж її чисельно дорівнює Звідси випливає, що переміщення одно:
Підставимо в цю формулу замість вираз (1а), тоді
Розділивши почленно чисельник на знаменник, отримаємо:
Підставивши у формулу (2) вираз (16), отримаємо (див. рис. 42):
Формулу (2а) застосовують у тому випадку, коли вектор прискорення спрямований так само, як і вісь координат, а формулу (26) тоді, коли напрям вектора прискорення протилежний напрямку цієї осі.
Якщо початкова швидкість дорівнює нулю (рис. 43) і вектор прискорення спрямований по осі координат, то формули (2а) випливає, що
Якщо напрям вектора прискорення протилежно напрямку осі координат, то з формули (26) слід, що
(знак «-» тут означає, що вектор переміщення, як і вектор прискорення, спрямований протилежно обраної осі координат).
Нагадаємо, що у формулах (2а) та (26) величини і можуть бути як позитивними, так і негативними - це проекції векторів і
Тепер, коли ми отримали формули для обчислення переміщення, нам легко отримати формулу для обчислення координати тіла. Ми бачили (див. § 8), що для того, щоб знайти координату тіла в якийсь момент часу треба до початкової координати додати проекцію вектора переміщення тіла на вісь координат:
(За) якщо вектор прискорення спрямований так само, як і вісь координат, та
якщо напрям вектора прискорення протилежний напрямку осі координат.
Це і є формули, що дозволяють знаходити положення тіла будь-якої миті часу при прямолінійному рівноприскореному русі. Для цього потрібно знати початкову координату тіла його початкову швидкість та прискорення а.
Завдання 1. Водій автомобіля, що рухається зі швидкістю 72 км/год, побачив червоний сигнал світлофора та натиснув на гальмо. Після цього автомобіль почав гальмувати, рухаючись із прискоренням
Яка відстань пройде автомобіль за час сік після початку гальмування? Яка відстань пройде автомобіль до повної зупинки?
Рішення. За початок координат виберемо ту точку дороги, в якій автомобіль почав гальмувати. Координатну вісь направимо за напрямом руху автомобіля (рис. 44), а початок відліку часу віднесемо до моменту, коли водій натиснув на гальмо. Швидкість автомобіля спрямована так само, як вісь X, а прискорення автомобіля протилежне напрямку цієї осі. Тому проекція швидкості на вісь X позитивна, а проекція прискорення негативна та координату автомобіля потрібно знаходити за формулою (36):
Підставляючи в цю формулу значення
Тепер знайдемо, яку відстань пройде автомобіль до повної зупинки. Для цього нам потрібно знати час руху. Його можна дізнатися, скориставшись формулою
Оскільки в той момент, коли автомобіль зупиняється, його швидкість дорівнює нулю, то
Відстань, яка пройде автомобіль до повної зупинки, дорівнює координаті автомобіля в момент часу
Завдання 2. Визначте переміщення тіла, графік швидкості якого показано на малюнку 45. Прискорення тіла дорівнює а.
Рішення. Оскільки спочатку модуль швидкості тіла зменшується з часом, то вектор прискорення спрямований протилежно до напрямку . Для обчислення переміщення ми можемо скористатися формулою
З графіка видно, що час руху тому:
Отримана відповідь показує, що графік, зображений на малюнку 45, відповідає руху тіла спочатку в одному напрямку, а потім на таку ж відстань у протилежному напрямку, внаслідок чого тіло виявляється у вихідній точці. Подібний графік може, наприклад, відноситися до руху тіла, кинутого вертикально вгору.
Завдання 3. Тіло рухається вздовж прямої рівноприскорено із прискоренням а. Знайдіть різницю відстаней, що проходять тілом за два наступних один за одним однакових проміжку часу т.
Рішення. Приймемо пряму, вздовж якої рухається тіло, за вісь X. Якщо в точці А (рис. 46) швидкість тіла дорівнювала його переміщення за час одно:
У точці тіло мало швидкість і його переміщення за наступний проміжок часу дорівнює:
2. На малюнку 47 зображено графіки швидкості руху трьох тіл? Який характер руху цих тіл? Що можна сказати про швидкості руху тіл у моменти часу, що відповідають точкам А та В? Визначте прискорення та напишіть рівняння рухів (формули для швидкості та переміщення) цих тіл.
3. Користуючись наведеними на малюнку 48 графіками швидкостей трьох тіл, виконайте такі завдання: а) Визначте прискорення цих тіл; б) складіть для
кожного тіла формулу залежності швидкості від часу: в) у чому подібні і чим різняться рухи, що відповідають графікам 2 та 3?
4. На малюнку 49 показано графіки швидкості руху трьох тіл. За цими графіками: а) визначте, чому відповідають відрізки ОА, ОВ та ОС на осях координат; 6) знайдіть прискорення, з якими рухаються тіла: в) напишіть рівняння руху для кожного тіла.
5. Літак при зльоті проходить злітну смугу за 15 сек і в момент відриву від зедллі має швидкість 100 м/сек. З яким прискоренням рухався літак та яка довжина злітної смуги?
6. Автомобіль зупинився біля світлофора. Після того як спалахнув зелений сигнал, він починає рухатися з прискоренням і рухається гак доти, поки швидкість його не стане рівною 16 м/сек, після чого він продовжує рух з постійною швидкістю. На якій відстані від світлофора опиниться автомобіль через 15 с після появи зеленого сигналу?
7. Снаряд, швидкість якого дорівнює 1000 м/сек, пробиває стіну бліндажу за і після цього має швидкість 200 м/сек. Вважаючи рух снаряда в товщі стіни рівноприскореним, знайдіть товщину стіни.
8. Ракета рухається з прискоренням і до деякого моменту часу досягає швидкості 900 м/сек. Який шлях вона пройде в наступні
9. На якій відстані від Землі виявився б космічний корабель через 30 хв після старту, якби він весь час рухався прямолінійно із прискоренням
Траєкторія(від пізньолатинського trajectories – що відноситься до переміщення) – це лінія, якою рухається тіло (матеріальна точка). Траєкторія руху може бути прямою (тіло переміщається в одному напрямку) і криволінійною, тобто механічний рух може бути прямолінійним та криволінійним.
Траєкторія прямолінійного рухуу цій системі координат – це пряма лінія. Наприклад, можна вважати, що траєкторія руху автомобіля рівною дорогою без поворотів є прямолінійною.
Криволінійний рух– це рух тіл по колу, еліпсу, параболі чи гіперболі. Приклад криволінійного руху – рух точки на колесі автомобіля, що рухається, або рух автомобіля в повороті.
Рух може бути складним. Наприклад, траєкторія руху тіла на початку шляху може бути прямолінійною, потім криволінійною. Наприклад, автомобіль на початку шляху рухається прямою дорогою, а потім дорога починає «петляти» і автомобіль починає криволінійний рух.
Шлях
Шлях- Це довжина траєкторії. Шлях є скалярною величиною та у міжнародній системі одиниць СІ вимірюється в метрах (м). Розрахунок шляху виконується у багатьох завданнях із фізики. Деякі приклади будуть розглянуті далі у цьому підручнику.
Вектор переміщення
Вектор переміщення(або просто переміщення) – це спрямований відрізок прямий, що з'єднує початкове положення тіла з наступним положенням (рис. 1.1). Переміщення – величина векторна. Вектор переміщення направлено від початкової точки руху до кінцевої.
Модуль вектор переміщення(тобто довжина відрізка, який з'єднує початкову і кінцеву точки руху) може дорівнювати пройденому шляху або бути менше пройденого шляху. Але ніколи модуль вектора переміщення не може бути більшим за пройдений шлях.
Модуль вектора переміщення дорівнює пройденому шляху, коли шлях збігається з траєкторією (див. розділи і ), наприклад, якщо з точки А до точки Б автомобіль переміщається прямою дорогою. Модуль вектора переміщення менший за пройдений шлях, коли матеріальна точка рухається по криволінійній траєкторії (рис. 1.1).
Мал. 1.1. Вектор рух і пройдений шлях.
На рис. 1.1:
Ще приклад. Якщо автомобіль проїде по колу один раз, то вийде, що точка початку руху збігається з точкою кінця руху і тоді вектор переміщення дорівнюватиме нулю, а пройдений шлях дорівнюватиме довжині кола. Таким чином, шлях та переміщення – це два різні поняття.
Правило складання векторів
Вектори переміщень складаються геометрично за правилом складання векторів (правило трикутника або правило паралелограма, див. рис. 1.2).
Мал. 1.2. Додавання векторів переміщень.
На рис 1.2 показані правила складання векторів S1 та S2:
а) Додавання за правилом трикутника
б) Додавання за правилом паралелограма
Вектор проекції переміщення
При розв'язанні задач із фізики часто використовують проекції вектора переміщення на координатні осі. Проекції вектора переміщення координатні осі можуть бути виражені через різниці координат його кінця і початку. Наприклад, якщо матеріальна точка перемістилася з точки А до точки В, то при цьому вектор переміщення (рис. 1.3).
Виберемо вісь так, щоб вектор лежав з цією віссю в одній площині. Опустимо перпендикуляри з точок А та В (з початкової та кінцевої точок вектора переміщення) до перетину з віссю ОХ. Таким чином ми отримаємо проекції точок А і В на вісь Х. Позначимо проекції точок А і відповідно А x і В x . Довжина відрізка А x У x на осі ОХ - це і є проекція вектора переміщенняна вісь ОХ, тобто
S x = A x B x
ВАЖЛИВО!
Нагадую для тих, хто не дуже добре знає математику: не плутайте вектор із проекцією вектора на якусь вісь (наприклад, S x). Вектор завжди позначається літерою або кількома літерами, над якими знаходиться стрілка. У деяких електронних документах стрілку не ставлять, оскільки це може спричинити труднощі при створенні електронного документа. У таких випадках орієнтуйтеся на зміст статті, де поруч із літерою може бути написане слово «вектор» або в будь-який інший спосіб вам вказують на те, що це саме вектор, а не просто відрізок.
Мал. 1.3. Вектор проекції переміщення.
Проекція вектора переміщення на вісь ОХ дорівнює різниці координат кінця та початку вектора, тобто
S x = x - x 0
Аналогічно визначаються та записуються проекції вектора переміщення на осі OY та OZ:
S y = y - y 0 S z = z - z 0
Тут x 0 , y 0 , z 0 - Початкові координати, або координати початкового положення тіла (матеріальної точки); x, y, z - кінцеві координати, або координати подальшого положення тіла (матеріальної точки).
Проекція вектора переміщення вважається позитивною, якщо напрям вектора та напрям координатної осі збігаються (як на рис 1.3). Якщо напрям вектора та напрям координатної осі не збігаються (протилежні), то проекція вектора негативна (рис. 1.4).
Якщо вектор переміщення паралельний осі, модуль його проекції дорівнює модулю самого Вектора. Якщо вектор переміщення перпендикулярний до осі, то модуль його проекції дорівнює нулю (рис. 1.4).
Мал. 1.4. Модулі проекції вектор переміщення.
Різниця між наступним і початковим значеннями якоїсь величини називається зміною цієї величини. Тобто, проекція вектора переміщення на координатну вісь дорівнює зміні відповідної координати. Наприклад, для випадку, коли тіло переміщається перпендикулярно до осі Х (рис. 1.4) виходить, що щодо осі Х тіло НЕ ПЕРЕМІЩУЄТЬСЯ. Тобто переміщення тіла по осі Х дорівнює нулю.
Розглянемо приклад руху тіла на площині. Початкове положення тіла - точка А з координатами х0 і у 0, тобто А(х0, у 0). Кінцеве положення тіла - точка з координатами х і у, тобто В (х, у). Знайдемо модуль переміщення тіла.
З точок А та В опустимо перпендикуляри на осі координат ОХ та OY (рис. 1.5).
Мал. 1.5. Рух тіла на площині.
Визначимо проекції вектора переміщення осях ОХ і OY:
S x = x – x 0 S y = y – y 0
На рис. 1.5 видно, що трикутник АВС прямокутний. З цього випливає, що під час вирішення завдання можна використовувати теорема Піфагора, за допомогою якої можна знайти модуль вектора переміщення, оскільки
АС = s x CB = s y
За теоремою Піфагора
S 2 = S x 2 + S y 2
Звідки можна знайти модуль вектора переміщення, тобто довжину шляху тіла з точки А до точки В:
Ну і насамкінець пропоную вам закріпити отримані знання та розрахувати кілька прикладів на ваш розсуд. Для цього введіть будь-які цифри у поля координат та натисніть кнопку РОЗРАХУВАТИ. Ваш браузер повинен підтримувати виконання сценаріїв (скриптів) JavaScript і виконання сценаріїв має бути дозволено в налаштуваннях вашого браузера, інакше розрахунок не буде виконано. У речових числах ціла та дробова частини повинні розділятися точкою, наприклад, 10.5.
Спробуємо вивести формулу для знаходження проекції вектора переміщення тіла, яке рухається прямолінійно і прискорено, за будь-який проміжок часу.
Для цього звернемося до графіка залежності проекції швидкості прямолінійного рівноприскореного руху від часу.
Графік залежності проекції швидкості прямолінійного рівноприскореного руху від часу
Нижче на малюнку представлений графік для проекції швидкості деякого тіла, яке рухається з початковою швидкість V0 і постійним прискоренням а.
Якби ми мали рівномірний прямолінійний рух, то для обчислення проекції вектора переміщення, необхідно було б порахувати площу фігури під графіком проекції вектора швидкості.
Тепер доведемо, що у разі рівноприскореного прямолінійного руху проекція вектора переміщення Sx визначатиметься так само. Тобто проекція вектора переміщення дорівнюватиме площі фігури під графіком векторної проекції швидкості.
Знайдемо площу фігури обмежену віссю оt, відрізками АТ і ПС, а також відрізком АС.
Виділимо на осі ot мінімальний проміжок часу db. Проведемо через ці точки перпендикуляри до осі часу, до їхнього перетину з графіком проекції швидкості. Зазначимо точки перетину a та c. За цей час швидкість тіла зміниться від Vax до Vbx.
Якщо взяти цей проміжок досить малим, то можна вважати що швидкість залишається практично незмінною, а отже ми матимемо на цьому проміжку справу з рівномірним прямолінійним рухом.
Тоді можна вважати відрізок ac горизонтальним, а abcd прямокутником. Площа abcd буде чисельно дорівнює проекції вектора переміщення за проміжок часу db. Ми можемо розбити на такі малі проміжки часу всю площу фігури OACB.
Тобто ми отримали, що проекція вектора переміщення Sx за проміжок часу, що відповідає відрізку ОВ, буде чисельно дорівнює площі S трапеції ОACB, і визначатиметься за тією самою формулою, що ця площа.
Отже,
- S=((V0x+Vx)/2)*t.
Так як Vx = V0x + ax * t і S = Sx, отримана формула набуде наступного вигляду:
- Sx=V0x*t+(ax*t^2)/2.
Ми отримали формулу, за допомогою якої можемо розрахувати векторну проекцію переміщення при рівноприскореному русі.
У разі рівноуповільненого руху формула набуде наступного вигляду.
Рівномірний рух– це рух із постійною швидкістю, тобто коли швидкість не змінюється (v = const) та прискорення чи уповільнення не відбувається (а = 0).
Прямолінійний рух– це рух прямої лінії, тобто траєкторія прямолінійного руху – це пряма лінія.
- Це рух, при якому тіло за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення. Наприклад, якщо ми розіб'ємо якийсь часовий інтервал на відрізки по одній секунді, то при рівномірному русі тіло переміщатиметься на однакову відстань за кожен із цих відрізків часу.
Швидкість рівномірного прямолінійного руху залежить від часу й у кожній точці траєкторії спрямовано як і переміщення тіла. Тобто вектор переміщення збігається у напрямку вектора швидкості. При цьому середня швидкість за будь-який проміжок часу дорівнює миттєвій швидкості:
Швидкість рівномірного прямолінійного руху– це фізична векторна величина, що дорівнює відношенню переміщення тіла за будь-який проміжок часу до значення цього проміжку t:
V(вектор) = s(вектор) / t
Отже, швидкість рівномірного прямолінійного руху показує, яке переміщення робить матеріальна точка за одиницю часу.
Переміщенняпри рівномірному прямолінійному русі визначається формулою:
s(вектор) = V(вектор) t
Пройдений шляхпри прямолінійному русі дорівнює модулю переміщення. Якщо позитивний напрямок осі ОХ збігається з напрямком руху, то проекція швидкості на вісь ОХ дорівнює величині швидкості і позитивна:
v x = v, тобто v > 0
Проекція переміщення на вісь ОХ дорівнює:
s = vt = x - x 0
де x 0 - Початкова координата тіла, х - кінцева координата тіла (або координата тіла в будь-який момент часу)
Рівняння руху, тобто залежність координати тіла від часу х = х(t), набуває вигляду:
Якщо позитивний напрямок осі ОХ протилежний напрямку руху тіла, то проекція швидкості тіла на вісь ОХ негативна, швидкість менша за нуль (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:
4. Рівноперемінний рух.
Рівномірний прямолінійний рух– це окремий випадок нерівномірного руху.
Нерівномірний рух- Це рух, при якому тіло (матеріальна точка) за рівні проміжки часу здійснює неоднакові переміщення. Наприклад, міський автобус рухається нерівномірно, оскільки його рух складається переважно з розгонів і гальмування.
Рівноперемінний рух- Це рух, при якому швидкість тіла (матеріальної точки) за будь-які рівні проміжки часу змінюється однаково.
Прискорення тіла при рівнозмінному русізалишається постійним за модулем і за напрямом (a = const).
Рівноперемінний рух може бути рівноприскореним або рівноуповільненим.
Рівноприскорений рух- Це рух тіла (матеріальної точки) з позитивним прискоренням, тобто при такому русі тіло розганяється з постійним прискоренням. У разі рівноприскореного руху модуль швидкості тіла з часом зростає, напрям прискорення збігається з напрямом швидкості руху.
Рівноуповільнений рух– це рух тіла (матеріальної точки) з негативним прискоренням, тобто за такому русі тіло поступово уповільнюється. При рівносповільненому русі вектори швидкості та прискорення протилежні, а модуль швидкості з часом зменшується.
У механіці будь-який прямолінійний рух є прискореним, тому уповільнений рух відрізняється від прискореного лише знаком проекції вектора прискорення обрану вісь системи координат.
Середня швидкість змінного рухувизначається шляхом розподілу переміщення тіла на час, протягом якого це переміщення було здійснено. Одиниця виміру середньої швидкості – м/с.
Миттєва швидкість– це швидкість тіла (матеріальної точки) в даний момент часу або в даній точці траєкторії, тобто межа, якої прагне середня швидкість при нескінченному зменшенні проміжку часу Δt:
V=lim(^t-0) ^s/^t
Вектор миттєвої швидкостірівнозмінного руху можна знайти як першу похідну від вектора переміщення за часом:
V(вектор) = s'(вектор)
Векторна проекція швидкостіна вісь ОХ:
це похідна від координати часу (аналогічно отримують проекції вектора швидкості інші координатні осі).
Прискорення– це величина, яка визначає швидкість зміни швидкості тіла, тобто межа, якої прагне зміна швидкості при нескінченному зменшенні проміжку часу Δt:
а(вектор) = lim (t-0) ^v(вектор)/^t
Вектор прискорення рівноперемінного рухуможна знайти як першу похідну від вектора швидкості за часом або як другу похідну від вектора переміщення за часом:
a(вектор) = v(вектор)" = s(вектор)"
Враховуючи, що 0 - швидкість тіла в початковий момент часу (початкова швидкість), - швидкість тіла в даний момент часу (кінцева швидкість), t - проміжок часу, протягом якого відбулася зміна швидкості, формула прискореннябуде наступною:
a(вектор) = v(вектор)-v0(вектор)/t
Звідси формула швидкості рівнозмінного рухуу будь-який момент часу:
v(вектор) = v 0 (вектор) + a(вектор)t
Якщо тіло рухається прямолінійно вздовж осі ОХ прямолінійної системи координат, що збігається у напрямку з траєкторією тіла, то проекція вектора швидкості на цю вісь визначається формулою:
v x = v 0x ± a x t
Знак "-" (мінус) перед проекцією вектора прискорення відноситься до рівноповільного руху. Аналогічно записуються рівняння проекцій вектора швидкості інші осі координат.
Так як при рівнозмінному русі прискорення є постійним (a = const), то графік прискорення – це пряма, паралельна до осі 0t (осі часу, рис. 1.15).
Мал. 1.15. Залежність прискорення тіла іноді.
Залежність швидкості від часу– це лінійна функція, графік якої є пряма лінія (рис. 1.16).
Мал. 1.16. Залежність швидкості тіла від часу.
Графік залежності швидкості від часу(рис. 1.16) показує, що
У цьому переміщення чисельно дорівнює площі фігури 0abc (рис. 1.16).
Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми довжин її підстав на висоту. Підстави трапеції 0abc чисельно рівні:
Висота трапеції дорівнює t. Отже, площа трапеції, отже, і проекція переміщення на вісь ОХ дорівнює:
У разі рівносповільненого руху проекція прискорення негативна і у формулі для проекції переміщення перед прискоренням ставиться знак "-" (мінус).
Загальна формула визначення проекції переміщення:
Графік залежності швидкості тіла іноді при різних прискореннях показаний на рис. 1.17. Графік залежності переміщення від часу при v0 = 0 показано на рис. 1.18.
Мал. 1.17. Залежність швидкості тіла іноді для різних значень прискорення.
Мал. 1.18. Залежність переміщення тіла від часу.
Швидкість тіла в даний момент часу t 1 дорівнює тангенсу кута нахилу між дотичною до графіка та віссю часу v = tg α, а переміщення визначають за формулою:
Якщо час руху тіла невідомий, можна використовувати іншу формулу переміщення, вирішуючи систему двох рівнянь:
Формула скороченого множення різниці квадратівдопоможе нам вивести формулу для проекції переміщення:
Оскільки координата тіла у будь-який момент часу визначається сумою початкової координати та проекції переміщення, то рівняння руху тілабуде виглядати так:
Графіком координати x(t) також є парабола (як і графік переміщення), але вершина параболи у випадку не збігається з початком координат. При а x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).
