Функції корінь n ступеня x. Винесення мінуса з-під знака кореня

Коріньn-й ступеня та його властивості

Що таке коріньn-й ступеня? Як отримати корінь?

У восьмому класі ви вже встигли познайомитись із квадратним коренем. Вирішували типові приклади з корінням, застосовуючи ті чи інші властивості коренів. Також вирішували квадратні рівняння, Де без вилучення квадратного кореня - ніяк. Але квадратний корінь – це окремий випадок ширшого поняття – кореня n -го ступеня . Крім квадратного, буває, наприклад, кубічний корінь, корінь четвертого, п'ятого і більш високих ступенів. І для успішної роботи з таким корінням непогано б все-таки для початку бути на «ти» з корінням квадратним.) Тому у кого проблеми з ними – настійно рекомендую повторити.

Вилучення кореня – це з операцій, зворотних зведенню в ступінь.) Чому «одна з»? Тому що, витягуючи корінь, ми шукаємо заснуванняза відомими ступеня та показником. А є ще одна зворотна операція – знаходження показниказа відомими ступеня та основи.Така операція називається знаходженням логарифму.Вона складніша, ніж вилучення кореня і вивчається у старших класах.)

Отже, знайомимося!

По-перше, позначення. Квадратний корінь, як ми знаємо, позначається так: . Називається цей значок дуже красиво та науково – радикал. А як позначають коріння інших ступенів? Дуже просто: над «хвостиком» радикалу додатково пишуть показник того ступеня, корінь якого шукається. Якщо шукається кубічний корінь, пишуть трійку: . Якщо корінь четвертого ступеня, то відповідно . І так далі.) У загальному вигляді корінь n-го ступеня позначається так:

Де.

Числоa , як і в квадратному корінні, називається підкореним виразом , а ось числоn для нас тут нове. І називається показником кореня .

Як видобувати коріння будь-яких ступенів? Так само, як і квадратні - збагнути, яке число в n-му ступені дає нам числоa .)

Як, наприклад, витягти кубічний корінь із 8? Тобто ? А яке число у кубі дасть нам 8? Двійка, звичайно.) Ось і пишуть:

Або. Яке число четвертою мірою дає 81? Трійка.) Значить,

А корінь десятого ступеня з першого? Ну, їжу зрозуміло, що одиниця в будь-якій мірі (у тому числі і в десятій) дорівнює одиниці.

І взагалі .

З нулем та ж історія: нуль у будь-якій натуральній мірі дорівнює нулю. Стало бути, .

Як бачимо, порівняно з квадратним корінням, тут вже складніше думати, яке число тією чи іншою мірою дає нам підкорене числоa . Складніше підбиративідповідь та перевіряти його на правильність зведенням у ступіньn . Ситуація істотно полегшується, якщо знати особу ступеня популярних чисел. Тому зараз – тренуємось. :) Розпізнаємо ступені!)

Відповіді (безладно):

Так Так! Відповідей більше, ніж завдань.) Тому, що, наприклад, 2 8 , 4 4 і 16 2 – це одне й те число 256.

Потренувались? Тоді вважаємо примірники:

Відповіді (теж безладно): 6; 2; 3; 2; 3; 5.

Вийшло? Чудово! Рушаємося далі.)

Обмеження у корінні. Арифметичний коріньn-й ступеня.

У коренях n-го ступеня, як і в квадратних, теж є свої обмеження та свої фішки. За своєю суттю, вони нічим не відрізняються від таких обмежень для квадратного коріння.

Адже не підбирається, так? Що 3, що -3 четвертою мірою буде +81. :) І з будь-яким коренем парноїступеня із негативного числа буде та ж пісня. А це означає, що видобувати коріння парного ступеня з негативних чисел не можна . Це заборонена дія у математиці. Таке ж заборонене, як і поділ на нуль. Тому такі висловлювання, як і тому подібні – не мають сенсу.

Зате коріння непарнийступеня з негативних чисел – будь ласка!

Наприклад, ; , і так далі.)

А з позитивних чисел можна зі спокійною душею отримувати будь-яке коріння, будь-яких ступенів:

Загалом, зрозуміло, думаю.) І, до речі, корінь не повинен витягуватися рівно. Це просто приклади такі, чисто для розуміння.) Буває, що в процесі розв'язання (наприклад, рівнянь) випливає і досить погане коріння. Що-небудь типу. З вісімки кубічний корінь витягується добре, а тут під коренем сімка. Що робити? Нічого страшного. Все так само.- Це число, яке при зведенні в куб дасть нам 7. Тільки число це дуже негарне і кошлате. Ось воно:

Причому це число ніколи не закінчується і не має періоду: цифри йдуть абсолютно безладно. Ірраціональне воно ... У таких випадках відповідь так і залишають у вигляді кореня.) А от якщо корінь витягується чисто (наприклад, ), то, природно, треба порахувати корінь і записати:

Знову беремо наше піддослідне число 81 і витягаємо з нього корінь четвертого ступеня:

Тому що три у четвертій буде 81. Ну, гаразд! Але ж і мінус триу четвертій теж буде 81!

Виходить неоднозначність:

І, щоб її усунути, так само, як і в квадратному корінні, ввели спеціальний термін: арифметичний коріньn-й ступеня з числа a - це таке невід'ємнечисло,n-я ступінь якого дорівнює a .

А відповідь із плюсом-мінусом називається по-іншому – алгебраїчний коріньn-го ступеня. Будь-який парний ступінь алгебраїчним коренем буде два протилежні числа. У школі ж працюють тільки з арифметичним корінням. Тому негативні числа в арифметичному корінні просто відкидаються. Наприклад, пишуть: . Сам плюс, звичайно, не пишуть: його натякають на.

Все, здавалося б, просто, але ... А як же бути з корінням непарного ступеня з негативних чисел? Адже там завжди при витягуванні виходить негативне число! Оскільки будь-яке негативне число в непарного ступенятакож дає негативне число. А арифметичний корінь працює лише з невід'ємними числами! На те він і арифметичний.

У такому корінні роблять ось що: виносять мінус з-під кореня і ставлять перед коренем. Ось так:

У таких випадках кажуть, що виражений через арифметичний (тобто вже невід'ємний) корінь .

Але є один пункт, який може вносити плутанину, – це вирішення простих рівнянь зі ступенями. Наприклад, ось таке рівняння:

Пишемо відповідь: . Насправді, ця відповідь – всього лише скорочений запис двох відповідей:

Незрозумілість тут полягає в тому, що трохи вище я вже написав, що в школі розглядаються тільки невід'ємне (тобто арифметичне) коріння. А тут одна з відповідей із мінусом… Як бути? Та ніяк! Знаки тут – це результат вирішення рівняння. А сам корінь- Величина все одно невід'ємна! Дивіться самі:

Ну як, тепер зрозуміліше? З дужками?)

З непарним ступенем все набагато простіше - там завжди виходить одинкорінь. З плюсом чи з мінусом. Наприклад:

Отже, якщо ми простовилучаємо корінь (парного ступеня) з числа, то ми завжди отримуємо одинневід'ємний результат. Тому що це арифметичний корінь. А от якщо ми вирішуємо рівнянняз парним ступенем, то ми отримуємо два протилежні корені, оскільки це – вирішення рівняння.

З корінням непарних ступенів (кубічними, п'ятого ступеня тощо) проблем жодних. Виймаємо собі і не паримемося зі знаками. Плюс під корінням – отже, і результат вилучення з плюсом. Мінус – значить, мінус.

А тепер настала черга познайомитися зі властивостями коренів. Деякі вже будуть нам знайомі за квадратним корінням, але додасться і кілька нових. Поїхали!

Властивості коріння. Корінь із твору.

Ця властивість вже знайома нам із квадратного коріння. Для коріння інших ступенів все аналогічно:

Тобто, корінь із твору дорівнює добутку коріння з кожного множника окремо.

Якщо показникn парний, то обидва підкорені числаa іb мають бути, звісно, ​​неотрицательными, інакше формула сенсу немає. У разі непарного показника обмежень ніяких немає: виносимо мінуси з-під коріння вперед і далі працюємо з арифметичним корінням.

Як і в квадратному корінні, тут ця формула однаково корисна як зліва направо, так і праворуч наліво. Застосування формули зліва направо дозволяє видобувати коріння з твору. Наприклад:

Ця формула, до речі, справедлива не тільки для двох, а для будь-якого числа множників. Наприклад:

Також за цією формулою можна добувати коріння з великих чисел: для цього число під коренем розкладається на менші множники, а далі витягуються корені окремо з кожного множника.

Наприклад, таке завдання:

Число досить велике. Чи витягується з нього корінь рівно– також без калькулятора незрозуміло. Добре було б його розкласти на множники. На що точно поділяється число 3375? На 5, схоже: остання цифра – п'ятірка.

Ой знову на 5 ділиться! 675:5 = 135. І 135 знову на п'ятірку ділиться. Та коли ж це скінчиться!)

135:5 = 27. З числом 27 все вже зрозуміло – це трійка у кубі. Значить,

Тоді:

Вийняли корінь по шматочках, ну і гаразд.)

Або такий приклад:

Знову розкладаємо на множники за ознаками подільності. Яким? на 4, т.к. остання парочка цифр 40 – ділиться на 4. І 10, т.к. остання цифра – нуль. Отже, можна поділити одним махом одразу на 40:

Про число 216 ми вже знаємо, що це шістка у кубі. Стало бути,

А 40, своєю чергою, можна розкласти як . Тоді

І тоді остаточно отримаємо:

Чисто витягти корінь не вийшло, та й нічого страшного. Все одно ми спростили вираз: ми ж знаємо, що під коренем (хоч квадратним, хоч кубічним - будь-яким) прийнято залишати найменше з можливих.) У цьому прикладі ми проробили одну дуже корисну операцію, теж вже знайому нам із квадратного коріння. Дізнаєтесь? Так! Ми винеслимножники з-під кореня. У цьому вся прикладі ми винесли двійку і шістку, тобто. Число 12.

Як винести множник за знак кореня?

Винести множник (або множники) за знак кореня дуже легко. Розкладаємо підкорене вираз на множники і витягаємо те, що витягується.) А що не вилучається – так і залишаємо під коренем. Дивіться:

Розкладаємо число 9072 на множники. Так як у нас корінь четвертого ступеня, в першу чергу пробуємо розкласти на множники, що є четвертим ступенем натуральних чисел - 16, 81 і т.д.

Спробуємо поділити 9072 на 16:

Поділилося!

А ось 567, схоже, ділиться на 81:

Отже, .

Тоді

Властивості коріння. Розмноження коренів.

Розглянемо тепер зворотне застосування формули – справа наліво:

На перший погляд, нічого нового, але зовнішність оманлива. Зворотне застосування формули значно розширює наші можливості. Наприклад:

Хм, та й що тут такого? Помножили й усе. Тут і справді нічого особливого. Звичайне множення коренів. А ось такий приклад!

Окремо з множників коріння чисто не витягується. Зате з результату – чудово.)

Знову ж таки формула справедлива для будь-якого числа множників. Наприклад, треба порахувати такий вираз:

Тут головне – увага. У прикладі присутні різнікоріння – кубічні та четвертого ступеня. І жоден з них точно не витягується.

А формула добутку коренів застосовна лише до коренів з однаковимипоказниками. Тому згрупуємо в окрему купку кубічне коріння і в окрему - четвертому ступені. А там, дивишся, все й зросте.))

І калькулятора не знадобилося.)

Як зробити множник під знак кореня?

Наступна корисна річ – внесення числа під корінь. Наприклад:

Чи можна забрати трійку всередину кореня? Елементарно! Якщо трійку перетворити на корінь, то спрацює формула добутку коріння. Отже, перетворюємо трійку на корінь. Раз у нас корінь четвертого ступеня, то й перетворюватимемо теж на корінь четвертого ступеня.) Ось так:

Тоді

Корінь, між іншим, можна зробити з будь-якого негативного числа. Причому того ступеня, який хочемо (все від конкретного прикладу залежить). Це буде корінь із n-го ступеня цього самого числа:

А зараз - увага!Джерело дуже грубих помилок! Я не дарма тут сказав про невід'ємнічисла. Арифметичний корінь працює лише з такими. Якщо у нас у завданні десь затесалося негативне число, то або мінус так і залишаємо, перед коренем (якщо він зовні), або позбавляємося мінуса під коренем, якщо він усередині. Нагадую, якщо під корінням парноїступеня виходить негативне число, то вираз не має сенсу.

Наприклад, таке завдання. Внести множник під знак кореня:

Якщо ми зараз внесемо під корінь мінусдва, то жорстоко помилимося:

У чому тут помилка? А в тому, що четвертий ступінь, через свою парність, благополучно «з'їв» цей мінус, внаслідок чого свідомо негативне число перетворилося на позитивне. А вірне рішення виглядає так:

У корінні непарних ступенів мінус хоч і не «з'їдається», але його теж краще залишати зовні:

Тут корінь непарного ступеня – кубічний, і ми маємо повне право мінус також загнати під корінь. Але краще в таких прикладах мінус також залишати зовні і писати відповідь вираженим через арифметичний (ненегативний) корінь, оскільки корінь хоч і має право на життя, але арифметичним не є.

Отже, із внесенням числа під корінь теж все ясно, я сподіваюся.) Переходимо до наступної властивості.

Властивості коріння. Корінь із дробу. Поділ коріння.

Ця властивість також повністю повторює таку для квадратного коріння. Тільки тепер ми його розповсюджуємо на корені будь-якого ступеня:

Корінь із дробу дорівнює кореню із чисельника, поділеному на корінь із знаменника.

Якщо n парно, то числоa має бути невід'ємним, а числоb - Суворо позитивним (на нуль ділити не можна). У разі непарного показника єдиним обмеженням буде.

Ця властивість дозволяє легко і швидко добувати коріння з дробів:

Ідея зрозуміла, гадаю. Замість роботи з дробом цілком ми переходимо до роботи окремо з чисельником і окремо зі знаменником.) Якщо дріб десятковий або, жах, змішане число, то попередньо переходимо до звичайних дробів:

А тепер подивимося, як ця формула працює праворуч наліво. Тут також виявляються дуже корисні можливості. Наприклад, такий приклад:

З числа і знаменника коріння рівно не витягуються, зате з усього дробу – прекрасно.) Можна вирішити цей приклад і по-іншому – винести в чисельнику множник з-під кореня з наступним скороченням:

Як вам буде завгодно. Відповідь завжди вийде одна – правильна. Якщо помилок не наляпати дорогою.)

Отже, з множенням/розподілом коренів розібралися. Піднімаємось на наступну сходинку та розглядаємо третю властивість – корінь у ступені і корінь зі ступеня .

Корінь у ступені. Корінь зі ступеня.

Як звести корінь у ступінь? Наприклад, нехай ми маємо число . Чи можна це число звести в ступінь? У куб, наприклад? Звичайно! Помножити корінь сам на себе три рази, і за формулою добутку коріння:

Тут корінь та ступінь як бивзаємознищилися чи компенсувалися. Справді, якщо ми число, яке при зведенні в куб дасть нам трійку, зведемо в цей куб, то що отримаємо? Трійку і отримаємо, ясна річ! І так буде для будь-якого негативного числа. Загалом:

Якщо показники ступеня та кореня різні, то теж жодних проблем. Якщо знати властивості ступенів.)

Якщо показник ступеня менший за показник кореня, то просто заганяємо ступінь під корінь:

Загалом буде:

Ідея зрозуміла: зводимо у ступінь підкорене вираз, а далі спрощуємо, виносячи множники з-під кореня, якщо це можливо. Якщоn парно, тоa має бути невід'ємним. Чому – зрозуміло, думаю.) А якщоn непарно, то жодних обмежень наa вже немає:

Розберемося тепер з корінням зі ступеня . Тобто, у ступінь зводитиметься вже не сам корінь, а підкорене вираз. Тут теж нічого складного, але простору для помилок значно більше. Чому? Тому що в гру входять негативні числа, які можуть вносити плутанину у знаках. Поки почнемо з коріння непарних ступенів – вони набагато простіші.

Нехай у нас є число 2. Чи можна його звести в куб? Звичайно!

А тепер – назад витягнемо з вісімки кубічний корінь:

З двійки почали, до двійки і повернулися.) Нічого дивного: зведення в куб скомпенсувалося зворотною операцією - вилученням кубічного кореня.

Інший приклад:

Тут також все шляхом. Ступінь і корінь один одного компенсували. Загалом для коренів непарних ступенів можна записати таку формулку:

Ця формула справедлива для будь-якого дійсного числаa . Хоч позитивного, хоч негативного.

Тобто непарний ступінь і корінь цього ж ступеня завжди один одного компенсують і виходить підкорене вираз. :)

А ось з парноїступенем цей фокус може не пройти. Дивіться самі:

Тут поки що нічого особливого. Четвертий ступінь і корінь четвертого ж ступеня теж один одного врівноважили і вийшла просто двійка, тобто. підкорене вираз. І для будь-кого невід'ємногочисла буде те саме. А тепер лише замінимо в цьому корені два на мінус два. Тобто порахуємо ось такий корінь:

Мінус у двійки благополучно «згорів» через четвертий ступінь. І в результаті отримання кореня (арифметичного!) ми отримали позитивнечисло. Було мінус два, стало плюс два.) А от якби ми просто бездумно скоротили ступінь і корінь (однакові ж!), то отримали б

Що є грубою помилкою, так.

Тому для парногопоказника формула кореня зі ступеня виглядає так:

Тут додався нелюбимий багатьма знак модуля, але в ньому нічого страшного немає: завдяки йому, формула також працює для будь-якого дійсного числаa. І модуль просто відсікає мінуси:

Тільки коріння n-го ступеня з'явилося додаткове розмежування на парні і непарні ступеня. (парні ступені, як ми бачимо, більш примхливі, так.)

А тепер розглянемо нову корисну і дуже цікаву властивість, вже характерну саме для коренів n-го ступеня: якщо показник кореня і показник ступеня підкореного виразу помножити (розділити) на те саме натуральне число, то значення кореня не зміниться.

Чимось нагадує основну властивість дробу, чи не так? У дробах ми теж чисельник і знаменник можемо множити (ділити) одне й те число (крім нуля). Насправді, це властивість коренів – також наслідок основної якості дробу. Коли ми познайомимося зі ступенем із раціональним показником, Все стане ясно. Що, як і звідки.)

Пряме застосування цієї формули дозволяє нам спрощувати вже будь-яке коріння з будь-яких ступенів. У тому числі, якщо показники ступеня підкореного виразу та самого кореня різні. Наприклад, треба спростити такий вираз:

Поступаємо просто. Виділяємо для початку під корінням четвертий ступінь з десятого і – вперед! Як? За властивостями ступенів, зрозуміло! Виносимо множник з-під кореня або працюємо за формулою кореня зі ступеня.

А ось спростимо, використовуючи якраз цю властивість. Для цього четвірку під коренем представимо як:

І тепер – найцікавіше – скорочуємо подумкипоказник під коренем (двійку) з показником кореня (четвіркою)! І отримуємо:

Наведено основні властивості статечної функції, включаючи формули та властивості коренів. Представлені похідна, інтеграл, розкладання в статечний ряд і подання за допомогою комплексних чисел статечної функції.

Визначення

Визначення
Ступінна функція з показником ступеня p- це функція f (x) = x pзначення якої в точці x дорівнює значенню показової функції з основою x в точці p .
Крім цього, f (0) = 0 p = 0при p> 0 .

Для натуральних значень показника, статечна функція є добуток n чисел, рівних x:
.
Вона визначена всім дійсних .

Для позитивних раціональних значень показника, статечна функція є добуток n коренів ступеня m з числа x:
.
Для непарних m вона визначена для всіх дійсних x . Для парних m, статечна функція визначена для невід'ємних.

Для негативних , статечна функція визначається за формулою:
.
Тому вона не визначена у точці.

Для ірраціональних значень показника p статечна функція визначається за формулою:
,
де a - довільне позитивне число, що не дорівнює одиниці: .
При , вона визначена для .
При , статечна функція визначена для .

Безперервність. Ступінна функція безперервна у своїй області визначення.

Властивості та формули статечної функції при x ≥ 0

Тут ми розглянемо властивості статечної функції при невід'ємних значеннях аргументу x. Як зазначено вище, при деяких значеннях показника p степенева функція визначена і для негативних значень x . У цьому випадку її властивості можна отримати з властивостей при , використовуючи парність або непарність. Ці випадки детально розглянуто та проілюстровано на сторінці « ».

Ступінна функція, y = x p, з показником p має такі властивості:
(1.1) визначена і безперервна на безлічі
при ,
при;
(1.2) має безліч значень
при ,
при;
(1.3) строго зростає при ,
суворо зменшується при ;
(1.4) при;
при;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Доказ властивостей наводиться на сторінці «Ступінна функція (доказ безперервності та властивостей)»

Коріння - визначення, формули, властивості

Визначення
Корінь із числа x ступеня n- Це число, зведення якого в ступінь n дає x:
.
Тут n = 2, 3, 4, ... - Натуральне число, більше одиниці.

Також можна сказати, що корінь у складі x ступеня n - це корінь (тобто рішення) рівняння
.
Зауважимо, що функція є зворотною до функції .

Квадратний корінь із числа x- Це корінь ступеня 2: .

Кубічний корінь із числа x- Це корінь ступеня 3: .

Парний ступінь

Для парних ступенів n = 2 m, корінь визначений за x ≥ 0 . Часто використовується формула, справедлива як для позитивних, так і для негативних x:
.
Для квадратного кореня:
.

Тут важливий порядок, у якому виконуються операції - тобто спочатку виробляється зведення у квадрат, у результаті виходить неотрицательное число, та був із нього витягується корінь (з неотрицательного числа можна витягувати квадратний корінь). Якби змінили порядок: , то за негативних x корінь було б визначено, разом із не визначено і весь вираз.

Непарний ступінь

Для непарних ступенів корінь визначений для всіх x :
;
.

Властивості та формули коріння

Корінь з x є статечною функцією:
.
При x ≥ 0 мають місце такі формули:
;
;
, ;
.

Ці формули можуть бути застосовні і за негативних значеннях змінних . Потрібно лише стежити, щоб підкорене вираз парних ступенів був негативним.

Приватні значення

Корінь 0 дорівнює 0: .
Корінь 1 дорівнює 1: .
Квадратний корінь 0 дорівнює 0: .
Квадратний корінь 1 дорівнює 1: .

приклад. Корінь з коріння

Розглянемо приклад квадратного кореня з коріння:
.
Перетворимо внутрішній квадратний корінь, застосовуючи наведені вище формули:
.
Тепер перетворимо вихідний корінь:
.
Отже,
.

y = x p при різних значеннях показника p.

Тут наводяться графіки функції при невід'ємних значеннях аргументу x. Графіки статечної функції, визначеної при негативних значеннях x, наводяться на сторінці «Ступінна функція, її властивості та графіки»

Зворотня функція

Зворотною для статечної функції з показником p є статечна функція з показником 1/p.

Якщо то .

Похідна статечної функції

Похідна n-го порядку:
;

Висновок формул > > >

Інтеграл від статечної функції

P ≠ - 1 ;
.

Розкладання в статечний ряд

При - 1 < x < 1 має місце наступне розкладання:

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексного змінного z:
f (z) = z t.
Виразимо комплексну змінну z через модуль r та аргумент φ (r = |z|):
z = r e i φ.
Комплексне число t представимо у вигляді дійсної та уявної частин:
t = p + i q.
Маємо:

Далі врахуємо, що аргумент φ визначено неоднозначно:
,

Розглянемо випадок, коли q = 0 , Тобто показник ступеня - дійсне число, t = p. Тоді
.

Якщо p – ціле, те й kp – ціле. Тоді, через періодичність тригонометричних функцій:
.
Тобто показова функція при цілому показнику ступеня для заданого z має тільки одне значення і тому є однозначною.

Якщо p - ірраціональне, то твори kp за жодного k не дають цілого числа. Оскільки k пробігає нескінченний ряд значень k = 0, 1, 2, 3, ..., то функція z p має нескінченно багато значень. Щоразу, коли аргумент z отримує приріст 2 π(один оборот), ми переходимо на нову галузь функції.

Якщо p - раціональне, то його можна подати у вигляді:
, де m, n- Цілі, що не містять спільних дільників. Тоді
.
Перші n величин при k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, дають n різних значень kp:
.
Однак наступні величини дають значення, що відрізняються від попередніх на ціле число. Наприклад, при k = k 0 + nмаємо:
.
Тригонометричні функції, аргументи яких різняться на величини, кратні 2 πмають рівні значення. Тому при подальшому збільшенні ми отримуємо ті ж значення z p , що і для k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Таким чином, показова функція з раціональним показником ступеня є багатозначною та має n значень (гілок). Щоразу, коли аргумент z отримує приріст 2 π(один оборот), ми переходимо на нову галузь функції. Через n таких оборотів ми повертаємось на першу гілку, з якої починався відлік.

Зокрема, корінь ступеня n має значення n. Як приклад розглянемо корінь n-го ступеня дійсного позитивного числа z = x. У цьому випадку φ 0 = 0, z = r = | z | = x, .
.
Так, для квадратного кореня, n = 2 ,
.
Для парних k, (-1) k = 1. Для непарних k, (- 1) k = - 1.
Тобто квадратний корінь має два значення: + та - .

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Урок та презентація на теми: "Функція кореня n-ого ступеня. Приклади рішень. Побудова графіків"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
Інтерактивний посібник для 9–11 класів "Тригонометрія"
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"

Функція кореня n-ого ступеня

Властивості функції

приклад.
Побудувати та прочитати графік функції $y=f(x)$, де $f(x)$:
$f(x)=\begin(cases)\sqrt(x), x≤1\\ \frac(1)(x), x>1\end(cases)$.
Рішення. Послідовно збудуємо два графіки функції на різних координатних площинах, після отримані графіки об'єднаємо в один. Побудуємо графік функції $y=\sqrt(x)$, $x≤1$.
Таблиця значень:
Графік функції $y=\frac(1)(x)$ добре відомий, це гіпербола, давайте побудуємо графік при $x>1$.
margin-left: auto; margin-right: auto;"> Об'єднаємо обидва графіки:

Хлопці, давайте опишемо властивості, якими має наша функція:
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2. Ні парна, ні непарна.
3. Убуває $$.
4. Необмежена знизу, обмежена зверху.
5. Найменшого значення немає, найбільше значення дорівнює 1.
6. Безперервна.
7. $E(f)=(-∞;1]$.
8. Функція диференційована всюди, крім точок $х=0$ і $х=1$.
9. $\lim_(x \rightarrow + ∞) f(x) = 0 $.

приклад. Знайти область визначення функцій:

А) $ y = \ sqrt (2x-10) $.
б) $ y = \ sqrt (3x-6) $.
в) $ y = sqrt (3x-6) + sqrt (25-x ^ 2) $.

Рішення:
а) Показник кореня нашої функції – парний, отже під коренем має бути невід'ємне число.
Вирішимо нерівність:
$2x-10≥0$.
$2x≥10$.
$x≥5$.
Відповідь: $D(y)=.$ Це і є область визначення вихідної функції.
Відповідь: $ D (y) = $.

Завдання для самостійного вирішення

Вітаю: сьогодні ми розбиратимемо коріння — одну з найбільш мозкових тем 8-го класу.:)

Багато хто плутається в корінні не тому, що воно складне (чого там складного — пара визначень і ще пара властивостей), а тому що в більшості шкільних підручників коріння визначається через такі нетрі, що розібратися в цій писанині можуть хіба самі автори підручників. Та й то лише з пляшкою гарного віскі.

Тому зараз я дам найправильніше і найписьменніше визначення кореня - єдине, яке вам справді слід запам'ятати. А вже потім поясню: навіщо все це потрібно і як застосовувати на практиці.

Але спочатку запам'ятайте один важливий момент, про який багато укладачів підручників чомусь «забувають»:

Коріння буває парного ступеня (наш улюблений $\sqrt(a)$, а також всякі $\sqrt(a)$ і навіть $\sqrt(a)$) і непарного ступеня (всякі $\sqrt(a)$, $\ sqrt(a)$ і т.д.). І визначення кореня непарного ступеня дещо відрізняється від парного.

Ось у цьому гребінці «дещо відрізняється» приховано, напевно, 95% всіх помилок і непорозуміння, пов'язаного з корінням. Тому давайте раз і назавжди розберемося з термінологією:

Визначення. Корінь парного ступеня nз $a$ - це будь-яке невід'ємнечисло $b$ таке, що $((b)^(n))=a$. А корінь непарного ступеня з того ж числа $a$ - це взагалі будь-яке число $b$, для якого виконується та ж рівність: $((b)^(n))=a$.

У будь-якому випадку корінь позначається так:

\(a)\]

Число $n$ у такому записі називається показником кореня, а число $a$ - підкореним виразом. Зокрема, при $n=2$ отримаємо наш «улюблений» квадратний корінь (до речі, це корінь парного ступеня), а за $n=3$ — кубічний (ступінь непарний), який теж часто зустрічається в завданнях та рівняннях.

приклади. Класичні приклади квадратного коріння:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \ \ & \ sqrt (81) = 9; \ & \ sqrt (256) = 16. \\ \end(align)\]

До речі, $ sqrt (0) = 0 $, а $ sqrt (1) = 1 $. Це цілком логічно, оскільки $((0)^(2))=0$ і $((1)^(2))=1$.

Кубічні коріння теж часто зустрічаються — не треба їх боятися:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ \sqrt(-64)=-4; \ \ \ \ sqrt (343) = 7. \\ \end(align)\]

Ну, і парочка «екзотичних прикладів»:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Якщо ви не зрозуміли, у чому різниця між парним та непарним ступенем — перечитайте визначення ще раз. Це дуже важливо!

А ми тим часом розглянемо одну неприємну особливість коренів, через яку нам потрібно було вводити роздільне визначення для парних і непарних показників.

Навіщо взагалі потрібне коріння?

Прочитавши визначення, багато учнів запитають: Що курили математики, коли це вигадували? І справді: навіщо взагалі потрібне все це коріння?

Щоб відповісти на це питання, повернемося на хвилинку до початкових класів. Згадайте: у ті далекі часи, коли дерева були зеленішими, а пельмені смачнішими, основна наша турбота була в тому, щоб правильно множити числа. Ну, щось у дусі «п'ять на п'ять-двадцять п'ять», ось це все. Але можна множити числа не парами, а трійками, четвірками і взагалі цілими комплектами:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \ \ 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Однак суть не в цьому. Фішка в іншому: математики - люди ліниві, тому їм було в лом записувати множення десяти п'ятірок ось так:

Тому вони вигадали ступеня. Чому б замість довгого рядка не записати кількість множників у вигляді верхнього індексу? Типу такого:

Це дуже зручно! Всі обчислення скорочуються в рази, і можна не витрачати купу аркушів пергаменту блокнотиків на запис якогось 5 183 . Такий запис назвали ступенем числа, у нього знайшли купу властивостей, але щастя виявилося недовгим.

Після грандіозної п'янки, яку організували саме з приводу «відкриття» ступенів, якийсь особливо затятий математик раптом запитав: «А що, якщо нам відомий ступінь числа, але невідомо саме число?» Ось, дійсно, якщо нам відомо, що деяке число $b$, припустимо, в 5-му ступені дає 243, то як нам здогадатися, чому одно число $b$?

Проблема ця виявилася набагато глобальнішою, ніж може здатися на перший погляд. Тому що з'ясувалося, що для більшості готових ступенів таких вихідних чисел немає. Судіть самі:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27Rightarrow b=3cdot 3cdot 3Rightarrow b=3; \ & ((b) ^ (3)) = 64 Rightarrow b = 4 cdot 4 cdot 4 Rightarrow b = 4. \\ \end(align)\]

А що якщо $((b)^(3))=50$? Виходить, що потрібно знайти якесь число, яке тричі помножене саме на себе дасть нам 50. Але що це за число? Воно явно більше 3, оскільки 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Тобто. це число лежить десь між трійкою і четвіркою, але чому воно одно - фіг зрозумієш.

Саме для цього математики і придумали коріння $n$-го ступеня. Саме для цього ввели піктограму радикала $\sqrt(*)$. Щоб позначити те саме число $b$, яке в даній мірі дасть нам заздалегідь відому величину

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Не сперечаюся: найчастіше це коріння легко вважається — ми бачили кілька таких прикладів вище. Але все-таки в більшості випадків, якщо ви загадаєте довільне число, а потім спробуєте витягти з нього корінь довільного ступеня, на вас чекає жорстокий облом.

Та що там! Навіть найпростіший і всім знайомий $\sqrt(2)$ не можна уявити у звичному нам вигляді - як ціле число або дрібничка. А якщо ви вб'єте це число в калькулятор, то побачите це:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Як бачите, після коми йде нескінченна послідовність цифр, які не підкоряються жодній логіці. Можна, звичайно, округлити це число, щоб швидко порівняти з іншими числами. Наприклад:

\[\sqrt(2)=1,4142...\approx 1,4 \lt 1,5\]

Або ось ще приклад:

\[\sqrt(3)=1,73205...\approx 1,7 \gt 1,5\]

Але ці округлення, по-перше, досить грубі; а по-друге, працювати з приблизними значеннями теж треба вміти, інакше можна зловити купу неочевидних помилок (до речі, навик порівняння та округлення обов'язково перевіряють на профільному ЄДІ).

Тому в серйозній математиці без коріння не обійтися - вони є такими ж рівноправними представниками багатьох дійсних чисел $\mathbb(R)$, як і давно знайомі нам дроби і цілі числа.

Неможливість уявити корінь як дробу виду $\frac(p)(q)$ означає, що це корінь перестав бути раціональним числом. Такі числа називаються ірраціональними, і їх не можна точно уявити інакше як за допомогою радикала або інших спеціально призначених для цього конструкцій (логарифмів, ступенів, меж тощо). Але про це — іншого разу.

Розглянемо кілька прикладів, де після всіх обчислень ірраціональні числа все ж таки залишаться у відповіді.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]

Природно, на вигляд кореня практично неможливо здогадатися про те, які числа будуть йти після коми. Втім, можна порахувати на калькуляторі, але навіть найдосконаліший калькулятор дат нам лише кілька перших цифр ірраціонального числа. Тому набагато правильніше записати відповіді у вигляді $sqrt(5)$ і $sqrt(-2)$.

Саме для цього їх і вигадали. Щоб зручно записувати відповіді.

Чому потрібні два визначення?

Уважний читач уже напевно помітив, що всі квадратні корені, наведені в прикладах, витягуються з позитивних чисел. Ну, принаймні з нуля. А ось кубічні корені незворушно витягуються абсолютно з будь-якого числа — хоч позитивного, хоч негативного.

Чому так відбувається? Подивіться графік функції $y=((x)^(2))$:

Спробуємо за допомогою цього графіка порахувати $sqrt (4) $. Для цього на графіку проведено горизонтальну лінію $y=4$ (позначено червоним кольором), яка перетинається з параболою у двох точках:$((x)_(1))=2$ і $((x)_(2)) =-2 $. Це цілком логічно, оскільки

З першим числом все зрозуміло — воно позитивне, тому воно є корінь:

Але що робити тоді з другою точкою? Типу у четвірки відразу два корені? Адже якщо звести до квадрата число −2, ми теж отримаємо 4. Чому б тоді не записати $\sqrt(4)=-2$? І чому вчителі дивляться на такі записи так, ніби хочуть вас зжерти?:)

У тому й біда, що якщо не накладати жодних додаткових умов, то квадратного коріння у четвірки буде два — позитивне і негативне. І в будь-якого позитивного числа їх також буде два. А ось у негативних чисел коріння взагалі не буде — це видно все за тим же графіком, оскільки парабола ніде не опускається нижче за осю y, тобто. не набуває негативних значень.

Подібна проблема виникає у всіх коренів з парним показником:

1. Строго кажучи, коріння з парним показником $n$ у кожного позитивного числа буде відразу дві штуки;
2. З негативних чисел корінь із парним $n$ взагалі не витягується.

Саме тому у визначенні кореня парного ступеня $n$ спеціально обговорюється, що відповідь має бути невід'ємною кількістю. Так ми позбавляємося неоднозначності.

Зате для непарних $n$ такої проблеми немає. Щоб переконатися в цьому, погляньмо на графік функції $y=((x)^(3))$:

З цього графіка можна зробити два висновки:

1. Гілки кубічної параболи, на відміну від звичайної, йдуть на нескінченність в обидві сторони - і вгору, і вниз. Тому на якій би висоті ми не проводили горизонтальну пряму, ця пряма обов'язково перетнеться з нашим графіком. Отже, кубічний корінь можна отримати завжди, абсолютно з будь-якого числа;
2. Крім того, таке перетин завжди буде єдиним, тому не потрібно думати, яке число вважати «правильним» коренем, а на яке забити. Саме тому визначення коренів для непарного ступеня простіше, ніж для парної (відсутня вимога невід'ємності).

Жаль, що ці прості речі не пояснюють у більшості підручників. Натомість нам починають ширяти мозок усілякими арифметичними корінням та їх властивостями.

Так, я не сперечаюся: що таке арифметичний корінь теж треба знати. І я докладно розповім про це в окремому уроці. Сьогодні ми теж поговоримо про нього, оскільки без нього всі роздуми про коріння $n$-ї кратності були б неповними.

Але спочатку треба чітко засвоїти те визначення, яке я дав вище. Інакше через велику кількість термінів у голові почнеться така каша, що в результаті взагалі нічого не зрозумієте.

А всього й треба зрозуміти різницю між парними та непарними показниками. Тому ще раз зберемо все, що дійсно потрібно знати про коріння:

1. Корінь парного ступеня існує лише з невід'ємного числа і сам є невід'ємним числом. Для негативних чисел такий корінь невизначений.
2. А ось корінь непарного ступеня існує з будь-якого числа і може бути будь-яким числом: для позитивних чисел він позитивний, а для негативних — як натякає кеп, негативний.

Хіба це складно? Ні, не складно. Зрозуміло? Та взагалі очевидно! Тому зараз ми трохи потренуємось із обчисленнями.

Основні властивості та обмеження

Коріння має багато дивних властивостей і обмежень — про це буде окремий урок. Тому зараз ми розглянемо лише найважливішу «фішку», яка стосується лише коріння з парним показником. Запишемо цю властивість у вигляді формули:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x \right|\]

Іншими словами, якщо звести число в парний ступінь, а потім з цього витягти корінь того ж ступеня, ми отримаємо не вихідне число, яке модуль . Це проста теорема, яка легко доводиться (досить окремо розглянути невід'ємні $x$, а потім окремо негативні). Про неї постійно товкмачать вчителі, її дають у кожному шкільному підручнику. Але як тільки справа доходить до вирішення ірраціональних рівнянь (тобто рівнянь, що містять знак радикала), учні дружно забувають цю формулу.

Щоб детально розібратися в питанні, давайте на хвилину забудемо всі формули і спробуємо порахувати два числа напролом:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Це дуже звичайні приклади. Перший приклад вирішить більшість людей, а ось на другому багато хто залипає. Щоб без проблем вирішити будь-яку подібну хрень, завжди враховуйте порядок дій:

1. Спочатку число зводиться у четвертий ступінь. Ну, це нескладно. Вийде нове число, яке навіть у таблиці множення можна знайти;
2. І ось уже з цього нового числа необхідно витягти корінь четвертого ступеня. Тобто. ніякого «скорочення» коріння та ступенів не відбувається — це послідовні дії.

Розберемося з першим виразом: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Очевидно, що спочатку треба порахувати вираз, що стоїть під коренем:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Потім витягаємо корінь четвертого ступеня з числа 81:

Тепер зробимо те саме з другим виразом. Спочатку зводимо число −3 у четверту міру, навіщо потрібно помножити його саме він 4 разу:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ left(-3 \right)=81\]

Отримали позитивне число, оскільки загальна кількість мінусів у творі — 4 штуки, і всі вони взаємно знищиться (адже мінус на мінус дає плюс). Далі знову витягаємо корінь:

У принципі, цей рядок можна було не писати, оскільки і їжу зрозуміло, що відповідь вийде одна й та сама. Тобто. парний корінь з тієї ж парної міри «спалює» мінуси, і в цьому сенсі результат не відрізняється від звичайного модуля:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]

Ці обчислення добре узгоджуються з визначенням кореня парного ступеня: результат завжди негативний, та й під знаком радикала теж завжди стоїть невід'ємне число. В іншому випадку корінь не визначений.

Зауваження щодо порядку дій

1. Запис $\sqrt(((a)^(2)))$ означає, що ми спочатку зводимо число $a$ у квадрат, а потім витягуємо з отриманого значення квадратний корінь. Отже, ми можемо бути впевнені, що під знаком кореня завжди сидить невід'ємне число, оскільки $((a)^(2))\ge 0$ у будь-якому випадку;
2. А ось запис $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, навпаки, означає, що ми спочатку витягаємо корінь з деякого числа $a$ і лише потім зводимо результат у квадрат. Тому число $a$ в жодному разі не може бути негативним - це обов'язкова вимога, закладена у визначення.

Таким чином, у жодному разі не можна бездумно скорочувати коріння та ступеня, тим самим нібито «спрощуючи» вихідний вираз. Тому що якщо під коренем стоїть негативне число, а його показник є парним, ми отримаємо купу проблем.

Втім, всі ці проблеми є актуальними лише для парних показників.

Винесення мінуса з-під знака кореня

Природно, коріння з непарними показниками теж має свою фішку, якої в принципі не буває у парних. А саме:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Коротше кажучи, можна виносити мінус з-під знаку коріння непарного ступеня. Це дуже корисна властивість, яка дозволяє «викинути» всі мінуси назовні:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \ sqrt (32) = \ \ & = 3 \ cdot 2 = 6. \end(align)\]

Ця проста властивість значно спрощує багато обчислень. Тепер не треба переживати: раптом під коренем затесався негативний вираз, а ступінь у кореня виявився парним? Достатньо лише «викинути» всі мінуси за межі коріння, після чого їх можна буде множити один на одного, ділити і взагалі робити багато підозрілих речей, які у випадку з «класичним» корінням гарантовано приведуть нас до помилки.

І ось тут на сцену виходить ще одне визначення — те саме, з якого в більшості шкіл починають вивчення ірраціональних виразів. І без якого наші міркування були б неповними. Зустрічайте!

Арифметичний корінь

Давайте припустимо на хвилинку, що під знаком кореня можуть бути лише позитивні числа або в крайньому випадку нуль. Заб'ємо на парні/непарні показники, заб'ємо на всі визначення, наведені вище - працюватимемо тільки з невід'ємними числами. Що тоді?

А тоді ми отримаємо арифметичний корінь — він частково перетинається з нашими «стандартними» визначеннями, але все ж таки відрізняється від них.

Визначення. Арифметичним коренем $n$-го ступеня з невід'ємного числа $a$ називається таке невід'ємне число $b$, що $((b)^(n))=a$.

Як бачимо, нас більше не цікавить парність. Натомість її з'явилося нове обмеження: підкорене вираз тепер завжди невід'ємно, та й сам корінь теж негативний.

Щоб краще зрозуміти, чим арифметичний корінь відрізняється від звичайного, погляньте на вже знайомі нам графіки квадратної та кубічної параболи:

Як бачите, відтепер нас цікавлять ті шматки графіків, які розташовані в першій координатній чверті — там, де координати $x$ і $y$ позитивні (або хоча б нуль). Більше не потрібно дивитися на показник, щоб зрозуміти: чи маємо ми право ставити під корінь негативне число чи ні. Тому що негативні числа більше, у принципі, не розглядаються.

Можливо, ви запитаєте: "Ну і навіщо нам таке кастроване визначення?" Або: «Чому не можна обійтися стандартним визначенням, даним вище?»

Що ж, наведу лише одну властивість, через яку нове визначення стає доцільним. Наприклад, правило зведення в ступінь:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Зверніть увагу: ми можемо звести підкорене вираз у будь-який ступінь і одночасно помножити на цей самий ступінь показник кореня — і в результаті вийде те саме число! Ось приклади:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Ну, і що в цьому такого? Чому ми не могли це зробити раніше? А ось чому. Розглянемо простий вираз: $\sqrt(-2)$ — це цілком нормальне у нашому класичному розумінні, але абсолютно неприпустимо з погляду арифметичного кореня. Спробуємо перетворити його:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Як бачите, у першому випадку ми винесли мінус з-під радикала (маємо повне право, тому що показник непарний), а в другому — скористалися зазначеною формулою. Тобто. з погляду математики все зроблено за правилами.

WTF?! Як одне й те число може бути і позитивним, і негативним? Ніяк. Просто формула зведення в ступінь, який чудово працює для позитивних чисел і нуля, починає видавати повну брехню у випадку з негативними числами.

Ось для того, щоб позбутися подібної неоднозначності, і вигадали арифметичні коріння. Їм присвячений окремий великий урок, де ми докладно розглядаємо всі властивості. Отже зараз не будемо на них зупинятися — урок і так вийшов занадто затягнутим.

Алгебраїчне коріння: для тих, хто хоче знати більше

Довго думав: виносити цю тему до окремого параграфу чи ні. Зрештою вирішив залишити тут. Цей матеріал призначений для тих, хто хоче зрозуміти коріння ще краще – вже не на середньому «шкільному» рівні, а на наближеному до олімпіадного.

Так ось: крім «класичного» визначення кореня $n$-го ступеня з числа та пов'язаного з ним поділу на парні та непарні показники є більш «доросле» визначення, яке взагалі не залежить від парності та інших тонкощів. Це називається алгебраїчним коренем.

Визначення. Алгебраїчний корінь $n$-го ступеня з-поміж будь-якого $a$ — це безліч всіх чисел $b$ таких, що $((b)^(n))=a$. Для такого коріння немає усталеного позначення, тому просто поставимо рису зверху:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Принципова відмінність від стандартного визначення, наведеного на початку уроку, полягає в тому, що корінь алгебри — це не конкретне число, а безліч. Оскільки ми працюємо з дійсними числами, це безліч буває лише трьох типів:

1. Порожня безліч. Виникає у разі, коли потрібно знайти алгебраїчний корінь парного ступеня негативного числа;
2. Безліч, що складається з одного-єдиного елемента. Усі коріння непарних ступенів, а також корені парних ступенів з нуля потрапляють до цієї категорії;
3. Нарешті, безліч може включати два числа - ті самі $((x)_(1))$ і $((x)_(2))=-((x)_(1))$, яке ми бачили на графіку квадратичні функції. Відповідно, такий розклад можливий лише за вилучення кореня парного ступеня з позитивного числа.

Останній випадок заслуговує на докладніший розгляд. Порахуємо кілька прикладів, щоб зрозуміти різницю.

приклад. Обчисліть вирази:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Рішення. З першим виразом все просто:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Саме два числа входять до складу множини. Тому що кожен із них у квадраті дає четвірку.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Тут бачимо безліч, що складається лише з одного числа. Це цілком логічно, оскільки показник кореня непарний.

Нарешті, останній вираз:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Отримали порожню множину. Тому що немає жодного дійсного числа, яке при зведенні в четвертий (тобто парний!) ступінь дасть нам негативне число −16.

Фінальне зауваження. Зверніть увагу: я не випадково скрізь зазначав, що ми працюємо з дійсними числами. Тому що є ще комплексні числа — там цілком можна порахувати і $sqrt(-16)$, і багато інших дивних речей.

Однак у сучасному шкільному курсі математики комплексні числа майже зустрічаються. Їх викреслили з більшості підручників, оскільки наші чиновники вважають цю тему «надто складною для розуміння».

Початковий рівень

Корінь та його властивості. Детальна теорія з прикладами (2019)

Давай спробуємо розібратися, що це за поняття таке «корінь» та «з чим його їдять». Для цього розглянемо приклади, з якими ти вже стикався на уроках (ну, або тобі з цим тільки доведеться зіткнутися).

Наприклад, маємо рівняння. Яке рішення даного рівняння? Які числа можна звести до квадрата і отримати при цьому? Згадавши таблицю множення, ти легко даси відповідь: і (адже при перемноженні двох негативних чисел виходить позитивне число)! Для спрощення математики ввели спеціальне поняття квадратного кореня і надали йому спеціальний символ.

Дамо визначення арифметичного квадратного кореня.

А чому ж число має бути обов'язково невід'ємним? Наприклад, чому дорівнює. Так-так спробуємо підібрати. Може, три? Перевіримо: , а чи не. Може? Знову ж таки, перевіряємо: . Ну що ж, не підбирається? Це й слід було чекати - бо немає таких чисел, які при зведенні у квадрат дають негативне число!
Це треба запам'ятати: число або вираз під знаком кореня має бути негативним!

Однак найуважніші вже напевно помітили, що у визначенні сказано, що рішення квадратного кореня з числа називається таке невід'ємнечисло, квадрат якого дорівнює». Хтось із вас скаже, що на самому початку ми розбирали приклад, підбирали числа, які можна звести в квадрат і отримати при цьому, відповідь була і, а тут йдеться про якесь «невід'ємне число»! Таке зауваження цілком доречне. Тут необхідно просто розмежувати поняття квадратних рівнянь та арифметичного квадратного кореня у складі. Наприклад, не рівносильне виразу.

З цього випливає, що, тобто або. (Читай тему « »)

А слід, що.

Звичайно, це дуже плутає, але це необхідно запам'ятати, що знаки є результатом розв'язання рівняння, тому що при вирішенні рівняння ми повинні записати всі ікси, які при підстановці у вихідне рівняння дадуть правильний результат. Наше квадратне рівняння підходить як, так і.

Однак, якщо просто витягувати квадратний коріньз чогось, то завжди отримуємо один невід'ємний результат.

А тепер спробуй розв'язати таке рівняння. Вже все не так просто і гладко, правда? Спробуй перебрати числа, може щось і вигорить? Почнемо з самого початку – з нуля: – не підходить, рухаємось далі – менше трьох, теж відкидаємо, а що якщо. Перевіримо: - теж підходить, т.к. це більше трьох. З негативними числами вийде така сама історія. І що тепер робити? Невже перебір нам нічого не дав? Зовсім ні, тепер ми точно знаємо, що відповіддю буде деяке число між і, а також і. Крім того, очевидно, що рішення не будуть цілими числами. Більше того, вони не є раціональними. І що далі? Давай побудуємо графік функції та відзначимо на ньому рішення.

Давай спробуємо обдурити систему та отримати відповідь за допомогою калькулятора! Виймемо корінь з, діл-те! Ой-ой-ой, виходить, що. Таке число ніколи не кінчається. Як же таке запам'ятати, адже на іспиті калькулятора не буде! Все дуже просто, це й не треба запам'ятовувати, потрібно пам'ятати (або вміти швидко прикинути) приблизне значення. і вже самі собою відповіді. Такі числа називаються ірраціональними, саме для спрощення запису таких чисел і було запроваджено поняття квадратного кореня.

Розглянемо ще один приклад для закріплення. Розберемо таке завдання: тобі потрібно перетнути по діагоналі квадратне поле зі стороною кілометрів, скільки кілометрів тобі доведеться пройти?

Найочевидніше тут розглянути окремо трикутник і користуватися теоремою Піфагора: . Таким чином, . То чому ж тут однакова відстань? Очевидно, що відстань не може бути негативною, отримуємо, що. Корінь із двох приблизно дорівнює, але, як ми помітили раніше, вже є повноцінною відповіддю.

Щоб вирішення прикладів з корінням не викликало проблем, необхідно їх бачити та впізнавати. Для цього необхідно знати щонайменше квадрати чисел від до, а також вміти їх розпізнати. Наприклад, треба зазначити, що у квадраті одно, і навіть, навпаки, що - це у квадраті.

Вловив, що таке квадратне коріння? Тоді наріши кілька прикладів.

приклади.

Ну як, вийшло? Тепер давай подивимося такі приклади:

Відповіді:

Кубічний корінь

Ну що ж, з поняттям квадратного кореня начебто розібралися, тепер постараємося розібратися, що таке кубічний корінь і в чому їхня відмінність.

Кубічний корінь із деякого числа - це число, куб якого дорівнює. Помітили, тут все набагато простіше? Тут немає жодних обмежень на можливі значення як значення під знаком кубічного кореня, так і числа. Тобто кубічний корінь можна витягти з числа: .

Вловили, що таке кубічний корінь і як його добувати? Тоді наперед вирішувати приклади.

приклади.

Відповіді:

Корінь - ого ступеня

Ну що ж, ми розібралися з поняттями квадратного та кубічного кореня. Тепер узагальним отримані знання поняттям корінь -ого ступеня.

Корінь -ого ступеняу складі — це число, -ая ступінь якого дорівнює, тобто.

рівносильно.

Якщо - парно, то:

• при негативному, вираз не має сенсу (коріння парного ступеня з негативних чисел витягти не можна!);
• при невід'ємному() Вираз має один невід'ємний корінь.

Якщо - непарно, то вираз має єдиний корінь за будь-якого.

Не лякайтеся, тут діють такі ж принципи, що і з квадратним і кубічним корінням. Тобто принципи, які ми застосовували при розгляді квадратних коренів, поширюємо на всі корені парного ступеня.

А ті властивості, які застосовували для кубічного кореня, поширюються на корені непарного ступеня.

Ну що, стало зрозуміліше? Давайте розбиратися на прикладах:

Тут все більш-менш зрозуміло: спочатку дивимося - ага, ступінь - парна, під коренем число позитивне, значить наше завдання - знайти таке число, четвертий ступінь якого дасть нам. Ну, чи є припущення? Може? Точно, !

Так, ступінь дорівнює - непарна, під коренем число негативне. Наше завдання – знайти таке число, при зведенні якого у ступінь виходить. Відразу помітити корінь досить важко. Однак можна відразу звузити область пошуку, правда? По-перше, безперечно шукане число негативно, а по-друге, можна помітити, що - непарне, а значить і число, що шукається - непарне. Спробуй підібрати коріння. Звичайно ж, і можна сміливо відкидати. Може?

Так, це те, що ми шукали! Зауваж, що з спрощення розрахунку ми користувалися властивостями ступенів: .

Основні властивості коренів

Зрозуміло? Якщо ні, то розглянувши приклади, все має стати на свої місця.

Розмноження коренів

Як множити коріння? На це питання допомагає відповісти найпростіша та базова властивість:

Почнемо з простенького:

Коріння з чисел, що вийшло, рівно не витягуються? Не біда – ось вам такі приклади:

А якщо множників не два, а більше? Теж саме! Формула множення коренів працює з будь-якою кількістю множників:

Що ми можемо зробити з ним? Ну звичайно, сховати трійку під коренем, пам'ятаючи при цьому, що трійка - корінь квадратний!

Навіщо нам це потрібне? Так просто, щоб розширити наші можливості при вирішенні прикладів:

Як тобі така властивість коріння? Істотно спрощує життя? На мене, так точно! Тільки треба пам'ятати, що вносити під знак кореня парного ступеня ми можемо лише позитивні числа.

Подивимося, де це ще може стати в нагоді. Наприклад, у задачі вимагають порівняти два числа:

Що більше:

Відразу і не скажеш. Ну що, скористаємось розібраною властивістю внесення числа під знак кореня? Тоді вперед:

Ну і, знаючи, що чим більше число під знаком кореня, тим більше корінь! Тобто. якщо, отже, . Звідси твердо робимо висновок, що. І ніхто не переконає нас у протилежному!

До цього ми вносили множник під знак кореня, а як його винести? Треба просто розкласти його на множники та витягти те, що витягується!

Можна було піти іншим шляхом і розкласти на інші множники:

Непогано, правда? Будь-який із цих підходів вірний, вирішуй як тобі зручно.

Ось, наприклад, такий вираз:

У цьому прикладі ступінь парний, а якщо він буде непарний? Знову ж таки, застосуй властивості ступеня і розклади все на множники:

З цим начебто все ясно, а от як витягти корінь з числа в міру? Ось, наприклад, таке:

Досить просто, правда? А якщо ступінь більше двох? Дотримуємося тієї ж логіки, використовуючи властивості ступенів:

Ну як усе зрозуміло? Тоді такий приклад:

Це підводне каміння, про них завжди варто пам'ятати. Це і є відображення на прикладах якості:

Зрозуміло? Закріплюй на прикладах:

Ага, бачимо, корінь парною мірою, негативне число під коренем теж парною мірою. Ну і те саме виходить? А ось що:

От і все! Тепер такі приклади:

Вловив? Тоді наперед вирішувати приклади.

приклади.

Відповіді.

Якщо отримав відповіді, можна зі спокійною душею рухатися далі. Якщо ні, то давай розберемося в цих прикладах:

Подивимося на дві інші властивості коренів:

Ці властивості обов'язково треба розбирати на прикладах. Ну що, займемося цим?

Розібрався? Давай закріпимо.

приклади.

Відповіді.

КОРНІ І ЇХ ВЛАСТИВОСТІ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Арифметичний квадратний корінь

Рівняння має два рішення: в. Це числа, квадрат яких дорівнює.

Розглянемо рівняння. Вирішимо його графічно. Намалюємо графік функції та лінію на рівні. Крапки перетину цих ліній і будуть рішеннями. Бачимо, що й у цього рівняння два рішення – одне позитивне, інше негативне:

Але в даному випадку рішення не є цілими числами. Більше того, вони не є раціональними. Щоб записати ці ірраціональні рішення, ми вводимо спеціальний символ квадратного кореня.

Арифметичний квадратний корінь- Це невід'ємне число, квадрат якого дорівнює. При виразі не визначено, т.к. немає такого числа, квадрат якого дорівнює негативному числу.

Корінь із квадрата: .

Наприклад, . А слід, що або.

Ще раз звертаю увагу, це дуже важливо: Квадратний корінь – це завжди невід'ємне число: !

Кубічний коріньу складі — це число, куб якого дорівнює. Кубічний корінь визначено всім. Його можна витягти з числа: . Як бачимо, він може набувати і негативних значень.

Корінь -ой ступеня у складі — це число, -я ступінь якого дорівнює, тобто.

Якщо – парно, тоді:

• якщо, то корінь -ого ступеня a не визначений.
• якщо, то невід'ємний корінь рівняння називається арифметичним коренем -ой ступеня і позначається.

Якщо - непарно, тоді рівняння має єдиний корінь за будь-якого.

Ти помітив, що ліворуч від знаку кореня ми пишемо його ступінь? Але не для квадратного кореня! Якщо бачиш корінь без ступеня, то він квадратний (ступеня).

приклади.

Основні властивості коренів

КОРНІ І ЇХ ВЛАСТИВОСТІ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Квадратним коренем (арифметичним квадратним коренем)з невід'ємного числа називається таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює

Властивості коріння: