Функція розподілу безперервної випадкової величини x. Функції розподілу випадкової величини

Щоб визначити функції розподілу випадкових величин та його змінних, необхідно вивчити всі особливості даної галузі знань. Існує кілька різних методів для знаходження розглянутих значень, включаючи зміну змінної та генерування моменту. Розподіл - таке поняття, основою якого лягли такі елементи, як дисперсія, варіації. Однак вони характеризують лише ступінь розмаху розсіювання.

Більш важливими функціями випадкових величин є ті, які пов'язані та незалежні, і однаково розподілені. Наприклад, якщо X1 - вага випадково обраного індивідуума з популяції самців, X2 - вага іншого, ..., а Xn - вага ще однієї людини з чоловічого населення, тоді необхідно дізнатися, як випадкова функція X розподіляється. І тут застосовна класична теорема, звана центральної граничної. Вона дозволяє показати, що при великих n функція слідує стандартним розподілам.

Функції однієї випадкової змінної

Центральна гранична теорема призначена для апроксимації дискретних значень, що розглядаються, таких як біномне і Пуассона. Функції розподілу випадкових величин розглядаються насамперед на простих значеннях однієї змінної. Наприклад, якщо X є безперервною випадковою величиною, що має власний розподіл ймовірності. В даному випадку досліджується, як знайти функцію щільності Y, використовуючи два різні підходи, а саме метод функції розподілу та зміни змінної. Спочатку розглядаються лише взаємно однозначні значення. Потім необхідно модифікувати техніку зміни змінної, щоб знайти її можливість. Нарешті, потрібно дізнатися, як кумулятивного розподілу може допомогти моделювати випадкові числа, які йдуть за певними послідовними схемами.

Методика розподілу значень, що розглядаються

Метод функції розподілу ймовірностей випадкової величини застосовується для того, щоб знайти її щільність. З використанням цього способу обчислюється кумулятивне значення. Потім, диференціюючи його, можна отримати густину ймовірності. Тепер за наявності методу функції розподілу можна розглянути ще кілька прикладів. Нехай X - безперервна випадкова величина з певною густиною ймовірності.

Якою є функція щільності ймовірності від x2? Якщо подивитися або побудувати графік функції (згори та праворуч) у = х2, можна відзначити, що вона є зростаючою X та 0

В останньому прикладі велику обережність використовували для індексування кумулятивних функцій і щільності ймовірності або за допомогою X або Y, щоб вказати, до якої випадкової змінної вони належали. Наприклад, при знаходженні кумулятивної функції розподілу Y отримали X. Якщо необхідно знайти випадкову величину X та її щільність, її просто потрібно диференціювати.

Техніка зміни змінних

Нехай X - безперервна випадкова величина, задана функцією розподілу із загальним знаменником f(x). У цьому випадку, якщо помістити значення y до X = v (Y), то вийде значення x, наприклад v (y). Тепер потрібно отримати функцію розподілу безперервної випадкової величини Y. Де перша і друга рівність має місце з визначення кумулятивної Y. Третя рівність виконується тому, що частини функції, для якої u (X) ≤ y, також вірно, що X ≤ v (Y ). І останнє виконується визначення ймовірності в безперервної випадкової величині X. Тепер потрібно взяти похідну від FY (y), кумулятивної функції розподілу Y, щоб отримати щільність ймовірності Y.

Узагальнення функції зменшення

Нехай X - безперервна випадкова величина із загальним f(x), визначена над c1

Для вирішення цього питання можна збирати кількісні дані та використовувати емпіричну кумулятивну функцію розподілу. Маючи цю інформацію та апелюючи нею, потрібно комбінувати зразки коштів, стандартні відхилення, медіадані тощо.

Аналогічно навіть досить проста імовірнісна модель може мати величезну кількість результатів. Наприклад, якщо перевернути монету 332 рази. Тоді число одержуваних результатів від переворотів більше, ніж у google (10100) - число, але не менше 100 квінтильйонів разів вище за елементарні частинки у відомому всесвіті. Не цікавим є аналіз, який дає відповідь на кожен можливий результат. Потрібна простіша концепція, така як кількість головок або найдовший хід хвостів. Щоб зосередити увагу на питаннях, що становлять інтерес, приймається певний результат. Визначення у разі наступне: випадкова величина є речової функцією з імовірнісним простором.

Діапазон S випадкової величини іноді називають простором станів. Таким чином, якщо X - значення, що розглядається, то так N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc і так далі. Остання їх, округляючи X до найближчого цілого числа, називають функцією статі.

Функції розподілу

Як тільки визначена функція розподілу випадкової величини х, що цікавить, питання зазвичай стає наступним: «Які шанси, що X потрапляє в якесь підмножина значень B?». Наприклад, B = (непарні числа), B = (більше 1) або B = (між 2 і 7), щоб вказати ці результати, які мають X, значення випадкової величини, у підмножині А. Таким чином, у наведеному вище прикладі можна описати події в такий спосіб.

(X - непарне число), (X більше 1) = (X> 1), (X знаходиться між 2 і 7) = (2

Випадкові змінні та функції розподілу

Таким чином, можна обчислити ймовірність того, що функція розподілу випадкової величини x набуде значення в інтервалі шляхом віднімання. Необхідно подумати про включення чи виключення кінцевих точок.

Будемо називати випадкову змінну дискретною, якщо вона має кінцевий чи лічильний нескінченний простір станів. Таким чином, X - число голівок на трьох незалежних фліпсах зміщеної монети, яка піднімається з ймовірністю p. Потрібно знайти кумулятивну функцію розподілу дискретної випадкової величини FX для X. Нехай X - кількість піків у колекції трьох карт. То Y = X3 через FX. FX починається з 0, закінчується на 1 і не зменшується із збільшенням значень x. Кумулятивна FX функція розподілу дискретної випадкової величини X є постійною, крім стрибків. При стрибку FX є безперервною. Довести твердження про правильну безперервність функції розподілу з якості ймовірності можна за допомогою визначення. Звучить воно так: стала випадкова величина має кумулятивну FX, яка диференційована.

Щоб показати, як це може статися, можна навести приклад: мета з поодиноким радіусом. Імовірно. дротик рівномірно розподіляється на вказану область. Для деякого > 0. Таким чином, функції розподілу безперервних випадкових величин плавно збільшуються. FX має властивості функції розподілу.

Людина чекає на автобус на зупинці, поки той не прибуде. Вирішивши собі, що відмовиться, коли очікування досягне 20 хвилин. Тут необхідно знайти кумулятивну функцію розподілу для T. Час, коли людина ще перебуватиме на автовокзалі або не піде. Попри те що, що кумулятивна функція розподілу визначено кожної випадкової величини. Все одно досить часто будуть використовуватися інші характеристики: маса дискретної змінної і функція щільності розподілу випадкової величини. Зазвичай виводиться значення через одне із цих двох значень.

Масові функції

Ці значення розглядаються такими властивостями, які мають загальний (масовий характер). Перше полягає в тому, що ймовірності не негативні. Друге випливає зі спостереження, що набір всім x=2S, простір станів для X, утворює розбиття ймовірнісної свободи X. Приклад: кидки необ'єктивної монети, результати якої незалежні. Можна продовжувати виконувати певні дії, доки не вийде кидок голів. Нехай X означає випадкову величину, яка дає кількість хвостів перед першою головою. А p означає ймовірність у будь-якій заданій дії.

Отже, масова функція ймовірності має такі характерні ознаки. Оскільки члени утворюють чисельну послідовність, X називається геометричною випадковою величиною. Геометрична схема c, cr, cr2,. crn має суму. І, отже, sn має межу за n 1. У цьому випадку нескінченна сума є межею.

Функція маси вище утворює геометричну послідовність із ставленням. Отже, натуральних чисел a та b. Різниця значень функції розподілу дорівнює значенню масової функції.

Розглянуті значення густини мають визначення: X - випадкова величина, розподіл FX якої має похідну. FX, що задовольняє Z xFX(x) = fX(t) dt-1, називається функцією щільності ймовірності. А X називається безперервною випадковою величиною. В основній теоремі обчислення функція густини є похідною розподілу. Можна обчислити ймовірність шляхом обчислення певних інтегралів.

Оскільки збираються дані щодо кількох спостережень, то слід розглядати більше однієї випадкової величини за раз, щоб моделювати експериментальні процедури. Отже, безліч цих значень та їх спільний розподіл для двох змінних X1 та X2 означає перегляд подій. Для дискретних випадкових величин визначаються спільні ймовірні масові функції. Для безперервних розглядаються fX1, X2 де спільна щільність ймовірності задовольняється.

Незалежні випадкові змінні

Дві випадкові величини X1 і X2 незалежні, якщо будь-які дві пов'язані з ними події такі самі. У словах ймовірність того, що дві події (X1 2 B1) і (X2 2 B2) відбуваються одночасно, y дорівнює добутку змінних зазначених вище, кожна з них відбувається індивідуально. Для незалежних дискретних випадкових величин є спільна ймовірна масова функція, яка є добутком граничного обсягу іонів. Для безперервних випадкових величин, що є незалежними, спільна функція щільності ймовірності - добуток значень граничної щільності. На закінчення розглядаються n незалежні спостереження x1, x2,. , xn, що виникають з невідомої густини або масової функції f. Наприклад, невідомий параметр у функціях експоненційної випадкової величини, що описує час очікування автобуса.

Імітація випадкових змінних

Основна мета цієї теоретичної галузі – надати інструменти, необхідні для розробки аналітичних процедур, заснованих на обґрунтованих засадах статистичної науки. Таким чином, одним із дуже важливих варіантів застосування програмного забезпечення є здатність генерувати псевдодані для імітації фактичної інформації. Це дає можливість тестувати та вдосконалювати методи аналізу перед необхідністю використання їх у реальних базах. Це потрібно для того, щоб досліджувати властивості даних за допомогою моделювання. Для багатьох сімейств, що часто використовуються, випадкових величин R надає команди для їх створення. Для інших обставин знадобляться методи моделювання послідовності випадкових незалежних величин, які мають загальний розподіл.

Дискретні випадкові змінні та зразок Command. Команда sample використовується для створення простих та стратифікованих випадкових вибірок. В результаті, якщо вводиться послідовність x, sample (x, 40) вибирає 40 записів x таким чином, що всі варіанти розміру 40 мають однакову ймовірність. Це використовує команду R за промовчанням для вибірки без заміни. Можна також використовувати для моделювання дискретних випадкових величин. Для цього потрібно надати простір станів у векторі x та масової функції f. Виклик для replace = TRUE вказує, що семплювання відбувається із заміною. Потім, щоб дати зразок з n незалежних випадкових величин, що мають загальну масову функцію f, використовується зразок (x, n, replace = TRUE, prob = f).

Визначено, що є найменшим представленим значенням, а 4 є найбільшим з усіх. Якщо команда prob = f опущена, зразок вибиратиме рівномірно зі значень у векторі x. Перевірити симуляцію проти масової функції, що генерувала дані, можна звернути увагу на знак подвійної рівності ==. І перерахувавши спостереження, які приймають кожне можливе значення x. Можна зробити таблицю. Повторити це для 1000 та порівняти моделювання з відповідною функцією маси.

Ілюстрування трансформації ймовірності

Спочатку змоделювати однорідні функції розподілу випадкових величин u1, u2,. , un на інтервалі. Близько 10% чисел має бути в межах. Це відповідає 10% симуляцій на інтервалі для випадкової величини з наведеною функцією розподілу FX. Так само близько 10% випадкових чисел має перебувати в інтервалі. Це відповідає 10% симуляції на інтервалі випадкової величини з функцією розподілу FX. Ці значення на вісь x може бути отримана з взяття зворотної від FX. Якщо X - безперервна випадкова величина із щільністю fX, позитивною усюди у своїй області, то функція розподілу строго зростає. У цьому випадку FX має зворотну функцію FX-1, відому як функція квантилю. FX(x) u тільки тоді, коли x FX-1(u). Перетворення ймовірності випливає з аналізу випадкової змінної U = FX(X).

FX має діапазон від 0 до 1. Він не може набувати значення нижче 0 або вище 1. Для значень u між 0 і 1. Якщо можна моделювати U, то необхідно імітувати випадкову величину з розподілом FX через функцію квантилю. Взяти похідну, щоб побачити, що густина u варіюється в межах 1. Оскільки випадкова величина U має постійну густину за інтервалом своїх можливих значень, вона називається рівномірною на відрізку . Він моделюється в R за допомогою команди runif. Ідентичність називається імовірнісним перетворенням. Видно, як воно працює у прикладі з дротильною дошкою. X між 0 та 1, функція розподілу u = FX (x) = x2, і, отже, функція квантилю x = FX-1 (u). Можна моделювати незалежні спостереження відстані від центру панелі дротика, і створюючи у своїй рівномірні випадкові величини U1, U2,. , Un. Функція розподілу та емпірична базуються на 100 симуляціях розподілу дартс-дошки. Для експоненційної випадкової величини, ймовірно, u = FX (x) = 1 - exp (- x), і, отже, x = - 1 ln (1 - u). Іноді логіка складається з еквівалентних тверджень. І тут потрібно об'єднати дві частини аргументу. Тотожність з перетином аналогічна всім 2 (S i i) S, замість деякого значення. Об'єднання Ci дорівнює простору станів S і кожна пара взаємно виключена. Оскільки Bi - розбита на три аксіоми. Кожна перевірка ґрунтується на відповідній ймовірності P. Для будь-якого підмножини. Використовуючи тотожність, переконайтеся, що відповідь не залежить від того, чи включені кінцеві точки інтервалу.

Експоненційна функція та її змінні

Для кожного результату у всіх подіях зрештою використовується друга властивість безперервності ймовірностей, яка вважається аксіоматичною. Закон розподілу функції випадкової величини тут показує, що кожен має своє рішення і відповідь.

14. Функція розподілу випадкової величини, її визначення, властивості та графік. приклади.

Числова величина, яка набирає те чи інше значення в результаті реалізації випробування випадковим чином, називається випадковою величиною.

Якщо x - дискретна випадкова величина, що набуває значення x1< x2 < … < xi < … с вероятностями p1 < p2 < … < pi < …, то таблица вида

називається .

Властивості функції розподілу.

Доказ:Це твердження випливає з того, що функція розподілу - це ймовірність, а як відомо.

2. Функція розподілу випадкової величини є незменшуюча функція по всій числової осі.

Доказ:Нехай х 1 (3)

Оскільки Р(x 1 Х

4 . Р(х 1 Х (4)

Доказ:це безпосередньо випливає з формули (3).

Приклад:Знайти ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення в інтервалі )