Гамма розподіл приклади в медицині. Практика застосування гамма-розподілу у теорії надійності технічних систем

ОСНОВНІ ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ НЕПРЕРИВНИХ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Нормальний закон розподілу та її значення в теорії ймовірностей. Логарифмічно нормальний закон. Гамма-розподіл. Експоненційний закон та його використання в теорії надійності, теорії черг. Рівномірний закон. Розподіл. Розподіл Стьюдента. Розподіл Фішера.

1. Нормальний закон розподілу (закон Гауса).

Щільність ймовірності нормально розподіленої випадкової величини виражається формулою:

. (8.1)

На рис. 16 представлена ​​крива розподілу. Вона симетрична щодо

Рис. 16 Мал. 17

крапки (точка максимуму). У разі зменшення ординату точки максимуму необмежено зростає. При цьому крива пропорційно сплющується вздовж осі абсцис, тому площа її під графіком залишається рівною одиниці (рис. 17).

Нормальний закон розподілу дуже поширений у завданнях практики. Пояснити причини поширення нормального закону розподілу вперше вдалося Ляпунову. Він показав, що й випадкова величина може розглядатися як сума великої кількості малих доданків, то за досить загальних умов закон розподілу цієї випадкової величини близький до нормального незалежно від цього, які закони розподілу окремих доданків. Оскільки практично випадкові величини найчастіше бувають результатом дії великої кількості різних причин, то нормальний закон виявляється найпоширенішим законом розподілу (докладніше звідси див. главу 9). Вкажемо числові характеристики нормально розподіленої випадкової величини:

Таким чином, параметри та у виразі (8.1) нормального закону розподілу являють собою математичне очікування та середнє квадратичне відхилення випадкової величини. Зважаючи на це, формулу (8.1) можна переписати таким чином:

.

Ця формула показує, що нормальний закон розподілу повністю визначається математичним очікуванням та дисперсією випадкової величини. Таким чином, математичне очікування та дисперсія повністю характеризують нормально розподілену випадкову величину. Зрозуміло, що у випадку, коли характер закону розподілу невідомий, знання математичного очікування і дисперсії недостатньо визначення цього закону розподілу.

Приклад 1. Обчислити ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина задовольняє нерівність.

Рішення. Користуючись властивістю 3 густини ймовірності (глава 4, п. 4), отримуємо:

.

,

де – функція Лапласа (див. додаток 2).

Зробимо деякі числові розрахунки. Якщо покласти в умовах прикладу 1, то

Останній результат означає, що з ймовірністю, близькою до одиниці (), випадкова величина, що підкоряється нормальному закону розподілу, не виходить за межі інтервалу . Це твердження має назву правила трьох сигм.

Нарешті, якщо , то випадкова величина, розподілена за нормальним законом з такими параметрами, називається стандартизованою нормальною величиною. На рис. 18 зображено графік густини ймовірності цієї величини .

2. Логарифмічно нормальний розподіл.

Кажуть, що випадкова величина має логарифмічно нормальний розподіл (скорочено логнормальний розподіл), якщо її логарифм розподілено нормально, тобто якщо

де величина має нормальний розподіл із параметрами , .

Щільність логнормального розподілу визначається наступною формулою:

, .

Математичне очікування та дисперсію визначають за формулами

,

.

Крива розподілу наведено на рис. 19.

Логарифмічно нормальний розподіл зустрічається у низці технічних завдань. Воно дає розподіл розмірів частинок при дробленні, розподіл вмісту елементів та мінералів у вивержених гірських породах, розподіл чисельності риб у морі тощо. Воно зустрічається у всіх

тих завданнях, де логарифм аналізованої величини можна як суми великої кількості незалежних рівномірно малих величин:

,

тобто. де незалежні.

Гамма-розподіл

Гамма-розподіл є двопараметричним розподілом. Воно займає досить важливе місце в теорії та практиці надійності. Щільність розподілу має обмеження з одного боку. Якщо параметр а форми кривої розподілу набуває цілого значення, це свідчить про ймовірність появи такого самого числа подій (наприклад, відмов)

за умови, що вони незалежні і з'являються з постійною інтенсивністю (див. рис. 4.4).

Гамма-розподіл широко застосовують при описі появи відмов старіючих елементів, часу відновлення, напрацювання на відмову резервованих систем. При різних параметрах гамма-розподіл набуває різноманітних форм, що пояснює його широке застосування.

Щільність ймовірності гамма-розподілу визначається рівністю

де > 0, α > 0.

Криві густини розподілу наведені на рис. 4.5.

Рис. 4.5.

Функція розподілу

Математичне очікування та дисперсія рівні відповідно

При α< 1 интенсивность отказов монотонно убывает, что соответствует периоду приработки изделия, при α >1 – зростає, що притаманно періоду зношування і старіння елементів.

При α = 1 гамма-розподіл збігається з експонентним розподілом, при α > 10 гамма-розподіл наближається до нормального закону. Якщо ж приймає значення довільних цілих позитивних чисел, то такий гамма-розподіл називають розподілом Ерланга.Якщо λ = 1/2, а значення кратно 1 /2, то гамма-розподіл збігається з розподілом χ2 ( хі-квадрат).

Встановлення функції розподілу показників надійності за результатами обробки даних статистичної інформації

Найбільш повною характеристикою надійності складної системи є закон розподілу,виражений у вигляді функції розподілу, густини розподілуабо функції надійності

Про вид теоретичної функції розподілу можна судити з емпіричної функції розподілу (рис. 4.6), що визначається із співвідношення

де т, –кількість відмов на інтервалі часу t; N –обсяг випробувань; t i < t < t i+1 – інтервал часу, у якому визначають емпіричну функцію.

Рис. 4.6.

Побудову емпіричної функції здійснюють, виконуючи підсумовування прирощень, отриманих кожному інтервалі часу:

де k –кількість інтервалів.

Емпірична функція надійності є функцією, протилежною до функції розподілу; її визначають за формулою

Оцінку густини ймовірності знаходять за гістограмою. Побудова гістограми зводиться до наступного. Всю область значень часу tрозбивають на інтервали t 1, t 2, ..., t i для кожного з них здійснюють оцінку щільності ймовірності за формулою

де т i – кількість відмов на i-м інтервалі, i = 1, 2,..., k; (t i+1 – t i) – відрізок часу i-го інтервалу; N- Обсяг випробувань; k- Число інтервалів.

Приклад гістограми наведено на рис. 4.7.

Рис. 4.7.

Згладжуючи ступінчасту гістограму плавною кривою, але її вигляду можна судити про закон розподілу випадкової величини. У практиці для згладжування кривої часто використовують метод найменших квадратів. Для більш точного встановлення закону розподілу необхідно, щоб кількість інтервалів була не меншою за п'ять, а кількість реалізацій, що потрапляють у кожен інтервал, – не менше десяти.

Різночитання у розумінні термінології надійності

Проблема термінології є досить складною у різних галузях науки та людської діяльності в цілому. Відомо, що суперечки про терміни ведуться багато століть. Якщо торкнутися перекладів віршів, можна побачити яскраве підтвердження цієї думки. Наприклад, переклади такого всесвітньо відомого шедевра, як "Гамлет", у Б. Л. Пастернака та Π. П. Гнедича різко відрізняються. У першого їх сенс трагедії переважує музику вірша, на відміну другого. А оригінал "Гамлета", написаний мовою XVI ст., важкий для розуміння неанглійцям, та й англійцям теж, оскільки сама мова сильно еволюціонувала за кілька століть, як, власне, і будь-яка інша мова відповідно до закону синхронізму-десинхронізму.

Аналогічна картина спостерігається у світових релігіях. Переклад Біблії з церковнослов'янської на російську мову, що тривав 25 років, "розвів" (аж до зупинки перекладу) святителя Філарета Московського (Дроздова) та найбільшого церковного письменника – святителя Феофана Затворника (найближчим часом заплановано видання зібрання його творів у 42 т.). ). Переклади та уточнення "книги книг" Біблії "переводять" людей у ​​табори непримиренних ворогів у житті в нашому світі. Народжуються секти, єретики та герої, іноді навіть ллється кров. А численні переклади на російську мову основоположної у сфері філософії роботи Іммануїла Канта "Критика чистого розуму" лише зміцнюють справедливість нашої тези про складність проблеми термінології (надвелика система) у різних галузях науки та людської діяльності загалом.

Антиномічні явища мають місце у галузі науки і техніки. Одне з вирішення проблеми забезпечення коректності та адекватності термінології виклав Г. Лейбніц. Він у плані розвитку науки і техніки XVII ст. пропонував для припинення спорів давати визначення термінів за допомогою універсальної мови у цифровій формі (0011...).

Зазначимо, що у науці про надійність шлях визначення термінів традиційно вирішується державному рівні з допомогою державних стандартів (ГОСТов). Однак поява все більш високоінтелектуальних технічних систем, взаємодія та зближення живих і неживих об'єктів, що в них функціонують, ставить нові, дуже важкі завдання навчання у педагогіці та психології, змушує шукати творчі компромісні рішення.

У зрілого і попрацював у конкретній науковій галузі, і зокрема у сфері надійності, співробітника актуальність питань термінології не викликає сумнівів. Як писав Готфрід Вільгельм Лейбніц (у роботі про створення універсальної мови), суперечок було б менше, якби терміни було визначено.

Різночитання у розумінні термінології надійності спробуємо згладити наступними зауваженнями.

Ми говоримо "функція розподілу" (ФР), опускаючи слово "напрацювання" або "відмова". Напрацювання найчастіше сприймається як категорія часу. Для невідновлюваних систем за змістом більш правильно треба говорити – інтегральна ФР напрацювання до відмови, а для відновлюваних – напрацювання на відмову. Оскільки напрацювання найчастіше розуміють як випадкову величину, застосовується ототожнення ймовірності безвідмовної роботи (ВБР) і (1 – ФР), званої у разі функцією надійності (ФН). Цілісність такого підходу досягається за рахунок повної групи подій. Тоді

ВБР = ФН = 1 - ФР.

Те саме справедливо щодо щільності розподілу (ПР), яка є першою похідною від ФР, зокрема за часом, і образно кажучи, характеризує "швидкість" появи відмов.

Повнота опису надійності виробу (зокрема, для виробів разового застосування), що включає динаміку стійкості поведінки, характеризується інтенсивністю відмов через відношення ПР до ВБР і фізично розуміється як зміна стану виробу, а математично – введена в теорії масового обслуговування через поняття потоку відмов та ряд припущень щодо самих відмов (стаціонарність, ординарність та ін.).

Цікавляться цими питаннями, що виникають при виборі показників надійності на етапі проектування виробів, можна надіслати до праць таких іменитих авторів, як О. М. Половко, Б. В. Гнєденко, Б. Р. Левін – вихідців з лабораторії надійності при Московському університеті, керованому А. Н. Колмогоровим, а також А. Я. Хінчина, E. С. Венцель, І. А. Ушакова, Г. В. Дружініна, А. Д. Соловйова, Ф. Байхельта, Ф. Прошана – засновників статистичної теорії надійності .

• Див: Колмогоров А. Н.Основні поняття теорії ймовірностей. М.: Світ, 1974.

Найпростіший вид гамма-розподілу - це розподіл із щільністю

де - Параметр зсуву, - Гамма-функція, тобто.

(2)

Кожен розподіл можна "розгорнути" у масштабно-зсувне сімейство. Справді, для випадкової величини, що має функцію розподілу, розглянемо сімейство випадкових величин , де - параметр масштабування, а - параметр зсуву. Тоді функція розподілує .

Включаючи кожен розподіл із щільністю виду (1) у масштабно-зсувне сімейство, отримуємо прийняту в параметризацію сімейства гамма-розподілів:

Тут - параметр форми, - параметр масштабу, - параметр зсуву, гамма-функція визначається формулою (2).

У літературі є інші параметризации. Так, замість параметра часто використовують параметр . Іноді розглядають двопараметричне сімейство, опускаючи параметр зсуву, але зберігаючи параметр масштабу або його аналог параметр . Для деяких прикладних завдань (наприклад, при вивченні надійності технічних пристроїв) це виправдано, оскільки з змістовних міркувань природним прийняти, що щільність розподілу ймовірностей позитивна для позитивних значень аргументу і тільки для них. З цим припущенням пов'язана багаторічна дискусія в 80-х роках про "призначення показників надійності", на якій не будемо зупинятися.

Окремі випадки гамма-розподілу при певних значеннях параметрів мають спеціальні назви. При маємо експоненційний розподіл. При натуральномігам-розподіл - це розподіл Ерланга, що використовується, зокрема, в теорії масового обслуговування. Якщо випадкова величина має гамма-розподіл з параметром форми таким, що - ціле число, і, має розподіл хі-квадрат з ступенями свободи.

Області застосування гамма-розподілу

Гамма-розподіл має широкі додатки у різних галузях технічних наук (зокрема, у надійності та теорії випробувань), у метеорології, медицині, економіці. Зокрема, гамма-розподілу можуть бути підпорядковані загальний термін служби виробу, довжина ланцюжка струмопровідних порошин, час досягнення виробом граничного стану при корозії, час напрацювання до відмови і т.д. . Тривалість життя хворих на хронічні захворювання, час досягнення певного ефекту при лікуванні в ряді випадків мають гамма-розподіл. Цей розподіл виявився найбільш адекватним для опису попиту в низці економіко-математичних моделей управління запасами.

Можливість застосування гамма-розподілу в ряді прикладних завдань іноді може бути обґрунтована властивістю продуктивності: сума незалежних експоненційно розподілених випадкових величин з одним і тим же параметром має гамма-розподіл з параметрами форми, масштабу та зсуву. Тому гамма-розподіл часто використовують у прикладних областях, у яких застосовують експоненціальний розподіл.

Різним питанням статистичної теорії, пов'язаним із гамма-розподілом, присвячені сотні публікацій (див. зведення). У цій статті, яка не претендує на всеосяжність, розглядаються лише деякі математико-статистичні завдання, пов'язані з розробкою державного стандарту.

Розглянемо щільність

Параметри розподілу. Розподіл із такою щільністю називається гамма розподіл. Наведемо графік щільності цього розподілу при

Величина

розглядається як функція змінної

називається гамма-функцією і має такі, що легко доводять властивості

Цей розподіл позначається

Гама розподіл узагальнює експоненційний розподіл і перетворюється на нього при

Гамма розподіл із цілим параметром

називається розподіл Ерлангапорядку і позначається

Розподіл

де n - ціле, називається розподіл хі-квадраті позначається

Побудова заходу в кінцевому просторі Борелевська сигма-алгебра в кінцевому просторі

Борелівська сигма-алгебра на просторі дійсних векторів визначається аналогічно до борелівської сигма-алгебри на прямій із заміною прямокутників.

на паралелепіпеди

Позначимо її

Ця сигма-алгебра містить усі практично важливі множини векторів. Безліч, що належить борелівській сигма-алгебри, називається борелівське безліч.

Визначення випадкового вектора

основний імовірнісний простір

простір векторів з борелівської сигма-алгеброю

Імовірнісний захід, визначений на борелівській сигма-алгебрі за формулою

називається розподілом випадкового вектора.

випадковий вектор і

називається функція розподілу (інакше - спільна функція розподілу) випадкового вектора

Аналогічно одновимірному випадку визначаються дискретні та безперервні випадкові вектори та їх розподіли.

Щільність розподілу випадкового вектора f(x) – це функція, яка задовольняє умову

Міра Лебега в кінцевому просторі

Міра Лебега в кінцевому просторі це міра, що приписує паралелепіпеду його обсяг. Зокрема, міра Лебега прямокутника це його площа.

Мера Лебега на квадраті - Завдання про зустріч

Розглянемо таке завдання.

Двоє людей домовилися зустрітися в певному місці протягом години і чекати один на одного не більше 10 хвилин. Знайти ймовірність того, що вони зустрінуться, якщо момент приходу кожного зовсім випадковий.

Для вирішення завдання збудуємо наступну імовірнісну модель. Результатом досвіду є вектор

де перша координата – момент приходу першої людини, друга – момент приходу другої. Сигма-алгебра - всі борелівські підмножини одиничного (1 година = 1 одиниця часу) квадрата. Припущення про досконалу випадковість моментів приходу призводить до ймовірнісної міри, яка приписує кожній множині одиничного квадрата його площу. Цей захід називається міра Лебега на квадраті. Підрахуємо ймовірність цікавої для нас події. Двоє людей зустрінуться, якщо

Площа цієї похилої смуги

Незалежні випадкові величини

Випадкові величини

,

задані на одному ймовірнісному просторі, називаються незалежними, якщо для будь-яких борелівських множин

Невід'ємна випадкова величина має гамма-розподілякщо її щільність розподілу виражається формулою

де і , – гамма-функція:

Таким чином, гамма-розподілє двопараметричним розподілом, він займає важливе місце в математичній статистиці та теорії надійності. Цей розподіл має обмеження з одного боку.

Якщо параметр форми кривої розподілу – ціле число, то гамма-распределение описує час, необхідне появи подій (відмов), за умови, що вони незалежні і виникають постійної інтенсивністю .

У більшості випадків цей розподіл описує напрацювання системи з резервуванням відмов старіючих елементів, час відновлення системи з резервуванням відмов старіючих елементів, час відновлення системи і т.д. .

Щільність ймовірності гамма-розподілу визначається рівністю, якщо

Функція розподілу. (9)

Зауважимо, що функція надійності виражається формулою:

Гамма-функція має властивості: , , (11)

звідки випливає, що якщо ціле невід'ємне число, то

Крім того, нам в подальшому буде потрібна ще одна властивість гамма-функції: ; . (13)

приклад.Відновлення радіоелектронної апаратури підпорядковується закону гамма-розподілу з параметрами та . Визначити можливість відновлення апаратури за годину.

Рішення. Для визначення можливості відновлення скористаємося формулою (9) .

Для цілих позитивних значень функції, а при .

Якщо перейти до нових змінних, значення яких буде виражено ; , то отримаємо табличний інтеграл:

У цьому виразі рішення інтеграла у правій частині можна визначити за тією самою формулою:

а при буде

При і нові змінні будуть рівні і , а сам інтеграл дорівнюватиме

Значення функції дорівнюватиме

Знайдемо числові характеристики випадкової величини, підпорядкованої гамма-розподілу

Відповідно до рівності (13) отримаємо . (14)

Другий початковий момент знайдемо за формулою

звідки. (15)

Зауважимо, що з інтенсивність відмов монотонно зменшується, що він відповідає періоду приработки виробу. При інтенсивності відмов зростає, що характеризує період зношування та старіння елементів.

При гамма-розподіл збігається з експоненційним розподілом, при гамма-розподіл наближається до нормального закону. Якщо набуває значення довільних цілих позитивних чисел, то такий гамма-розподіл називають розподілом Ерланга-го порядку:

Тут достатньо лише вказати, що закону Ерланга -го порядку підпорядкована сума незалежних випадкових величин, кожна з яких розподілена за показовим законом із параметром. Закон Ерланга -го порядку тісно пов'язаний зі стаціонарним пуассонівським (найпростішим) потоком з інтенсивністю.

Справді, нехай є такий потік подій у часі (рис. 6).

Рис. 6. Графічне уявлення пуассонівського потоку подій у часі

Розглянемо інтервал часу, що складається із суми інтервалів між подіями у такому потоці. Можна довести, що випадкова величина буде підпорядкована закону Ерланга -го порядку.

Щільність розподілу випадкової величини, розподіленої за законом Ерланга -го порядку, може бути виражена через табличну функцію розподілу Пуассон:

Якщо значення кратно і , то гамма-розподіл збігається з розподілом хі-квадрат.

Зауважимо, що функцію розподілу випадкової величини можна обчислити за такою формулою:

де визначаються виразами (12) та (13).

Отже, мають місце рівності, які нам надалі стануть у нагоді:

приклад.Потік виробів на конвеєрі виробів є найпростішим із параметром. Усі вироблені вироби контролюються, браковані укладаються у спеціальний ящик, у якому міститься трохи більше виробів, ймовірність шлюбу дорівнює. Визначити закон розподілу часу заповнення ящика бракованими виробами та величину , Виходячи з того, щоб ящик з ймовірністю не переповнювався протягом зміни.

Рішення. Інтенсивність найпростішого потоку бракованих виробів буде. Очевидно, що час заповнення ящика бракованими виробами розподілено згідно із законом Ерланга

з параметрами та :

отже (18) і (19): ; .

Число бракованих виробів за час буде розподілено за законом Пуассона з параметром. Отже, шукане число потрібно знаходити з умови. (20)

Наприклад, при [виріб/год]; ; [ч]

з рівняння при

Випадкова величина, що має розподіл Ерланга, має такі числові характеристики (табл. 6).

Таблиця 6

Зауважимо, що випадкова величина, що має нормований розподіл Ерланга-го порядку, має такі числові характеристики (табл. 7).

Таблиця 7