Де виникли негативні числа. Інтерпретація позитивних та негативних чисел

Ми знаємо, що якщо скласти два чи кілька натуральних чисел, то в результаті отримаємо натуральне число. Якщо перемножувати натуральні числа між собою, то в результаті виходять натуральні числа. А які числа будуть у результаті, якщо від одного натурального числа відняти інше натуральне число? Якщо з більшого натурального числа відняти менше, то результат також буде натуральним числом. А яке число буде, якщо від меншого числа відняти більше? Наприклад, якщо з 5 відняти 7. Результат такої дії вже не буде натуральним числом, а буде числом менше за нуль, яке ми напишемо як натуральне, але зі знаком «мінус», так званим, негативним натуральним числом. На цьому уроці ми познайомимося із негативними числами. Тому ми розширюємо множину натуральних чисел, додаючи до нього «0» і цілі негативні числа. Нова розширена безліч складатиметься з чисел:

…-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

Ці числа називаються цілими. Отже, результат прикладу 5 -7 = -2 буде цілим числом.

Визначення. Цілі числа – це натуральні, негативні натуральні та число «0».

Зображення цієї множини ми бачимо на градуснику для вимірювання температури на вулиці.

Температура то, можливо з «мінусом», тобто. негативною, можливо з «плюсом» тобто. позитивною. Температура 0 градусів не позитивна і не негативна, число 0 – межа, яка відокремлює позитивні числа від негативних.

Зобразимо цілі числа на числовій осі.

Малюнок осі

Ми бачимо, що на числовій осі існує безліч чисел. Позитивні та негативні числа розділені між собою банкрутом. Негативні цілі числа, наприклад, -1, читаються як «мінус одиниця» або «негативна одиниця».

Позитивні цілі числа, наприклад "+3" читається як позитивна 3 або просто "три", тобто у позитивних (натуральних) чисел знак "+" не пишеться і слово "позитивне" не вимовляється.

Приклади: познач на числовій осі +5, +6, -7, -3, -1, 0 і т.д.

При русі вправо по числовій осі числа збільшуються, а при русі вліво - зменшуються. Якщо ми хочемо збільшити число на 2, ми рухаємось праворуч по координатній осі на 2 одиниці. Приклад: 0+2=2; 2+2=4; 4+2=6 і т. д. І навпаки, якщо ми хочемо зменшити число на 3 ми рухатимемося вліво на 3 одиниці. Наприклад: 6-3 = 3; 3-3 = 0; 0-3=-3; і т.д.

1. Спробуй збільшити число (-4) за 3 кроки, збільшуючи щоразу на 2 одиниці.

Рухаючись числової осі, як показано малюнку, ми отримаємо в результаті 2.

2. Зменши число 6 за шість кроків, зменшуючи його за кожний крок на 2 одиниці.

3. Збільши число (-1) за три кроки, збільшуючи його на 4 одиниці на кожному кроці.

За допомогою координатної прямої легко порівнювати цілі числа: із двох чисел більше те, що на координатній прямій розташоване правіше, а менше те, що стоїть лівіше.

4. Порівняй числа, поставивши знак > або< , для удобства сравнения изобрази их на координатной прямой:

3 та 2; 0 та -5; -34 та -67; -72 та 0 і т.д.

5. Згадай, як ми відзначали на координатному промені точки з натуральними координатами. Крапки прийнято називати великими латинськими літерами. Намалюй координатну пряму і взявши зручний одиничний відрізок, зобрази точки з координатами:

А) А(10),(20),С(30),М(-10),N(-20)
Б) С(100),В(200),К(300),F(-100)
В) U(1000),Е(2000),R(-3000)

6. Запиши всі цілі числа, розташовані між -8 та 5, між -15 та -7, між -1 та 1.

Порівнюючи числа, ми повинні вміти відповісти на скільки одиниць одне число більше або менше за інше.

Намалюємо координатну пряму. Зобразимо на ній точки з координатами від -5 до 5. Число 3 на дві одиниці менше 5, на одиницю менше 4, на 3 одиниця більше за нуль. Число -1 на одиницю менше за нуль, на 2 одиниці більше -3.

7. Відповідай, на скільки одиниць:

3 менше 4; -2 менше 3; -5 менше -4; 2 більше -1; 0 більше -5; 4 більше -1

8. Намалюй координатну пряму. Випиши 7 чисел, кожне з яких на 2 одиниці менше попереднього, починаючи з 6. Яке у цього ряду останнє число? Скільки може бути всього таких чисел, якщо кількість чисел, що виписуються, не обмежувати?

9. Випиши 10 чисел, кожне з яких на 3 одиниці більше від попереднього починаючи з (-6). Скільки таких чисел може існувати, якщо ряд не обмежуватиме десятьма?

Протилежні числа.

На числовій осі для кожного позитивного числа (або натурального) існує негативне число, розташоване зліва від нуля на такій відстані. Наприклад: 3 та -3; 7 та -7; 11 та -11.

Кажуть, що -3 є протилежним числу 3, і навпаки, -3 протилежно 3.

Визначення: Два числа, які відрізняються один від одного, тільки знаком називаються протилежними.

Ми знаємо, що якщо помножити число на +1, число не зміниться. А якщо число помножити на (-1), що буде? У такої кількості зміниться знак. Наприклад, якщо 7 помножити на (-1) або негативну одиницю, результат буде (-7), число стає негативним. Якщо (-10) помножити на (-1), то отримаємо (+10), тобто отримуємо вже позитивне число. Таким чином, бачимо, що протилежні числа виходять простим множенням вихідного числа на (-1). Ми бачимо на числовій осі, що з кожного числа є лише одне протилежне число. Наприклад, у (4) протилежне буде (-4), у числа (-10) протилежне буде (+10). Спробуймо знайти протилежне число у нуля. Його нема. Тобто. 0 - протилежний самому собі.

А тепер подивимося на числовій осі, що вийде, якщо скласти 2 протилежні числа. Ми отримуємо, що сума протилежних чисел дорівнює 0.

1. Гра: нехай ігрове поле розділене навпіл на два поля: ліве та праве. Між ними проходить розділова риса. На полі є числа. Перехід через межу означає множення на (-1), інакше при переході через роздільну межу число стає протилежним.

Нехай у лівому полі знаходиться число (5). Яке число перетвориться (5), якщо п'ятірка перейде розділову смугу 1 раз? 2 рази? 3 рази?

2. Заповни наступну таблицю:

3. З безлічі пар вибери пари протилежних. Скільки таких пар ти отримав?

9 ; -100; 1009; -63; -7; -9; 3; -33; 25; -1009; -2; 1; 0; 100; 27; 345; -56; -345; 33; 7.

Додавання та віднімання цілих чисел.

Додавання (або знак «+») означає рух праворуч на числовій осі.

1+3 = 4

-1 + 4 = 3
-3 + 2 = -1

Віднімання (або знак»-«) означає рух вліво на числовій осі

3 – 2 = 1
2 – 4 = -2
3 – 6 = -3
-3 + 5 = 2
-2 – 5 = -7
-1 + 6 = 5
1 – 4 = -3

Розв'яжи наступні приклади за допомогою числової осі:

-3+1=
2)-4-1=
-5-1=
-2-7=
-1+3=
-1-4=
-6+7=

У Стародавньому Китаї при складанні рівнянь коефіцієнти зменшуваних і віднімаються записувалися цифрами різного кольору. Прибуток - позначали червоною фарбою, а збитки - синій. Наприклад, продали 3 бики і купили 2 коня. Розглянемо інший приклад: господиня принесла ринку картоплю і продала її за 300 рублів, ці гроші ми додамо до майна господині і напишемо їх як +300(червоне), та був вона витратила 100 рублів (ці гроші ми запишемо как(-100)( сині) Таким чином, вийшло, що господиня повернулася з ринку з прибутком в 200 рублів (або +200) Інакше числа записані червоною фарбою завжди складали, а записані синьою фарбою вичитали За аналогією будемо синьою фарбою позначати негативні числа.

Таким чином, ми можемо усі позитивні числа вважати виграшем, а негативні програшем чи боргом чи втратою.

Приклад: -4 + 9 = +5 результат (+5) можна розглядати як виграш у будь-якій грі; після того, як спочатку було програно 4 очки, а потім виграно 9 очок, то в результаті залишиться виграш у 5 очок. Розв'яжи такі завдання:

11. У грі у лото Петя спочатку виграв 6 очок, потім програв 3 очки, потім знову виграв 2 очки, потім програв 5 очок. Який результат гри у Петі?

12 (*). Мама пожила цукерки у вазочку. Маша з'їла 4 цукерки, Мишко з'їв 5 цукерок, Оля з'їла 3 цукерки. Мама поклала ще у вазочку 10 цукерок, і у вазі стало 12 цукерок. Скільки цукерок було спочатку у вазі?

13. У будинку одна драбина веде з підвалу на другий поверх. Сходи складається з двох прольотів по 15 сходинок кожен (один із підвалу на перший поверх, а другий з першого поверху на другий). Петро був на першому поверсі. Спочатку він піднявся сходами на 7 сходинок вгору, а потім спустився на 13 сходинок вниз. Де опинився Петя?

14. Коник стрибає вздовж числової осі. Один стрибок коника складає 3 поділи на осі. Коник спочатку робить 3 стрибки вправо, а потім 5 стрибків вліво. Де виявиться коник після цих стрибків, якщо спочатку він знаходився в 1) "+1"; 2) "-6"; 3) "0"; 4) "+5"; 5) "-2"; 3»; 7) «-1».

Досі ми звикли до того, що ці числа відповідали на запитання «скільки». Але негативні числа неможливо знайти відповіддю питанням «скільки». У життєвому значенні негативні числа пов'язані з боргом, програшем, з такими діями, як недолив, недострибнув, недоважив і т.д. У всіх цих випадках ми просто віднімаємо борг, програш, недовага. Наприклад,

На запитання « Скільки буде «тисяча без 100»?», ми з 1000 маємо відняти 100 і отримаємо 900.
Вираз «3 години без чверті» – означає, що ми маємо відняти 15 хв з 3 годин. Отримаємо таким чином 2 години 45 хв.

А тепер розв'яжи наступні завдання:

15. Сашко купував 200гр. олії, але недобросовісний продавець недоважив 5 гр. Яку масу олії купив Сашко?

16.На біговій дистанції в 5 км. Володя зійшов із дистанції, не добігши до фінішу 200м. Яку відстань Володя пробіг?

17. Заповнюючи трилітрову банку соком, мама не долила 100мл соку. Скільки соку вийшло у банку?

18. Кіно має розпочатися без двадцяти хвилин вісім. скільки хвилин О котрій годині й у скільки хвилин має початися кіно?

19. У Тані було 200руб. і вона винна Петі 50 руб. Після того, як вона дала борг, скільки грошей залишилося у Тані?

20. Петя з Ванею пішли до магазину. Петро захотів купити книгу за 5 карбованців. Але в нього виявилося лише 3 рублі, і він зайняв у Вані 2 рублі та купив книгу. Скільки грошей виявилося після покупки у Петі?

3 - 5= -2 (з того, що в нього було до покупки віднімемо вартість покупки, отримаємо -2 рублі, тобто два рублі боргу).

21. Вдень температура повітря була 3° тепла або +3°, а вночі 4° морозу або -4°. На скільки градусів знизилася температура? І на скільки градусів нічна температура менша, ніж денна?

22. Таня домовилася зустрітися з Володею без чверті сім. О котрій годині й у скільки хвилин вони домовилися зустрітися?

23. Тіма з приятелем пішов у магазин купувати книгу, яка коштувала 97 рублів. Але коли вони прийшли до магазину, то з'ясувалося, що книга подорожчала і стала коштувати 105 рублів. Тіма зайняв приятеля суму, і все-таки купив книгу. Скільки грошей Тіма став винен приятелю?

Визначення позитивних та негативних чисел

Для визначення позитивних та негативних чисел скористаємося координатною прямою, яка розташовується горизонтально та спрямована зліва направо.

Зауваження 1

Початку відліку на координатній прямій відповідає число нуль, яке не стосується ні позитивних, ні негативних чисел.

Визначення 1

Числа, що відповідають точкам координатної прямої, які лежать правіше від початку відліку, називаються позитивними.

Визначення 2

Числа, що відповідають точкам координатної прямої, які лежать ліворуч від початку відліку, називаються негативними.

З даних визначень випливає, що множина всіх негативних чисел протилежна множині всіх позитивних чисел.

Негативні числа записують зі знаком «–» (мінус).

Приклад 2

Приклади негативних чисел:

Раціональні числа $-\frac(9)(17)$, $-4 \frac(11)(23)$, $-5,25$, $-4,(79)$.
Ірраціональні числа$ -\sqrt(2)$, нескінченний неперіодичний десятковий дріб $–103,1012341981…$

Для спрощення запису перед позитивними числами часто не записують знак "+" (плюс), а перед негативними знак "-" записують завжди. У разі необхідно пам'ятати, що запис «$17,4$» рівносильна запису «$+17,4$», запис «$\sqrt(5)$» рівнозначна запису «$+\sqrt(5)$» тощо. буд.

Таким чином, можна використовувати таке визначення позитивних та негативних чисел:

Визначення 3

Числа, записані зі знаком «+», називаються позитивними, а зі знаком «–» – негативними.

Використовується визначення позитивних та негативних чисел, яке ґрунтується на порівнянні чисел:

Визначення 4

Позитивними числамиє числа більше за нуль, а негативними числами- Числа менше нуля.

Примітка 3

Таким чином, число нуль поділяє позитивні та негативні числа.

Правила читання позитивних та негативних чисел

Примітка 4

Під час читання числа зі знаком попереду нього спочатку читається його знак, а потім саме число.

Приклад 3

Наприклад, «$+17$» читають «плюс сімнадцять»,

«$-3 \frac(4)(11)$» читають «мінус три цілих чотири одинадцятих».

Примітка 5

Варто зазначити, що назви знаків «плюс» та «мінус» не схиляються, тоді як числа можуть схилятися.

Приклад 4

Інтерпретація позитивних та негативних чисел

Позитивні числа використовуються для позначення збільшення будь-якої величини, приходу, збільшення, зростання значення і т.д.

Негативні числа застосовують для протилежних понять – позначення зменшення будь-якої величини, витрати, недоліку, боргу, зниження значення тощо.

Розглянемо приклади.

Читач узяв у бібліотеці $4$ книги. Позитивне значення числа $4$ показує кількість книг, які є у читача. Якщо йому потрібно здати $2$ книги до бібліотеки, можна використовувати негативне значення $–2$, яке вказуватиме на зменшення кількості книг у читача.

Позитивні та негативні числа часто використовують для опису значень різних величин вимірювальних приладів. Наприклад, термометр для вимірювання температури має шкалу, на якій відмічені позитивні та негативні значення.

Похолодання надворі на $3$ градуса, тобто. зниження температури можна позначити значенням $-3$, а підвищення температури на $5$ градусів - значенням $+5$.

Ухвалено негативні числа зображати синім кольором, що символізує холод, низьку температуру, а позитивні числа – червоним кольором, що символізує тепло, високу температуру. Позначення позитивних та негативних чисел за допомогою червоного та синього кольору використовується у різних ситуаціях для виділення знака чисел.

Негативні числа – навіщо діти вивчають те, що не існує?

Я переконаний, що всі (або майже всі) проблеми сучасного людства виникли внаслідок відриву від ПРИРОДИ.

Сучасні люди відірвалися від природи як у фізичному плані (містами та будинками), так і в інтелектуальному плані.

Наприклад, це виявляється у тому, що майже вся шкільна програма не має жодного відношення до природи та до РЕАЛЬНОСТІ.

Я наведу лише один приклад — це так звані негативні числа.

У природі немає і може бути нічого негативного.

Ви можете уявити мінус 1 автомобіль? А мінус 3 білки?

Нормальна, психічно здорова людина не може уявити собі такого!

Чи не єдиний випадок, коли маємо справу з негативними величинами — це термометр. Наприклад, взимку можемо побачити температуру -10 градусів за Цельсієм.

Але, давайте подивимося, що нам покаже термометр, що використовує шкалу градусів по Кельвіну. Він нам покаже приблизно 263 градуси за Кельвіном (замість -10 за Цельсієм).

Що це говорить? Це говорить про те, що варто змінити розрахункову шкалу і негативні числа чудово перетворюються на позитивні.

Ще хочу навести кілька прикладів із РЕАЛЬНОГО світу, коли здоровий глузд перемагає «негативні числа».

Приклад №1 Вимірювання висоти гір, а також глибин морів та океанів.

Умовним нулем є рівень моря. Все що вище — кажуть «стільки метрів вище за рівень моря». Все що нижче — ми говоримо «стільки метрів нижче рівня моря».

Наприклад, максимальна глибина Чорного моря = 2210 метрів. Або 2210 метрів нижче рівня моря. Але ми не говоримо, що глибина моря — (мінус) 2210 метрів (бо це марення).

Приклад №2 Хронографія.

Зараз у європейських країнах прийнято вести літочислення від Різдва Христового. Це базова точка відліку. Все, що було після цієї події, записується, наприклад, як 2017 рік від Різдва Христового (або 2017 рік Нашої Ери).

Все, що було раніше, записується як «до нашої ери». Наприклад, єгипетський фараон жив 1000 років до нашої ери. Зверніть увагу, що він жив не в мінус 1000 років, а 1000 років до нашої ери. Це важлива фраза - «до нашої ери» підкреслює УМОВНІСТЬ вимірювальної шкали.

Тобто. в істориків, хвала духам, жодних негативних чисел у роках не виникає!

Але у математиків є мінуси (негативні числа) і вони навіть вчать дітей як складати, віднімати, ділити та множити негативні числа!

Якщо це явище має місце, значить воно комусь вигідно!

Зрозуміло, дітям це не вигідно. Бо якщо вивчати те, чого немає в природі, це може призвести до нервової напруги і, навіть, до психічного розладу.

Але кому це вигідно? Навіщо дітей змушують досліджувати негативні числа?

У пошуках відповідей я звернувся до вікіпедії (вона, як відомо, ніколи не бреше). Ось що там написано:

Від'ємне число- Елемент множини негативних чисел, яке (разом з нулем) з'явилося в математиці при розширенні множини натуральних чисел. Основною метою розширення було бажання зробити віднімання такою ж повноцінною операцією, як додавання.

Все це дуже цікаво! Але я так і не знайшов відповіді, але своє питання — «Навіщо це?»

Стародавній Єгипет, Вавилон і Стародавня Греція не використовували негативних чисел, а якщо виходили негативні корені рівнянь (при відніманні), вони відкидалися як неможливі. Виняток становив Діофант, який у ІІІ столітті вже знав правило знаківі умів множити негативні числа. Проте він розглядав їх лише як проміжний етап, корисний обчислення остаточного, позитивного результату.

Ага, ось знайшов, відповідь на своє запитання:

Вперше негативні числа були частково узаконені в Китаї, а потім (приблизно з VII століття) та в Індії, де трактувалися як борги (нестача),

Негативні числа розташовуються ліворуч від нуля. Їх, як й у позитивних чисел, визначено ставлення порядку , що дозволяє порівнювати одне ціле з іншим.

Для кожного натурального числа nіснує одне і лише одне негативне число, що позначається -n, яке доповнює nдо нуля: n + (− n) = 0 . Обидва числа називаються протилежнимиодин для одного. Віднімання цілого числа aрівносильно доданню з протилежним йому: -a.

Властивості негативних чисел

Негативні числа підпорядковуються тим самим правилам, як і натуральні, але мають деякі особливості.

Історичний нарис

Література

Вигодський М. Я.Довідник з елементарної математики. – М.: АСТ, 2003. – ISBN 5-17-009554-6
Глейзер Г. І.Історія математики в школі. - М: Просвітництво, 1964. - 376 с.

Посилання

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитися що таке "Негативні числа" в інших словниках:

Дійсні числа, менші за нуль, наприклад 2; 0,5; π і т. п. Див. Число … Велика Радянська Енциклопедія

- (Величини). Результат послідовних додавань чи віднімань залежить від порядку, у якому ці дії проводяться. Напр. 10 5 + 2 = 10 +2 5. Тут переставлені не тільки числа 2 і 5, а й знаки, що стоять перед цими числами. Погодилися… … Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

числа негативні- Числа в бухгалтерському обліку, які пишуться червоним олівцем або червоним чорнилом. Тематики бухгалтерський облік Довідник технічного перекладача

ЧИСЛА, НЕГАТИВНІ- числа в бухгалтерському обліку, які пишуться червоним олівцем або червоним чорнилом... Великий бухгалтерський словник

Безліч цілих чисел визначається як замикання безлічі натуральних чисел щодо арифметичних операцій складання (+) та віднімання (). Таким чином, сума, різниця та добуток двох цілих чисел є знову цілі числа. Воно складається з ... Вікіпедія

Числа, що виникають природним чином при рахунку (як у значенні перерахування, так і в значенні обчислення). Існують два підходи до визначення натуральних чисел числа, що використовуються при: перерахуванні (нумеруванні) предметів (перший, другий, …

Коефіцієнти Е n у розкладанні Рекурентна формула для Е. ч. має вигляд (у символічному записі, (E + 1)n + (Е 1)n=0, E0 = 1. При цьому Е 2п+1=0, E4n позитивні, E4n+2 негативні цілі числа всім n=0, 1, . . .;E2= 1, E4=5, E6=61, E8=1385 … Математична енциклопедія

Негативне число є елементом множини негативних чисел, яке (разом з нулем) з'явилося в математиці при розширенні множини натуральних чисел. Мета розширення: забезпечити виконання операції віднімання будь-яких чисел. В результаті… … Вікіпедія

Арифметика. Розпис Пінтуріккіо. Апартаменти Борджіа. 1492 1495. Рим, Ватиканські палаци... Вікіпедія

Ганс Себальд Бехам. Арифметика. XVI століття Арифметика (ін. грец. ἀ … Вікіпедія

Книги

Математика. 5 клас. Навчальна книга та практикум. У 2 частинах. Частина 2. Позитивні та негативні числа , . Навчальна книга та практикум для 5 класу входять до складу УМК з математики для 5-6 класів, розробленого авторським колективом під керівництвом Е. Г. Гельфман та М. А. Холодної в рамках...

Властивості негативних чисел

Негативні числа підпорядковуються тим самим правилам, як і натуральні, але мають деякі особливості.

Історичний нарис

Література

Вигодський М. Я.Довідник з елементарної математики. – М.: АСТ, 2003. – ISBN 5-17-009554-6
Глейзер Г. І.Історія математики в школі. - М: Просвітництво, 1964. - 376 с.

Посилання

Wikimedia Foundation. 2010 .

Негативні форми рельєфу
Негативний та позитивний нуль

Дивитися що таке "Негативні числа" в інших словниках:

Негативні числа- дійсні числа, менші за нуль, наприклад 2; 0,5; π і т. п. Див. Число … Велика Радянська Енциклопедія

Позитивні та негативні числа- (Величини). Результат послідовних додавань чи віднімань залежить від порядку, у якому ці дії проводяться. Напр. 10 5 + 2 = 10 +2 5. Тут переставлені не тільки числа 2 і 5, а й знаки, що стоять перед цими числами. Погодилися… … Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

Цілі числа- Безліч цілих чисел визначається як замикання безлічі натуральних чисел щодо арифметичних операцій складання (+) та віднімання (). Таким чином, сума, різниця та добуток двох цілих чисел є знову цілі числа. Воно складається з ... Вікіпедія

Натуральні числа- Числа, що виникають природним чином при рахунку (як у сенсі перерахування, так і в сенсі обчислення). Існують два підходи до визначення натуральних чисел числа, що використовуються при: перерахуванні (нумеруванні) предметів (перший, другий, …

ЕЙЛЕРОВИ ЧИСЛА- Коефіцієнти Е n у розкладанні Рекурентна формула для Е. ч. має вигляд (у символічному записі, (E + 1) n + (Е 1) n = 0, E0 = 1. При цьому Е 2п + 1 = 0, E4n позитивні , E4n+2 негативні цілі числа всім n=0, 1, . . .;E2= 1, E4=5, E6=61, E8=1385 … Математична енциклопедія

Від'ємне число- Негативне число - елемент множини негативних чисел, яке (разом з нулем) з'явилося в математиці при розширенні множини натуральних чисел. Мета розширення: забезпечити виконання операції віднімання будь-яких чисел. В результаті… … Вікіпедія

Історія арифметики- арифметика. Розпис Пінтуріккіо. Апартаменти Борджіа. 1492 1495. Рим, Ватиканські палаци... Вікіпедія

Арифметика- Ганс Себальд Бехам. Арифметика. XVI століття Арифметика (ін. грец. ἀ … Вікіпедія

Книги

Математика. 5 клас. Навчальна книга та практикум. У 2 частинах. Частина 2. Позитивні та негативні числа , . Навчальна книга та практикум для 5 класу входять до складу УМК з математики для 5-6 класів, розробленого авторським колективом під керівництвом Е. Г. Гельфман та М. А. Холодної в рамках...