Геометричні фігури чотирикутники. Визначення чотирикутника

Інструкція

Визначимо довжину діагоналі прямокутника зі сторонами 3 та 4 см.

Знаходимо суму квадратів сторін прямокутника 32 + 42 = 9 + 16 = 25.

Витягти з отриманого результату квадратний корінь – довжина діагоналі 5 см.

Відео на тему

Зверніть увагу

Діагоналі прямокутника рівні. Якщо знайдено довжину однієї, то довжина другої буде абсолютно такою самою.

Джерела:

• як знайти довжину діагоналі у прямокутнику

Квадрат – красива та проста плоска геометрична фігура. Це прямокутник із рівними сторонами. Як же знайти діагональ квадратаякщо відома довжина його сторони?

Інструкція

довжина діагоналі квадратадорівнює довжині його сторони помноженої на дві.

Відео на тему

Корисна порада

Якщо точність математичного результату не дуже важлива, замість кореня з двох можна використовувати його приблизне значення 1,41.

Порада 6: Як знайти діагональ паралелограма, якщо дані сторони

Паралелограм – це чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні. Прямі, що з'єднують його протилежні кути, називаються діагоналями. Їхня довжина залежить не тільки від довжин сторін фігури, а й від величин кутів у вершинах цього багатокутника, тому без знання хоча б одного з кутів обчислити довжини діагоналей можна лише у виняткових випадках. Такими є окремі випадки паралелограма - квадрат і прямокутник.

Інструкція

Якщо довжини всіх сторін паралелограма однакові (a), то цю фігуру можна назвати ще квадратом. Величини всіх його кутів 90°, а довжини діагоналей (L) однакові можуть бути розраховані за теоремою Піфагора для прямокутного трикутника. Помножте довжину сторони на корінь із двійки - результат і буде довжиною кожної його діагоналей: L=a*√2.

Якщо про паралелограм відомо, що він прямокутником із зазначеними в довжиною (a) і шириною (b), то і в цьому випадку довжини діагоналей (L) будуть рівні. І тут також задіяйте теорему Піфагора для трикутника, в якому гіпотенузою є діагональ, а катетами – дві суміжні сторони чотирикутника. Шукану величину розрахуйте вилученням кореня зі зведених квадрат і прямокутника: L=√(a²+b²).

Для решти випадків знання одних лише довжин сторін вистачить лише величини, що включає у собі довжини одночасно обох діагоналей - сума їх квадратів за визначенням дорівнює подвоєної сумі квадратів довжин сторін. Якщо ж до довжин двох суміжних сторін паралелограма (a і b) відомий ще й кут між ними (γ), то це дозволить розрахувати довжини кожного відрізка, що з'єднує протилежні кути . Довжину діагоналі (L₁), що лежить навпроти відомого кута, знайдіть за теоремою косінусів - складіть квадрати довжин суміжних сторін, від результату відніміть добуток цих же довжин на косинус кута між ними, а з отриманої величини витягніть квадратний корінь: L₁ = √(a²+b -2 * a * b * cos (γ)). Для знаходження довжини іншої діагоналі (L₂) можна скористатися властивістю паралелограма, наведеною на початку цього кроку - подвайте суму квадратів довжин двох сторін, від результату відніміть квадрат вже розрахованої діагоналі, а з отриманого значення вийміть корінь. Загалом цю формулу можна записати так: L₂ = √(a²+b²- L₁²) = √(a²+b²-(a²+b²-2*a*b*cos(γ))) = √(a²+b²- a²-b²+2*a*b*cos(γ) = √(2*a*b*cos(γ)).

Джерела:

• як знайти довжину діагоналі паралелограма

Можна назвати паралелограм, діагоналі якого ділять навпіл кути, що лежать у вершинах фігури. Крім цієї властивості діагоналі ромбапримітні тим, що є осями симетрії багатокутника, що перетинаються тільки під прямим кутом, а єдина загальна точка ділить кожну з них на два рівні відрізки. Ці властивості дозволяють легко розрахувати довжину однієї з діагоналей, якщо відома довжина іншої та ще якийсь параметр фігури - розмір сторони, кут в одній з вершин, площа тощо.

Інструкція

Якщо крім довжини однієї з (l) про чотирикутник, що розглядається, відомо, що він окремим випадком ромба- квадратом, жодних розрахунків робити не доведеться. І тут довжини обох діагоналей - просто прирівняйте шукану величину (L) до відомої: L=l.

Знання довжини сторони ромба(a) на додаток до довжини однієї з діагоналей (l) дозволить довжину іншої (L) за теоремою Піфагора. Це тому, що дві половини діагоналі, що перетинаються, утворюють зі стороною ромбапрямокутний трикутник. Половини діагоналей у ньому є катетами, а сторона - гіпотенузою, тому рівність, що з теореми Піфагора записати так: a² = (l/2)² + (L/2)². Для використання в розрахунках перетворіть його на такий вид: L = √(4*a²-l²).

За відомої величини одного з кутів (α) ромбаі довжині однієї з діагоналей (l) для знаходження величини іншої (L) розгляньте той самий прямокутний трикутник. Тангенс половини відомого кута в ньому відношенню довжини протилежного катета - половини діагоналі l - до прилеглого - половині діагоналі L: tg(α/2) = (l/2)/(L/2) = l/L. Тому для необхідної величини використовуйте формулу L = l/tg(α/2).

Якщо за умов завдання наведена довжина периметра (P) ромбаі розмір діагоналі (l), формулу обчислення довжини другий (L) можна звести до рівності, використаному в другому кроці. Для цього розділіть периметр на четвірку і замініть цим виразом довжину сторони: L = √(4*(P/4)²-l²) = √(P²/4-l²).

У вихідних умовах крім довжини однієї з діагоналей (l) може бути наведена площа (S) фігури. Тоді для обчислення довжини другої діагоналі ромба(L) використовуйте дуже простий алгоритм - подвійте площу та розділіть отримане значення на довжину відомої діагоналі: L = 2*S/l.

Тема урока

• Визначення чотирикутника.

Цілі уроку

• Освітні – повторення, узагальнення та перевірка знань на тему: “Чотирикутника”; вироблення основних навичок.
• Розвиваючі – розвинути увагу учнів, посидючість, наполегливість, логічне мислення, математичну мову.
• Виховні – за допомогою уроку виховувати уважне ставлення один до одного, прищеплювати вміння слухати товаришів, взаємовиручку, самостійність.

Завдання уроку

• Формувати навички у побудові чотирикутника за допомогою масштабної лінійки та креслярського трикутника.
• Перевірити вміння учнів вирішувати завдання.

План уроку

1. Історична довідка. Неевклідова геометрія.
2. Чотирьохкутник.
3. Види чотирикутників.

Неєвклідова геометрія

Неевклідова геометрія, геометрія, подібна до геометрії Евклідав тому, що в ній визначено рух фігур, але відрізняється від евклідової геометрії тим, що один із п'яти її постулатів (другий чи п'ятий) замінений його запереченням. Заперечення одного з евклідових постулатів (1825) стало значною подією в історії думки, бо послужило першим кроком на шляху до теорії відносності.

Другий постулат Евкліда стверджує, що будь-який відрізок прямий можна необмежено продовжити. Евклид, очевидно, вважав, що це постулат містить у собі твердження, що пряма має нескінченну довжину. Однак в «еліптичній» геометрії будь-яка пряма кінцева і, подібно до кола, замкнута.

П'ятий постулат стверджує, що якщо пряма перетинає дві дані прямі так, що два внутрішні кути по один бік від неї в сумі менше двох прямих кутів, то ці дві прямі, якщо продовжити їх необмежено, перетнуться з того боку, де сума цих кутів менша за суму двох прямих. Але в «гіперболічній» геометрії може існувати пряма CB (див. рис.), перпендикулярна до точки С до заданої прямої r і перетинає іншу пряму s під гострим кутом у точці B, але, проте нескінченні прямі r і s ніколи не перетнуться .

З цих переглянутих постулатів випливало, що сума кутів трикутника, що дорівнює 180 в евклідової геометрії, більше 180 в еліптичної геометрії і менше 180 в гіперболічній геометрії.

Чотирикутник

Одна з найцікавіших тем з геометрії зі шкільного курсу – це «Чотирикутники» (8 клас). Які види таких фігур існують, які особливі властивості вони мають? У чому унікальність чотирикутників із кутами по дев'яносто градусів? Давайте розберемося у всьому цьому.

Яка геометрична фігура називається чотирикутником

Багатокутники, які складаються із чотирьох сторін і, відповідно, з чотирьох вершин (кутів), називаються в евклідовій геометрії чотирикутниками.

Цікавою є історія назви цього виду фігур. У російській мові іменник «чотирьохкутник» утворено від словосполучення «чотири кута» (точно так само, як «трикутник» - три кути, «п'ятикутник» - п'ять кутів тощо).

Однак латиною (через посередництво якої прийшло багато геометричних термінів у більшість мов світу) він називається quadrilateral. Це слово утворене з чисельного quadri (чотири) та іменника latus (сторона). Отже можна дійти невтішного висновку, що з давніх цей багатокутник іменувався не інакше як " чотиристоронник " .

До речі, така назва (з упором на наявність у фігур цього виду чотирьох сторін, а не кутів) збереглася у деяких сучасних мовах. Наприклад, в англійській - quadrilateral і у французькій - quadrilatère.

При цьому в більшості слов'янських мов аналізований вигляд фігур ідентифікують так само за кількістю кутів, а не сторін. Наприклад, у словацькій (štvoruholník), у болгарській («чотири'г'лник»), у білоруській («чотирохкутник»), в українській («чотирикутник»), у чеській (čtyřúhelník), але в польській чотирикутник іменують за кількістю сторін - czworobocz.

Які види чотирикутників вивчаються у шкільній програмі

У сучасній геометрії виділяються 4 види багатокутників із чотирма сторонами.

Однак через надто складні властивості деяких з них на уроках геометрії школярів знайомлять тільки з двома видами.

• Паралелограм (parallelogram).Протилежні сторони чотирикутника такого попарно паралельні між собою і, відповідно, також попарно.
• Трапеція (trapezium чи trapezoid).Цей чотирикутник складається із двох протилежних сторін, паралельних між собою. Однак інша пара сторін не має такої особливості.

Види чотирикутників, що не вивчаються в шкільному курсі геометрії.

Крім перерахованих вище, існують ще два види чотирикутників, з якими школярів не знайомлять на уроках геометрії, через їх особливу складність.

• Дельтоїд (kite)- Фігура, в якій кожна з двох пар суміжних сторін дорівнює по довжині між собою. Свою назву такий чотирикутник отримав через те, що на вигляд він досить сильно нагадує букву грецького алфавіту - «дельта».
• Антипаралелограм (antiparallelogram)- ця постать так само складна, як і її назва. У ній дві протилежні сторони рівні, але при цьому вони не є паралельними між собою. Крім того, довгі протилежні сторони цього чотирикутника перетинаються між собою, як і продовження двох інших більш коротких сторін.

Види паралелограма

Розібравшись із основними видами чотирикутників, варто звернути увагу на його підвиди. Так, усі паралелограми, у свою чергу, також поділяються на чотири групи.

• Класичний паралелограм.
• Ромб (rhombus)- Чотирикутна фігура з рівними сторонами. Її діагоналі перетинаються під прямим кутом, ділячи ромб на чотири рівні прямокутні трикутники.
• Прямокутник (rectangle).Назва ця говорить сама за себе. Так як це чотирикутник із прямими кутами (кожен з них дорівнює дев'яноста градусам). Протилежні сторони його як паралельні між собою, а й рівні.
• Квадрат (square).Як і прямокутник, це чотирикутник із прямими кутами, але в нього всі сторони рівні між собою. Цим ця фігура близька до ромба. Тож можна стверджувати, що квадрат – це щось середнє між ромбом та прямокутником.

Особливості прямокутника

Розглядаючи фігури, в яких кожен з кутів між сторонами дорівнює дев'яноста градусам, варто уважніше зупинитися на прямокутнику. Отже, які особливі він має ознаки, що відрізняють його від інших паралелограмів?

Щоб стверджувати, що аналізований паралелограм - прямокутник, його діагоналі повинні бути рівними між собою, а кожен з кутів - прямими. Крім того, квадрат його діагоналей повинен відповідати сумі квадратів двох суміжних сторін цієї фігури. Іншими словами, класичний прямокутник складається з двох прямокутних трикутників, а в них, як відомо, В ролі гіпотенузи виступає діагональ чотирикутника, що розглядається.

Останній із перелічених ознак цієї постаті є також її особливою властивістю. Крім цього, є інші. Наприклад, те, що всі сторони чотирикутника, що вивчається, з прямими кутами - це одночасно і його висоти.

Крім того, якщо навколо будь-якого прямокутника накреслити коло, його діаметр дорівнюватиме діагоналі вписаної фігури.

Серед інших властивостей цього чотирикутника, те, що він є плоским і в неевклідовій геометрії не існує. Це пов'язано з тим, що в такій системі відсутні чотирикутні фігури, сума кутів яких дорівнює 360 градусам.

Квадрат та його особливості

Розібравшись із ознаками та властивостями прямокутника, варто звернути увагу на другий відомий науці чотирикутник із прямими кутами (це квадрат).

Будучи за фактом тим самим прямокутником, але з рівними сторонами, ця фігура має всі його властивості. Але на відміну від нього, квадрат присутній у неевклідовій геометрії.

Крім цього, у цієї фігури є й інші власні відмінні риси. Наприклад, те, що діагоналі квадрата не просто рівні між собою, а й перетинаються під прямим кутом. Таким чином, як і ромб квадрат складається з чотирьох прямокутних трикутників, на які її ділять діагоналі.

Крім цього, ця фігура є найсиметричнішим серед усіх чотирикутників.

Чому дорівнює сума кутів чотирикутника

Розглядаючи особливості чотирикутників евклідової геометрії, варто звернути увагу на їхні кути.

Так, у кожній із перелічених вище фігур, незалежно від того, є у неї прямі кути чи ні, загальна сума їх завжди однакова - триста шістдесят градусів. Це унікальна риса цього виду фігур.

Периметр чотирикутників

Розібравшись з тим, чому дорівнює сума кутів чотирикутника та іншими особливими властивостями фігур цього виду, варто дізнатися, якими формулами краще користуватися, щоб обчислити їх периметр і площу.

Щоб визначити периметр будь-якого чотирикутника, потрібно лише скласти між собою довжину всіх сторін.

Наприклад, у фігурі KLMN її периметр можна обчислити за такою формулою: Р = KL + LM + MN + KN. Якщо підставити сюди числа, то вийде: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (см).

У разі коли фігура, що розглядається, - це ромб або квадрат, для знаходження периметра можна спростити формулу, просто помноживши довжину однієї з його сторін на чотири: Р = KL х 4. Наприклад: 6 х 4=24 (см).

Формули чотирикутників площі

Розібравшись з тим, як знайти периметр будь-якої фігури з чотирма кутами та сторонами, варто розглянути найпопулярніші та найпростіші способи знаходження її площі.

Інші властивості чотирикутників: вписані та описані кола

Розглянувши особливості та властивості чотирикутника як фігури евклідової геометрії, варто звернути увагу на можливість описувати навколо чи вписувати всередині нього кола:

• Якщо суми протилежних кутів фігури становлять по сто вісімдесят градусів і попарно рівні між собою, навколо такого чотирикутника можна вільно описати коло.
• Відповідно до теореми Птолемея, якщо зовні багатокутника з чотирма сторонами описано коло, то добуток його діагоналей дорівнює сумі творів протилежних сторін цієї постаті. Таким чином, формула виглядатиме так: КМ x LN = KL x MN + LM x KN.
• Якщо побудувати чотирикутник, у якому суми протилежних сторін рівні між собою, то можна вписати коло.

Розібравшись з тим, що таке чотирикутник, що за види його існують, які з них мають тільки прямі кути між сторонами і які властивості вони мають, варто запам'ятати весь цей матеріал. Особливо формули знаходження периметра та площі розглянутих багатокутників. Адже постаті такої форми - одні з найпоширеніших, і ці знання можуть стати в нагоді для обчислень у реальному житті.