Геометричне зображення комплексного числа на площині. Графічна форма представлення комплексних чисел

Комплексні числа, їхнє зображення на площині. Алгебраїчні операції над комплексними числами. Комплексне сполучення. Модуль та аргумент комплексного числа. Алгебраїчна та тригонометрична форми комплексного числа. Коріння із комплексних чисел. Показова функція комплексного аргументу. Формула Ейлер. Показова форма комплексного числа.

При вивченні одного з основних прийомів інтегрування: інтегрування раціональних дробів – потрібно для проведення суворих доказів розглядати багаточлени у комплексній галузі. Тому вивчимо попередньо деякі властивості комплексних чисел та операцій з них.

Визначення 7.1. Комплексним числом z називається впорядкована пара дійсних чисел (а,b) : z = (a,b) (термін «упорядкована» означає, що в записі комплексного числа важливий порядок чисел а та b: (a,b)≠(b,a )). При цьому перше число а називається дійсною частиною комплексного числа z та позначається a = Re z, а друге число b називається уявною частиною z: b = Im z.

Визначення 7.2. Два комплексні числа z 1 = (a 1 , b 1) і z 2 = (a 2 , b 2) рівні тоді і тільки тоді, коли у них рівні дійсні та уявні частини, тобто a 1 = a 2 , b 1 = b 2 .

Події над комплексними числами.

1. Сумоюкомплексних чисел z 1 =(a 1 , b 1) та z 2 =(a 2 , b 2 z =(a,b) таке, що a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2 .Властивості складання: а) z 1 + z 2 = z 2 + z 1; б) z 1 +(z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3; в) існує комплексне число 0 = (0,0): z + 0 =zдля будь-якого комплексного числа z.

2. Творомкомплексних чисел z 1 =(a 1 , b 1) та z 2 =(a 2 , b 2) називається комплексне число z =(a,b) таке, що a = a 1 a 2 – b 1 b 2 , b = a 1 b 2 + a 2 b 1 .Властивості множення: а) z 1 z 2 = z 2 z 1; б) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3, в) ( z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Зауваження. Підмножиною безлічі комплексних чисел є безліч дійсних чисел, що визначаються як комплексні числа виду ( а, 0). Можна переконатися, що визначення операцій над комплексними числами зберігає відомі правила відповідних операцій над дійсними числами. Крім того, дійсне число 1 = (1,0) зберігає свою властивість при множенні на будь-яке комплексне число: 1∙ z = z.

Визначення 7.3.Комплексне число (0, b) називається чисто уявним. Зокрема, число (0,1) називають уявною одиницеюта позначають символом i.

Властивості уявної одиниці:

1) i∙i=i² = -1; 2) чисто уявне число (0, b) можна представити як добуток дійсного числа ( b, 0) та i: (b, 0) = b∙i.

Отже, будь-яке комплексне число z = (a, b) можна подати у вигляді: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + ib.

Визначення 7.4. Запис виду z = a + ib називають формою алгебри запису комплексного числа.

Зауваження. Алгебраїчна запис комплексних чисел дозволяє виконувати операції над ними за звичайними правилами алгебри.

Визначення 7.5. Комплексне число називається комплексно сполученим числом z = a + ib.

3. Відніманнякомплексних чисел визначається як операція, зворотна до складання: z =(a,b) називається різницею комплексних чисел z 1 =(a 1 , b 1) та z 2 =(a 2 , b 2), якщо a = a 1 - a 2, b = b 1 - b 2 .

4. Поділкомплексних чисел визначається як операція, обернена до множення: число z = a + ibназивається приватним від розподілу z 1 = a 1 + ib 1і z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0), якщо z 1 = z z 2 .Отже, дійсну та уявну частини частки можна знайти з вирішення системи рівнянь: a 2 a – b 2 b = a 1, b 2 a + a 2 b = b 1 .

Геометрична інтерпретація комплексних чисел.

Комплексне число z =(a,b) можна подати у вигляді точки на площині з координатами ( a,b) або вектора з початком на початку координат і кінцем у точці ( a,b).

При цьому модуль отриманого вектора називається модулемкомплексного числа, а кут, утворений вектором з позитивним напрямом осі абсцис,- аргументомчисла. Враховуючи що a = ρ cos φ, b = ρ sin φ, де ρ = |z| - модуль z,а φ = arg z – його аргумент можна отримати ще одну форму запису комплексного числа:

Визначення 7.6.Запис виду

z = ρ(cos φ + i sin φ ) (7.1)

називається тригонометричною формоюзаписи комплексного числа.

У свою чергу, модуль та аргумент комплексного числа можна виразити через аі b: . Отже, аргумент комплексного числа визначений не однозначно, а з точністю до кратного, що додається, 2π.

Легко переконатися, що операція складання комплексних чисел відповідає операції складання векторів. Розглянемо геометричну інтерпретацію множення. Нехай тоді

Отже, модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку їх модулів, а аргумент – сумі їхніх аргументів. Відповідно, при розподілі модуль приватного дорівнює відношенню модулів дільника і дільника, а аргумент - різниці їх аргументів.

Приватним випадком операції множення є зведення у ступінь:

- формула Муавра.

Використовуючи отримані співвідношення, перерахуємо основні властивості комплексно сполучених чисел:

Комплексні числа

Основні поняття

Початкові дані про число відносяться до епохи кам'яного віку – палеомеліту. Це «один», «мало» та «багато». Записувалися вони як зарубок, вузликів тощо. Розвиток трудових процесів та поява власності змусили людину винайти числа та їх назви. Першими з'явилися натуральні числа N, одержувані за рахунку предметів. Потім, поряд із необхідністю рахунку, у людей з'явилася потреба вимірювати довжини, площі, обсяги, час та інші величини, де доводилося враховувати і частини вживаної міри. Так виникли дроби. Формальне обґрунтування понять дробового та негативного числа було здійснено у 19 столітті. Безліч цілих чисел Z- Це натуральні числа, натуральні зі знаком мінус і нуль. Цілі та дробові числа утворили сукупність раціональних чисел Q,але і вона виявилася недостатньою для вивчення змінних величин, що безперервно змінюються. Буття знову показало недосконалість математики: неможливість вирішити рівняння виду х 2 = 3, у зв'язку з чим з'явилися ірраціональні числа I.Об'єднання безлічі раціональних чисел Qта ірраціональних чисел I- безліч дійсних (або речових) чисел R. У результаті числова пряма заповнилася: кожному дійсному числу відповідала у ньому точка. Але на безлічі Rнемає можливості вирішити рівняння виду х 2 = – а 2 . Отже, знову виникла потреба розширення поняття числа. Так було в 1545 року з'явилися комплексні числа. Їхній творець Дж. Кардано називав їх «чисто негативними». Назва «уявні» ввів у 1637 році француз Р. Декарт, у 1777 році Ейлер запропонував використати першу літеру французького числа iдля позначення уявної одиниці. Цей символ увійшов у загальне вживання завдяки Гауссу.

Протягом 17 – 18 століть тривало обговорення арифметичної природи уяви, їх геометричного тлумачення. Данець Г. Вессель, француз Ж. Арган і німець К. Гаус незалежно один від одного запропонували зображати комплексне число крапкою на координатній площині. Пізніше виявилося, що зручніше зображати число не самої точкою, а вектором, що йде в цю точку з початку координат.

Лише до кінця 18 – початку 19 століття комплексні числа зайняли гідне місце у математичному аналізі. Перше їх використання – теоретично диференціальних рівнянь та теорії гідродинаміки.

Визначення 1.Комплексним числомназивається вираз виду , де xі y- дійсні числа, а i- Уявна одиниця, .

Два комплексні числа та рівніі тоді, коли , .

Якщо , то число називають чисто уявним; якщо , то число є дійсним числом, це означає, що безліч R З, де З- Багато комплексних чисел.

Сполученимдо комплексного числа називається комплексне число.

Геометричне зображення комплексних чисел.

Будь-яке комплексне число можна зобразити точкою М(x, y) площині Окси.Парою дійсних чисел позначаються координати радіус-вектора , тобто. між безліччю векторів на площині та безліччю комплексних чисел можна встановити взаємно-однозначну відповідність: .

Визначення 2.Справжньою частиною х.

Позначення: x= Re z(Від латинського Realis).

Визначення 3.Уявною частиноюкомплексного числа називається дійсне число y.

Позначення: y= Im z(Від латинського Imaginarius).

Re zвідкладається на осі ( Ох), Im zвідкладається на осі ( Оy), тоді вектор , відповідний комплексному числу - це радіус-вектор точки М(x, y), (або М(Re z, Im z)) (рис. 1).

Визначення 4.Площина, точкам якої поставлено у відповідність безліч комплексних чисел, називається комплексною площиною. Ось абсцис називається справжньою віссю, оскільки у ній лежать дійсні числа . Вісь ординат називається уявною віссю, на ній лежать суто уявні комплексні числа . Безліч комплексних чисел позначається З.

Визначення 5.Модулемкомплексного числа z = (x, y) називається довжина вектора : , тобто. .

Визначення 6.Аргументомкомплексного числа називається кут між позитивним напрямом осі ( Ох) та вектором : .

Примітка 3.Якщо точка zлежить на дійсній або уявній осі, можна знайти безпосередньо.

Існують такі форми комплексних чисел: алгебраїчна(x+iy), тригонометрична(r(cos+isin) )), показова(re i ).

Будь-яке комплексне число z=x+iy можна зобразити на площині ХОУ як точки А(х,у).

Площина, де зображуються комплексні числа, називається площиною комплексного змінного z (на площині ставимо символ z).

Вісь ОХ – справжня вісь, тобто. у ньому лежать дійсні числа. ОУ – уявна вісь із уявними числами.

x+iy- Алгебраїчна форма запису комплексного числа.

Виведемо тригонометричну форму запису комплексного числа.

Підставляємо отримані значення початкову форму: , тобто.

r(cos+isin) - Тригонометрична форма запису комплексного числа.

Показова форма запису комплексного числа випливає із формули Ейлера:
тоді

z= re i - Показова форма запису комплексного числа.

Події над комплексними числами.

1. додавання. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . віднімання. z 1 -z 2 = (x1 + iy1) - (x2 + iy2) = (x1-x2) + i (y1-y2);

3. множення. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . розподіл. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

Два комплексні числа, які відрізняються лише знаком уявної одиниці, тобто. z = x + iy (z = x-iy), називаються сполученими.

Твір.

z1=r(cos +isin ); z2=r(cos +isin ).

Той твір z1*z2 комплексних чисел знаходиться: , тобто. модуль добутку дорівнює добутку модулів, а аргумент добутку дорівнює сумі аргументів співмножників.

;
;

Приватний.

Якщо комплексні числа задані у тригонометричній формі.

Якщо комплексні числа задані у показовій формі.

Зведення в ступінь.

1. Комплексне число задано в алгебраїчної формі.

z = x + iy, то z n знаходимо по формулі бінома Ньютона:

- Число поєднань з n елементів по m (кількість способів, скільки можна взяти n елементів з m).

; n! = 1 * 2 * ... * n; 0! = 1;
.

Застосовуємо для комплексного числа.

В отриманому виразі потрібно замінити ступеня i їх значеннями:

i 0 =1 Звідси, у випадку отримуємо: i 4k =1

i 1 =i i 4k+1 =i

i 2 =-1 i 4k+2 =-1

i 3 =-i i 4k+3 =-i

приклад.

i 31 = i 28 i 3 =-i

i 1063 = i 1062 i = i

2. тригонометричної формі.

z = r (cos +isin ), то

- формула Муавра.

Тут n може бути як "+" і "-" (цілим).

3. Якщо комплексне число задано в показовою формі:

Вилучення кореня.

Розглянемо рівняння:
.

Його рішенням буде корінь n-ого ступеня з комплексного числа z:
.

Корінь n-ого ступеня з комплексного числа z має рівно n рішень (значень). Корінь із чинного числа n-ого ступеня має лише одне рішення. У комплексних - n рішень.

Якщо комплексне число задано в тригонометричної формі:

z = r (cos +isin ), то корінь n-ого ступеня від z знаходиться за формулою:

, Де = 0,1 ... n-1.

Ряди. Числові ряди.

Нехай змінна а приймає послідовно значення а 1, 2, 3, …, а n. Така перенумерована безліч чисел називається послідовністю. Вона нескінченна.

Числовим рядом називається вираз а 1 + а 2 + а 3 + ... + а n + ... = . Числа а 1, 2, 3, ..., а n - члени ряду.

Наприклад.

а 1 – перший член ряду.

а n - n-ий або загальний член ряду.

Ряд вважається заданим, якщо відомий n-ий (загальний член ряду).

Числовий ряд має безліч членів.

Чисельники - арифметична прогресія (1,3,5,7…).

n член знаходиться за формулою а n = а 1 + d (n-1); d=а n-а n-1.

Знаменник – геометрична прогресія. b n = b 1 q n-1;
.

Розглянемо суму перших n членів ряду та позначимо її Sn.

Sn = а1 + а2 + ... + а n .

Sn - n-а часткова сума ряду.

Розглянемо межу:

S – сума ряду.

Ряда схожий , якщо ця межа закінчена (кінцева межа S існує).

Ряд розбіжний якщо ця межа нескінченна.

Надалі наше завдання полягає в наступному: встановити якийсь ряд.

Одним з найпростіших рядів, що часто зустрічаються, є геометрична прогресія.

, C = const.

Геометрична прогресія єсхожим поряд, якщо
, і розбіжним, якщо
.

Також зустрічається гармонійний ряд(ряд
). Цей ряд розбіжний .

Геометричне зображення комплексних чисел. Тригонометрична форма комплексного числа.

2015-06-04

Дійсна та уявна вісь
Аргумент комплексного числа
Головний аргумент комплексної кількості
Тригонометрична форма комплексного числа

Завдання комплексного числа $z = a+bi$ рівносильне завданню двох дійсних чисел $a,b$ - дійсної та уявної частин даного комплексного числа. Але впорядкована пара чисел $(a,b)$ зображується в декартовій прямокутній системі координат крапкою з координатами $(a, b)$. Таким чином, ця точка може служити зображенням для комплексного числа $z$: між комплексними числами і точками координатної площини встановлюється взаємно однозначна відповідність.

При використанні координатної площини для зображення комплексних чисел вісь $Ox$ зазвичай називають дійсною віссю (оскільки дійсна частина числа приймається за абсцис точки), а вісь $Oy$ - уявною віссю (бо уявна частина числа приймається за ординату точки).

Рис.1
На рис. 1 побудовано зображення чисел $z_(1) = 2 + 3i, z_(2)=1 =1,z_(3) = 4i, z_(4) = -4 + i, z_(5) = -2, z_( 6) = - 3 - 2i, z_ (7) = -5i, z_ (8) = 2 - 3i $.

Два комплексно пов'язані числа зображуються точками, симетричними щодо осі $Ox$ (точки $z_(1)$ і $z_(8)$ на рис. 1).

Рис. 2
Часто з комплексним числом $z$ пов'язують не тільки точку $M$, що зображує це число, а й вектор $\vec(OM)$, що веде з $O$ $M$; зображення числа $z$ вектором зручно з погляду геометричного тлумачення дії складання та віднімання комплексних чисел. На рис. 2 а показано, що вектор, що зображує суму комплексних чисел $z_(1), z_(2)$, виходить як діагональ паралелограма, побудованого на векторах $\vec(OM_(1)), \vec(OM_(2)) $, що зображують доданки. Це правило складання векторів відоме як правило паралелограма (наприклад, для складання сил чи швидкостей у курсі фізики). Віднімання може бути зведене до додавання з протилежним вектором (рис. 2, б).

Рис. 3
Як відомо, положення точки на площині можна також задавати її полярними координатами $r, \phi$. Тим самим і комплексне число - афікс точки також визначиться завданням $r$ і $\phi$. З рис. 3 ясно, що $r = OM = \sqrt(x^(2) + y^(2))$ є водночас модулем комплексного числа $z$: полярний радіус точки, що зображує число $z$, дорівнює модулю цього числа.

Полярний кут точки $M$ називають аргументом числа $z$, що зображується цією точкою.

Усі значення аргументу разом позначаються символом $Arg \: z$.

Отже, кожному комплексному числу можна поставити у відповідність пари дійсних чисел: модуль і аргумент цього числа, причому аргумент визначається неоднозначно. Навпаки, заданим модулем $|z| = r$ і аргументу $\phi$ відповідає однину $z$, що має дані модуль і аргумент. Особливими властивостями має число нуль: його модуль дорівнює нулю, аргумент не приписується ніякого певного значення.

Для досягнення однозначності у визначенні аргументу комплексного числа можна умовитися одне із значень аргументу називати головним. Його позначають символом $arg: z$. Зазвичай як головне значення аргументу вибирається значення, що задовольняє нерівностей
$0 \leq arg \: z (в інших випадках нерівностям $- \pi

Дійсна та уявна частини комплексного числа (як декартові координати точки) виражаються через його модуль та аргумент (полярні координати точки) за формулами:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
і комплексне число може бути записано у наступній тригонометричній формі:
$z = r(\cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(Запис числа як $z = a + bi$ називатимемо записом в алгебраїчної формі).

Перехід від запису числа в формі алгебри до його запису в тригонометричній формі і назад здійснюється за формулами (4):
$r = \sqrt(a^(2) + b^(2)), \cos \phi = \frac(a)(r)= \frac(a)(\sqrt(a^(2) + b^ (2))), \sin \phi = \frac(b)(r) = \frac(b)(\sqrt(a^(2) + b^(2))), tg \phi = \frac( b)(a)$ (3)
та формулам (1). При визначенні аргументу (його головного значення) можна використовувати значення однієї з тригонометричних функцій $\cos \phi$ або $\sin \phi$ і враховувати знак другий.

приклад. Записати в тригонометричній формі такі числа:
а) $ 6 + 6i $; б) $3i$; в) $-10 $.
Рішення, а) Маємо
$r = \sqrt(6^(2) + (-6)^(2)) = 6 \sqrt(2)$,
$\cos \phi = \frac(6)(6 \sqrt(2)) = \frac(1)(\sqrt(2)) = \frac(\sqrt(2))(2)$,
$\sin \phi = - \frac(6)(6 \sqrt(2)) = - \frac(1)(\sqrt(2)) = - \frac(\sqrt(2))(2)$,
звідки $\phi = \frac(7 \pi)(4)$, і, отже,
$6-6i = 6 \sqrt(2) \left (\cos \frac(7 \pi)(4) + i \sin \frac(7 \pi)(4) \right)$;
б) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \left (\cos \frac(\pi)(2) + i \sin \frac(\pi)(2) \right)$
в) $ r = 10, \ cos \ phi = -1, \ sin \ phi = 0, \ phi = \ pi $;
$-10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$