Графік парної функції симетричний щодо початку координат. Графік парної та непарної функцій

Визначення 1. Функція називається парної(непарною), якщо разом з кожним значенням змінної
значення – хтакож належить
і виконується рівність

Таким чином, функція може бути парною або непарною тільки тоді, коли її область визначення симетрична щодо початку координат на числовій прямій (числа хі – ходночасно належать
). Наприклад, функція
не є парною і непарною, оскільки її область визначення
не симетрична щодо початку координат.

Функція
парна, оскільки
симетрична щодо початку координат і.

Функція
непарна, оскільки
і
.

Функція
не є парною і непарною, тому що хоча
та симетрична щодо початку координат, рівності (11.1) не виконуються. Наприклад.

Графік парної функції симетричний щодо осі Оу, так як якщо точка

теж належить графіку. Графік непарної функції симетричний щодо початку координат, оскільки якщо
належить графіку, то й точка
теж належить графіку.

За доказом парності чи непарності функції бувають корисні такі твердження.

Теорема 1. а) Сума двох парних (непарних) функцій є функція парна (непарна).

б) Добуток двох парних (непарних) функцій є функція парна.

в) Добуток парної та непарної функцій є функція непарна.

г) Якщо f– парна функція на множині Х, а функція g визначено на безлічі
, то функція
– парна.

д) Якщо f- непарна функція на безлічі Х, а функція g визначено на безлічі
і парна (непарна), то функція
– парна (непарна).

Доведення. Доведемо, наприклад, б) та г).

б) Нехай
і
– парні функції. Тоді тому. Аналогічно розглядається випадок непарних функцій
і
.

г) Нехай f – парна функція. Тоді.

Інші твердження теореми доводяться аналогічно. Теорему доведено.

Теорема 2. Будь-яку функцію
, задану на безлічі Х, симетричному щодо початку координат, можна подати у вигляді суми парної та непарної функцій.

Доведення. функцію
можна записати у вигляді

.

Функція
– парна, оскільки
, а функція
- Непарна, оскільки. Таким чином,
, де
– парна, а
- Непарна функції. Теорему доведено.

Визначення 2. Функція
називається періодичноїякщо існує число
, таке, що за будь-якого
числа
і
також належать області визначення
та виконуються рівності

Така кількість Tназивається періодомфункції
.

З визначення 1 випливає, що якщо Т– період функції
, те й число - Ттеж є періодом функції
(оскільки при заміні Тна – Трівність зберігається). За допомогою методу математичної індукції можна показати, що якщо Т– період функції f, то й
, також є періодом. Звідси випливає, що й функція має період, вона має нескінченно багато періодів.

Визначення 3. Найменший із позитивних періодів функції називається її основнимперіодом.

Теорема 3. Якщо Т- Основний період функції f, то інші періоди кратні йому.

Доведення. Припустимо неприємне, тобто що існує період функції f (>0), не кратний Т. Тоді, розділивши на Тіз залишком, отримаємо
, де
. Тому

тобто – період функції f, причому
, а це суперечить тому, що Т- Основний період функції f. З отриманого протиріччя випливає твердження теореми. Теорему доведено.

Добре відомо, що тригонометричні функції є періодичними. Основний період
і
дорівнює
,
і
. Знайдемо період функції
. Нехай
- Період цієї функції. Тоді

(так як
.

абоилиили
.

Значення T, що визначається з першої рівності, не може бути періодом, оскільки залежить від х, тобто. є функцією від х, а чи не постійним числом. Період визначається з другої рівності:
. Періодів нескінченно багато, при
найменший позитивний період виходить за
:
. Це – основний період функції
.

Прикладом складнішої періодичної функції є функція Діріхле

Зауважимо, що якщо T- Раціональне число, то
і
є раціональними числами при раціональному хта ірраціональними при ірраціональному х. Тому

за будь-якого раціонального числа T. Отже, будь-яке раціональне число Tє періодом функції Діріхле. Ясно, що основного періоду цієї функції немає, оскільки є позитивні раціональні числа, скільки завгодно близькі до нуля (наприклад, раціональне число можна зробити вибором nяк завгодно близьким до нуля).

Теорема 4. Якщо функція f задана на безлічі Хі має період Т, а функція g задана на безлічі
, то складна функція
теж має період Т.

Доведення. Маємо, тому

тобто твердження теореми підтверджено.

Наприклад, оскільки cos x має період
, то й функції
мають період
.

Визначення 4. Функції, що не є періодичними, називаються неперіодичними.

Як вставити математичні формули на сайт?

Якщо потрібно колись додавати одну-дві математичні формули на веб-сторінку, то найпростіше зробити це, як описано в статті: математичні формули легко вставляються на сайт у вигляді картинок, які автоматично генерує Вольфрам Альфа. Окрім простоти, цей універсальний спосіб допоможе покращити видимість сайту у пошукових системах. Він працює давно (і, гадаю, працюватиме вічно), але морально вже застарів.

Якщо ви постійно використовуєте математичні формули на своєму сайті, я рекомендую вам використовувати MathJax - спеціальну бібліотеку JavaScript, яка відображає математичні позначення у веб-браузерах з використанням розмітки MathML, LaTeX або ASCIIMathML.

Є два способи, як почати використовувати MathJax: (1) за допомогою простого коду можна швидко підключити до вашого сайту скрипт MathJax, який автоматично підвантажуватиметься з віддаленого сервера (список серверів); (2) завантажити скрипт MathJax з віддаленого сервера на свій сервер та підключити до всіх сторінок свого сайту. Другий спосіб – більш складний та довгий – дозволить прискорити завантаження сторінок вашого сайту, і якщо батьківський сервер MathJax з якихось причин стане тимчасово недоступним, це ніяк не вплине на ваш власний сайт. Незважаючи на ці переваги, я вибрав перший спосіб, як більш простий, швидкий і не потребує технічних навичок. Наслідуйте мій приклад, і вже через 5 хвилин ви зможете використовувати всі можливості MathJax на своєму сайті.

Підключити скрипт бібліотеки MathJax з віддаленого сервера можна за допомогою двох варіантів коду, взятого на головному сайті MathJax або на сторінці документації:

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами або відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Будь-який фрактал будується за певним правилом, яке послідовно застосовується необмежену кількість разів. Щоразу називається ітерацією.

Ітеративний алгоритм побудови губки Менгера досить простий: вихідний куб зі стороною 1 ділиться площинами, що паралельні його граням, на 27 рівних кубів. З нього видаляються один центральний куб і 6 прилеглих до нього на грані кубів. Виходить безліч, що складається з 20 менших кубів, що залишилися. Поступаючи так само з кожним із цих кубів, отримаємо безліч, що складається вже з 400 менших кубів. Продовжуючи цей процес безкінечно, отримаємо губку Менгера.

Приховати Показати

Нехай функція визначається формулою: y=2x^(2)-3 . Призначаючи будь-які значення незалежної змінної x можна обчислити, користуючись даною формулою відповідні значення залежної змінної y . Наприклад, якщо x=-0,5, то, користуючись формулою, отримуємо, що відповідне значення y дорівнює y=2 \cdot(-0,5)^(2)-3=-2,5.

Взявши будь-яке значення, прийняте аргументом x у формулі y=2x^(2)-3 можна обчислити тільки одне значення функції, яке йому відповідає. Функцію можна подати у вигляді таблиці:

Користуючись даною таблицею, можна розібрати, що значення аргументу −1 буде відповідати значення функції −3 ; а значення x=2 буде відповідати y=0 і т.д. Також важливо знати, що кожному значенню аргументу таблиці відповідає лише одне значення функції.

Ще функції можна задати, використовуючи графіки. За допомогою графіка встановлюється яке значення функції співвідноситься з певним значенням x. Найчастіше це буде наближене значення функції.

Функція є парною функцією , коли f(-x)=f(x) для будь-якого x області визначення. Така функція буде симетрична щодо осі Oy.

Функція є непарною функцією , коли f(-x)=-f(x) для будь-якого x з області визначення. Така функція буде симетрична щодо початку координат O(0;0) .

Функція є ні парною, ні непарною і називається функцією загального виду, коли вона не має симетрії щодо осі або початку координат.

Досліджуємо на парність наведену нижче функцію:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) з симетричною областю визначення щодо початку координат. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3) -7x ^ (7)) = -f (x) .

Отже, функція f(x)=3x^(3)-7x^(7) є непарною.

Функція y=f(x) , в області визначення якої для будь-якого x виконується рівність f(x+T)=f(x-T)=f(x) називається періодичною функцією з періодом T \neq 0 .

Повторення графіка функції на будь-якому відрізку осі абсцис, який має довжину T .

Проміжки, де функція позитивна, тобто f(x) > 0 - відрізки осі абсцис, які відповідають точкам графіка функції, що лежать від осі абсцис.

f(x) > 0 (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Проміжки, де функція негативна, тобто f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})

Обмеженою знизу прийнято називати функцію y=f(x), x \in X тоді, коли існує таке число A для якого виконується нерівність f(x) \geq A для будь-якого x \in X .

Приклад обмеженої знизу функції: y=\sqrt(1+x^(2)) оскільки y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 для будь-якого x .

Обмеженою зверху називається функція y=f(x), x \in X тоді, коли існує таке число B для якого виконується нерівність f(x) \neq B для будь-якого x \in X .

Приклад обмеженої знизу функції: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] так як y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 для будь-якого x \ in [-1; 1] .

Обмеженою прийнято називати функцію y=f(x), x \in X тоді, коли існує таке число K > 0 для якого виконується нерівність \left | f(x) \right | \neq K для будь-якого x \in X .

Приклад обмеженої функції: y=\sin x обмежена по всій числової осі, оскільки \left | \sin x \right | \neq 1 .

Про функцію, що зростає на проміжку, що розглядається, прийнято говорити як про зростаючу функцію тоді, коли більшому значенню x буде відповідати більше значення функції y=f(x) . Звідси виходить, що взявши з проміжку, що розглядається, два довільних значення аргументу x_(1) і x_(2) , причому x_(1) > x_(2) , буде y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Функція, що зменшується на проміжку, що розглядається, називається спадною функцією тоді, коли більшому значенню x буде відповідати менше значення функції y(x) . Звідси виходить, що взявши з проміжку, що розглядається, два довільних значень аргументу x_(1) і x_(2) , причому x_(1) > x_(2) , буде y(x_(1))< y(x_{2}) .

Корінням функції прийнято називати точки, в яких функція F = y (x) перетинає вісь абсцис (вони виходять в результаті розв'язування рівняння y (x) = 0).

а) Якщо при x > 0 парна функція зростає, то зменшується вона за x< 0

б) Коли при x > 0 парна функція зменшується, то зростає вона за x< 0

в) Коли при x > 0 непарна функція зростає, то зростає і при x< 0

г) Коли непарна функція зменшуватиметься при x > 0 , то вона зменшуватиметься і при x< 0

Точкою мінімуму функції y=f(x) прийнято називати таку точку x=x_(0) , у якої її околиця матиме інші точки (крім самої точки x=x_(0) ), і тоді буде виконуватися нерівність f(x ) > f(x_(0)). y_(min) - позначення функції у точці min.

Точкою максимуму функції y=f(x) прийнято називати таку точку x=x_(0) , у якої її околиця матиме інші точки (крім самої точки x=x_(0) ), і тоді буде виконуватися нерівність f(x )< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Відповідно до теореми Ферма: f"(x)=0 тоді, коли у функції f(x) , що диференційована в точці x_(0) , з'явиться екстремум у цій точці.

Кроки обчислень:

Перетворення графіків.

Словесний опис функції.

Графічний метод.

Графічний спосіб завдання функції є найнаочнішим і найчастіше застосовується у техніці. У математичному аналізі графічний спосіб завдання функцій використовується як ілюстрація.

Графіком функції f називають безліч всіх точок (x; y) координатної площини, де y = f (x), а x «пробігає» всю область визначення цієї функції.

Підмножина координатної площини є графіком будь-якої функції, якщо вона має не більше однієї загальної точки з будь-якої прямої, паралельної осі Оу.

приклад. Чи є графіками функцій фігури, зображені нижче?

Перевагою графічного завдання є його наочність. Відразу видно, як поводиться функція, де зростає, де зменшується. За графіком одразу можна дізнатися деякі важливі характеристики функції.

Взагалі, аналітичний і графічний способи завдання функції йдуть пліч-о-пліч. Робота із формулою допомагає побудувати графік. А графік часто нагадує рішення, які у формулі і помітиш.

Майже будь-який учень знає три способи завдання функції, які ми щойно розглянули.

Спробуємо відповісти на запитання: "А чи існують інші способи завдання функції?"

Такий спосіб є.

Функцію можна цілком однозначно поставити словами.

Наприклад, функцію у = 2х можна задати наступним словесним описом: кожному дійсному значенню аргументу х ставиться у відповідність його подвоєне значення. Правило встановлено, функцію встановлено.

Більше того, словесно можна задати функцію, яку формулою задати вкрай скрутно, а то й неможливо.

Наприклад: кожному значенню натурального аргументу х ставиться у відповідність сума цифр, з яких складається значення х. Наприклад, якщо х=3, то у=3. Якщо х = 257, то у = 2 +5 +7 = 14. І так далі. Формулою це записати проблематично. А ось табличку легко скласти.

Спосіб словесного опису - досить рідко використовуваний спосіб. Але іноді трапляється.

Якщо є закон однозначної відповідності між х і у – значить, є функція. Який закон, у якій формі він виражений – формулою, табличкою, графіком, словами – суті справи не змінює.

Розглянемо функції, області визначення яких симетричні щодо початку координат, тобто. для будь-кого хз області визначення число (- х) також належить області визначення. Серед таких функцій виділяють парні та непарні.

Визначення. Функція f називається парною, якщо для будь-якого хз її галузі визначення

приклад. Розглянемо функцію

Вона є парною. Перевіримо це.

Для будь-кого хвиконані рівності

Таким чином, у нас виконуються обидві умови, отже, функція парна. Нижче наведено графік цієї функції.

Визначення. Функція f називається непарною, якщо для будь-якого хз її галузі визначення

приклад. Розглянемо функцію

Вона є непарною. Перевіримо це.

Область визначення вся числова вісь, отже, вона симетрична щодо точки (0;0).

Для будь-кого хвиконані рівності

Таким чином, у нас виконуються обидві умови, отже, функція непарна. Нижче наведено графік цієї функції.

Графіки, зображені першому і третьому малюнках симетричні щодо осі ординат, а графіки, зображені другою і четвертому малюнкам симетричні щодо початку координат.

Які функції, графіки яких зображені на малюнках є парними, а які непарними?

Дослідження функції.

1) D(y) – Область визначення: безліч усіх тих значень змінної х. при яких вирази алгебри f(x) і g(x) мають сенс.

Якщо функція задана формулою, область визначення складається з усіх значень незалежної змінної, при яких формула має сенс.

2) Властивості функції: парність/непарність, періодичність:

Непарними і парними називаються функції, графіки яких мають симетрію щодо зміни знака аргументу.

Непарна функція - функція, що змінює значення на протилежне зміні знака незалежної змінної (симетрична щодо центру координат).

парна функція - функція, що не змінює свого значення при зміні знака незалежної змінної (симетрична щодо осі ординат).

Ні парна ні непарна функція (функція загального виду) - функція, що не має симетрії. До цієї категорії відносять функції, що не підпадають під попередні 2 категорії.

Функції, що не належать жодній із категорій вище, називаються ні парними ні непарними(або функціями загального вигляду).

Непарні функції

Непарний ступінь де - довільне ціле число.

Чітні функції

парний ступінь де - довільне ціле число.

Періодична функція - функція, що повторює свої значення через деякий регулярний інтервал аргументу, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргументу деякого фіксованого ненульового числа (періоду функції) по всій області визначення.

3) Нулі (коріння) функції - точки, де вона перетворюється на нуль.

Знаходження точки перетину графіка з віссю Ой. Для цього потрібно обчислити значення f(0). Знайти також точки перетину графіка з віссю Ox, для чого знайти коріння рівняння f(x) = 0 (або переконатися у відсутності коріння).

Точки, в яких графік перетинає вісь, називають нулями функції. Щоб знайти нулі функції потрібно вирішити рівняння , тобто знайти значення «ікс» , у яких функція перетворюється на нуль.

4) Проміжки сталості знаків, знаки у яких.

Проміжки, де функція f(x) зберігає знак.

Інтервал знакопостійності – це інтервал, у кожному точці якого функція позитивна чи негативна.

Вище осі абсцис.

НИЖЧЕ ОСІ.

5) Безперервність (точки розриву, характер розриву, асимптоти).

Безперервна функція – функція без «стрибків», тобто така, у якої малі зміни аргументу призводять до малих змін значення функції.

Якщо межа функції існує, Але функція не визначена в цій точці, або межа не збігається зі значенням функції цієї точки:

,

то точка називається точкою усуненого розривуфункції (у комплексному аналізі -усувна особлива точка).

Якщо «поправити» функцію в точці розриву, що усувається, і покласти , то вийде функція, безперервна у цій точці. Така операція над функцією називається довизначенням функції до безперервноїабо довизначенням функції безперервності, що і доводить назву точки, як точки усувногорозриву.

Точки розриву першого та другого роду

Якщо функція має розрив у цій точці (тобто межа функції у цій точці відсутня чи збігається зі значенням функції у цій точці), то числових функцій виникає два можливі варіанти, що з існуванням у числових функцій односторонніх меж:

якщо обидва односторонні межі існують і кінцеві, то таку точку називають точкою розриву першого роду. Крапки усуненого розриву є точками розриву першого роду;

якщо хоча б один із односторонніх меж не існує або не є кінцевою величиною, то таку точку називають точкою розриву другого роду.

Асимптота - пряма, Що володіє тим властивістю, що відстань від точки кривої до цієї прямийпрагне до нуля при видаленні точки вздовж гілки внескінченність.

Вертикальна

Вертикальна асимптота - пряма межа .

Як правило, при визначенні вертикальної асимптоти шукають не одну межу, а дві односторонні (ліву та праву). Це робиться з метою визначити, як функція поводиться в міру наближення до вертикальної асимптоти з різних боків. Наприклад:

Горизонтальна асимптота прямавиду за умови існування межі

.

Похила асимптота - прямавиду за умови існування меж

Зауваження: функція може мати не більше двох похилих (горизонтальних) асимптотів.

Зауваження: якщо хоча б одна з двох згаданих вище меж не існує (або дорівнює), то похилої асимптоти при (або) не існує.

якщо в п. 2.), то і межа знаходиться за формулою горизонтальної асимптоти, .

6) Знаходження проміжків монотонності. Знайти інтервали монотонності функції f(x) (Тобто інтервали зростання та спадання). Це робиться за допомогою дослідження похідного знака f(x). Для цього знаходять похідну f(x) і вирішують нерівність f(x)0. На проміжках, де ця нерівність виконана, функція f(x) Зростає. Там, де виконано зворотну нерівність f(x)0, функція f(x) Зменшується.

Знаходження локального екстремуму. Знайшовши інтервали монотонності, ми можемо відразу визначити точки локального екстремуму там, де зростання змінюється зменшенням, розташовуються локальні максимуми, а там, де зменшення змінюється зростанням - локальні мінімуми. Обчислити значення функції у цих точках. Якщо функція має критичні точки, які є точками локального екстремуму, то корисно обчислити значення функції й у цих точках.

Знаходження найбільшого та найменшого значень функції y = f(x) на відрізку (продовження)