Графік функції y sin 1. Функції у = sin х, у = cos x, їх властивості та графіки - Гіпермаркет знань

Урок та презентація на тему: "Функція y=sin(x). Визначення та властивості"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову для 7-10 класів
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"

Що вивчатимемо:

• Властивості функції Y = sin (X).
• Графік функції.
• Як будувати графік та його масштаб.
• приклади.

Властивості синусу. Y=sin(X)

Діти, ми вже познайомилися з тригонометричними функціями числового аргументу. Ви пам'ятаєте їх?

Давайте познайомимося ближче із функцією Y=sin(X)

Запишемо деякі властивості цієї функції:
1) Область визначення – безліч дійсних чисел.
2) Функція непарна. Згадаймо визначення непарної функції. Функція називається непарною, якщо виконується рівність: y(-x)=-y(x). Як пам'ятаємо з формул привида: sin(-x)=-sin(x). Визначення виконалося, отже Y = sin (X) - непарна функція.
3) Функція Y=sin(X) зростає на відрізку та зменшується на відрізку [π/2; π]. Коли ми рухаємось по першій чверті (проти годинникової стрілки), ордината збільшується, а під час руху по другій чверті вона зменшується.

4) Функція Y=sin(X) обмежена знизу та зверху. Ця властивість випливає з того, що
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Найменше значення функції дорівнює -1 (при х = - π/2+ πk). Найбільше значення функції дорівнює 1 (при х = π/2+ πk).

Давайте, скориставшись властивостями 1-5, збудуємо графік функції Y = sin (X). Будуватимемо наш графік послідовно, застосовуючи наші властивості. Почнемо будувати графік на відрізку.

Особливу увагу варто звернути на масштаб. На осі ординат зручніше прийняти одиничний відрізок рівний двом клітинам, але в осі абсцис - одиничний відрізок (дві клітини) прийняти рівним π/3 (дивіться малюнок).

Побудова графіка функції синус x, y=sin(x)

Порахуємо значення функції на нашому відрізку:

Побудуємо графік за нашими точками, з урахуванням третьої якості.

Таблиця перетворень для формул привиду

Скористаємося другою властивістю, яка говорить, що наша функція непарна, а це означає, що її можна відобразити симетрично щодо початку координат:

Ми знаємо, що sin(x+2π) = sin(x). Це означає, що у відрізку [- π; π] графік виглядає так само, як на відрізку [π; 3π] або або [-3π; - π] і так далі. Нам залишається акуратно перемалювати графік на попередньому малюнку на всю вісь абсцис.

Графік функції Y=sin(X) називають синусоїдою.

Напишемо ще кілька властивостей згідно з побудованим графіком:
6) Функція Y=sin(X) зростає будь-якому відрізку виду: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k – ціле число і зменшується на будь-якому відрізку виду: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – ціле число.
7) Функція Y=sin(X) – безперервна функція. Подивимося на графік функції і переконаємося, що наша функція не має розривів, це означає безперервність.
8) Область значень: відрізок [-1; 1]. Це також добре видно з графіка функції.
9) Функція Y = sin (X) - періодична функція. Подивимося знову на графік і побачимо, що функція набуває одні й самі значення, через деякі проміжки.

Приклади завдань із синусом

1. Розв'язати рівняння sin(x)= x-π

Рішення: Побудуємо 2 графіки функції: y=sin(x) і y=x-π (див. рисунок).
Наші графіки перетинаються в одній точці А(π;0), і є відповідь: x = π

2. Побудувати графік функції y=sin(π/6+x)-1

Рішення: Шуканий графік вийде шляхом перенесення графіка функції y=sin(x) на π/6 одиниць вліво та 1 одиницю вниз.

Рішення: Побудуємо графік функції та розглянемо наш відрізок [π/2; 5π/4].
На графіку функції видно, що найбільші та найменші значення досягаються на кінцях відрізка, у точках π/2 та 5π/4 відповідно.
Відповідь: sin(π/2) = 1 – найбільше значення, sin(5π/4) = найменше значення.

Завдання на синус для самостійного вирішення

• Розв'яжіть рівняння: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Побудувати графік функції y=sin(π/3+x)-2
• Побудувати графік функції y=sin(-2π/3+x)+1
• Знайти найбільше та найменше значення функції y=sin(x) на відрізку
• Знайти найбільше та найменше значення функції y=sin(x) на відрізку [- π/3; 5π/6]

>>Математика: Функції у = sin х, у = cos x, їх властивості та графіки

Функції у = sin х, у = cos x, їх властивості та графіки

У цьому параграфі обговоримо деякі властивості функцій у = sin х,у = соs х і побудуємо їх графіки.

1. Функція у = sin X.

Вище, у § 20, ми сформулювали правило, що дозволяє кожному числу t поставити у відповідність число cos t, тобто. охарактеризували функцію y = sin t. Зазначимо деякі її властивості.

Властивості функції u=sin t.

Область визначення - безліч До дійсних чисел.
Це випливає з того, що будь-якому числу 2 відповідає на числовому колі точка М(1), яка має певну ординату; ця ордината і є cos t.

u = sin t – непарна функція.

Це випливає з того, що, як було доведено в § 19, для будь-якого t виконується рівність
Отже, графік функції = sin t, як графік будь-якої непарної функції, симетричний щодо початку координат у прямокутній системі координат tOі.

Функція u = sin t збільшується на відрізку
Це випливає з того, що при русі точки по першій чверті числового кола ординату поступово збільшується (від 0 до 1 - див. рис. 115), а при русі точки по другій чверті числового кола ординату поступово зменшується (від 1 до 0 - див. 116).

Функція u = sin t обмежена і знизу, і згори. Це випливає з того, що, як ми бачили в § 19, для будь-якого t справедлива нерівність

(Цього значення функція досягає в будь-якій точці виду (Цього значення функція досягає у будь-якій точці виду
Скориставшись отриманими властивостями, побудуємо графік функції, що нас цікавить. Але (увага!) замість u - sin t писатимемо у = sin x (адже нам звичніше запис у = f(х), а не u = f(t)). Значить, і будуватимемо графік у звичній системі координат хОу (а не tOy).

Складемо таблицю значень функції у - sin х:

Зауваження.

Наведемо одну з версій походження терміна синус. Латиною sinus означає вигин (тітива цибулі).

Побудований графік певною мірою виправдовує цю термінологію.

Лінію, що є графіком функції у = sin х, називають синусоїдою. Ту частину синусоїди, що зображено на рис. 118 або 119 називають хвилею синусоїди, а ту частину синусоїди, яка зображена на рис. 117 називають напівхвильовою або аркою синусоїди.

2. Функція у = соs х.

Вивчення функції у = соs х можна було б провести приблизно за тією самою схемою, яка була використана вище для функції у = sin х. Але ми виберемо шлях, який швидше приводить до мети. Спочатку доведемо дві формули , важливі власними силами (у цьому ви переконаєтеся у старших класах), але поки що мають для наших цілей лише допоміжне значення.

Для будь-якого значення t справедливі рівність

Доведення. Нехай числу t відповідає точка М числової n кола, а числу * + - точка Р (рис. 124; заради простоти ми взяли точку М у першій чверті). Дуги АМ і ВР рівні, відповідно рівні прямокутні трикутники ОКМ і ОЬР. Значить, ОК = ОЬ, МК = РЬ. З цих рівностей і розташування трикутників ОКМ і ОЬР в системі координат робимо два висновки:

1) ордината точки Р і за модулем і за знаком збігається з абсцисою точки М; це означає що

2) абсцис точки Р по модулю дорівнює ординаті точки М, але відрізняється від неї знаком; це означає що

Приблизно так само проводяться відповідні міркування у випадках, коли точка М належить не першої чверті.
Скористаємося формулою (Це - формула, доведена вище, тільки замість змінної t ми використовуємо змінну х). Що нам дає ця формула? Вона дозволяє стверджувати, що функції

тотожні, отже, їхні графіки збігаються.
Побудуємо графік функції Для цього перейдемо до допоміжної системи координат із початком у точці (пунктирна пряма проведена на рис. 125). Прив'яжемо функцію у = sin х до нової системи координат - це буде графік функції (Рис. 125), тобто. графік функції у – соs х. Його, як і графік функції у = sin х, називають синусоїдою (що цілком природно).

Властивості функції у = х.

у = соs х – парна функція.

Етапи побудови відображені на рис. 126:

1) будуємо графік функції у = соs х (точніше, одну напівхвилю);
2) розтягнувши побудований графік від осі х з коефіцієнтом 0,5, отримаємо одну напівхвилю необхідного графіка;
3) за допомогою отриманої напівхвилі будуємо весь графік функції у = 0,5 х.

Ми з'ясували, що поведінка тригонометричних функцій і функції у = sin х зокрема, на всій числовій прямій (або при всіх значеннях аргументу х) повністю визначається її поведінкою в інтервалі 0 < х < π / 2 .

Тому перш за все ми побудуємо графік функції у = sin х саме у цьому інтервалі.

Складемо таку таблицю значень нашої функції;

Позначаючи відповідні точки на площині координат та з'єднуючи їх плавною лінією, ми отримуємо криву, представлену на малюнку

Отриману криву можна було б побудувати і геометрично, не становлячи таблиці значень функції у = sin х .

1. Першу чверть кола радіуса 1 розділимо на 8 рівних частин. Ординати точок поділу кола є синуси відповідних кутів.

2.Перша чверть кола відповідає кутам від 0 до π / 2 . Тому на осі хВізьмемо відрізок і розділимо його на 8 рівних частин.

3. Проведемо прямі, паралельні осі х, та якщо з точок поділу відновимо перпендикуляри до перетину з горизонтальними прямими.

4.Точки перетину з'єднаємо плавною лінією.

Тепер звернемося до інтервалу π / 2 < х < π .
Кожне значення аргументу хз цього інтервалу можна подати у вигляді

x = π / 2 + φ

де 0 < φ < π / 2 . За формулами наведення

sin ( π / 2 + φ ) = соs φ = sin ( π / 2 - φ ).

Точки осі хз абцисами π / 2 + φ і π / 2 - φ симетричні один одному щодо точки осі хз абсцисою π / 2 , і синуси у цих точках однакові. Це дозволяє отримати графік функції у = sin х в інтервалі [ π / 2 , π ] шляхом простого симетричного відображення графіка цієї функції в інтервалі щодо прямої х = π / 2 .

Тепер, використовуючи властивість непарності функції у = sin х,

sin (- х) = - sin х,

легко побудувати графік цієї функції в інтервалі [- π , 0].

Функція у = sin x періодична з періодом 2π ;. Тому для побудови всього графіка цієї функції досить криву, зображену на малюнку, продовжити вліво та вправо періодично з періодом 2π .

Отримана внаслідок цього крива називається синусоїдою . Вона і є графіком функції у = sin х.

Малюнок добре ілюструє всі властивості функції у = sin х , які раніше було доведено нами. Нагадаємо ці властивості.

1) Функція у = sin х визначено для всіх значень х , Отже областю її визначення є сукупність всіх дійсних чисел.

2) Функція у = sin х обмежена. Усі значення, які вона набуває, укладені в інтервалі від -1 до 1, включаючи ці два числа. Отже, сфера зміни цієї функції визначається нерівністю -1 < у < 1. При х = π / 2 + 2k π функція набуває найбільших значень, рівні 1, а при х = - π / 2 + 2k π - Найменші значення, рівні - 1.

3) Функція у = sin х є непарною (синусоїда симетрична щодо початку координат).

4) Функція у = sin х періодична з періодом 2 π .

5) В інтервалах 2n π < x < π + 2n π (n - будь-яке ціле число) вона позитивна, а інтервалах π + 2k π < х < 2π + 2k π (k – будь-яке ціле число) вона негативна. При х = k π функція перетворюється на нуль. Тому ці значення аргументу х (0; ± π ; ±2 π ; ...) називаються нулями функції у = sin x

6) В інтервалах - π / 2 + 2n π < х < π / 2 + 2n π функція у = sin x монотонно зростає, а в інтервалах π / 2 + 2k π < х < 3π / 2 + 2k π вона монотонно зменшується.

Варто особливо звернути увагу на поведінку функції у = sin x поблизу точки х = 0 .

Наприклад, sin 0,012 ≈ 0,012; sin (-0,05) ≈ -0,05;

sin 2° = sin π 2 / 180 = sin π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Водночас слід зазначити, що за будь-яких значень х

| sin x| < | x | . (1)

Дійсно, нехай радіус кола, представленого на малюнку, дорівнює 1,
a / AОВ = х.

Тоді sin x= АС. Але АС< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол х. Довжина цієї дуги дорівнює, очевидно, х, Так як радіус кола дорівнює 1. Отже, при 0< х < π / 2

sin х< х.

Звідси через непарність функції у = sin x легко показати, що при - π / 2 < х < 0

| sin x| < | x | .

Нарешті, при x = 0

| sin x | = | х |.

Отже, для | х | < π / 2 нерівність (1) доведено. Насправді це нерівність вірно і за | x | > π / 2 через те, що | sin х | < 1, а π / 2 > 1

Вправи

1.По графіку функції у = sin x визначити: a) sin 2; б) sin 4; в) sin(-3).

2.По графіку функції у = sin x визначити, яке число з інтервалу
[ - π / 2 , π / 2 ] має синус, рівний: а) 0,6; б) -0,8.

3. За графіком функції у = sin x визначити, які числа мають синус,
рівний 1/2.

4. Знайти приблизно (без використання таблиць): a) sin 1°; б) sin 0,03;
в) sin (-0,015); г) sin (-2 ° 30 ").

На цьому уроці ми докладно розглянемо функцію у = sin х, її основні властивості та графік. На початку уроку дамо визначення тригонометричної функції у = sin t на координатному колі та розглянемо графік функції на колі та прямий. Покажемо періодичність цієї функції на графіку та розглянемо основні властивості функції. Наприкінці уроку вирішимо кілька найпростіших завдань із використанням графіка функції та її властивостей.

Тема: Тригонометричні функції

Урок: Функція y=sinx, її основні властивості та графік

При розгляді функції важливо кожному значенню аргументу поставити у відповідність єдине значення функції. Цей закон відповідностіі називається функцією.

Визначимо закон відповідності для .

Будь-якому дійсному числу відповідає єдина точка на одиничному колі У точки є єдина ордината, яка називається синусом числа (рис. 1).

Кожному значенню аргументу ставиться у відповідність єдине значення функції.

З визначення синуса випливають очевидні властивості.

На малюнку видно, що т.к. це ордината точки одиничного кола.

Розглянемо графік функції. Згадаймо геометричну інтерпретацію аргументу. Аргумент – це центральний кут, що вимірюється в радіанах. По осі ми відкладатимемо дійсні числа або кути в радіанах, по осі відповідні значення функції.

Наприклад, кут на одиничному колі відповідає точці на графіку (рис. 2)

Ми отримали графік функції дільниці Але знаючи період синуса ми можемо зобразити графік функції по всій області визначення (рис. 3).

Основним періодом функції є це означає, що графік можна отримати на відрізку, а потім продовжити на всю область визначення.

Розглянемо властивості функції:

1) Область визначення:

2) Область значень:

3) Функція непарна:

4) Найменший позитивний період:

5) Координати точок перетину графіка з віссю абсцис:

6) Координати точки перетину графіка з віссю ординат:

7) Проміжки, на яких функція набуває позитивних значень:

8) Проміжки, на яких функція набуває негативних значень:

9) Проміжки зростання:

10) Проміжки зменшення:

11) Точки мінімуму:

12) Мінімум функції:

13) Точки максимуму:

14) Максимум функції:

Ми розглянули властивості функції та її графік. Властивості неодноразово використовуватимуться під час вирішення завдань.

Список літератури

1. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Підручник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2009.

2. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.

3. Віленкін Н.Я., Івашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.І. Алгебра та математичний аналіз для 10 класу (навчальний посібник для учнів шкіл та класів з поглибленим вивченням математики).-М.: Просвітництво, 1996.

4. Галицький М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.І. Поглиблене вивчення алгебри та математичного анализа.-М.: Просвітництво, 1997.

5. Збірник завдань з математики для вступників до ВТУЗи (під ред. М.І.Сканаві).-М.: Вища школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебраїчний тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Завдання з алгебри та початку аналізу (посібник учнів 10-11 класів общеобразов. установ).-М.: Просвітництво, 2003.

8. Карп А.П. Збірник завдань з алгебри та початків аналізу: навч. посібник для 10-11 кл. з поглибл. вивч. математики.-М.: Просвітництво, 2006.

Домашнє завдання

Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред.

А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Додаткові веб-ресурси

3. Освітній портал для підготовки до іспитів ().

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Залізо іржавіє, не знаходячи собі застосування,
стояча вода гниє або на холоді замерзає,
а розум людини, не знаходячи собі застосування, чахне.
Леонардо Да Вінчі

Використовувані технології:проблемного навчання, критичного мислення, комунікативного спілкування

Цілі:

• Розвиток пізнавального інтересу до навчання.
• Вивчення властивостей функції у = sin x.
• Формування практичних навичок побудови графіка функції у = sin x з урахуванням вивченого теоретичного матеріалу.

Завдання:

1. Використовувати наявний потенціал знання властивості функції у = sin x у конкретних ситуаціях.

2. Застосовувати усвідомлене встановлення зв'язків між аналітичною та геометричною моделями функції у = sin x.

Розвивати ініціативу, певну готовність та інтерес до пошуку рішення; вміння приймати рішення, не зупинятися на досягнутому, відстоювати свою думку.

Виховувати в учнів пізнавальну активність, почуття відповідальності, поваги один до одного, взаєморозуміння, взаємопідтримки, впевненості у собі; культуру спілкування.

Хід уроку

1 етап. Актуалізація опорних знань, мотивація вивчення нового матеріалу

"Вхід до уроку".

На дошці написано 3 твердження:

1. Тригонометричне рівняння sin t = a має рішення.
2. Графік непарної функції можна побудувати перетворення симетрії щодо осі Оу.
3. Графік тригонометричної функції можна побудувати, використовуючи одну головну напівхвилю.

Учні обговорюють у парах: чи вірні твердження? (1 хвилина). Потім результати початкового обговорення (так, ні) вносяться до таблиці стовпець "До".

Вчитель ставить цілі та завдання уроку.

2. Актуалізація знань (фронтально на моделі тригонометричного кола).

Ми познайомилися з функцією s = sin t.

1) Які значення може набувати змінна t. Яка область визначення цієї функції?

2) У якому проміжку укладено значення виразу sin t. Знайти найбільше та найменше значення функції s = sin t.

3) Розв'яжіть рівняння sin t = 0.

4) Що відбувається з ординатою точки під час її руху по першій чверті? (Ордината збільшується). Що відбувається з ординатою точки під час її руху по другій чверті? (Ордината поступово зменшується). Як це пов'язано із монотонністю функції? (функція s = sin t зростає на відрізку і зменшується на відрізку).

5) Запишемо функцію s = sin t у звичному нам вигляді у = sin x (будувати будемо у звичній системі координат хОу) і складемо таблицю значень цієї функції.

2 етап. Сприйняття, осмислення, первинне закріплення, мимовільне запам'ятовування

4 етап. Первинна систематизація знань та способів діяльності, їх перенесення та застосування в нових ситуаціях

6. № 10.18 (б, в)

5 етап. Підсумковий контроль, корекція, оцінка та самооцінка

7. Повертаємося до тверджень (початок уроку), обговорюємо, використовуючи властивості тригонометричної функції у = sin x, та заповнюємо в таблиці стовпець "Після".

8. Д/з: п.10, № 10.7(а), 10.8(б), 10.11(б), 10.16(а)