Графіки функцій еге як вирішувати. Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Елементи змісту

Похідна, дотична, первісна, графіки функцій та похідних.

ПохіднаНехай функція \(f(x)\) визначена в околицях точки \(x_0\).

Похідної функції \(f\) у точці \(x_0\)називається межа

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

якщо ця межа існує.

Похідна функції у точці характеризує швидкість зміни цієї функції у цій точці.

Таблиця похідних

Правила диференціювання\(f\) та \(g\) - функції, що залежать від змінної \(x\); (c) - число.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)" = f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - похідна складної функції

Геометричний зміст похідної Рівняння прямої- не паралельної осі (Oy) можна записати у вигляді (y = kx + b). Коефіцієнт \(k\) у цьому рівнянні називають кутовим коефіцієнтом прямої. Він дорівнює тангенсу кута нахилуцієї прямої.

Кут нахилу прямий- кут між позитивним напрямом осі \(Ox\) і даною прямий, що відраховується у напрямку позитивних кутів (тобто, у напрямку найменшого повороту від осі \(Ox\) до осі \(Oy\)).

Похідна функції \(f(x)\) у точці \(x_0\) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в даній точці: \(f"(x_0)=\tg\alpha.\)

Якщо \(f"(x_0)=0\), то щодо графіка функції \(f(x)\) в точці \(x_0\) паралельна осі \(Ox\).

Рівняння дотичної

Рівняння щодо графіку функції \(f(x)\) у точці \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Монотонність функціїЯкщо похідна функції позитивна у всіх точках проміжку, то функція зростає цьому проміжку.

Якщо похідна функції негативна у всіх точках проміжку, то функція зменшується у цьому проміжку.

Точки мінімуму, максимуму та перегину позитивногона негативнеу цій точці, то (x_0) - точка максимуму функції (f).

Якщо функція \(f\) безперервна в точці \(x_0\), а значення похідної цієї функції \(f"\) змінюється з негативногона позитивнеу цій точці, то (x_0) - точка мінімуму функції (f).

Точки, в яких похідна \(f"\) дорівнює нулю або немає називаються критичними точкамифункції (f).

Внутрішні точки області визначення функції \(f(x)\), у яких \(f"(x)=0\) можуть бути точками мінімуму, максимуму або перегину.

Фізичний зміст похідноїЯкщо матеріальна точка рухається прямолінійно та її координата змінюється залежно від часу за законом \(x=x(t)\), то швидкість цієї точки дорівнює похідній координати за часом:

Прискорення матеріальної точки на рівні похідної швидкості цієї точки за часом:

\(a(t)=v"(t).\)

Муніципальний загальноосвітній заклад

«Салтиківська середня загальноосвітня школа

Ртищівського району Саратовської області»

Майстер – клас з математики

У 11 класі

по темі

"ПОХІДНА ФУНКЦІЇ

У ЗАВДАННЯХ ЄДІ»

Провела вчитель математики

Бєлоглазова Л.С.

2012-2013 навчальний рік

Мета майстер – класу : розвивати в учнів навички застосування теоретичних знань на тему «Похідна функції» на вирішення завдань єдиного державного іспиту.

Завдання

Освітні: узагальнити та систематизувати знання учнів на тему

«Виробна функції», розглянути прототипи завдань ЄДІ на цю тему, надати учням можливість перевірити свої знання за самостійного вирішення завдань.

Розвиваючі:сприяти розвитку пам'яті, уваги, навичок самооцінки та самоконтролю; формуванню основних ключових компетенцій (порівняння, зіставлення, класифікація об'єктів, визначення адекватних способів вирішення навчальної задачі на основі заданих алгоритмів, здатність самостійно діяти в ситуації невизначеності, контролювати та оцінювати свою діяльність, знаходити та усувати причини труднощів, що виникли).

Виховні:сприяти:

формування у учнів відповідального ставлення до вчення;

розвитку сталого інтересу до математики;

створення позитивної внутрішньої мотивації до вивчення математики.

Технології: індивідуально-диференційованого навчання, ІКТ.

Методи навчання: словесний, наочний, практичний, проблемний.

Форми роботи:індивідуальна, фронтальна, у парах.

Обладнання та матеріали для уроку:проектор, екран, ПК для кожного учня, тренажер (Додаток №1),презентація до уроку (Додаток №2),індивідуально – диференційовані картки для самостійної роботи у парах (Додаток №3),список сайтів мережі Інтернет, індивідуально-диференційоване домашнє завдання (Додаток №4).

Пояснення до майстер-класу.Цей майстер – клас проводиться в 11 класі з метою підготовки до ЄДІ. Націлений застосування теоретичного матеріалу на тему «Похідна функції» під час вирішення екзаменаційних завдань.

Тривалість майстер – класу- 30 хв.

Структура майстер-класу

I. Організаційний момент -1 хв.

II. Повідомлення теми, цілі майстер - класу, мотивація навчальної діяльності-1 хв.

III. Фронтальна робота Тренінг «Завдання В8 ЄДІ». Аналіз роботи з тренажером – 6 хв.

IV. Індивідуально - диференційована робота у парах. Самостійне розв'язання задач В14. Взаємоперевірка – 7 хв.

V. Перевірка індивідуального домашнього завдання. Завдання з параметром С5 ЄДІ

3 хв.

VI.Оn - line тестування. Аналіз результатів тестування – 9 хв.

VII. Індивідуально - диференційоване домашнє завдання -1 хв.

VIII. Оцінки за урок - 1 хв.

IX. Підсумок уроку. Рефлексія -1 хв.

Хід майстер-класу

I . Організаційний момент.

II . Повідомлення теми, цілі майстер - класу, мотивація навчальної діяльності.

(Слайди 1-2, додаток №2)

Тема нашого заняття «Похідна функцій у завданнях ЄДІ». Всім відомий вислів «Малий золотник та дорогий». Одним із таких «золотників» у математиці є похідна. Похідна застосовується під час вирішення багатьох практичних завдань математики, фізики, хімії, економіки та інших дисциплін. Вона дозволяє вирішувати завдання просто, красиво, цікаво.

Тема «Виробна» представлена ​​в завданнях частини В (В8, В14) єдиного державного іспиту. Деякі завдання С5 можна вирішити із застосуванням похідної. Але для вирішення цих завдань потрібна хороша математична підготовка та нестандартне мислення.

Ви працювали з документами, що регламентують структуру та зміст контрольних вимірювальних матеріалів єдиного державного іспиту з математики 2013 року.які знання та вміння вам потрібні для успішного вирішення завдань ЄДІ на тему «Похідна».

(Слайди 3-4, додаток №2)

Ми вивчили«Кодифікатор елементів змісту з МАТЕМАТИКИ для складання контрольних вимірювальних матеріалів для проведення єдиного державного іспиту»,

"Кодифікатор вимог до рівня підготовки випускників",«Специфікацію контрольних вимірювальних матеріалів»,«Демонстраційний варіантконтрольних вимірювальних матеріалів єдиного державного іспиту 2013» таз'ясували, які знання та вміння про функцію та її похідну потрібні для успішного вирішення завдань на тему «Виробна».

Необхідно

• ЗНАТИ

п равила обчислення похідних;

похідні основних елементарних функцій;

геометричний та фізичний зміст похідної;
рівняння щодо графіку функції;
дослідження функції з допомогою похідної.

ВМІТИ

виконувати дії з функціями (описувати за графіком поведінку та властивості функції, знаходити її найбільше та найменше значення).

ВИКОРИСТОВУВАТИ

набуті знання та вміння у практичній діяльності та повсякденному житті.

Ви маєте теоретичні знання на тему «Похідна». Сьогодні ми будемоВЧИТИСЯ ЗАСТОСУВАННЯ ЗНАНЬ ПРО ВИРОБНИЧУ ФУНКЦІЮ ДЛЯ РІШЕННЯ ЗАВДАНЬ ЄДІ. ( Слайд 4, додаток №2)

Адже недарма Аристотель казав, що “РОЗУМ ЗАКЛЮЧАЄТЬСЯ НЕ ТІЛЬКИ У ЗНАНІ, АЛЕ І В УМІННІ ЗАСТОСУВАННЯ ЗНАНЬ НА ПРАКТИЦІ”( Слайд 5, додаток №2)

Наприкінці уроку ми повернемося до мети нашого заняття та з'ясуємо, чи досягли її?

III . Фронтальна робота Тренінг «Завдання В8 ЄДІ» (Додаток №1) . Аналіз роботи із тренажером.

Виберіть правильну відповідь із чотирьох запропонованих.

У чому, на вашу думку, полягає складність виконання завдання В8?

Як ви думаєте, яких типових помилок припускаються випускники на іспиті при вирішенні цього завдання?

При відповіді питання завдання В8 ви повинні вміти описувати за графіком похідної поведінка і властивості функції, а, по графіку функції – поведінка і властивості похідної функції. А для цього потрібні добрі теоретичні знання з наступних тем: «Геометричний та механічний зміст похідної. Дотична до графіка функції. Застосування похідної дослідження функцій».

Проаналізуйте, які завдання викликали у вас труднощі?

Які теоретичні питання вам потрібно знати?

IV. Індивідуально – диференційована робота у парах. Самостійне розв'язання задач В14. Взаємоперевірка. (Додаток №3)

Згадайте алгоритм розв'язання задач (В14 ЄДІ) на знаходження точок екстремуму, екстремумів функції, найбільшого та найменшого значень функції на проміжку за допомогою похідної.

Розв'яжіть завдання за допомогою похідної.

Перед учнями поставлено проблему:

"Подумайте, чи можна вирішити деякі завдання В14 іншим способом, без застосування похідної?"

1 пара(Лук'янова Д., Гаврюшина Д.)

1)В14. Знайдіть точку мінімуму функції у =10х-ln (х+9)+6

2)В14.Знайдіть найбільше значення функціїy =

- Спробуйте вирішити друге завдання двома способами.

2 пари(Санінська Т., Сазанов А.)

1)В14.Знайдіть найменше значення функції у = (х-10) на відрізку

2)В14. Знайти точку максимуму функції у = -

(Учні захищають своє рішення, записуючи основні етапи вирішення завдань на дошці. Учні 1 пара (Лук'янова Д., Гаврюшина Д.)надають два способи вирішення задачі №2).

Вирішення проблеми. Висновок, який мають зробити учні:

"Деякі завдання В14 ЄДІ на знаходження найменшого і найбільшого значення функції можна вирішити без застосування похідної, спираючись на властивості функцій".

Проаналізуйте, яка помилка була допущена вами завдання?

Які теоретичні питання вам потрібно повторити?

V. Перевірка індивідуального домашнього завдання. Завдання з параметром С5(ЄДІ) ( Слайди 7-8, додаток №2)

Лук'янової К. було дано індивідуальне домашнє завдання: із посібників з підготовки до ЄДІ вибрати завдання з параметром (С5) та вирішити її за допомогою похідної.

(Учня наводить розв'язання задачі, спираючись на функціонально - графічний метод, як один із методів розв'язання задач С5 ЄДІ та дає коротке пояснення даного методу).

Які знання про функцію та її похідну необхідні при вирішенні завдань С5 ЄДІ?

V I. Оn – line тестування за завданнями В8, В14. Аналіз результатів тестування.

Сайт для тестування на уроці:

Хто не припустився помилок?

Хто відчував труднощі під час тестування? Чому?

У яких завданнях допущено помилок?

Зробіть висновок, які теоретичні питання вам потрібно знати?

VI I. Індивідуально – диференційоване домашнє завдання

(Слайд 9, додаток №2), (Додаток №4).

Я підготувала список сайтів Інтернету для підготовки до ЄДІ. Ви можете також проходити на цих сайтахn – lineТестування. До наступного уроку вам потрібно: 1) повторити теоретичний матеріал на тему «Похідна функції»;

2) на сайті «Відкритий банк завдань з математики» ( ) знайти прототипи завдань В8 і В14 і вирішити щонайменше 10 завдань;

3) Лук'янової К., Гаврюшин Д. вирішити завдання з параметрами. Іншим учням вирішити завдання 1-8 (варіант 1).

VI ІІ. Оцінка за урок.

Яку оцінку за урок ти собі поставив би?

Як ти думаєш, чи можна було б тобі працювати на уроці краще?

ІХ. Підсумок уроку. Рефлексія

Підіб'ємо підсумок нашої роботи. Якою була мета уроку? Як ви вважаєте, чи досягнуто її?

Подивіться на дошку та однією пропозицією, вибираючи початок фрази, продовжіть пропозицію, яка вам найбільше підходить.

Я відчув…

Я навчився…

У мене вийшло …

Я зміг…

Я спробую …

Мене здивувало, що …

Мені захотілось…

Чи можете ви сказати, що під час уроку відбулося збагачення запасу ваших знань?

Отже, ви повторили теоретичні питання про похідну функцію, застосували свої знання під час вирішення прототипів завдань ЄДІ (В8, В14), а Лук'янова К. виконала завдання С5 з параметром, яка є завданням підвищеного ступеня складності.

Мені приємно було з вами працювати, і сподіваюся, що знання, отримані на уроках математики, ви зможете успішно застосувати не тільки при здачі ЄДІ, але й у подальшому навчанні.

Закінчити урок мені хотілося б словами італійського філософа Фоми Аквінського«Знання – така дорогоцінна річ, що його не соромно видобувати з будь-якого джерела» (Слайд 10, додаток №2).

Бажаю успіхів у підготовці до ЄДІ!

Показуючий зв'язок похідної знака з характером монотонності функції.

Будь ласка, будьте гранично уважні у наступному. Дивіться, графік ЧОГО вам дано! Функції чи її похідної

Якщо дано графік похідної, то цікавитимуть нас лише знаки функції та нулі. Жодні «пагорби» та «впадини» не цікавлять нас у принципі!

Завдання 1.

На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Визначте кількість цілих точок, де похідна функції негативна.

Рішення:

На малюнку виділені кольором області зменшення функції :

У ці області зменшення функції потрапляє 4 цілі значення.

Завдання 2.

На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої або збігається з нею.

Рішення:

Раз дотична до графіка функції паралельна (або збігається) прямий (або, що те саме, ), що має кутовий коефіцієнт, Що дорівнює нулю, то і дотична має кутовий коефіцієнт .

Це своє чергу означає, що дотична паралельна осі , оскільки кутовий коефіцієнт є тангенс кута нахилу дотичної до осі .

Тому ми знаходимо на графіку точки екстремуму (точки максимуму і мінімуму), - саме в них дотичні до графіка функції будуть паралельні осі.

Таких точок – 4.

Завдання 3.

На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої або збігається з нею.

Рішення:

Якщо дотична до графіку функції паралельна (або збігається) прямий, що має кутовий коефіцієнт, то і дотична має кутовий коефіцієнт.

Це своє чергу означає, що у точках торкання.

Тому дивимося, скільки точок на графіку мають ординату , що дорівнює .

Як бачимо, таких точок – чотири.

Завдання 4.

На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть кількість точок, у яких похідна функції дорівнює 0.

Рішення:

Похідна дорівнює нулю в точках екстремуму. У нас їх 4:

Завдання 5.

На малюнку зображено графік функції та одинадцять точок на осі абсцис:. У скільки з цих точок похідна функції негативна?

Рішення:

На проміжках зменшення функції її похідна набуває негативних значень. А зменшується функція в точках. Таких точок 4.

Завдання 6.

На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть суму точок екстремуму функції.

Рішення:

Крапки екстремуму- Це точки максимуму (-3, -1, 1) і точки мінімуму (-2, 0, 3).

Сума точок екстремуму: -3-1+1-2+0+3=-2.

Завдання 7.

На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть проміжки зростання функції. У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять до цих проміжків.

Рішення:

На малюнку виділено проміжки, у яких похідна функції неотрицательна.

На малому проміжку зростання цілих точок немає, на проміжку зростання чотири цілі значення: , , і .

Їхня сума:

Завдання 8.

На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть проміжки зростання функції. У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх.

Рішення:

На малюнку виділені кольором всі проміжки, у яких похідна позитивна, отже сама функція зростає цих проміжках.

Довжина найбільшого їх – 6.

Завдання 9.

На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. У якій точці відрізка набуває найбільшого значення.

Рішення:

Дивимося як поводиться графік на відрізку, а саме нас цікавить тільки знак похідної .

Знак похідної на - мінус, так як графік на цьому відрізку нижче осі.

Функція- Це така річ, яка пов'язує дві (або більше) змінних між собою. Іншими словами, функція допомагає знайти одну змінну, якщо ми знаємо значення другої змінної. Наприклад, якщо у нас у кишені є 100 рублів, а шоколадка коштує 50 рублів, то ми можемо купити 2 шоколадки. Якщо в кишені є 200 рублів, то ми можемо купити 4 шоколадки. У цьому випадку перша змінна – це сума, яка є у кишені, а друга змінна – кількість шоколадок, які ми можемо купити. Вартість шоколадки становить 50 рублів, вона не залежить від того, скільки у нас грошей, тому ця величина є постійною.

Можна скласти функцію для цього випадку: у = 50х, де у- Гроші в кишені, х– кількість шоколадок.

Звичайно функції бувають більш складними. Але для вирішення завдань ОДЕ з математики достатньо знати, як виглядають графіки основних функцій.

1. Функція виду y = kx + b (пряма лінія)

У цій функції kі bце числа. Функція може бути записана у різному вигляді: y = x,y = 2x, y = 3x – 4, y = -9x +44, y= І т д. Головною ознакоює присутність ікса ( х) в першому ступені (тобто всі випадки, коли ми не ділимо на х).
Число kу цьому випадку відповідає за те, в який бік нахилена лінія. Якщо k > 0 , то функція зростає праворуч. Якщо k < 0 , то функція зростає вліво.


Число b y. Якщо b >0 , то графік перетинає вісь y вище за початок координат, якщо b < 0 - Нижче.

2. Функція виду y = ax 2 + bx +c (парабола)

У цій функції a, b, c- Числа. Функція може бути записана у різному вигляді: y = x 2, y = 3x 2 + 8, y = 2x 2 -4x + 10,y = -x 2 – 9x +1,y =- 7 і т. д. Головною ознакоює наявність ікса в квадраті ( x 2).

Число а відповідає за те, в яку сторону (вгору чи вниз) спрямовані гілки параболи (я ще називаю веселий смайлик та сумний смайлик). Якщо a > 0 , то веселий смайлик, якщо a < 0 - Сумний.

Число bвідповідає за те в яку сторону (вправо чи вліво) зміщена точка початку параболи (точка перегину) щодо осі y. Якщо b > 0 , то графік зміщений вліво, якщо b < 0 - Вправо.

Число c - Це точка перетину графіка з віссю y. Якщо c >0 , то графік перетинає вісь yвище за початок координат, якщо c < 0 - Нижче.

3. Функція виду y = k/x + b (гіпербол)

Ця функція на вигляд нагадує функцію прямої, за винятком, що хзнаходиться у знаменнику. Це якраз і є її характерною рисою. Число k відповідає за розташування функції по чвертях, якщо k > 0 , то гілки гіперболи розташовуються в першій та третій чвертях, якщо k < 0 , то гілки розташовуються у другій та четвертій чвертях.

Число а відповідає за зсув всієї функції вниз ( а < 0 ) або вгору ( a > 0 ).

4. Функція виду y = a (пряма)

У цьому випадку функція виглядає як пряма, паралельна осі х . Наприклад у= 2, це пряма лінія, яка проходить паралельно до осі хі перетинає вісь уу точці 2.

5. Функція виду y = √x

Цей вид зустрічається у завданнях рідко, проте краще запам'ятати. Це практично парабола, але повернена за годинниковою стрілкою на 90 0, а також у ній відсутня її нижня половина. Якщо не зрозуміло, то просто дивіться на малюнок: