Ігри математичного розуму. Теоцентричний аналіз теорії множин Г.Кантора

Сім'я Георга Кантора (1845-1918) переїхала з Росії до Німеччини, коли ще був дитиною. Саме там він почав вивчати математику. Захистивши 1868 р. дисертацію з теорії чисел, він отримав рівень доктора в Берлінському університеті. У 27 років Кантор опублікував статтю, що містила загальне виведення вкрай складної математичної проблеми - та ідеї, що виросли пізніше у його знамениту теорію - теорію множин. У 1878 р. він запровадив і сформулював важливий лад нових понять, дав визначення множини і перше визначення континууму, розвинув принципи порівнювання множин. Систематичний виклад принципів свого вчення про нескінченність він дав у 1879–1884 роках.

Наполегливе тяжіння Кантора розібрати нескінченність як щось актуально це було для того часу величезним новиною. Кантор мислив свою теорію як нове числення нескінченного, " трансфінітну " (тобто " надконечну " ) математику. За його ідеєю, створення такого обчислення мало виготовити переворот не лише в математиці, а й у метафізиці та теології, які цікавили Кантора чи не більше, ніж власне наукові дослідження. Він був єдиним математиком і філософом, який вважав, що актуальна нескінченність не тільки існує, а й у повному розумінні осяжна людиною, і розуміння це буде змітати математиків, а навздогін за ними і теологів, все вище - і ближче до Бога. Цьому завданню він присвятив існування. Вчений рішуче вірив, що його обрано Богом, щоб зробити великий переворот у науці, і ця його віра підтримувалася містичними видіннями. Титанічна спроба Георга Кантора, хоча взагалі-то, закінчилася дивно: в теорії були виявлені тяжко переборні парадокси, що ставлять під сумнів і значущість улюбленої ідеї Кантора - "сходи алефів", послідовного ряду трансфінітних чисел. (Ці числа широко відомі у прийнятому їм позначенні: як букви алеф - першої букви єврейського алфавіту.)

Несподіванка і своєрідність його погляду, попри всі переваги підходу, зумовили різке неприйняття його робіт переважно учених. Десятиліттями він вів наполегливу боротьбу майже з усіма сучасниками-філософами і математиками, які заперечували законність побудови математики на фундаменті актуально-нескінченного. Деякі прийняли це як виклик, бо Кантор припускав наявність множин чи послідовностей чисел, які мають нескінченно навалом елементів. Знаменитий математик Пуанкаре назвав теорію трансфінітних чисел "хворобою", від якої математика має колись вилікуватися. Л. Кронекер - педагог Кантора і єдиний з найавторитетніших математиків Німеччини - навіть нападав на Кантора, називаючи його "шарлатаном", "ренегатом" і "розбещувачем молоді"! Тільки до 1890 р., коли були отримані додатки теорії множин до аналізу та геометрії, концепція Кантора отримала визнання як самостійний розділ математики.

Важливо зазначити, що Кантор сприяв створенню професійного об'єднання – Німецького математичного товариства, яке сприяло розвитку математики у Німеччині. Він вважав, що його наукова кар'єра постраждала від упередженого ставлення до його праць, і сподівався, що незалежна організація дозволить молодим математикам незалежно судити про нові ідеї та зайнятися їх розробкою. Він був ініціатором скликання першого Міжнародного математичного конгресу в Цюріху.

Кантор несолодко переживав протиріччя своєї теорії та складності з її прийняттям. З 1884 р. він страждав на глибоку депресію і крізь кілька років відійшов від наукової діяльності. Помер Кантор від серцевої недостатності у психіатричній лікарні у Галлі.

Кантор довів наявність ієрархії нескінченностей, кожна з яких більша за попередню. Його концепція трансфінітних множин, переживши роки сумнівів і нападок, зрештою, виросла в грандіозну революціонізуючу силу в математиці 20 ст. і стала її наріжним каменем.

Теорія Кантора про трансфінітні числа спочатку була сприйнята настільки нелогічною, парадоксальною і навіть шокуючою, що наштовхнулася на різку критику з боку математиків-сучасників, зокрема, Леопольда Кронекера та Анрі Пуанкаре; пізніше - Германа Вейля та Лейтзена Брауера, а Людвіг Вітгенштейн висловив заперечення філософського плану (див. Спори про теорію Кантора). Деякі християнські богослови (особливо представники неотомізму) побачили в роботі Кантора виклик унікальності абсолютної нескінченності природи Бога, колись прирівнявши теорію трансфінітних чисел і пантеїзм. Критика його праць була часом дуже агресивна: так, Пуанкаре називав його ідеї «важкою хворобою», що вражає математичну науку; а в публічних заявах та особистих випадах Кронекера на адресу Кантора миготіли іноді такі епітети, як «науковий шарлатан», «відступник» та «розпусник молоді». Десятиліття після смерті Кантора, Вітгенштейн з гіркотою відзначав, що математика «витоптана вздовж і поперек руйнівними ідіомами теорії множин», яке він відхиляє як «блазенство», «сміхотворне» і «помилкове». Приступи депресії, що періодично повторюються з 1884 року і до кінця днів Кантора, деякий час ставили у провину його сучасникам, які зайняли надто агресивну позицію, але зараз вважається, що ці напади, можливо, були проявом біполярного розладу.

Різкій критиці протистояли всесвітня популярність та схвалення. У 1904 році Лондонське королівське товариство нагородило Кантора Медаллю Сільвестра, найвищою нагородою, яку вона могла завітати. Сам Кантор вірив у те, що теорію трансфінітних чисел було повідомлено йому згори. Свого часу, захищаючи її від критики, Давид Гільберт сміливо заявив: «Ніхто не вижене нас із раю, який заснував Кантор».

Біографія

Юні роки та навчання

Кантор народився 1845 року в Західній колонії торговців у Санкт-Петербурзі і зростав там до 11-річного віку. Георг був старшим із шести дітей. Він віртуозно грав на скрипці, успадкувавши від своїх батьків значні мистецькі та музичні таланти. Батько сімейства був членом Петербурзької фондової біржі. Коли він захворів, сім'я, розраховуючи на м'якший клімат, у 1856 році переїхала до Німеччини: спочатку до Вісбадену, а потім до Франкфурта. 1860 року Георг закінчив з відзнакою реальне училище в Дармштадті; вчителі відзначали його виняткові здібності до математики, зокрема до тригонометрії. В 1862 майбутній знаменитий учений вступив до Федерального політехнічного інституту в Цюріху (нині - Швейцарська вища технічна школа Цюріха). За рік помер його батько; отримавши солідну спадщину, Георг переводиться в Берлінський університет імені Гумбольдта, де починає відвідувати лекції таких знаменитих вчених, як Леопольд Кронекер, Карл Вейєрштрас і Ернст Куммер. Літо 1866 року він провів у Геттінгенському університеті, тоді, та й зараз, - дуже важливого центру математичної думки. У 1867 році Берлінський університет надав йому ступінь доктора філософії за роботу з теорії чисел «De aequationibus secundi gradus indeterminatis».

Вчений та дослідник

Після нетривалої роботи як викладача в Берлінській школі для дівчаток, Кантор займає місце в Галльському університеті Мартіна Лютера, де й пройде вся його кар'єра. Необхідну для викладання хабілітацію він отримав свою дисертацію з теорії чисел.

У 1874 році Кантор одружився з Валлі Гуттманн (Vally Guttmann). Вони мали 6 дітей, останній із яких народився 1886 року. Незважаючи на скромну академічну платню, Кантор був в змозі забезпечити сім'ї безбідне проживання завдяки отриманій від батька спадщині. Протягом свого медового місяця в горах Гарца Кантор багато часу проводив за математичними бесідами з Ріхардом Дедекіндом, з яким зав'язав дружбу ще двома роками раніше під час відпустки, у Швейцарії.

Кантор отримав звання Позаштатного Професора 1872 року, а 1879 став Повним Професором. Здобути це звання в 34 роки було великим досягненням, але Кантор мріяв про посаду в більш престижному університеті, наприклад Берлінському - на той час провідному університеті Німеччини. Однак його теорії зустрічають серйозну критику, і мріям не вдається втілитись у життя. Кронекер, який очолював кафедру математики Берлінського університету, все більше і більше був не в захваті від перспективи отримати такого колегу, як Кантор, сприймаючи його як «розбещувача молоді», який наповнював своїми ідеями голови молодого покоління математиків. Більш того, Кронекер, будучи помітною фігурою в математичному співтоваристві та колишнім учителем Кантора, був докорінно не згоден зі змістом теорій останнього. Кронекер, який розглядається зараз як один із засновників конструктивної математики, з ворожістю ставився до канторівської теорії множин, оскільки та стверджувала існування множин, що задовольняють певним властивостям, - без надання конкретних прикладів множин, елементи яких справді задовольняли б цим властивостям. Кантор зрозумів, що позиція Кронекера не дозволить йому навіть піти з Галльського університету.

1881 року Едуард Гейне, колега Кантора, помер, залишивши після себе вакантну посаду. Керівництво університету прийняло пропозицію Кантора запросити на цю посаду Ріхарда Дедекінда, Генріха Вебера або Франца Мертенца (саме в такому порядку), але всі вони відмовилися. У результаті пост зайняв Фрідріх Вангерін, проте він ніколи не був другом Кантора.

У 1882 році наукове листування з Дедекіндом обірвалося, ймовірно, як наслідок відмови останнього з посади в Галлі. У той же час Кантор встановив інше важливе листування з Геста Міттаг-Леффлером, який жив у Швеції, і незабаром почав публікуватися в його журналі «Acta mathematica». Проте в 1885 Міттаг-Леффлер стривожився щодо філософського підтексту і нової термінології в одній статті, надісланій йому Кантором для друку. Він попросив Кантора відкликати свою статтю, поки та ще проходила коректуру, написавши, що ця стаття випередила час приблизно років на сто. Кантор погодився, але при цьому зазначив у листуванні з іншою людиною:

Після цього Кантор різко обірвав відносини і листування з Міттаг-Леффлером, виявляючи схильність сприймати сповнену благих намірів критику як глибоку особисту образу.

Перший відомий напад депресії Кантор зазнав 1884 року. Критика його робіт обтяжувала його розум: кожен із 52 листів, які він написав Маттаг-Леффлеру в 1884 році, зазнав атаки Кронекера. Уривок з одного листа показує ступінь шкоди, завданої відчуттям впевненості Кантора в собі:

Ця емоційна криза змусила його змістити свій інтерес від математики до філософії та почати читати лекції з неї. З іншого боку, Кантор почав інтенсивно вивчати англійську літературу епохи Єлизавети; він намагався довести, що п'єси, які приписувалися Шекспіру, насправді написав Френсіс Бекон (див. питання авторства Шекспіра); Результати цієї роботи зрештою були опубліковані у двох проспектах 1896 і 1897 років.

Незабаром після цього Кантор відновився, і відразу зробив кілька важливих доповнень до своєї теорії, зокрема, свої знамениті діагональний аргумент і теорему. Однак він ніколи не зможе досягти того високого рівня, який був у його роботах 1874-1884 років. Зрештою, він звернувся з пропозицією про мир до Кронекера, яку той прихильно прийняв. Тим не менше, філософські розбіжності, що розділяли їх, і труднощі залишилися. Якийсь час вважалося, що періодичні напади депресії Кантора пов'язані з жорстким неприйняттям його робіт з боку Кронекера. Але хоча його депресія і дуже впливала на математичні занепокоєння Кантора та його проблеми з деякими людьми, малоймовірно, що це було її причиною. Навпаки, основною причиною його непередбачуваного настрою затвердили його посмертний діагноз - маніакально-депресивний психоз.

В 1890 Кантор сприяв організації Німецького математичного товариства (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) і був головою першого його збору в Галле в 1891; на той час його репутація була досить сильною, навіть незважаючи на опозицію Кронекера, щоб його обрали першим президентом цього товариства. Закривши очі на свою неприязнь до Кронекера, Кантор запросив його виступити з доповіддю, але Кронекера не зміг цього зробити через смерть своєї дружини.

Об'єкти, названі на честь Кантора

• Канторова множина - континуальна множина нульової міри на відрізку;
• Функція Кантора (Канторові сходи);
• Нумеруюча функція Кантора - відображення декартового ступеня безлічі натуральних чисел у себе;
• Теорема Кантора (див. також Теорема Кантора (значення)) про те, що потужність множини всіх підмножин даної множини строго більша за потужність самої множини;
• Теорема Кантора - Бернштейна про рівносильність множин A і B за умови рівноваги A підмножини B та рівнопотужності B підмножини A;
• Теорема Кантора - Гейне про рівномірну безперервність безперервної функції на компакті;
• Теорема Кантора - Бендіксона
• Медаль Кантора - математична нагорода, яку вручає Німецьке математичне товариство;
• також інші математичні об'єкти.

Твори

• Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts/Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932.

Ed., Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts, mit erlä uternden anmerkungen sowie mit ergä nzungen aus dem briefwechsel Cantor- Dedekind, Berlin, Verlag von Julius Springer, 1932

1. Період розвитку (1845-1871)

Георг Фердинанд Людвіг Філіп Кантор, творець теорії множин, одного з найбільших нових явищ у світі науки, народився Петербурзі 19 лютого ст. стилю (3 березня нов. стилю) 1845 р. Батько його Георг Вольдемар Кантор, родом з Копенгагена, прибув до Петербурга в молодості; він тримав там маклерську контору під власним ім'ям, іноді ж під назвою «Кантор та К.» Завзятий і щасливий комерсант, він досяг великого успіху і залишив після смерті (1863 р.) вельми значний стан; мабуть, він користувався і в Петербурзі, і пізніше в Німеччині високою повагою. Через хворобу легень він у 1856 р. переселився з сім'єю до Німеччини; там він незабаром обрав місцем перебування Франкфурт на Майні, де жив на положенні рантьє. Мати Кантора, Марія, уроджена Бем, походила з сім'ї, багато членів якої було обдаровано у різних галузях мистецтва; вплив її виявилося, без сумніву, у багатій фантазії сина. Дід його, Людвіг Бем, був капельмейстером; брат діда Йозеф, який жив у Відні, був учителем знаменитого віолончеліста-віртуоза Йоахіма; брат Марії Кантор був музикантом, а сестра її Аннета мала доньку-художницю, яка викладала в Мюнхенській школі художніх ремесел. Художня жилка помітна також у брата Георга Кантора, Костянтина, який був талановитим піаністом, і сестри його Софії, особливо схильної до малювання.

Обдарований хлопчик, який відвідував Петербурзі початкову школу, вже дуже рано виявив пристрасне бажання приступити до вивчення математики. Батько його, однак, не погодився з цим, вважаючи професію інженера, яка більш обіцяє щодо заробітку. Син спочатку підкорився; він відвідував деякий час гімназію у Вісбадені, а також приватні школи у Франкфурті на Майні; потім вступив, навесні 1859 р., до провінційного реального училища Великого герцогства Гессенського в Дармштадті, де викладали також латину; звідти він перейшов у 1860 р. на загальний курс Вищої ремісничої школи (пізніше Вищої технічної школи). Батько керував його освітою, висуваючи надзвичайно високі вимоги; особливу важливість надавав він вихованню енергії, твердості характеру і релігійності, що пронизує все життя; зокрема він підкреслював важливість повного оволодіння основними сучасними мовами. Батько наставляв його (у листі з приводу конфірмації в 1860 р.) триматися твердо, попри всяку ворожнечу, і завжди добиватися свого; цей заклик неодноразово згадувався синові в години важких випробувань і, можливо, саме цьому батьківському вихованню ми зобов'язані тим, що творчий дух його не був передчасно зламаний і плоди його не були втрачені для потомства.

З часом глибокий потяг сина до математики не міг не вплинути на батька, листи якого свідчать також про його повагу до науки. У листі з Дармштадта, датованому 25 травня 1862 р. і що представляє перший збережений лист Кантора, син міг уже висловити батькові подяку за схвальне ставлення до його планів: «Дорогий тату! Ти можеш собі уявити, як втішив мене твій лист; воно визначає моє майбутнє. Останні дні я провів у сумніві та невпевненості; і не міг прийти до жодного рішення. Борг і потяг завжди були у боротьбі. Тепер я щасливий, бачачи, що не засмучу тебе, пішовши в моєму виборі власної схильності. Сподіваюся, любий батько, що зумію ще доставити тобі радість, бо душа моя, вся моя істота живе в моєму покликанні; людина робить те, що хоче і може, і чого тягне його невідомий, таємничий голос!..»

Восени 1862 р. Кантор приступив до занять у Цюріху, звідки він, втім, після першого семестру пішов внаслідок смерті батька. З осені 1863 р. він вивчав математику, фізику і філософію в Берліні, куди тріумвірат Куммера, Вейєрштрасса і Кронеккера приваблював кращі обдарування, порушуючи уми (тоді ще досить вузького) кола слухачів у різних напрямах. Лише весняний семестр 1866 р. провів він у Геттінгені. Найсильніший вплив на його науковий розвиток справив, безперечно, Вейєрштрас. Чудово і характерно для широти поглядів Вейєрштраса, для його неупередженого і проникливого судження, з яким співчутливим розумінням і як рано оцінив він нетрадиційні ідеї свого учня, відповівши цим на глибоку повагу, яку той незмінно надавав йому протягом усього життя, всупереч минулим сваркам. У берлінські роки Кантор входив у Математичне Товариство, а й у вужче коло молодих колег, які щотижня зустрічалися в трактирі Ремеля; до цього кола належали, крім випадкових гостей, Генох (майбутній видавець “Fortschritte” (“Успіхів”), Лампе, Мертенс, Макс Симон, Томе, останній був особливо близький Кантору. А. Шварц, який був на два роки старший, згодом, втім, він зустрів ідеї Кантора з найсильнішою недовірою, на противагу своєму вчителю Вайєрштрассу, і до самого кінця життя особливо застерігав від них, подібно до Кронеккера, своїх студентів. двадцятидворічний студент захистив у Берлінському університеті дипломну роботу, що виникла з глибокого вивчення Disquisitiones arithmeticae («Дослідження з арифметики») та «Теорії чисел» Лежандра та оцінену факультетом як “dissertatio docta et ingeniosa” («Вчене та дотепне *) Ця робота примикає до формул Гауса для вирішення діофантового рівняння ax 2 + a "x" 2 + a "x" 2 = 0; в ній встановлюється деяке співвідношення, яке не наведене у Гауса в явному вигляді. Детальне обговорення робіт Кантора міститься в написаній мною докладній його біографії, опублікованій в Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereininung, т. 39 (1930), стор.189-266, а також окремою книгою: "Георг Кантор", Лейпциг3 Берлін, 1; він присвятив її своїм опікунам (одночасно опікунам його брата та сестри). На усному іспиті він отримав "magna cum laude" ("з особливою відзнакою"). З трьох запропонованих ним для захисту тез особливо характерний третій: "В математиці мистецтво постановки питань важливіше за мистецтво їх вирішення". Можливо, навіть отримані ним в теорії множин результати поступаються за значенням революційним постановам питань, які так далеко вийшли у своєму впливі за межі його власних праць.

Здається, Кантор протягом короткого часу викладав у Берліні у жіночій школі; принаймні, в 1868 р., він вступив, витримавши державний іспит, до відомої семінарії Шельбаха, яка готувала вчителів математики.

Докторська дисертація, що дала Кантор можливість стати навесні 1869 р. приват-доцентом університету в Галлі, належить, разом з кількома невеликими замітками, опублікованими в 1868-72 роках, ще до першого, арифметичного кола його інтересів, до якого він рідко повертався в теорією чисел під керівництвом і під час схвалення Кронеккера, були, втім, для Кантора лише випадковим епізодом. Навпаки, він відчув глибокий внутрішній вплив цієї дисципліни, з її особливою чистотою та витонченістю. Про це свідчить, поряд з першим, також третій поданий ним до захисту теза: “Цілі числа, подібно до небесних тіл, трактувати як єдине ціле, пов'язане законами »). До раннього часу, можливо вже до цього періоду, відноситься також встановлення зв'язків між різними теоретико-числовими функціями та дзета-функцією Рімана (що примикає до роботи Рімана про прості числа); цю роботу було опубліковано Кантором лише 1880 р., під впливом нотатки Липшица в паризьких Comptes Rendus («Доповідях»). Про подальші теоретико-числові інтереси Кантора говорить, крім його числової таблиці, що також зберігся до 1884 р., але не здійснений план опублікувати в Acta Mathematica, роботу про квадратичні форми.

Е. Гейне, колишній ординарним професором у Галлі у той час, коли Кантор захищав там дисертацію, відразу ж зрозумів, що в його молодому колезі надзвичайна гострота розуму щасливо поєднується з найбагатшою фантазією. Вирішальне значення мала та обставина, що Гейне невдовзі після переїзду Кантора в Галлі спонукав його зайнятися теорією тригонометричних рядів. Ревні праці над цим предметом не тільки завершилися низкою істотних досягнень, але й привели Кантора на шлях до теорії точкових множин та трансфінітних порядкових чисел. Роботи , , і присвячені уточненню одного твердження Рімана про тригонометричні ряди (і супутній цьому полеміці з Аппелем, в якій докладно розглядалося поняття рівномірної збіжності); у роботі ж Кантор доводить теорему про єдиність тригонометричного уявлення * Дивно, що Кронеккер, який спочатку позитивно ставився до теореми єдиності Кантора (порівн.), згодом повністю ігнорує цей результат; наприклад, у “Vorlesungen über die Theorie der einfachen und mehrfachen Inegrale” (“Лекціях з теорії простих і кратних інтегралів”) (1894) він подає питання єдиності як ще відкритий!. Він прагне узагальнити цей результат, відмовляючись від будь-яких припущень про поведінку ряду на деякій винятковій множині; це змушує його викласти в роботі короткий малюнок ідей, «можуть бути корисними для з'ясування відносин, що виникають у всіх випадках, коли задані числові величини в кінцевому чи нескінченному числі. Тут для точкових множин вводяться граничні точки та похідні (кінцевого порядку). З цією метою Кантор, з одного боку, розвиває свою теорію ірраціональних чисел * . У роботі Гейне «Елементи теорії функцій» (J. Math., 74, стор 172–188, 1872) ірраціональні числа вводяться способом, точно наступним ідеям Кантора; пор. вступ до статті Гейне, а також роботу Кантора “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” («До вчення про трансфінітне»), за теорією множин обессмертившую його ім'я, де ірраціональні числа розглядаються як фундаментальні ряди. З іншого боку, для переходу до геометрії він вводить особливу аксіому (аксіому Кантора), що одночасно і незалежно з'явилася в дещо іншому формулюванні в книзі Дедекінда «Безперервність та ірраціональні числа».

Георг Кантор (фото наведено далі у статті) - німецький математик, який створив теорію множин і ввів поняття трансфінітних чисел, які нескінченно великі, але відрізняються один від одного. Також він дав визначення порядковим та кардинальним числам та створив їх арифметику.

Георг Кантор: коротка біографія

Народився у Санкт-Петербурзі 03.03.1845. Його батьком був датчанин протестантського віросповідання Георг-Вальдемар Кантор, який займався торгівлею, у тому числі й на фондовій біржі. Його мати Марія Бем була католичкою та походила з родини видатних музикантів. Коли в 1856 році батько Георга захворів, сім'я в пошуках м'якшого клімату переїхала спочатку до Вісбадену, а потім у Франкфурт. Математичні таланти у хлопчика виявилися ще до його 15-річчя під час навчання у приватних школах та гімназіях Дармштадта та Вісбадена. Зрештою Георг Кантор переконав батька у своєму твердому намірі стати математиком, а не інженером.

Після недовгого навчання в Цюріхському університеті в 1863 р. Кантор перевівся до Берлінського університету, щоб вивчати фізику, філософію та математику. Там йому викладали:

• Карл Теодор Вейєрштрас, чия спеціалізація на аналізі, ймовірно, справила найбільший вплив на Георга;
• Ернст Едуард Куммер, який викладав найвищу арифметику;
• Леопольд Кронекер, спеціаліст з теорії чисел, який згодом виступав проти Кантора.

Провівши один семестр в університеті Геттінгена в 1866 р., в наступному році Георг написав докторську дисертацію під заголовком «В математиці мистецтво ставити питання більш цінне, ніж вирішення завдань», що стосується проблеми, яку Карл Фрідріх Гаусс залишив невирішеною в його Disquisitiones Arithmeticae (1801) . Після короткого викладання в Берлінській школі для дівчаток Кантор почав працювати в університеті Галле, в якому залишався до кінця свого життя спочатку як викладач, з 1872 як доцент і з 1879 як професора.

Дослідження

На початку серії з 10 робіт із 1869 по 1873 р. Георг Кантор розглянув теорію чисел. Робота відображала захопленість предметом, його дослідження Гауса та вплив Кронекера. За пропозицією Генріха Едуарда Гейне, колеги Кантора в Галлі, який визнавав його математичне обдарування, він звернувся до теорії тригонометричних рядів, у яких розширив поняття дійсних чисел.

Відштовхуючись від роботи за функцією комплексної змінної німецького математика Бернхарда Рімана 1854, в 1870 р. Кантор показав, що така функція може бути представлена ​​тільки одним способом - тригонометричними рядами. Розгляд сукупності чисел (крапок), які б не суперечили такому уявленню, привів його, по-перше, в 1872 до визначення в термінах раціональних чисел (дрібніших цілих чисел) і далі до початку роботи над працею всього його життя, теорією множин і концепцією трансфінітних чисел.

Теорія множин

Георг Кантор, теорія множин якого зародилася у листуванні з математиком технічного інституту Брауншвейга Річардом Дедекіндом, дружив з ним з дитинства. Вони дійшли висновку, що множини, кінцеві або нескінченні, є сукупністю елементів (наприклад, чисел, (0, ±1, ±2 . ..)), які мають певну властивість, зберігаючи при цьому свою індивідуальність. Але коли Георг Кантор застосував для вивчення їх характеристик взаємно однозначну відповідність (наприклад, (А, B, C) до (1, 2, 3)), він швидко зрозумів, що вони відрізняються за рівнем їхньої приналежності, навіть якщо це були нескінченні множини , Т. е. множини, частина або підмножина яких включає стільки ж об'єктів, скільки воно саме. Його метод невдовзі дав дивовижні результати.

У 1873 році Георг Кантор (математик) показав, що раціональні числа, хоч і нескінченні, є рахунковими, тому що можуть бути поставлені у взаємно однозначну відповідність до натуральних (тобто 1, 2, 3 і т. д.). Він показав, що безліч дійсних чисел, що складається з ірраціональних та раціональних, нескінченна та незліченна. Що більш парадоксально, Кантор довів, що безліч всіх алгебраїчних чисел містить стільки ж елементів, скільки безліч усіх цілих, і що трансцендентні числа, що не є алгебраїчними, які є підмножиною ірраціональних чисел, незліченні і, отже, їх кількість більша, ніж цілих чисел , і має розглядатися як інфінітне.

Противники та прихильники

Але робота Кантора, в якій він вперше висунув ці результати, не була опублікована в журналі "Крелль", оскільки один із рецензентів, Кронекер, був категорично проти. Але після втручання Дедекінда вона була опублікована в 1874 під назвою «Про характерні властивості всіх дійсних алгебраїчних чисел».

Наука та особисте життя

Цього ж року під час проведення медового місяця зі своєю дружиною Валлі Гутман у Кантор зустрів Дедекінда, який доброзичливо відгукнувся про його нову теорію. Жалування Георга було невеликим, але на гроші батька, який помер у 1863 р., він побудував для своєї дружини та п'ятьох дітей будинок. Багато його робіт були опубліковані в Швеції в новому журналі Acta Mathematica, редактором і засновником якого був Геста Міттаг-Леффлер, серед перших визнав талант німецького математика.

Зв'язок із метафізикою

Теорія Кантора стала зовсім новим предметом досліджень, що стосуються математики нескінченного (наприклад, ряду 1, 2, 3 і т. д., і складніших множин), який значною мірою залежав від однозначної взаємно відповідності. Розробка Кантором нових методів постановки питань, що стосуються безперервності та нескінченності, надала його дослідженням неоднозначного характеру.

Коли він стверджував, що нескінченні числа реально існують, він звернувся до стародавньої та середньовічної філософії щодо актуальної та потенційної нескінченності, а також до раннього релігійного виховання, яке дали йому батьки. У 1883 році у своїй книзі "Основи загальної теорії множин" Кантор об'єднав свою концепцію з метафізикою Платона.

Кронекер же, який стверджував, що «існують» лише цілі числа («Бог створив цілі числа, решта - справа рук людини»), багато років гаряче відкидав його міркування і перешкоджав його призначенню в Берлінському університеті.

Трансфінітні числа

У 1895-97 р.р. Георг Кантор повністю сформував своє уявлення про безперервність і нескінченність, включаючи нескінченні порядкові та кардинальні числа, у його найвідомішій роботі, опублікованій під назвою «Внесок у створення теорії трансфінітних чисел» (1915). Цей твір містить його концепцію, до якої його привела демонстрація того, що безліч може бути поставлено у взаємно однозначну відповідність з одним з його підмножин.

Під найменшим трансфінітним кардинальним числом він мав на увазі потужність будь-якої множини, яку можна поставити у взаємно однозначну відповідність з натуральними числами. Кантор назвав його алеф-нулем. Великі трансфінітні множини позначаються алеф-один, алеф-два і т. д. Далі він розвинув арифметику трансфінітних чисел, яка була аналогічна кінцевій арифметиці. Таким чином, він збагатив поняття нескінченності.

Опозиція, з якою він зіткнувся, і час, який знадобився на те, щоб його ідеї були повністю прийняті, пояснюються складнощами переоцінки стародавнього питання, чим є число. Кантор показав, що безліч точок на лінії має більш високу потужність, ніж алеф-нуль. Це призвело до відомої проблеми гіпотези про континуум - жодних кардинальних чисел між алеф-нулем та потужністю точок на лінії немає. Це завдання в першій і другій половині 20-го століття викликало великий інтерес і вивчалося багатьма математиками, зокрема Куртом Геделем і Полом Коеном.

Депресія

Біографія Георга Кантора з 1884 р. була затьмарена психічним захворюванням, що почалося у нього, але він продовжував активно працювати. У 1897 р. він допоміг провести у Цюріху перший міжнародний математичний конгрес. Почасти тому, що йому опонував Кронекер, він часто співчував молодим математикам-початківцям і прагнув знайти спосіб позбавити їх від утисків з боку викладачів, які відчувають загрозу з боку нових ідей.

Визнання

На рубежі століть його робота була повністю визнана як основа для теорії функцій, аналізу та топології. Крім того, книги Кантора Георга послужили поштовхом для подальшого розвитку інтуїтивістських та формалістичних шкіл логічних основ математики. Це суттєво змінило систему викладання та часто асоціюється з «новою математикою».

У 1911 р. Кантор був серед запрошених на святкування 500-річчя Сент-Ендрюського університету в Шотландії. Він вирушив туди, сподіваючись зустрітися з який у своїй нещодавно опублікованій роботі Principia Mathematica неодноразово посилався на німецького математика, але цього не сталося. Університет надав Кантору почесний ступінь, але через хворобу він не зміг прийняти нагороду особисто.

Кантор вийшов на пенсію у 1913 р., жив у злиднях і під час Першої світової війни голодував. Урочистості на честь його 70-річчя 1915 р. були скасовані через війну, але невелика церемонія відбулася в нього вдома. Він помер 06.01.1918 р. у Галлі, у психіатричній лікарні, де провів останні роки свого життя.

Георг Кантор: біографія. сім'я

9 серпня 1874 р. німецький математик одружився з Валлі Гутман. У подружжя народилося 4 сини та 2 дочки. Остання дитина народилася 1886 р. у придбаному Кантором новому будинку. Утримувати сім'ю йому допомогла спадщина батька. На стан здоров'я Кантора сильно відбилася смерть його молодшого сина в 1899 р. - відтоді його не покидала депресія.