Цікаві висловлювання про життя. Просте висловлювання, його структура та види

Розумні думки приходять лише тоді, коли дурниці вже зроблено.

Тільки ті, хто робить абсурдні спроби, зможуть досягти неможливого. Альберт Ейнштейн

Хороші друзі, гарні книги та спляче совість — ось ідеальне життя. Марк Твен

Не можна повернутися в минуле та змінити свій старт, але можна стартувати зараз та змінити свій фініш.

При найближчому розгляді мені взагалі стає ясно, що ті зміни, які начебто наступають із ходом часу, по суті ніякі не зміни: змінюється лише мій погляд на речі. (Франц Кафка)

І хоч велика спокуса одразу двом йти дорогами, не можна однією колодою карт грати і з дияволом і з Богом.

Цінуйте тих, з ким можна бути собою.
Без масок, недомовок та амбіцій.
І бережіть їх, вони вам надіслані долею.
Адже у вашому житті їх – лише одиниці

Для ствердної відповіді достатньо лише одного слова – «так». Всі інші слова вигадані, щоб сказати «ні». Дон-Амінадо

Запитай у людини: Що таке щастя? і ти дізнаєшся, чого йому найбільше не вистачає.

Якщо хочеш зрозуміти життя, то перестань вірити в те, що говорять і пишуть, а спостерігай і відчувай. Антон Чехов

У світі немає нічого руйнівнішого, нестерпнішого, як бездіяльність і очікування.

Втілюйте свої мрії у реальність, працюйте над ідеями. Ті хто з вас раніше сміялися почнуть заздрити.

Рекорди є для того, щоб їх бити.

Потрібно не витрачати час, а інвестувати у нього.

Історія людства - це історія досить невеликої кількості людей, які повірили в себе.

Показав себе до краю? Чи не бачиш сенсу більше жити? Значить, ти вже близький... Близький до рішення дійти до дна, щоб відштовхнутися від нього і назавжди вирішити бути щасливим. Так що не бійся дна - використовуй його.

Якщо ви чесні та відверті, то люди будуть обманювати вас; все одно будьте чесні та відверті.

Людина рідко досягає успіху в будь-чому, якщо його заняття не приносить йому радості. Дейл Карнегі

Якщо в твоїй душі залишилася хоч одна квітуча гілка, на неї завжди сяде птах, що співає. (Східна мудрість)

Один із законів життя говорить, що як тільки зачиняються одні двері, відкриваються інші. Але вся біда в тому, що ми дивимося на замкнені двері і не звертаємо уваги на відкриту. Андре Жид

Не судіть людину, поки не поговоріть з нею особисто, бо все, що чуєте, — чутки. Майкл Джексон.

Спочатку тебе ігнорують, потім з тебе сміються, потім з тобою борються, потім ти перемагаєш. Махатма Ганді

Людське життя розпадається на дві половини: протягом першої половини прагнуть вперед до другої, а протягом другої назад до першої.

Якщо ти сам нічого не робиш, тобі можна допомогти? Керувати можна тільки автомобілем, що рухається.

Все буде. Тільки коли ти наважишся на це.

У цьому світі можна шукати все, окрім любові та смерті… Вони самі тебе знайдуть, коли настане час.

Внутрішня задоволеність всупереч навколишньому світу страждань – дуже цінне надбання. Шрідхар Махарадж

Починай вже зараз жити тим життям, яке ти хотів би бачити його наприкінці. Марк Аврелій

Треба щодня жити як в останню мить. У нас не репетиція – у нас життя. Ми не починаємо її з понеділка – ми живемо сьогодні.

Кожну мить життя ще одна можливість.

Через рік ти дивитимешся на світ іншими очима і навіть це дерево, що росте біля твого будинку, здасться тобі іншим.

Щастя не треба шукати – їм треба бути. Ошо

Майже кожна історія успіху, яка мені відома, починалася з того, що людина лежала горілиць, повалена невдачами. Джим Рон

Кожен довгий шлях починається з одного, з першого кроку.

Ніхто не кращий за Вас. Ніхто не розумніший за Вас. Просто вони розпочали раніше. Брайан Трейсі

Падає той, хто тікає. Той, хто повзе, не падає. Пліній Старший

Достатньо лише зрозуміти, що живеш у майбутньому, як одразу там і опинишся.

Я вибираю жити, а чи не існувати. James Alan Hetfield

Коли ти цінуватимеш те, що в тебе є, а не жити в пошуку ідеалів, тоді ти по-справжньому станеш щасливим.

Про нас думають погано лише ті, хто гірший за нас, а ті, хто кращий за нас, їм просто не до нас. Омар Хайям

Іноді від щастя нас відокремлює один дзвінок… Одна розмова… Одне зізнання…

Визнаючи свою слабкість, людина стає сильною. Онре Бальзак

Той, хто упокорює дух свій, сильніший за того, хто підкорює міста.

Коли шанс випадає – треба його вистачати. А коли вхопив, досяг успіху - насолодись. Відчуй радість. І нехай довкола всі смокчуть у тебе шланг за те, що були цапами, коли не давали за тебе й гроша. А далі - піди. Гарно. І всіх залишити у шоці.

Ніколи не впадайте у відчай. А якщо ви вже впали у відчай, то продовжуйте працювати і в розпачі.

Рішучий крок уперед - результат хорошого стусану ззаду!

У Росії треба бути або відомим чи багатим, щоб до тебе ставилися так, як у Європі ставляться до будь-кого. Костянтин Райкін

Все залежить лише від вашого відношення. (Чак Норріс)

Жодні міркування не в змозі вказати людині шлях, якого він не хоче бачити Ромен Роллан

Те, у що ти віриш, стає твоїм світом. Річард Матесон

Там добре, де нас нема. У минулому нас уже немає, і тому воно здається чудовим. Антон Чехов

Багаті стають ще багатшими тому, що вчаться долати фінансові труднощі. Вони бачать у них можливість вчитися, рости, розвиватися та багатіти.

У кожного своє пекло - це не обов'язково вогонь та смола! Наше пекло - це життя даремно! Куди приводять мрії

Цілком не важливо як багато ти працюєш, головне результат.

Тільки у мами найласкавіші руки, найніжніша усмішка і найлюбляче серце.

Переможці у житті завжди думають у дусі: я можу, я хочу, я. Невдахи, навпаки, зосереджують свої розсіяні думки на тому, що вони могли б мати, могли б зробити або вони не можуть робити. Іншими словами, переможці беруть завжди відповідальність на себе, а лузери звинувачують у своїх невдачах обставини чи інших людей. Деніс Вейтлі.

Життя — гора підіймаєшся повільно, швидко спускаєшся. Гі де Мопассан

Люди так бояться зробити крок назустріч новому життю, що готові заплющити очі на все, що їх не влаштовує. Але це ще страшніше: прокинутися якось і усвідомити, що поряд все не те, не те, не те… Бернард Шоу

Дружба та довіра не купуються і не продаються.

Завжди, в кожну хвилину свого життя, навіть коли Ви абсолютно щасливі, майте одну установку щодо людей, що оточують Вас: - Я в будь-якому випадку зроблю те, чого хочу, з вами або без Вас.

У світі тільки й можна обирати між самотністю та вульгарністю. Артур Шопенгауер

Варто лише інакше поглянути на речі, і життя потече в іншому напрямку.

Залізо так говорило магніту: найбільше я тебе ненавиджу за те, що ти притягуєш, не маючи достатньо сил, щоб тягнути за собою! Фрідріх Ніцше

Вмій жити і тоді, коли життя стає нестерпним. М. Островський

Картина, яку ти бачиш у своєму розумі, згодом стане твоїм життям.

"Першу половину життя запитуєш себе, на що ти здатний, але другу - а кому це потрібно?"

Ніколи не пізно поставити нову мету або знайти нову мрію.

Керуйте своєю долею, чи це зробить хтось інший.

красу побачити в некрасивому,
розгледіти в струмках розливи річок.
хто вміє в буднях бути щасливим,
та й справді щаслива людина! Е. Асадов

У мудреця запитали:

Скільки видів дружби існує?

Чотири – відповів він.
Є друзі, як їжа — щодня ти потребуєш їх.
Є друзі як ліки, шукаєш їх, коли тобі погано.
Є друзі як хвороба, вони самі шукають тебе.
Але є такі друзі, як повітря, їх не видно, але вони завжди з тобою.

Я стану людиною, якою я хочу стати, - якщо я повірю, що я ним стану. Ганді

Відкрийте своє серце та прислухайтеся до того, про що воно мріє. Слідуйте за своєю мрією, бо тільки через того, хто не соромиться себе, проявиться слава Господня. Пауло Коельо

Бути спростованим – цього боятися нема чого; побоюватися слід іншого – бути незрозумілим. Іммануїл Кант

Будьте реалістами – вимагайте неможливого! Че Гевара

Не відкладай своїх планів, якщо на вулиці дощ.
Чи не відмовляйся від мрії, якщо в тебе не вірять люди.
Іди всупереч природі, людям. Ти особистість. Ти сильний.
І запам'ятай — немає недосяжних цілей — є високий коефіцієнт лінощів, нестача кмітливості та запас відмовок.

Або ти створюєш світ, або світ творить тебе. Джек Ніколсон

Я люблю, коли люди просто так усміхаються. Їдеш, наприклад, автобусом і бачиш, як людина дивиться у вікно або пише смс і посміхається. Так добре стає душі. І самому хочеться посміхатися.

Навіть під найсуворішою та грубішою оболонкою часом ховається ніжна душа та чуйне серце. Стівен Кові

Висловлювання заперечення

Серед висловлювань заперечення розрізняють висловлювання із зовнішнім та внутрішнім запереченням. Залежно від завдань дослідження висловлювання заперечення можна як просте, чи як складне висловлювання.

При розгляді висловлювання заперечення як простого висловлювання важливим завданням є визначення правильної логічної форми висловлювання:

Просте висловлювання, що містить внутрішнє заперечення, прийнято відносити до негативних висловлювань (див. «Види атрибутивних висловлювань за якістю»). Наприклад: « Деякі жителі Республіки Білорусь не користуються банківськими кредитами», «Жоден заєць не є хижаком»;

Правильною логічною формою простого висловлювання із зовнішнім запереченням є суперечливе висловлювання (див. «Логічні відносини між висловлюваннями. Логічний квадрат»). Наприклад: висловлювання «Не всі люди жадібні»відповідає висловлювання «Деякі люди не є жадібними».

Розглядаючи висловлювання заперечення як складне висловлювання, необхідно визначити його логічне значення.

Вихідний вислів: Сонце світить(Р).

Висловлення заперечення: Сонце не світить(┐р).

Висловлювання подвійного заперечення: Невірно, що сонце не світить(┐┐р).

Висловлювання заперечення істинне лише тоді, коли вихідне висловлювання хибне, і навпаки. З висловлюванням заперечення пов'язаний закон подвійного заперечення: подвійне заперечення довільного висловлювання рівносильне самому цьому висловлюванню. Умови істинності висловлювання заперечення зображені на рис. 16.

Складнимвважається висловлювання, що складається з кількох простих висловлювань, поєднаних за допомогою логічних спілок «і», «або», «якщо…, то…» і т.д. заперечення.

Сполучний вислів (кон'юнкція)- Це складне висловлювання, що складається з простих, з'єднаних за допомогою логічної зв'язки "і". Логічний союз «і» (кон'юнкція) може виражатися в природній мові граматичними союзами «і», «але», «проте», «а також» і т.д. «Набігли хмари, і пішов дощ», «І великі та малі радіють доброму дню». На символічній мові логіки дані висловлювання записуються так: p∧q. Кон'юнкція істинна лише тоді, коли істинні її складові прості висловлювання (рис. 17).

Роздільний вислів (диз'юнкція).Розрізняють слабку та сильну диз'юнкцію. Слабкий диз'юнкціївідповідає вживання союзу «або» у сполучно-розділювальному значенні (або те, чи інше, чи те й інше разом). Наприклад: «Цей студент спортсмен чи відмінник» (p⋁q), «Спадкові фактори, погана екологія та шкідливі звички є причинами більшості захворювань»(p⋁q⋁r). Слабка диз'юнкція істинна тоді, коли істинно хоча б одне з простих висловлювань, що входять до її складу (див. рис. 17).

Сильної диз'юнкціївідповідає вживання союзу «чи» у виключно-розділовому сенсі (або те, чи інше, але не те й інше разом). Наприклад: «Ввечері я буду на заняттях або піду на дискотеку», «Людина або жива, або мертва». Символічний запис p⊻q. Сильна диз'юнкція істинна тоді, коли істинно лише одне з простих висловлювань, що входять до її складу (див. рис. 17).

Умовний вислів (імплікація)– це складне висловлювання, що з двох частин, з'єднаних з допомогою логічного союзу «якщо…, то…». Висловлювання, що стоїть після частки «якщо», називають основою, а висловлювання, яке стоїть після «те» – наслідком. При логічному аналізі умовних висловлювань основу імплікації завжди ставиться спочатку. У природній мові це правило часто не дотримується. Приклад умовного висловлювання: "Якщо ластівки низько літають, то буде дощ" (p→q). Імплікація хибна лише в одному випадку, коли її основа істинна, а наслідок – хибна (див. рис. 17).

Еквівалентний вислів- Це висловлювання, що складається з простих, з'єднаних за допомогою логічного союзу «тоді і тільки тоді, коли» («якщо і тільки якщо ..., то ...). В еквівалентному висловлюванні мається на увазі одночасна наявність чи відсутність двох ситуацій. У природній мові еквіваленція може виражатися граматичними спілками «якщо…, то…», «тільки у тому випадку, коли…» тощо. «Наша команда виграє лише в тому випадку, якщо добре підготується» ( p↔q). Еквівалентне висловлювання буде істинним тоді, коли його висловлювання є або одночасно істинними, або одночасно помилковими (див. рис. 17).

Для формалізації міркування необхідно:

1) знайти та позначити малими приголосними літерами латинського алфавіту прості висловлювання, що входять до складу складного. Змінні присвоюються довільно, але якщо один і той самий простий вислів зустрічається кілька разів, то стільки ж разів використовується відповідна змінна;

2) знайти та позначити логічними константами логічні спілки (∧, ⋁, ⊻, →. ↔, ┐);

3) у разі потреби розставити технічні знаки [...], (...).

На рис. 18 зображено приклад формалізації складного висловлювання .

Я вже звільнився (p) та (∧), якщомене незатримають (┐q) або (⋁)незламається автомобіль (┐r), то(→)я скоро приїду (s) .

p ∧ ((┐q ⋁ ┐r) → s

Мал. 18

Після того, як висловлювання записано у символічному вигляді, можна визначити тип формули. У логіці розрізняють тотожно-істинні, тотожно-хибні та нейтральні формули. Тотожно-справжні формули незалежно від значень змінних, що входять до їх складу, завжди набувають значення «істина», а тотожно-хибні – значення «хибно». Нейтральні формули приймають як значення «істина», і значення «хибно».

Для визначення типу формули використовується табличний спосіб, скорочений спосіб перевірки формули на істинність методом «зведення до абсурду» та приведення формули до нормальної форми. Нормальною формою деякої формули є таке її вираз, що відповідає наступним умовам:

Не містить знаків імплікації, еквіваленції, суворої диз'юнкції та подвійного заперечення;

Знаки заперечення перебувають лише за змінних.

Табличний спосіб визначення типу формули:

1. Будують стовпці вхідних значень кожної з наявних змінних. Ці стовпці називають вільними (незалежними), у яких враховують усі можливі комбінації значень змінних. Якщо у формулі дві змінні, то будують два вільні стовпці, якщо ж три змінні, то три стовпці і т.д.

2. Для кожної підформули, тобто частини формули, що містить хоча б один союз, будують стовпець її значень. При цьому враховуються значення вільних шпальт та особливості логічного союзу (див. рис. 17).

3. Будують стовпець вихідних значень для всієї формули загалом. За значеннями, отриманими у вихідному стовпчику, визначають тип формули. Так, якщо у вихідному стовпці є лише значення «істина», то формула буде відноситися до тотожно-справжнім і т.д.

Число стовпців у таблиці дорівнює сумі змінних, що входять до формули, і союзів, що є в ній. (Наприклад: у формулі на рис. 18 чотири змінні та п'ять спілок, отже, у таблиці буде дев'ять стовпців).

Кількість рядків у таблиці обчислюється за формулою З = 2 n, де n- Кількість змінних. (У таблиці за формулою на рис. 18 має бути шістнадцять рядків.)

На рис. 19 зображено приклад таблиці істинності.

Скорочений спосіб перевірки формули на істинність шляхом зведення до абсурду:

((p⋁q)⋁r)→(p⋁(q⋁r))

1. Припустимо, що ця формула не є тотожно-істинною. Отже, при деякому наборі значень вона набуває значення «хибно».

2. Дана формула може набувати значення «хибно» тільки в тому випадку, якщо підстава імплікації (p⋁q)⋁r буде «істинною», а наслідок p⋁(q⋁r) – «хибно».

3. Наслідок імплікації p⋁(q⋁r) буде хибним у тому випадку, коли р – «хибно» і q⋁r – «хибно» (див. значення слабкої диз'юнкції на рис. 17).

4. Якщо q⋁r – «хибно», то q і r – «хибно».

5. Ми встановили що р - "хибно", q - "хибно" і r - "хибно". Підстава імплікації (p⋁q)⋁r є слабкою диз'юнкцією цих змінних. Оскільки слабка диз'юнкція набуває значення «хибно» тоді, коли хибними є її складові, то підстава імплікації (p⋁q)⋁r теж буде «хибним».

6. У п. 2 встановили, що підстава імплікації (p⋁q)⋁r – «істинно», а в п. 5 що вона є «хибною». Виникла суперечність свідчить про те, що припущення, зроблене нами у п. 1, є помилковим.

7. Оскільки дана формула за жодного набору значень своїх змінних не набуває значення «хибно», вона є тотожно-истинной.

3.8. Логічні відносини між висловлюваннями
(логічний квадрат)

Між висловлюваннями, які мають схожий зміст, встановлюються зв'язки. Розглянемо відносини між простими та складними висловлюваннями.

У логіці всю сукупність висловлювань поділяють на порівняні та незрівнянні. Незрівнянними серед простих висловлювань є висловлювання, що мають різні суб'єкти чи предикати. Наприклад: «Усі студенти – учні» та «Деякі студенти – відмінники».

Порівняними є висловлювання з однаковими суб'єктами та предикатами і різняться зв'язкою та квантором. Наприклад: "Всі громадяни Республіки Білорусь мають право на відпочинок" і "Жоден громадянин Республіки Білорусь не має право на відпочинок".

Серед порівняних висловлювань розрізняють сумісні та несумісні.

Відношення сумісності

1.Еквівалентність (повна сумісність)– висловлювання, які мають однакові логічні характеристики: однакові суб'єкти та предикати, однотипну ствердну чи негативну зв'язку, одну й ту саму логічну характеристику. Еквівалентні висловлювання відрізняються словесним виразом однієї й тієї думки. За допомогою логічного квадрата відносини між цими висловлюваннями не ілюструються.

2. Часткова сумісність (протилежність, субконтрарність). У цьому відношенні перебувають частноствердні і частноотрицательные висловлювання (I і О). Це означає, що два таких висловлювання можуть бути одночасно істинними, але не можуть бути хибними. Якщо одне з них хибне, то друге обов'язково істинне. Якщо одне з них істинно, то друге невизначено.

3. Підпорядкування (субординація). У цьому відношенні знаходяться загальноствердне та приватноствердне висловлювання (А та I), а також загальновід'ємне та приватнонегативне висловлювання (Е та О).

З істинності загального висловлювання завжди випливає істинність приватного. У той час, як істинність приватного висловлювання свідчить про невизначеність загального висловлювання.

З хибності приватного висловлювання завжди випливає хибність загального висловлювання, але з навпаки.

Відношення несумісності.Несумісними є висловлювання, які можуть бути одночасно істинними:

1. Протилежність (противність, контрарність)– у цьому відношенні знаходяться загальноствердне та загальнонегативне висловлювання (А та Е). Це відношення означає, що два такі висловлювання не можуть бути одночасно істинними, але можуть бути хибними. Якщо одне з них є істинним, то друге обов'язково – хибне. Якщо ж одна з них хибна, то друга невизначена.

2.Протиріччя (контрадикторність)– у ньому знаходяться загально-ствердне та приватнонегативне висловлювання (A та О), а також загальнонегативне та приватноствердне висловлювання (Е та I). Два висловлювання, що суперечать, не можуть бути ні одночасно хибними, ні одночасно істинними. Одне обов'язково істинно, а інше хибне.

Порівняними серед складних висловлювань є висловлювання, що мають хоча б одну однакову складову. Інакше складні висловлювання незрівнянні.

Порівняні складні висловлювання можуть бути сумісними чи несумісними.

Відношення сумісностіозначає, що висловлювання можуть бути одночасно істинними:

Відношення несумісностіозначає, що висловлювання не можуть бути одночасно істинними:

Прості та складні висловлювання. Заперечення висловлювання

Математична логіка, основи якої було закладено Г.Лейбніцем ще XVII столітті, сформувалася як наукова дисципліна лише у середині ХІХ століття завдяки роботам математиків Дж. Буля і О. Моргана, які створили алгебру логіки.

1. Висловлюванням називається будь-яка оповідальна пропозиція, щодо якої відомо, що вона або істинна, або хибна. Висловлювання можуть бути виражені за допомогою слів, а також математичних, хімічних та інших символів. Наведемо приклади:

б) 2+6>8 (хибне висловлювання),

в) сума чисел 2 і 6 більша від числа 8 (хибне висловлювання);

г)II + VI > VII(справжнє висловлювання);

д) у межах нашої Галактики існують позаземні цивілізації (це висловлювання, безсумнівно, чи істинно, чи хибно, але поки що невідомо, яка з цих можливостей виконується).

Зрозуміло, що висловлювання б) і в) означають те саме, але виражені вони по-різному. Взагалі висловлювання записуватимемо так: а:(Місяць - супутник Землі); b:(є таке дійсне число х, що 2х+5=15); з:(всі трикутники – рівнобедрені).

Не всяке речення є висловлюванням. Наприклад, оклику і запитання висловлюваннями не є ("Якого кольору цей будинок?", "Пийте томатний сік!", "Стій!" і т.д.). Не є висловлюваннями та визначення, наприклад, "Назвемо медіаною відрізок, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони". Тут лише встановлюється назва деякого об'єкта. Таким чином, визначення, але можуть бути істинними чи хибними, вони лише фіксують прийняте використання термінів. Не є висловлюваннями і пропозиції "Він сіроока" або "х 2 - 4х + 3 = 0" - у них не зазначено, про яку людину йдеться або за яких їх розглядають рівність. Такі пропозиції з невідомим членом (змінною) називають невизначеними висловлюваннями. Зазначимо, що пропозиція "Деякі люди сіроокі" або "Для всіх х справедлива рівність х 2 - 4х + 3 = 0" вже є висловлюванням (перше з них істинно, а друге хибно).

2. Висловлювання, яке можна розкласти на частини, називатимемо складним, а нерозкладне далі висловлювання - простим. Наприклад, вислів "Сьогодні о 4 годині дня я був у школі, а до 6 години вечора пішов на ковзанку" складається з двох частин" "Сьогодні о 4 годині дня я був у школі" та "Сьогодні до 6 години вечора я пішов на ковзанку Або такий вислів: "функція у = ax 2 + bx + з безперервна і диференційована при всіх значеннях х"складається з двох простих висловлювань: "Функція у = ах 2 + bx + з безперервна при всіх значеннях х" та "функція у = ах 2 + bx + з диференційована при всіх значеннях х".

Подібно до того, як із заданих чисел можна отримати інші числа за допомогою операцій додавання, віднімання, множення та поділу, так із заданих висловлювань виходять нові за допомогою операцій, що мають спеціальні назви: кон'юнкція, диз'юнкція, імплікація, еквівалентність, заперечення. Хоча назви ці звучать незвично, вони означають лише добре відомі сполуки окремих пропозицій зв'язками "і", "або", "якщо…то…", "тоді й тільки тоді, коли…", а також приєднання до висловлювання частки "не",

3. Запереченням висловлювання а називають таке висловлювання а, що а хибно, якщо а істинно, а істинно, якщо а хибно. Позначення а читається так: "Не а", або "Невірно, що а". Спробуймо це визначення зрозуміти на прикладах. Розглянемо такі висловлювання:

а:(Сьогодні о 12 годині дня я був на ковзанці);

b:(Сьогодні я був на ковзанці не о 12 годині дня);

з:(Я був на ковзанці о 12 годині дня не сьогодні);

d:(Сьогодні о 12 годині дня я був у школі);

е:(Сьогодні я був на ковзанці о 3 годині дня);

f:(Сьогодні о 12 годині дня я не був на ковзанці);

На погляд всі висловлювання b - f заперечують висловлювання а. Але насправді це негаразд. Якщо уважно вчитатися у сенс висловлювання b, можна помітити, що обидва висловлювання а і b можуть одночасно виявитися хибними - то буде, якщо сьогодні зовсім не був на ковзанці. Те саме стосується і висловлювань а і с, а й а. А висловлювання а і е можуть виявитися і одночасно істинними (якщо, наприклад, я катався на ковзанах з 11 до 4 години дня), і одночасно помилковими (якщо сьогодні я зовсім не був на ковзанці). І тільки висловлювання f має таку властивість: воно істинно в тому випадку, коли висловлювання а хибне, і хибне в тому випадку, коли висловлювання а істинне. Отже, висловлювання f є заперечення висловлювання а, тобто f = а. Наступна таблиця показує зв'язок між висловлюваннями і ;

Літери "і" та "л" - скорочення слів "істина" та "брехня" відповідно. Ці слова у логіці називають значеннями істинності. Таблиця називається таблицею істинності.

2.1.Складові висловлювання

З елементарних висловлювань можна будувати складніші ( складові) висловлювання, використовуючи зв'язкиІ, АБО, НІ.

приклади. Паркан червонийІ паркан дерев'яний.

Коля старший, ніж ПетяАБО Коля старший, ніж Федя

ПарканНЕ червоний.

Сенс цих висловлювань зрозумілий.

Висловлювання з містить два елементарних висловлювання. Складове висловлювання з І істинно тоді і тільки тоді, коли істинні обидва ці елементарні висловлювання. Якщо хоч одне з них хибне, - складне висловлювання хибне.

Висловлювання з АБО також містить два елементарні висловлювання. Складове висловлювання з АБО істинно тоді і лише тоді, коли істинно хоча б одне з цих елементарних висловлювань. Якщо обидва ці висловлювання хибні, складне висловлювання хибне.

Висловлювання з НЕ містить одне елементарне висловлювання (у російській мові НЕ часто ставиться в середину цього висловлювання). Складове висловлювання з НЕ істинно, якщо вихідне елементарне висловлювання є хибним і, навпаки, якщо вихідне висловлювання є істинним, то складне висловлювання з НЕ хибне.

Складові висловлювання можна будувати як з елементарних висловлювань, але й інших складових висловлювань. У цьому побудова складових висловлювань схожа на побудову виразів алгебри. Наприклад, зрозуміло, що означає такий вислів (хоча воно написано не російською мовою, а з використанням дужок:)

(Коля старша, ніж ПетяАБО Коля старший, ніж Федя)І ( КоляНЕ старше, ніж Ваня)

Тут 3 елементарні висловлювання.

2.2.логічні значення. Логічні операції.

Ми вже знаємо, що кожному висловлюванню можна приписати одне із двох логічних значень– істина(часто позначається: 1 ) або брехня(часто позначається: 0 ). Слова І, АБО, НЕ задають операції над логічними значеннями ( логічні операції). Дійсно, наприклад, складне висловлювання з І істинно тоді і тільки тоді, коли істинні обидва його елементарні висловлювання. Якщо хоч одне з них хибне, - складне висловлювання хибне. Тут нам не важливо, якими були вихідні висловлювання. Істинність складного висловлювання залежить лише від логічного (іноді кажуть - істиннісного) значення вихідних висловлювань.

Оскільки логічних значень лише два, ці операції можна описати таблицями.

Операції І, АБО, НЕ мають «наукові» назви (навіть кілька для кожної операції 🙂 і спеціальні позначення (у прикладах A, B позначають якісь конкретні логічні значення):

НІ: заперечення, інверсія.Позначення: ¬ (наприклад, ¬А);

І: кон'юнкція, логічне множення.

Позначається /\ (наприклад, А /\) або & (наприклад, А & В);

АБО: диз'юнкція, логічне додавання.

Позначається / (наприклад, А / В).

У математиці використовуються інші логічні операції.

Кожна логічна операція може бути задана таблицею. Ось ще два приклади логічних операцій:

1) слідування (імплікація); позначається → (наприклад, А → В); див. таб. 4. Вираз А → В істинно якщо A хибно АБО B істинно. Тобто, А → В означає те саме, що і (¬А) \/ В.

2) тотожність (еквівалентність);позначається ≡ (наприклад, A ≡ B); див. таб 5. Вираз A ≡ B істинно тоді і лише тоді, коли значення A і B збігаються (або вони обидва істинні, або вони обидва помилкові).

2.3.Логічні вирази. Таблиці істинності.

Логічні операції грають для логічних значень таку ж роль, як і арифметичні операції для чисел. Аналогічно побудови виразів алгебри, за допомогою логічних операцій можна будувати логічні вирази. Як і вирази алгебри, логічні вирази можуть включати константи(логічні значень 1 та 0) та змінні. Якщо у логічному значенні є змінні, воно задає функцію ( логічнуфункцію; синонім: бульовуфункцію). Значення такої функції при заданому наборі значень аргументів обчислюється підстановкою цих значень замість змінних.

Для кожного логічного виразу можна скласти таблицю істинностіяка описує, яке значення набуває відповідна логічна функція (синонім: приймає вираз) при кожному допустимому наборі значень змінних. Ось таблиці істинності для виразів x/y (таблиця 6), x → y (таблиця 7) і (x → y) / (y → z) (таблиця 8).

2.4. Еквівалентні вирази.

Два логічні вирази, що містять змінні, називаються рівносильними (еквівалентними), якщо значення цих виразів збігаються за будь-яких змінних. Так, вирази А → В та (¬А) \/ В рівносильні, а А/\В і А \/ В – немає (значення виразів різні, наприклад, при А = 1, В = 0).

Еквівалентні вирази мають однакові таблиці істинності, а в нееквівалентних виразів таблиці істинності різні.

2.5. Пріоритети логічних операцій.

При записі логічних виразів, як і при записі алгебраїчних виразів, іноді можна не писати дужки.

заперечення (інверсія),

кон'юнкція (логічне множення),

диз'юнкція (логічне додавання),

імплікація (наслідування),

тотожність.

Таким чином, ¬А \/ В \/ С \/ D означає те саме, що і ((¬А) \/ В)\/ (С \/ D).

Можливий запис А\/В\/С замість (А\/В)\/С. Те саме відноситься і до кон'юнкції: можливий запис А/\В/\С замість (А/\В)/\С.