Ірраціональні числа, визначення, приклади. Що таке раціональні та ірраціональні числа

Ірраціональне число- це дійсне число, яке не є раціональним , тобто не може бути представлене у вигляді дробу , де цілі числа , . Ірраціональне число може бути представлене у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу.

Безліч ірраціональних чисел зазвичай позначається великою латинською літерою в напівжирному накресленні без заливання. Отже: , тобто. безліч ірраціональних чисел є різниця множин речових та раціональних чисел.

Про існування ірраціональних чисел, точніше відрізків, несумірних з відрізком одиничної довжини, знали вже давні математики: їм була відома, наприклад, несумірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильне ірраціональності числа.

Властивості

• Будь-яке речове число може бути записане у вигляді нескінченного десяткового дробу, при цьому ірраціональні числа і тільки вони записуються неперіодичними нескінченними десятковими дробами.
• Ірраціональні числа визначають Дедекіндові перерізи у безлічі раціональних чисел, які у нижньому класі немає найбільшого, а верхньому немає найменшого числа.
• Кожне речовинне трансцендентне число є ірраціональним.
• Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним або трансцендентним.
• Безліч ірраціональних чисел всюди щільно на числовій прямій: між будь-якими двома числами є ірраціональне число.
• Порядок на безлічі ірраціональних чисел ізоморфний порядку на безлічі речових трансцендентних чисел.
• Безліч ірраціональних чисел незліченна, є безліччю другої категорії.

Приклади

Ірраціональними є:

Приклади доказу ірраціональності

Корінь з 2

Допустимо неприємне: раціональний, тобто представляється у вигляді нескоротного дробу, де - ціле число, а - натуральне число. Зведемо передбачувану рівність у квадрат:

Звідси випливає, що парно, отже, парно і . Нехай де ціле. Тоді

Отже, парно, отже, парно і . Ми отримали, як і парні, що суперечить нескоротності дробу . Отже, вихідне припущення було неправильним, і – ірраціональне число.

Двійковий логарифм числа 3

Допустимо неприємне: раціональний, тобто представляється у вигляді дробу, де і - цілі числа. Оскільки і можуть бути обрані позитивними. Тоді

Але парно, а непарно. Отримуємо протиріччя.

e

Історія

Концепція ірраціональних чисел була неявно сприйнята індійськими математиками в VII столітті до нашої ери, коли Манава (бл. 750 р. до н. е. - бл. 690 р. до н. е.) з'ясував, що квадратне коріння деяких натуральних чисел, таких як 2 та 61, не можуть бути явно виражені.

Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппасу з Метапонта (бл. 500 рр. до н. е.), піфагорійцеві, який знайшов цей доказ, вивчаючи довжини сторін пентаграми. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число разів входить у будь-який відрізок. Проте Гіппас доводив, що немає єдиної одиниці довжини, оскільки припущення про її існування призводить до суперечності. Він показав, що й гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника містить цілу кількість одиничних відрізків, це число має бути одночасно і парним, і непарним. Доказ виглядав так:

• Відношення довжини гіпотенузи до довжини катета рівнобедреного прямокутного трикутника може бути виражене як a:b, де aі bобрані найменшими із можливих.
• За теоремою Піфагора: a² = 2 b².
• Так як a² парне, aмає бути парним (оскільки квадрат непарного числа був би непарним).
• Оскільки a:bнескоротна, bмає бути непарним.
• Так як aпарне, позначимо a = 2y.
• Тоді a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², отже b² парне, тоді і bпарно.
• Однак було доведено, що bнепарне. Протиріччя.

Грецькі математики назвали це ставлення незрівнянних величин алогос(Невимовним), проте згідно з легендами не віддали Гіппасу належної поваги. Існує легенда, що Гіппас здійснив відкриття, перебуваючи в морському поході, і був викинутий за борт іншими піфагорійцями «за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел та їхніх стосунків». Відкриття Гіппаса поставило перед піфагорійської математикою серйозну проблему, зруйнувавши припущення, що лежало в основі всієї теорії, що числа і геометричні об'єкти єдині і нероздільні.

Безліч ірраціональних чисел зазвичай позначається великою латинською літерою I (\displaystyle \mathbb (I) )у напівжирному накресленні без заливання. Таким чином: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb(I) =\mathbb(R) \backslash \mathbb(Q) ), тобто безліч ірраціональних чисел є різниця множин речових і раціональних чисел.

Про існування ірраціональних чисел, точніше відрізків, незрівнянних з відрізком одиничної довжини, знали вже давні математики: їм була відома, наприклад, незрівнянність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильне ірраціональності числа.

Енциклопедичний YouTube

• 1 / 5

  Ірраціональними є:

  Приклади доказу ірраціональності

  Корінь з 2

  Допустимо неприємне: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))раціональний, тобто представляється у вигляді дробу m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), де m (\displaystyle m)- ціле число, а n (\displaystyle n)- натуральне число .

  Зведемо передбачувану рівність у квадрат:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  Історія

  Античність

  Концепція ірраціональних чисел була неявно сприйнята індійськими математиками в VII столітті до нашої ери, коли Манава (бл. 750 р. до н. е. - бл. 690 р. до н. е.) з'ясував, що квадратне коріння деяких натуральних чисел, таких як 2 і 61, не можуть бути явно виражені [ ] .

  Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппас з Метапонта (бл. 500 рр. до н. е..), піфагорійцю. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число разів входить у будь-який відрізок [ ] .

  Немає точних даних про те, ірраціональність якого числа було підтверджено Гіппасом. Згідно з легендою, він знайшов його вивчаючи довжини сторін пентаграми. Тому розумно припустити, що це було золоте перетин [ ] .

  Грецькі математики назвали це ставлення незрівнянних величин алогос(Невимовним), проте згідно з легендами не віддали Гіппасу належної поваги. Існує легенда, що Гіппас здійснив відкриття, перебуваючи в морському поході, і був викинутий за борт іншими піфагорійцями «за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел та їхніх стосунків». Відкриття Гіппаса поставило перед піфагорійської математикою серйозну проблему, зруйнувавши припущення, що лежало в основі всієї теорії, що числа і геометричні об'єкти єдині і нероздільні.

  Розуміння чисел, особливо натуральних чисел, одна із найстаріших математичних " умінь " . Багато цивілізації, навіть сучасні, приписували числам деякі містичні властивості через їхню величезну важливість в описі природи. Хоча сучасна наука і математика не підтверджують ці "чарівні" властивості, значення теорії чисел є незаперечним.

  Історично спочатку з'явилося безліч натуральних чисел, потім незабаром до них додалися дроби та позитивні ірраціональні числа. Нуль та негативні числа були введені після цих підмножин безлічі дійсних чисел. Останнє безліч, безліч комплексних чисел, з'явилося лише з розвитком сучасної науки.

  У сучасній математиці числа вводять над історичному порядку, хоча у досить близькому щодо нього.

  Натуральні числа $\mathbb(N)$

  Безліч натуральних чисел часто позначається як $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, і часто його доповнюють нулем, позначаючи $\mathbb(N)_0$.

  У $\mathbb(N)$ визначено операції додавання (+) і множення ($\cdot$) з наступними властивостями для будь-яких $a,b,c\in \mathbb(N)$:

  1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ безліч $\mathbb(N)$ замкнуто щодо операцій складання та множення
  2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ комутативність
  3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)$ асоціативність
  4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивність
  5. $a\cdot 1=a$ є нейтральним елементом для множення

  Оскільки безліч $\mathbb(N)$ містить нейтральний елемент для множення, але не для додавання, додавання нуля до цієї множини забезпечує включення до нього нейтрального елемента для додавання.

  Крім цих двох операцій, на безлічі $\mathbb(N)$ визначено відносини "менше" ($

  1. $a b$ трихотомія
  2. якщо $a\leq b$ і $b\leq a$, то $a=b$ антисиметрія
  3. якщо $a\leq b$ і $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивність
  4. якщо $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$
  5. якщо $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

  Цілі числа $\mathbb(Z)$

  Приклади цілих чисел:
  $1, -20, -100, 30, -40, 120...$

  Рішення рівняння $a+x=b$, де $a$ і $b$ - відомі натуральні числа, а $x$ - невідоме натуральне число, вимагає введення нової операції - віднімання(-). Якщо існує натуральне число $x$, що задовольняє цього рівняння, $x=b-a$. Однак це конкретне рівняння не обов'язково має рішення на множині $\mathbb(N)$, тому практичні міркування вимагають розширення множини натуральних чисел таким чином, щоб включити рішення такого рівняння. Це призводить до введення безлічі цілих чисел: $ \ mathbb (Z) = \ lbrace 0,1, -1,2, -2,3, -3 ... \ rbrace $.

  Оскільки $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, логічно припустити, що введені раніше операції $+$ і $\cdot$ і відносини $ 1. $0+a=a+0=a$ існує нейтральний елемент для додавання
  2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ існує протилежне число $-a$ для $a$
  

  Властивість 5.
  5. якщо $0\leq a$ і $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$

  Безліч $\mathbb(Z) $ замкнуте також і щодо операції віднімання, тобто $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

  Раціональні числа $\mathbb(Q)$

  Приклади раціональних чисел:
  $\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

  Тепер розглянемо рівняння виду $a \ cdot x = b $, де $ a $ і $ b $ - відомі цілі числа, а $ x $ - невідоме. Щоб рішення було можливим, необхідно ввести операцію поділу ($:$), і рішення набуває вигляду $x=b:a$, тобто $x=\frac(b)(a)$. Знову виникає проблема, що $x$ який завжди належить $\mathbb(Z)$, тому безліч цілих чисел необхідно розширити. Таким чином вводиться безліч раціональних чисел $\mathbb(Q)$ з елементами $\frac(p)(q)$, де $p\in \mathbb(Z)$ і $q\in \mathbb(N)$. Безліч $\mathbb(Z)$ є підмножиною, в якому кожен елемент $q=1$, отже $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ і операції додавання та множення поширюються і на це безліч за такими правилами, які зберігають усі вищеперелічені властивості і на множині $\mathbb(Q)$:
  $\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
  $\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

  Поділ вводиться таким чином:
  $\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

  На множині $\mathbb(Q)$ рівняння $a\cdot x=b$ має єдине рішення для кожного $a\neq 0$ (розподіл на нуль не визначено). Це означає, що існує зворотний елемент $\frac(1)(a)$ or $a^(-1)$:
  $(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a) \ cdot a = a) $

  Порядок множини $\mathbb(Q)$ можна розширити таким чином:
  $\frac(p_1)(q_1)

  Безліч $\mathbb(Q)$ має одну важливу властивість: між будь-якими двома раціональними числами знаходиться безліч інших раціональних чисел, отже, не існує двох сусідніх раціональних чисел, на відміну від множин натуральних і цілих чисел.

  Ірраціональні числа $\mathbb(I)$

  Приклади ірраціональних чисел:
  $0.333333...$
  $\sqrt(2) \approx 1.41422135...$
  $\pi \approx 3.1415926535...$

  Зважаючи на те, що між будь-якими двома раціональними числами знаходиться безліч інших раціональних чисел, легко можна зробити помилковий висновок, що безліч раціональних чисел настільки щільне, що немає необхідності в його подальшому розширенні. Навіть Піфагор свого часу зробив таку помилку. Проте, його сучасники спростували цей висновок щодо рішень рівняння $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) на безлічі раціональних чисел. Для розв'язання такого рівняння необхідно запровадити поняття квадратного кореня, і тоді розв'язання цього рівняння має вигляд $x=\sqrt(2)$. Рівняння типу $x^2=a$, де $a$ - відоме раціональне число, а $x$ - невідоме, який завжди має рішення безлічі раціональних чисел, і знову виникає у розширенні множини. Виникає безліч ірраціональних чисел, і такі числа як $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... належать цій множині.

  Дійсні числа $\mathbb(R)$

  Об'єднанням множин раціональних та ірраціональних чисел є безліч дійсних чисел. Оскільки $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, знову логічно припустити, що введені арифметичні операції та відносини зберігають свої властивості на новій множині. Формальне підтвердження цього дуже складно, тому вищезгадані властивості арифметичних операцій та відносини на безлічі дійсних чисел вводяться як аксіоми. В алгебрі такий об'єкт називається полем, тому кажуть, що множина дійсних чисел є впорядкованим полем.

  Для того, щоб визначення безлічі дійсних чисел було повним, необхідно ввести додаткову аксіому, що розрізняє безлічі $\mathbb(Q)$ і $\mathbb(R)$. Припустимо, що $S$ - непусте підмножина безлічі дійсних чисел. Елемент $b\in \mathbb(R)$ називається верхньою межею множини $S$, якщо $\forall x\in S$ справедливо $x\leq b$. Тоді кажуть, що множина $S$ обмежена зверху. Найменша верхня межа множини $S$ називається супремум і позначається $\sup S$. Аналогічно вводяться поняття нижньої межі, множини, обмеженої знизу, та інфінуму $\inf S$ . Тепер недостатня аксіома формулюється так:

  Будь-яке непусте і обмежене зверху підмножина безлічі дійсних чисел має супремум.
  Також можна довести, що поле дійсних чисел, визначене вищезазначеним чином, є єдиним.

  Комплексні числа$\mathbb(C)$

  Приклади комплексних чисел:
  $(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
  $1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ де $i = \sqrt(-1)$ або $i^2 = -1$

  Безліч комплексних чисел є всі впорядковані пари дійсних чисел, тобто $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, на якому операції складання та множення визначені наступним чином:
  $(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
  $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

  Існує кілька форм запису комплексних чисел, у тому числі найпоширеніша має вигляд $z=a+ib$, де $(a,b)$ - пара дійсних чисел, а число $i=(0,1)$ називається уявною одиницею.

  Легко показати, що $i^2=-1$. Розширення безлічі $\mathbb(R)$ на безліч $\mathbb(C)$ дозволяє визначити квадратний корінь з негативних чисел, що і спричинило введення безлічі комплексних чисел. Також легко показати, що підмножина безлічі $\mathbb(C)$, задана як $\mathbb(C)_0=\lbrace(a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, задовольняє всім аксіомам для дійсних чисел, отже $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, або $R\subset\mathbb(C)$.

  Алгебраїчна структура множини $\mathbb(C)$ щодо операцій складання та множення має наступні властивості:
  1. комутативність складання та множення
  2. асоціативність складання та множення
  3. $0+i0$ - нейтральний елемент для складання
  4. $1+i0$ - нейтральний елемент для множення
  5. множення дистрибутивно по відношенню до додавання
  6. існує єдиний зворотний елемент як до складання, так множення.

  Раніше ми вже показали, що $1\frac25$ - близько до $sqrt2$. Якби воно точно дорівнювало $\sqrt2$, . Тоді співвідношення - $ frac (1 frac25) (1) $, яке можна перетворити на співвідношення цілих чисел $ frac75 $, помноживши верхню і нижню частини дробу на 5, і було б шуканою величиною.

  Але, на жаль, $1\frac25$ не є точною величиною $\sqrt2$. Більш точна відповідь $1\frac(41)(100)$, дає нам співвідношення $\frac(141)(100)$. Ще більшої точності ми досягаємо, коли прирівнюємо $ sqrt2 $ до $ 1 frac (207) (500) $. У цьому випадку співвідношення в цілих числах дорівнюватиме $\frac(707)(500)$. Але і $1\frac(207)(500)$ не є точним значенням кореня квадратного з 2. Грецькі математики витратили багато часу і сил, щоб обчислити точне значення $\sqrt2$, але це їм так і не вдалося. Вони змогли представити співвідношення $\frac(\sqrt2)(1)$ як співвідношення цілих чисел.

  Нарешті, великий грецький математик Евклід довів, що, хоч би як збільшувалася точність підрахунків, отримати точне значення $sqrt2$ неможливо. Не існує такого дробу, який, будучи зведений у квадрат, дасть у результаті два. . Однак, можливо, ці відомості не відповідають дійсності.

  Але якщо число $\frac(\sqrt2)(1)$ не може бути представлене у вигляді співвідношення цілих чисел, то і ніяка , що містить $\sqrt2$, наприклад $\frac(\sqrt2)(2)$ або $\frac (4)(\sqrt2)$ також не може бути представлена ​​у вигляді співвідношення цілих чисел, оскільки всі такі дроби можуть бути перетворені на $\frac(\sqrt2)(1)$, помножене на якесь число. Так $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Або $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, що можна перетворити, помноживши верхню і нижню частини на $\sqrt2$, і отримати $\frac(4) (\sqrt2) $. (Не слід забувати, що незалежно від того, що являє собою число $sqrt2$, якщо ми помножимо його на $sqrt2$, то отримаємо 2.)
  
  Оскільки число $\sqrt2$ не можна уявити у вигляді співвідношення цілих чисел, воно отримало назву ірраціонального числа. З іншого боку, всі числа, які можна подати у вигляді співвідношення цілих чисел, називаються раціональними.

  Раціональними є всі цілі та дробові числа, як позитивні, і негативні.

  Як виявилося, більшість квадратних коренів є ірраціональними числами. Раціональне квадратне коріння є тільки у чисел, що входять до ряду квадратних чисел. Ці числа називаються ідеальними квадратами. Раціональними числами також є дроби, складені з цих ідеальних квадратів. Наприклад, $\sqrt(1\frac79)$ є раціональним числом, так як $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ або $1\frac13$ (4 - це корінь квадратний із 16, а 3 - корінь квадратний із 9).

  Раціональним називається число, яке можна представити у вигляді дробу , де . Q-множина всіх раціональних чисел.

  Раціональні числа поділяються на: позитивні, негативні та нуль.

  Кожному раціональному числу можна поставити у відповідність єдину точку координатної прямої. Відношенню "лівіше" для точок відповідає відношення "менше" для координат цих точок. Можна помітити, що всяке негативне число менше нуля і будь-якого позитивного числа; із двох негативних чисел менше те, модуль якого більший. Так, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

  Будь-яке раціонально число можна уявити десятковим періодичним дробом. Наприклад, .

  Алгоритми дій над раціональними числами випливають із правил знаків відповідних дій над нулем та позитивними дробами. Q виконується розподіл, крім розподілу на нуль.

  Будь-яке лінійне рівняння, тобто. рівняння виду ax+b=0, де , можна на множині Q, але не будь-яке квадратне рівняння виду , Розв'язно в раціональних числах. Не кожна точка координатної прямої має раціональну точку. Ще наприкінці VI ст. н. е. у школі Піфагора було доведено, що діагональ квадрата не можна порівняти з його висотою, що рівносильно твердженню: «Рівняння не має раціонального коріння». Все перераховане призвело до необхідності розширення множини Q, було запроваджено поняття ірраціонального числа. Позначимо безліч ірраціональних чисел буквою J .

  На координатній прямій ірраціональні координати маю всі точки, які не мають раціональних координат. , де r-множин дійсних чисел. Універсальним способом завдання дійсних чисел є десяткові дроби. Періодичні десяткові дроби задають раціональні числа, а неперіодичні – ірраціональні числа. Так, 2,03(52) – раціональне число, 2,03003000300003… (період кожної наступної цифрою «3» записується однією нуль більше) – ірраціональне число.

  Множини Qі R мають властивості позитивності: між будь-якими двома раціональними числами існує раціональне число, наприклад, есої a

  Для будь-якого ірраціонального числа α можна вказати раціональне наближення як із недоліком, так і з надлишком з будь-якою точністю: a< α

  Операція вилучення кореня з деяких раціональних чисел призводить до ірраціональних чисел. Вилучення кореня натурального ступеня – алгебраїчна операція, тобто. її введення пов'язане з розв'язанням алгебраїчного рівняння виду . Якщо nнепарне, тобто. n=2k+1, де , то рівняння має єдиний корінь. Якщо nпартове, n=2k, де при а=0 рівняння має єдиний корінь х=0, при a<0 корней нет, при a>0 має два корені, які протилежні один одному. Вилучення кореня - операція зворотної операції зведення в натуральний ступінь.

  Арифметичним коренем (для стислості коренем) n-го ступеня з невід'ємного числа а називається невід'ємне число b яке є коренем рівняння . Корінь n-ого ступеня з числа а позначається символом . При n=2 ступінь кореня 2 не вказується: .

  Наприклад, , т.к. 2 2 = 4 і 2> 0; , т.к. 3 3 =27 та 3>0; немає т.к. -4<0.

  При n=2kі a>0 корені рівняння (1) записуються так і . Наприклад, коріння рівняння х 2 =4 дорівнюють 2 і -2.

  При n непарному рівняння (1) має єдиний корінь для будь-якого . Якщо a≥0, то корінь цього рівняння. Якщо a<0, то –а>0 і – корінь рівняння. Так, рівняння х3 = 27 має корінь.