Використання тригонометричних формул під час вимірювальних робіт проект. Як вивчати тригонометрію

Синус, косинус, тангенс - при проголошенні цих слів у присутності учнів старших класів можна бути впевненим, що дві третини з них втратить інтерес до подальшої розмови. Причина полягає в тому, що основи тригонометрії у школі викладаються у повному відриві від реальності, а тому учні не бачать сенсу у вивченні формул та теорем.

Насправді дана область знань при найближчому розгляді виявляється дуже цікавою, а також прикладною - тригонометрія знаходить застосування в астрономії, будівництві, фізиці, музиці та багатьох інших областях.

Ознайомимося з основними поняттями та назвемо кілька причин вивчити цей розділ математичної науки.

Історія

Невідомо, коли людство почало створювати майбутню тригонометрію з нуля. Однак документально зафіксовано, що вже у другому тисячолітті до нашої ери єгиптяни були знайомі з азами цієї науки: археологами знайдено папірус із завданням, в якому потрібно знайти кут нахилу піраміди з двох відомих сторін.

Більш серйозних успіхів досягли вчені Стародавнього Вавилону. Протягом століть займаючись астрономією, вони освоїли низку теорем, запровадили особливі способи вимірювання кутів, якими, до речі, ми користуємося сьогодні: градуси, хвилини та секунди були запозичені європейською наукою у греко-римській культурі, до якої ці одиниці потрапили від вавилонян.

Передбачається, що знаменита теорема Піфагора, що відноситься до основ тригонометрії, була відома вавилонянам майже чотири тисячі років тому.

Назва

Дослівно термін «тригонометрія» можна перекласти як «вимір трикутників». Основним об'єктом вивчення в рамках даного розділу науки протягом багатьох століть був прямокутний трикутник, а точніше – взаємозв'язок між величинами кутів та довжинами його сторін (сьогодні з цього розділу починається вивчення тригонометрії з нуля). У житті нерідкі ситуації, коли практично виміряти всі необхідні параметри об'єкта (або відстань до об'єкта) неможливо, і тоді виникає необхідність відсутні дані отримати за допомогою розрахунків.

Наприклад, у минулому людина не могла виміряти відстань до космічних об'єктів, а ось спроби ці відстані розрахувати зустрічаються задовго до настання нашої ери. Найважливішу роль грала тригонометрія і в навігації: маючи деякі знання, капітан завжди міг зорієнтуватися вночі по зірках і скоригувати курс.

Основні поняття

Для освоєння тригонометрії з нуля потрібно зрозуміти та запам'ятати кілька основних термінів.

Синус деякого кута - це ставлення протилежного катета до гіпотенузи. Уточнимо, що протилежний катет - це сторона, що лежить навпроти кута, що розглядається нами. Таким чином, якщо кут становить 30 градусів, синус цього кута завжди, за будь-якого розміру трикутника, дорівнюватиме ½. Косинус кута – це відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс - це ставлення протилежного катета до прилеглого (чи, що те саме, ставлення синуса до косинусу). Котангенс – це одиниця, поділена на тангенс.

Варто згадати і знамените число Пі (3,14 ...), яке є половиною довжини кола з радіусом в одну одиницю.

Популярні помилки

Люди, які вивчають тригонометрію з нуля, роблять ряд помилок - в основному через неуважність.

По-перше, при вирішенні задач з геометрії необхідно пам'ятати, що використання синусів і косінусів можливе лише у прямокутному трикутнику. Трапляється, що учень «на автоматі» приймає за гіпотенузу найдовшу сторону трикутника і отримує неправильні результати обчислень.

По-друге, спочатку легко переплутати значення синуса і косинуса для обраного кута: нагадаємо, що синус 30 градусів чисельно дорівнює косінус 60, і навпаки. При підстановці неправильного числа всі подальші розрахунки виявляться неправильними.

По-третє, поки завдання повністю не вирішене, не варто округляти будь-які значення, отримувати коріння, записувати звичайний дріб у вигляді десяткового. Часто учні прагнуть отримати в задачі по тригонометрії «красиве» число і відразу ж витягають корінь з трьох, хоча через одну дію цей корінь можна буде скоротити.

Етимологія слова «синус»

Історія слова "синус" воістину незвичайна. Справа в тому, що буквальний переклад цього слова з латини означає «впадина». Все тому, що правильне розуміння слова загубилося під час перекладу з однієї мови на іншу.

Назви базових тригонометричних функцій походять з Індії, де поняття синуса позначалося словом «тетива» на санскриті - справа в тому, що відрізок разом з дугою кола, на яке він спирався, був схожий на цибулю. За часів розквіту арабської цивілізації індійські досягнення в галузі тригонометрії були запозичені, і термін перейшов до арабської мови у вигляді транскрипції. Сталося так, що в цій мові вже було схоже слово, що означає западину, і якщо араби розуміли фонетичну різницю між рідним і запозиченим словом, то європейці, які перекладають наукові трактати латиною, помилково буквально переклали арабське слово, яке ніякого відношення до поняття синуса не має . Ним ми і користуємося досі.

Таблиці значень

Існують таблиці, в які занесені числові значення для синусів, косінусів та тангенсів усіх можливих кутів. Нижче подаємо дані для кутів 0, 30, 45, 60 і 90 градусів, які необхідно вивчити як обов'язковий розділ тригонометрії для «чайників», добре запам'ятати їх досить легко.

Якщо сталося так, що числове значення синуса чи косинуса кута «вилетіло з голови», є спосіб вивести його самостійно.

Геометрична вистава

Накреслимо коло, через його центр проведемо осі абсцис та ординат. Вісь абсцис розташовується горизонтально, вісь ординат – вертикально. Зазвичай вони підписуються як «X» та «Y» відповідно. Тепер з центру кола проведемо пряму таким чином, щоб між нею та віссю X вийшов потрібний нам кут. Нарешті, з тієї точки, де пряма перетинає коло, опустимо перпендикуляр на вісь X. Довжина відрізка, що вийшов, дорівнюватиме чисельному значенню синуса нашого кута.

Цей спосіб дуже актуальний, якщо ви забули потрібне значення, наприклад, на іспиті, і підручника з тригонометрії під рукою немає. Точної цифри ви таким чином не отримаєте, але різницю між ½ і 1,73/2 (синус та косинус кута 30 градусів) ви точно побачите.

Застосування

Одними з перших фахівців, які використовують тригонометрію, були моряки, які не мали жодного іншого орієнтиру у відкритому морі, крім неба над головою. Сьогодні капітани кораблів (літаків та інших видів транспорту) не шукають найкоротшого шляху зірками, зате активно вдаються до допомоги GPS-навігації, яка без використання тригонометрії була б неможлива.

Практично в кожному розділі фізики на вас чекають розрахунки з використанням синусів і косинусів: будь то додаток сили в механіці, розрахунки шляху об'єктів у кінематиці, коливання, поширення хвиль, заломлення світла - без базової тригонометрії у формулах просто не обійтися.

Ще одна професія, яка немислима без тригонометрії – це геодезист. Використовуючи теодоліт і нівелір чи складніший прилад - тахіометр, ці люди вимірюють різницю у висоті між різними точками на земній поверхні.

Повторюваність

Тригонометрія має справу не лише з кутами та сторонами трикутника, хоча саме з цього вона починала своє існування. У всіх областях, де є циклічність (біології, медицини, фізики, музики і т. д.) ви зустрінетеся з графіком, назва якого напевно вам знайома - це синусоїда.

Такий графік є розгорнутою вздовж осі часу коло і зовні схожий на хвилю. Якщо ви коли-небудь працювали з осцилографом на заняттях з фізики, ви розумієте, про що йдеться. Як музичний еквалайзер, і прилад, що відображає серцеві ритми, використовують формули тригонометрії у роботі.

На закінчення

Замислюючись про те, як вивчити тригонометрію, більшість учнів середньої та старшої школи починають вважати її складною та непрактичною наукою, оскільки знайомляться лише із нудною інформацією з підручника.

Що стосується непрактичності - ми вже побачили, що тією чи іншою мірою вміння поводитися з синусами та тангенсами потрібно практично у будь-якій сфері діяльності. А щодо складності… Подумайте: якщо люди користувалися цими знаннями більше двох тисяч років тому, коли доросла людина мала менше знань, ніж сьогоднішній старшокласник, чи реально вивчити цю галузь науки на базовому рівні особисто вам? Кілька годин вдумливих занять із вирішенням завдань – і ви досягнете своєї мети, вивчивши базовий курс, так звану тригонометрію для «чайників».

дослідження, початок якого нагадує невелику хвилю, після чого спостерігається систолічний підйом. Маленька хвиля зазвичай показує скорочення передсердя. З початком підйому збігається початок вигнання крові в аорту. На цій стрічці можна побачити ще одну максимально високу вершину, яка сигналізує про закриття напівмісячних клапанів. Форма даного відрізка максимального підйому може бути досить різноманітною, що призводить до різних результатів дослідження. Після максимального підйому слід спуск кривої, який триває до кінця. Цей відрізок верхівкової кардіограми супроводжується відкриттям мітрального клапана. Після цього – незначне піднесення хвилі. Він вказує на час швидкого заповнення. Решта відрізок кривої позначається як час пасивного наповнення шлуночка. Таке дослідження правого шлуночка здатне зазначити можливі патологічні відхилення.

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Подібні документи

Поняття та класифікація кутів, позитивні та негативні кути. Вимірювання кутів дугами кола. Одиниці їх вимірювання при використанні градусних та радіанних заходів. Характеристики кутів: між похилою та площиною, двома площинами, двогранною.

реферат, доданий 18.08.2011


дипломна робота , доданий 01.12.2007


Видатний діяч Середньовіччя, універсальний вчений-енциклопедист Абу Райхан Мухаммад ібн Ахмад аль-Беруні у своїй праці "Гномоніка" докладно зупиняється на вимірі відстані на Землі та висоти гір завдання і наводить способи їх вирішення.

реферат, доданий 25.03.2008


Кути та їх вимір, тригонометричні функції гострого кута. Властивості та знаки тригонометричних функцій. Парні та непарні функції. Зворотні тригонометричні функції. Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь та нерівностей за допомогою формул.

навчальний посібник, доданий 30.12.2009


Використання різноманітних способів виміру відстані у країнах світу. Характеристика системи заходів Стародавньої Русі: вершок, п'ядь, пуд, аршин, сажень та верста. Розробка метричної системи. Заходи площі та довжини в Єгипті, Ізраїлі, Великій Британії та США.

презентація , додано 17.11.2011


Геометричні концепції точки, променя і кута. Види кутів: розгорнуті, гострі, прямі, тупі, суміжні та вертикальні. Способи побудови суміжних та вертикальних кутів. Рівність вертикальних кутів. Перевірка знань під час уроку геометрії: визначення виду кутів.

презентація , додано 13.03.2010


Поняття числової прямої. Типи числових інтервалів. Визначення координатами положення точки на прямій, площині, у просторі, система координат. Одиниці виміру для осей. Визначення відстані між двома точками площини та у просторі.

реферат, доданий 19.01.2012


Обробка результатів при прямих та непрямих вимірах. Принципи опрацювання результатів. Випадкові та систематичні похибки, особливості їхнього складання. Точність розрахунків, результат виміру. Загальний порядок розрахунку суми квадратів різниць значень.

лабораторна робота , доданий 23.12.2014

Застосування тригонометрії у фізиці та її завданнях

Практичне застосування тригонометричних рівнянь у реальному житті

Існує безліч областей, у яких застосовуються тригонометрії. Наприклад, метод тріангуляції використовується в астрономії для вимірювання відстані до найближчих зірок, географії для вимірювання відстаней між об'єктами, а також у супутникових навігаційних системах. Синус та косинус мають фундаментальне значення для теорії періодичних функцій, наприклад при описі звукових та світлових хвиль.

Тригонометрія використовуються в астрономії (особливо для розрахунків положення небесних об'єктів, коли потрібна сферична тригонометрія), в морській та повітряній навігації, в теорії музики, в акустиці, в оптиці, в аналізі фінансових ринків, в електроніці, в теорії ймовірностей, у статистиці, в біології, в медичній візуалізації (наприклад, комп'ютерна томографія та ультразвук), в аптеках, в хімії, в теорії чисел, в метеорології, в океанографії, у багатьох фізичних науках, у межуванні та геодезії, в архітектурі, у фонетиці, в економіці, в електротехніки, у машинобудуванні, у цивільному будівництві, у комп'ютерній графіці, у картографії, у кристалографії, у розробці ігор та багатьох інших областях.

У навколишньому світі доводиться зіштовхуватися з періодичними процесами, які повторюються через однакові проміжки часу. Ці процеси називаються коливальними. Коливальні явища різної фізичної природи підпорядковуються загальним закономірностям і описуються однаковими рівняннями. Існують різні види коливальних явищ.

Гармонічне коливання - явище періодичного зміни будь-якої величини, у якому залежність від аргументу має характер функції синуса чи косинуса. Наприклад, гармонійно коливається величина, що змінюється у часі таким чином:

Де х - значення величини, що змінюється, t - час, А - амплітуда коливань, ω - циклічна частота коливань, - повна фаза коливань, r - початкова фаза коливань.

Узагальнене гармонійне коливання в диференціальному вигляді x'+ ω²x = 0.

Камінь кинутий на схилі гори під кутом до її поверхні. Визначте дальність польоту каменю, якщо початкова швидкість каменю дорівнює v0, кут нахилу гори до горизонту β. Опір повітря не враховувати.

Рішення.Складне рух каменю по параболі потрібно як результат накладання двох прямолінійних рухів: одного вздовж поверхні Землі, іншого - за нормалі до неї.

Виберемо прямокутну систему координат з початком відліку в точці кидання каменю так, щоб осі OXі OYзбіглися із зазначеними напрямками, і знайдемо складові векторів початкової швидкості v 0 та прискорення вільного падіння g по осях. Проекції цих складових на осі OXі OYрівні відповідно:
v 0 cosα v 0; -g sinβ -g cosβ

Після цього складний рух можна розглядати як два простіші: рівнозамедлений рух уздовж поверхні Землі з прискоренням g sinβ і рівноперемінний рух, перпендикулярний схилу гори, з прискоренням g cosβ.

Складаємо рівняння руху для кожного напрямку з урахуванням того, що за час t всього руху переміщення каменю нормалі до поверхні (по осі OY) виявилося рівним нулю, а вздовж поверхні (по осі OX) - рівним s:

За умовою задачі v 0 ,α і β нам задані, тому у складених рівняннях є дві невідомі величини s та t1.

З першого рівняння визначаємо час польоту каменю:

Підставляючи цей вислів у друге рівняння, знаходимо:

S= v 0 cosα∙ =
=

Аналізуючи рішення наведеної завдання, можна дійти невтішного висновку, що математика має апарат і його при реалізації між предметної зв'язку фізики і математики веде до усвідомлення єдності світу та інтеграції наукових знань.

Математика постає як своєрідний мову, необхідний кодування змістовної фізичної інформації.

Використання між предметного зв'язку фізики та математики веде до порівнювання цих двох наук і дозволяє посилювати якісну теоретичну та практичну підготовку учнів.

Потреба у вирішенні трикутників найперше виявилася в астрономії; тому, протягом багато часу тригонометрія розвивалася і вивчалася як із розділів астрономії.

Складені Гіппархом таблиці положень Сонця та Місяця дозволили передраховувати моменти настання затемнень (з помилкою 1-2 год). Гіппарх вперше почав використовувати в астрономії методи сферичної тригонометрії. Він підвищив точність спостережень, застосувавши наведення на світило хрест ниток в кутомірних інструментах - секстантах і квадрантах. Вчений склав величезний на той час каталог положень 850 зірок, розділивши їх по блиску на 6 ступенів (зіркових величин). Гіппарх запровадив географічні координати - широту та довготу, і його можна вважати засновником математичної географії. (бл. 190 до н. е. – бл. 120 до н. е.)

МБОУ Цілинна ЗОШ

Доповідь Тригонометрія у реальному житті

Підготувала та провела

учитель математики

кваліфікаційної категорії

Ільїна В. П.

п. Цілинний березень 2014р.

Зміст.

1. Введення .

2. Історія створення тригонометрії:

Ранні віки.

Стародавня Греція.

Середньовіччя.

Новий час.

З розвитку сферичної геометрії.

3.Тригонометрія та реальне життя:

Застосування тригонометрії у навігації.

Тригонометрія в алгебрі.

Тригонометрія у фізиці.

Тригонометрія в медицині та біології.

Тригонометрія у музиці.

Тригонометрія в інформатиці

Тригонометрія в будівництві та геодезії.

4. Висновок .

5. Список літератури.

Вступ

Здавна у математиці встановилася така практика, що з систематичному вивченні математики нам – учням доводиться зустрічатися з тригонометрією тричі. Відповідно її зміст представляється що складається з трьох елементів. Ці частини при навчанні відокремлені один від одного за часом і не схожі один на одного як за змістом, що вкладається в пояснення основних понять, так і по апарату, що розвивається, і за службовими функціями (додатками).

І справді, вперше тригонометричний матеріал ми зустріли у 8 класі щодо теми «Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника». Так ми дізналися, що таке синус, косинус та тангенс, навчилися вирішувати плоскі трикутники.

Проте минув деякий час і у 9-му класі ми знову повернулися до тригонометрії. Але ця тригонометрія не схожа на ту, що вивчали раніше. Її співвідношення визначаються тепер за допомогою кола (одиничного півкола), а не прямокутного трикутника. Хоча вони як і визначаються як функції кутів, але це кути вже довільно великі.

Перейшовши ж у 10 клас, ми знову зіткнулися з тригонометрією і побачили, що вона стала ще складнішою, ввелося поняття радіальний захід кута, інакше виглядають і тригонометричні тотожності, і постановка завдань, і трактування їх рішень. Запроваджуються графіки тригонометричних функцій. Зрештою, з'являються тригонометричні рівняння. І весь цей матеріал став перед нами вже як частина алгебри, а не як геометрія. І нам стало дуже цікаво вивчити історію тригонометрії, її застосування у повсякденному житті, тому що використання вчителем математики історичних відомостей не є обов'язковим під час викладу матеріалу уроку. Однак, як вказує К. А. Малигін «...екскурси в історичне минуле пожвавлюють урок, дають розрядку розумової напруги, піднімають інтерес до матеріалу, що вивчається, і сприяють міцному його засвоєнню» . Тим більше що матеріал з історії математики дуже великий і цікавий, оскільки розвиток математики тісно пов'язаний з вирішенням нагальних завдань, що виникали в усі періоди існування цивілізації.

Дізнавшись про історичні причини виникнення тригонометрії, і вивчивши, як плоди діяльності великих учених вплинули на розвиток цієї галузі математики і на вирішення конкретних завдань, у нас, у школярів, підвищується інтерес до предмета, що вивчається, і ми побачимо його практичне значення.

Мета проекту - розвиток інтересу до вивчення теми «Тригонометрія» в курсі алгебри та початку аналізу через призму прикладного значення матеріалу, що вивчається; розширення графічних уявлень, що містять тригонометричні функції; застосування тригонометрії у таких науках, як фізика, біологія тощо.

Зв'язок тригонометрії з навколишнім світом, значення тригонометрії у вирішенні багатьох практичних завдань, графічні можливості тригонометричних функцій дозволяють «матеріалізувати» знання школярів. Це дозволяє краще зрозуміти життєву необхідність знань, здобутих щодо тригонометрії, підвищує інтерес до вивчення цієї теми.

Завдання дослідження:

1.Розглянути історію виникнення та розвитку тригонометрії.

2.Показать на конкретних прикладах практичні докладання тригонометрії у різних науках.

3.Розкрити на конкретних прикладах можливості використання тригонометричних функцій, що дозволяють «мало цікаві» функції перетворювати на функції, графіки яких мають досить оригінальний вигляд.

"Одне залишилося ясно, що світ влаштований грізно і прекрасно".

М. Рубцов

Тригонометрія - це розділ математики, в якому вивчаються залежності між величинами кутів та довжинами сторін трикутників, а також алгебраїчні тотожності тригонометричних функцій. Важко уявити, але з цією наукою ми стикаємося не лише на уроках математики, а й у нашому повсякденному житті. Ми могли не підозрювати про це, але тригонометрія зустрічається в таких науках, як фізика, біологія, не останню роль вона грає і в медицині, і що найцікавіше без неї не обійшлося навіть у музиці та архітектурі. Значну роль розвитку навичок застосування практично теоретичних знань, отриманих щодо математики, грають завдання з практичним змістом. Кожного, хто вивчає математику, цікавить, як і де застосовуються отримані знання. Відповідь це питання і дає дана робота.

Історія створення тригонометрії

Ранні віки

Від вавілонської математики веде початок звичне нам вимір кутів градусами, хвилинами і секундами (введення цих одиниць в давньогрецьку математику зазвичай приписують II століття до н. Е..).

Головним досягненням цього періоду стало співвідношення катетів і гіпотенузи в прямокутному трикутнику, яке пізніше отримало ім'я.

Стародавня Греція

Загальне та логічно зв'язне виклад тригонометричних співвідношень з'явилося в давньогрецькій геометрії. Грецькі математики ще виділяли тригонометрію як окрему науку, їм була частиною астрономії.
Основним досягненням античної тригонометричної теорії стало рішення у загальному вигляді завдання «вирішення трикутників», тобто знаходження невідомих елементів трикутника, виходячи з трьох заданих його елементів (з яких хоча б один є стороною).

Середньовіччя

У IV столітті після загибелі античної науки центр розвитку математики перемістився в Індію. Вони змінили деякі концепції тригонометрії, наблизивши їх до сучасних: наприклад, першими ввели у використання косинус.
Першим спеціалізованим трактатом з тригонометрії було твір середньоазіатського вченого (X-XI століття) "Книга ключів науки астрономії" (995-996 роки). Цілий курс тригонометрії містив головну працю Аль-Біруні - «Канон Мас'уда» (книга III). Крім таблиць синусів (з кроком 15") Аль-Біруні дав таблиці тангенсів (з кроком 1°).

Після того як арабські трактати були в XII-XIII століттях перекладені латиною, багато ідей індійських і перських математиків стали надбанням європейської науки. Очевидно, перше знайомство європейців з тригонометрією відбулося завдяки зиджу, два перекладу якого було виконано в XII столітті.

Першим європейським твором, цілком присвяченим тригонометрії, часто називають «Чотири трактати про прямі і звернені хорди» англійського астронома (близько 1320). Тригонометричні таблиці, частіше перекладні з арабської, але іноді й оригінальні, містяться в творах інших авторів XIV-XV століть. Тоді ж тригонометрія зайняла місце серед курсів університетів.

Новий час

Слово «тригонометрія» вперше зустрічається (1505 р) в назві книги німецького теолога та математика Пітіскуса. Походження цього слова грецьке: трикутник, міра. Іншими словами, тригонометрія-наука про вимір трикутників. Хоча назва виникла порівняно недавно, багато понять і факти, що зараз відносяться до тригонометрії, були відомі вже дві тисячі років тому.

Тривалий історію має поняття синуса. Фактично різні відносини відрізків трикутника і кола (а по суті, і тригонометричні функції) зустрічаються вже в??? до зв. е. у роботах великих математиків Стародавньої Греції-Евкліда, Архімеда, Аполлонія Пергського. У римський період ці відносини вже досить систематично досліджувалися Менелаєм (? ст до н. е.), хоча і не набули спеціальної назви. Сучасний мінус кута, наприклад, вивчався як твір напівхорд, на яку спирається центральний кут величиною, або як хорда подвоєної дуги.

У наступний період математика довгий час найактивніше розвивалася індійськими та арабськими вченими. У ӀV- Vст. з'явився, зокрема, вже спеціальний термін у працях з астрономії великого індійського вченого Аріабхати (476-бл. 550), ім'ям якого названо перший індійський супутник Землі.

Пізніше прищепилася коротша назва джива. Арабськими математиками у ΙXв. слово джіва (або джиба) було замінено на арабське слово джайб (опуклість). При перекладі арабських математичних текстів уXΙΙв. це слово було замінено латинським синусом (sinus-вигин, кривизна)

Слово косинус набагато молодше. Косинус-це скорочення латинського виразуcomplementsinus, тобто "додатковий синус" (або інакше "синус додаткової дуги"; згадайтеcosa= sin(90 ° - a)).

Маючи справу з тригонометричними функціями, ми суттєво виходимо за межі завдання «вимірювання трикутників». Тому відомий математик Ф. Клейн (1849-1925) пропонував вчення про «тригонометричні» функції називати інакше-ганіометрією (кут). Однак ця назва не прищепилась.

Тангенси виникли у зв'язку з розв'язанням задачі щодо визначення довжини тіні. Тангенс (а також котангенс, секанс та косеканс) введений уXв. арабським математиком Абу-л-Вафою, який склав і перші таблиці для знаходження тангенсів та котангенсів. Однак ці відкриття тривалий час залишалися невідомими європейським вченим, і тангенси були знову відкриті вXΙVв. спочатку англійським вченим Т. Бравердіном, а пізніше німецьким математиком, астрономом Регіомонтаном (1467). Назва «тангенс», що походить від латинськогоtanger(стосуватися), з'явилося 1583 р.Tangensперекладається як «що стосується» (згадайте: лінія тангенсів - це дотична до одиничного кола)

Сучасні позначенняarcsinі arctgвиникають у 1772 р у роботах віденського математика Шерфера і відомого французького вченого Ж.Л.Лагранжа, хоча кілька раніше їх розглядав Я.Бернуллі, який використовував іншу символіку. Але загальноприйнятими ці символи стали лише наприкінціXVΙΙΙсторіччя. Приставка «арк» походить від латинськогоarcusxнаприклад, це кут (а можна сказати, і дуга), синус якого дорівнюєx.

Тривалий час тригонометрія розвивалася, як частина геометрії, тобто. факти, які ми зараз формулюємо у термінах тригонометричних функцій, формулювалися та доводилися за допомогою геометричних понять та тверджень. Мабуть, найбільші стимули до розвитку тригонометрії виникали у зв'язку з розв'язанням задач астрономії, що становило великий практичний інтерес (наприклад, для вирішення завдань визначення місцезнаходження судна, передбачень затемнень тощо)

Астрономів цікавили співвідношення між сторонами та кутами сферичних трикутників, складених із великих кіл, що лежать на сфері. І слід зазначити, що математики давнини успішно справлялися із завданнями, значно складнішими, ніж завдання на розв'язанні плоских трикутників.

У всякому разі в геометричній формі багато відомих нам формул тригонометрії відкривалися і перевідкривалися давньогрецькими, індійськими, арабськими математиками (правда, формули різниці тригонометричних функцій стали відомі тільки вXVΙ- їх вивів англійський математик Непер для спрощення обчислень з тригонометричними функціями. А перший малюнок синусоїди з'явився 1634 р.)

Принципове значення мало складання К.Птолемеєм першої таблиці синусів (довгий час вона називалася таблицею хорд): з'явився практичний засіб розв'язання низки прикладних завдань, і в першу чергу завдань астрономії.

Маючи справу з готовими таблицями, або користуючись калькулятором, ми часто не замислюємося над тим, що був час, коли таблиці ще не були винайдені. Щоб скласти їх, потрібно виконати як великий обсяг обчислень, а й придумати спосіб складання таблиць. Таблиці Птолемея точні до п'яти десяткових знаків включно.

Сучасний вид тригонометрії надав найбільший математикXVΙӀΙ століття Л.Ейлер (1707-1783), швейцарець за походженням, довгі роки працював у Росії і був членом Петербурзької Академії наук. Саме Ейлер перший запровадив відомі визначення тригонометричних функцій, став розглядати функції довільного кута, отримав формули наведення. Все це мала частка того, що за довге життя встиг зробити Ейлер в математиці: він залишив понад 800 робіт, довів багато які стали класичними теореми, що відносяться до різних галузей математики. Але якщо ви намагаєтеся оперувати з тригонометричними функціями в геометричній формі, тобто так, як це робили багато покоління математиків до Ейлера, то зможете оцінити досягнення Ейлера в систематизації тригонометрії. Після Ейлера тригонометрія набула нової форми обчислення: різні факти стали доводити шляхом формального застосування формул тригонометрії, докази стали набагато компактнішими, простішими.

З історії розвитку сферичної геометрії .

Широко відомо, що евклідова геометрія є однією з найдавніших наук.: вже вIIIвіці до н.е. з'явився класичний працю Евкліда - "Початку". Менш відомо, що сферична геометрія лише трохи молодша. Її перша систематична виклад відноситься доI- IIстоліттям. У книзі «Сферика», написаної грецьким математиком Менелаєм (Iв.), вивчалися властивості сферичних трикутників; доводилося, зокрема, що сума кутів сферичного трикутника більше 180 градусів. Великий крок уперед зробив інший грецький математик Клавдій Птолемей.IIв.). Фактично він перший склав таблиці тригонометричних функцій, запровадив стереографічну проекцію.

Як і геометрія Евкліда, сферична геометрія виникла під час вирішення завдань практичного характеру, й у першу чергу завдань астрономії. Ці завдання були необхідні, наприклад, мандрівникам та мореплавцям, які орієнтувалися за зірками. А оскільки при астрономічних спостереженнях зручно вважати, що і Сонце і Місяць, і зірки рухаються по «небесній сфері», що зображається, то природно, що для вивчення їх руху знадобилися знання про геометрію сфери. Не випадково тому, що найвідоміша робота Птолемея називалася "Велика математична побудова астрономії в 13 книгах".

Найважливіший період історії сферичної тригонометрії пов'язані з діяльністю вчених Близького Сходу. Індійські вчені успішно розв'язували завдання сферичної тригонометрії. Однак метод, описаний Птолемеєм і заснований на теоремі Менела повного чотирикутника, у них не застосовувався. І у сферичній тригонометрії вони користувалися проективними методами, які відповідали методам з «Аналеми» Птолемея. В результаті ними було отримано набір певних обчислювальних правил, що дозволяли вирішити практично будь-яке завдання сферичної астрономії. З їхньою допомогою таке завдання зводилося в кінцевому рахунку до порівняння між собою подібних плоских прямокутних трикутників. При розв'язках нерідко застосовувалися теорія квадратних рівнянь та метод послідовних наближень. Прикладом астрономічного завдання, яке вирішували індійські вчені за допомогою розроблених ним правил, служить завданням, що розглядається у творі «Панга Сіддхантика» Варахаміхіри (V- VI). Вона полягає у знаходженні висоти Сонця, якщо відомо широта місця, відмінювання Сонця та його годинний кут. В результаті вирішення цього завдання після низки побудов встановлюється співвідношення, яке рівносильне сучасній теоремі косинусів для сферичного трикутника. Однак і це співвідношення, та інше, еквівалентне теоремі синусів, не були узагальнені як правила, які застосовуються до будь-якого сферичного трикутника.

Серед перших східних учених, які звернулися до обговорення теореми Менелая, слід назвати братів Бану Мусса – Мухаммеда, Хасана та Ахмада, синів Муси ібн Шакіра, який працював у Багдаді та займався математикою, астрономією та механікою. Але найбільш раннім з творів, що збереглися, про теорему Менелая є «Трактат про фігуру січучих» їх учня Сабіта ібн Корри (836-901)

Трактат Сабіта ібн Корри дійшов до нас в арабському оригіналі. І в латинському перекладіXIIв. Цей переклад Герандо Кремонським (1114-1187), набув широкого поширення в Середньовічній Європі.

Історія тригонометрії, як науки про співвідношення між кутами та сторонами трикутника та інших геометричних фігур, охоплює понад два тисячоліття. Більшість таких співвідношень не можна висловити за допомогою звичайних операцій алгебри, і тому знадобилося ввести особливі тригонометричні функції, спочатку оформлялися у вигляді числових таблиць.
Історики вважають, що тригонометрію створили древні астрономи, трохи згодом її почали використовувати у архітектурі. Згодом сфера застосування тригонометрії постійно розширювалася, у наші дні вона включає практично всі природничі науки, техніку та низку інших галузей діяльності.

Прикладні тригонометричні завдання відрізняються великою різноманітністю - наприклад, можуть бути задані результати дій над перерахованими величинами (наприклад, сума кутів або відношення довжин сторін).

Паралельно з розвитком тригонометрії площини греки під впливом астрономії далеко просунули сферичну тригонометрію. У «Початках» Евкліда на цю тему є лише теорема щодо відношення обсягів куль різного діаметра, але потреби астрономії та картографії викликали швидкий розвиток сферичної тригонометрії та суміжних з нею областей – системи небесних координат, теорії картографічних проекцій, технології астрономічних приладів.

курсів.

Тригонометрія та реальне життя

Тригонометричні функції знайшли застосування у математичному аналізі, фізиці, інформатиці, геодезії, медицині, музиці, геофізиці, навігації.

Застосування тригонометрії у навігації

Навігація (це слово походить від латинськогоnavigatio– пливу на судні) – одна з найдавніших наук. Найпростіші завдання навігації, такі, наприклад, як визначення найкоротшого маршруту, вибір напрямку руху, постали перед першими мореплавцями. Нині ці та інші завдання доводиться вирішувати як морякам, а й льотчикам, і космонавтам. Деякі поняття та завдання навігації розглянемо детальніше.

Завдання. Відомі географічні координати – широта та довгота пунктів А та В земної поверхні:, І, . Потрібно знайти найкоротшу відстань між пунктами А і В вздовж земної поверхні (радіус Землі вважається відомим:R= 6371 км)

Рішення. Нагадаємо спочатку, що широтою пункту М земної поверхні називається величина кута, утвореного радіусом ОМ, де О - центр Землі, з площиною екватора: ≤ , причому сівер від екватора широта вважається позитивною, а на південь - негативною (рисунок 1)

Довгота пункту М є величина двогранного кута між площинами СОМ і СОН, де С – Північний полюс Землі, а Н – точка, що відповідає грінвічській обсерваторії: ≤ (на схід від гринвічського меридіана довгота вважається позитивною, на захід – негативною).

Як відомо, найкоротша відстань між пунктами А й У земної поверхні- це довжина меншої з дуг великого кола, що з'єднує А й У (таку дугу називають ортодромією – у перекладі з грецької означає «прямий біг»). Тому наше завдання зводиться до визначення довжини сторони АВ сферичного трикутника АВС (С – північний полюс).

Застосовуючи стандартне позначення елементів трикутника АВС і відповідного тригранного кута ОАВС, з умови завдання знаходимо: α = = - , β = (рис.2).

Кут С також не важко висловити через координати точок А і В. За визначенням ≤ , тому або кут С = якщо ≤ , або - якщо. Знаючи = за допомогою теореми косінусів: = + (-). Знаючи і, отже кут, знаходимо відстань: =.

Тригонометрія у навігації 2.

Для прокладання курсу корабля на карті, виконаної в проекції Герхарда Меркатора (1569), необхідно було визначати широту. При плаванні Середземним морем у лоціях доXVIIв. широта не вказувалося. Вперше застосував тригонометричні розрахунки у навігації Едмонд Гюнтер (1623).

Тригонометрія допомагає розраховувати вплив вітру на політ літака. Трикутник швидкостей – це трикутник, утворений вектором повітряної швидкості (V), вектор вітру(W), вектором колійної швидкості (Vп ). ПУ – колійний кут, УВ – кут вітру, КУВ – курсовий кут вітру.

Залежність між елементами навігаційного трикутника швидкостей має вигляд:

V п = V cos УС+ W cos УВ; sin УС = * sin УВ, tg УВ =

Навігаційний трикутник швидкостей вирішується за допомогою лічильних пристроїв, на навігаційній лінійці та приблизно в розумі.

Тригонометрія в алгебрі.

Ось приклад розв'язання складного рівняння за допомогою тригонометричної підстановки.

Дано рівняння

Нехай , отримаємо

;

звідки: або

з урахуванням обмежень отримаємо:

Тригонометрія у фізиці

Скрізь, де доводиться мати справу з періодичними процесами та коливаннями – чи то акустика, оптика чи хитання маятника, ми маємо справу з тригонометричними функціями. Формули коливань:

де A- Амплітуда коливання, - кутова частота коливання, -Початкова фаза коливання

Фаза коливання.

sin α /sin β = n 1 /n 2

де:

n 1 - показник заломлення першого середовища
n 2 - показник заломлення другого середовища

α -кут падіння, β -кут заломлення світла.

Проникнення у верхні шари атмосфери планет заряджених частинок сонячного вітру визначається взаємодією магнітного поля планети із сонячним вітром.

Сила, що діє на заряджену частинку, що рухається в магнітному полі, називається силою Лоренца. Вона пропорційна заряду частки та векторному добутку поля та швидкості руху частки.

Як практичний приклад розглянемо фізичне завдання, яке вирішується із застосуванням тригонометрії.

Завдання. На похилій площині, що становить горизонтом кут 24,5о , знаходиться тіло масою 90 кг. Знайдіть, з якою силою це тіло тисне на похилу площину (тобто який тиск тіло на цю площину).

Рішення:

Позначивши осі Х і У, почнемо будувати проекції сил на осі, спочатку скориставшись цією формулою:

ma = N + mg , Потім дивимося на малюнок,