Дослідити функцію на безперервність та побудувати графік онлайн калькулятор. Як провести повне дослідження функції

Як дослідити функцію та побудувати її графік?

Схоже, я починаю розуміти одухотворено-проникливе обличчя вождя світового пролетаріату, автора зібрання творів у 55 томах. Нешвидкий шлях почався елементарними відомостями про функціях та графіках, і зараз робота над трудомісткою темою закінчується закономірним результатом – статтею про повне дослідження функції. Довгоочікуване завдання формулюється так:

Дослідити функцію методами диференціального обчислення та на підставі результатів дослідження побудувати її графік

Або коротше: дослідити функцію та побудувати графік.

Навіщо досліджувати?У простих випадках нам не важко розібратися з елементарними функціями, накреслити графік, отриманий за допомогою елементарних геометричних перетвореньі т.п. Однак властивості та графічні зображення складніших функцій далеко не очевидні, саме тому і необхідне ціле дослідження.

Основні етапи рішення зведені у довідковому матеріалі Схема дослідження функціїце ваш путівник по розділу. Чайникам потрібне покрокове пояснення теми, деякі читачі не знають з чого почати і як організувати дослідження, а просунутим студентам, можливо, будуть цікаві лише деякі моменти. Але ким би ви не були, шановний відвідувачу, запропонований конспект із покажчиками на різні уроки в найкоротший термін зорієнтує і направить Вас у напрямку, що цікавить. Роботи розплакалися =) Керівництво зверстано у вигляді pdf-файлу і зайняло заслужене місце на сторінці Математичні формули та таблиці.

Дослідження функції я звик розбивати на 5-6 пунктів:

6) Додаткові точки та графік за результатами дослідження.

На рахунок заключної дії, гадаю, всім все зрозуміло – буде дуже прикро, якщо за лічені секунди його перекреслять і повернуть завдання на доопрацювання. ПРАВИЛЬНИЙ І АКУРАТНИЙ КРЕСЛЕННЯ – це основний результат рішення! Він з великою ймовірністю «прикриє» аналітичні помилки, тоді як некоректний та/або недбалий графік завдасть проблем навіть при ідеально проведеному дослідженні.

Слід зазначити, що в інших джерелах кількість пунктів дослідження, порядок їх виконання та стиль оформлення можуть суттєво відрізнятися від запропонованої мною схеми, але здебільшого її цілком достатньо. Найпростіша версія завдання складається всього з 2-3 етапів і формулюється приблизно так: «дослідити функцію за допомогою похідної та побудувати графік» або «дослідити функцію за допомогою 1-ї та 2-ї похідної, побудувати графік».

Природно – якщо у вашій методичці докладно розібраний інший алгоритм або ваш викладач суворо вимагає дотримуватись його лекцій, то доведеться внести деякі корективи у рішення. Не складніше, ніж замінити вилку бензопилою ложкою.

Перевіримо функцію на парність/парність:

Після чого слідує шаблонна відписка:
Отже, дана функція не є парною або непарною.

Оскільки функція безперервна на , то вертикальні асимптоти відсутні.

Немає і похилих асимптотів.

Примітка : нагадую, що вищого порядку зростання, чим , тому підсумкова межа дорівнює саме « плюснескінченності».

З'ясуємо, як поводиться функція на нескінченності:

Іншими словами, якщо йдемо вправо, то графік йде нескінченно далеко вгору, якщо вліво – нескінченно далеко вниз. Так, тут теж дві межі під єдиним записом. Якщо у вас виникли труднощі з розшифровкою знаків, будь ласка, відвідайте урок про нескінченно малих функціях.

Таким чином, функція не обмежена зверхуі не обмежена знизу. Враховуючи, що у нас немає точок розриву, стає зрозумілою і область значень функції: - теж будь-яке дійсне число

КОРИСНИЙ ТЕХНІЧНИЙ ПРИЙОМ

Кожен етап завдання приносить нову інформацію про графік функціїТому в ході рішення зручно використовувати своєрідний Макет. Зобразимо на чернетці декартову систему координат. Що вже достеменно відомо? По-перше, у графіка немає асимптот, отже, прямі креслити не потрібно. По-друге, ми знаємо, як функція поводиться на нескінченності. Згідно з проведеним аналізом, намалюємо перше наближення:

Зауважте, що в силу безперервностіФункції і того факту, що , графік повинен, щонайменше, один раз перетнути вісь . А може, точок перетину кілька?

3) Нулі функції та інтервали знакопостійності.

Спочатку знайдемо точку перетину графіка з віссю ординат. Це просто. Необхідно обчислити значення функції при:

Півтора над рівнем моря.

Щоб знайти точки перетину з віссю (нулі функції) потрібно вирішити рівняння , і тут на нас чекає неприємний сюрприз:

Наприкінці причаївся вільний член, який суттєво ускладнює завдання.

Таке рівняння має, як мінімум, один дійсний корінь, і найчастіше цей корінь ірраціональний. У гіршій же казці нас чекають три порося. Рівняння можна за допомогою так званих формул Кардано, Але псування паперу можна порівняти майже з усім дослідженням. У цьому розумніше усно або на чернетці спробувати підібрати хоча б один цілийкорінь. Перевіримо, чи не є ними числа :
- не підходить;
- Є!

Тут поталанило. У разі невдачі можна протестувати ще й, а якщо ці цифри не підійшли, то шансів на вигідне рішення рівняння, боюся, дуже мало. Тоді пункт дослідження краще повністю пропустити - може станеться щось зрозуміліше на завершальному кроці, коли пробиватимуться додаткові точки. І якщо корінь (коріння) явно «нехороші», то про інтервали знакопостійності краще взагалі скромно замовчати і акуратніше виконати креслення.

Однак у нас є гарний корінь, тому ділимо багаточлен на без залишку:

Алгоритм поділу багаточлена на багаточлен детально розібраний у першому прикладі уроку Складні межі.

У результаті ліва частина вихідного рівняння розкладається у твір:

А тепер трохи про здоровий спосіб життя. Я, звичайно ж, розумію, що квадратні рівнянняпотрібно вирішувати щодня, але сьогодні зробимо виняток: рівняння має два дійсних кореня.

На числовій прямій відкладемо знайдені значення і методом інтерваліввизначимо знаки функції:


Таким чином, на інтервалах графік розташований
нижче осі абсцис, а на інтервалах - Више цієї осі .

Отримані висновки дозволяють деталізувати наш макет, і друге наближення графіка виглядає так:

Зверніть увагу, що на інтервалі функція обов'язково повинна мати хоча б один максимум, а на інтервалі – хоча б один мінімум. Але скільки разів, де і коли «петлятиме» графік, ми поки що не знаємо. До речі, функція може мати і багато екстремумів.

4) Зростання, спадання та екстремуми функції.

Знайдемо критичні точки:

Дане рівняння має два дійсних кореня. Відкладемо їх на числовій прямій та визначимо знаки похідної:


Отже, функція зростає на і зменшується на .
У точці функція досягає максимуму: .
У точці функція досягає мінімуму: .

Встановлені факти заганяють наш шаблон у досить жорсткі рамки:

Що й казати, диференціальне числення – штука потужна. Давайте остаточно розберемося з формою графіка:

5) Випуклість, увігнутість та точки перегину.

Знайдемо критичні точки другої похідної:

Визначимо знаки:


Графік функції є опуклим і увігнутим на . Обчислимо ординату точки перегину: .

Майже все прояснилося.

6) Залишилося знайти додаткові точки, які допоможуть точніше побудувати графік та виконати самоперевірку. В даному випадку їх мало, але нехтуватимемо не:

Виконаємо креслення:

Зеленим кольором відзначено точку перегину, хрестиками – додаткові точки. Графік кубічної функції симетричний щодо своєї точки перегину, яка завжди розташована строго посередині між максимумом та мінімумом.

Під час виконання завдання я навів три гіпотетичні проміжні креслення. Насправді ж досить намалювати систему координат, відзначати знайдені точки і після кожного пункту дослідження подумки прикидати, як виглядатиме графік функції. Студентам з хорошим рівнем підготовки не важко провести такий аналіз виключно в розумі без залучення чернетки.

Для самостійного вирішення:

Приклад 2

Дослідити функцію та побудувати графік.

Тут все швидше і веселіше, зразок чистого оформлення наприкінці уроку.

Чимало секретів розкриває дослідження дрібно-раціональних функцій:

Приклад 3

Методами диференціального обчислення досліджувати функцію і виходячи з результатів дослідження побудувати її графік.

Рішення: перший етап дослідження не відрізняється чимось примітним, за винятком дірки в області визначення:

1) Функція визначена і безперервна на всій числовій прямій крім точки , область визначення: .

Отже, дана функція не є парною або непарною.

Очевидно, що функція неперіодична.

Графік функції є дві безперервні гілки, розташовані в лівій і правій напівплощині - це, мабуть, найважливіший висновок 1-го пункту.

2) Асимптоти, поведінка функції на нескінченності.

а) За допомогою односторонніх меж досліджуємо поведінку функції поблизу підозрілої точки, де явно має бути вертикальна асимптота:

Справді, функції терпить нескінченний розриву точці ,
а пряма (вісь ) є вертикальною асимптотоюграфіка.

б) Перевіримо, чи існують похилі асимптоти:

Так, пряма є похилою асимптотоюграфіка, якщо.

Межі аналізувати сенсу не має, оскільки і так зрозуміло, що функція в обіймах зі своєю похилою асимптотою не обмежена зверхуі не обмежена знизу.

Другий пункт дослідження приніс багато важливу інформацію про функції. Виконаємо чорновий малюнок:

Висновок №1 стосується інтервалів знакостійності. На «мінус нескінченності» графік функції однозначно розташований нижче за осі абсцис, а на «плюс нескінченності» – вище за цю осі. Крім того, односторонні межі повідомили нам, що і зліва і праворуч від точки функція теж більша за нуль. Зверніть увагу, що в лівій напівплощині графік щонайменше один раз повинен перетнути вісь абсцис. У правій напівплощині нулів функції може бути.

Висновок №2 у тому, що функція зростає і зліва від точки (йде «знизу нагору»). Праворуч від цієї точки – функція зменшується (йде «згори донизу»). У правої гілки графіка неодмінно має бути хоча б один мінімум. Ліворуч екстремуми не гарантовані.

Висновок №3 дає достовірну інформацію про увігнутість графіка на околиці точки. Про опуклість/увігнутість на нескінченності ми поки що нічого сказати не можемо, оскільки лінія може притискатися до своєї асимптоти як зверху, так і знизу. Взагалі кажучи, є аналітичний спосіб з'ясувати це прямо зараз, але форма графіка «дарма» проясниться на пізніших етапах.

Навіщо стільки слів? Щоб контролювати наступні пункти дослідження та не допустити помилок! Подальші викладки нічого не винні суперечити зробленим висновкам.

3) Точки перетину графіка з координатними осями, інтервали знаковості функції.

Графік функції не перетинає вісь.

Методом інтервалів визначимо знаки:

, якщо;
, якщо .

Результати пункту повністю відповідають Висновку №1. Після кожного етапу дивіться на чернетку, подумки звіряйтеся з дослідженням та домальовуйте графік функції.

У прикладі чисельник почленно ділиться на знаменник, що дуже вигідно для диференціювання:

Власне, це вже робилося під час перебування асимптот.

- Критична точка.

Визначимо знаки:

зростає на і зменшується на

У точці функція досягає мінімуму: .

Різночитань із Висновок №2 також не виявилося, і, найімовірніше, ми на правильному шляху.

Отже, графік функції є увігнутим по всій області визначення.

Добре - і креслити нічого не треба.

Точки перегину відсутні.

Увігнутість узгоджується з Висновком №3, більше, вказує, що у нескінченності (і там і там) графік функції розташований вищесвоєї похилої асимптоти.

6) Добросовісно приколоти завдання додатковими точками. Ось тут доведеться неабияк попрацювати, оскільки з дослідження нам відомі лише дві точки.

І картинка, яку, напевно, багато хто давно представив:

У ході виконання завдання потрібно ретельно стежити за тим, щоб не виникало суперечностей між етапами дослідження, але іноді ситуація буває екстреною чи навіть відчайдушно-тупиковою. Ось "не сходиться" аналітика - і все тут. У цьому випадку рекомендую аварійний прийом: знаходимо якнайбільше точок, що належать графіку (скільки вистачить терпіння), і відзначаємо їх на координатній площині. Графічний аналіз знайдених значень у більшості випадків підкаже, де правда, а де брехня. Крім того, графік можна заздалегідь побудувати за допомогою якоїсь програми, наприклад, у тому ж Екселе (зрозуміло, для цього потрібні навички).

Приклад 4

Методами диференціального обчислення досліджувати функцію та побудувати її графік.

Це приклад самостійного рішення. У ньому самоконтроль посилюється парністю функції – графік симетричний щодо осі , і якщо вашому дослідженні щось суперечить даному факту, шукайте помилку.

парну або непарну функцію можна досліджувати тільки при , а потім користуватися симетрією графіка. Таке рішення оптимальне, проте виглядає, на мою думку, дуже незвично. Особисто я розглядаю всю числову вісь, але додаткові точки знаходжу все ж таки лише праворуч:

Приклад 5

Провести повне дослідження функції та побудувати її графік.

Рішення: понеслася нелегка:

1) Функція визначена і безперервна по всій числової прямий: .

Отже, дана функція є непарною, її графік симетричний щодо початку координат.

Очевидно, що функція неперіодична.

2) Асимптоти, поведінка функції на нескінченності.

Так як функція безперервна на , то вертикальні асимптоти відсутні

Для функції, що містить експоненту, типово роздільнедослідження «плюс» і «мінус нескінченності», проте наше життя полегшує саме симетрія графіка - або ліворуч і праворуч є асимптота, або її немає. Тому обидві нескінченні межі можна оформити під єдиним записом. У ході рішення використовуємо правило Лопіталя:

Пряма (вісь) є горизонтальною асимптотою графіка при .

Зверніть увагу, як я хитро уникнув повного алгоритму знаходження похилої асимптоти: межа цілком легальна і прояснює поведінку функції на нескінченності, а горизонтальна асимптота виявилася «начебто заодно».

З безперервності на існування горизонтальної асимптоти випливає той факт, що функція обмежена зверхуі обмежена знизу.

3) Точки перетину графіка з координатними осями, інтервали знакопостійності.

Тут також скорочуємо рішення:
Графік відбувається через початок координат.

Інших точок перетину з координатними осями немає. Більше того, інтервали знаковості очевидні, і вісь можна не креслити: , а значить, знак функції залежить тільки від «ікса»:
, якщо;
якщо .

4) Зростання, спадання, екстремуми функції.


- Критичні точки.

Крапки симетричні щодо нуля, як і має бути.

Визначимо знаки похідної:


Функція зростає на інтервалі та зменшується на інтервалах

У точці функція досягає максимуму: .

З огляду на властивості (непарності функції) мінімум можна не обчислювати:

Оскільки функція зменшується на інтервалі, то, очевидно, на «мінус нескінченності» графік розташований підсвоєю асимптотою. На інтервалі функція теж зменшується, але тут навпаки – після переходу через точку максимуму лінія наближається до осі вже зверху.

З вищесказаного також випливає, що графік функції є опуклим на мінус нескінченності і увігнутим на плюс нескінченності.

Після цього пункту дослідження промалювалася і область значень функції:

Якщо у вас виникло непорозуміння будь-яких моментів, ще раз закликаю накреслити у зошиті координатні осі та з олівцем у руках заново проаналізувати кожен висновок завдання.

5) Випуклість, увігнутість, перегини графіка.

- Критичні точки.

Симетрія точок зберігається, і, швидше за все, ми не помиляємось.

Визначимо знаки:


Графік функції є опуклим на і увігнутим на .

Випуклість/увігнутість на крайніх інтервалах підтвердилася.

У всіх критичних точках є перегини графіка. Знайдемо ординати точок перегину, при цьому знову скоротимо кількість обчислень, використовуючи непарність функції: