Дослідити збіжність ряду 1 n. Сума ряду

Відповідь: ряд розходиться.

Приклад №3

Знайти суму ряду $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Оскільки нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Складемо n-ю часткову суму низки, тобто. підсумуємо перші $n$ членів заданого числового ряду:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9cdot 11)+ldots+frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Чому я пишу саме $\frac(2)(3\cdot 5)$, а не $\frac(2)(15)$, буде ясно з подальшої розповіді. Однак запис часткової суми ні на йоту не наблизив нас до мети. Адже нам потрібно знайти $\lim_(n\to\infty)S_n$, але якщо ми просто запишемо:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

то цей запис, абсолютно вірний за формою, нічого нам не дасть по суті. Щоб знайти межу, вираз часткової суми попередньо потрібно спростити.

Для цього є стандартне перетворення, яке полягає в розкладанні дробу $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, яка представляє загальний член ряду, елементарні дроби. Питання розкладання раціональних дробів на елементарні присвячено окрему тему (див., наприклад, приклад №3 на цій сторінці). Розкладаючи дріб $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ на елементарні дроби, матимемо:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Прирівнюємо чисельники дробів у лівій та правій частинах отриманої рівності:

$$ 2=Acdot(2n+3)+Bcdot(2n+1). $$

Щоб знайти значення $A$ і $B$, є два шляхи. Можна розкрити дужки і перегрупувати доданки, а можна просто підставити замість $n$ якісь відповідні значення. Суто для різноманітності в цьому прикладі підемо першим шляхом, а наступному - підставлятимемо приватні значення $n$. Розкриваючи дужки та перегруповуючи доданки, отримаємо:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B; 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

У лівій частині рівності перед $n$ стоїть нуль. Якщо завгодно, ліву частину рівності для наочності можна як $0\cdot n+ 2$. Оскільки в лівій частині рівності перед $n$ стоїть нуль, а правій частині рівності перед $n$ стоїть $2A+2B$, то маємо перше рівняння: $2A+2B=0$. Відразу розділимо обидві частини цього рівняння на 2, отримавши після цього $A+B=0$.

Оскільки лівої частини рівності вільний член дорівнює 2, а правої частини рівності вільний член дорівнює $3A+B$, то $3A+B=2$. Отже, маємо систему:

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$

Доказ проводитимемо методом математичної індукції. На першому кроці потрібно перевірити, чи виконано рівність, що доводиться $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ при $n=1$. Ми знаємо, що $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, але чи дасть вираз $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ значення $\frac(2 ) (15) $, якщо підставити в нього $ n = 1 $? Перевіримо:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-frac(1)(5)=frac(5-3)(15)=frac(2)(15). $$

Отже, при $n=1$ рівність $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ виконано. У цьому перший крок методу математичної індукції закінчено.

Припустимо, що з $n=k$ рівність виконано, тобто. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Доведемо, що ця ж рівність буде виконано за $n=k+1$. Для цього розглянемо $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Оскільки $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, то $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1)-frac(1)(2(k+1)+3)=frac(1)(2k+3)-frac(1)(2(k+1)+3)$. Відповідно до зробленого вище припущенню $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, тому формула $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ набуде вигляду:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=frac(1)(3)-frac(1)(2(k+1)+3). $$

Висновок: формула $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ вірна при $n=k+1$. Отже, згідно з методом математичної індукції, формула $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ вірна за будь-якого $n\in N$. Рівність доведена.

У стандартному курсі вищої математики зазвичай задовольняються "викреслюванням" доданків, що скорочуються, не вимагаючи жодних доказів. Отже, ми отримали вираз для n-ї часткової суми: $ S_n = frac (1) (3) - frac (1) (2n + 3) $. Знайдемо значення $\lim_(n\to\infty)S_n$:

Висновок: заданий ряд сходиться і його сума $S=\frac(1)(3)$.

Другий спосіб спрощення формули для часткової суми.

Чесно кажучи, я сам віддаю перевагу саме цьому способу:) Давайте запишемо часткову суму в скороченому варіанті:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Ми отримали раніше, що $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, тому:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right). $$

Сума $S_n$ містить кінцеву кількість доданків, тому ми можемо переставляти їх так, як нам заманеться. Я хочу спочатку скласти всі складові виду $\frac(1)(2k+1)$, а потім переходити до доданків виду $\frac(1)(2k+3)$. Це означає, що часткову суму ми подаємо у такому вигляді:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+frac(1)(9)-frac(1)(11)+ldots+frac(1)(2n+1)-frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Звичайно, розгорнутий запис вкрай незручний, тому представлену вище рівність можна оформити компактніше:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Тепер перетворюємо вирази $\frac(1)(2k+1)$ і $\frac(1)(2k+3)$ до одного виду. Я вважаю зручним приводити до вигляду більшого дробу (хоча можна і до меншого, це справа смаку). Так як $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (чим більше знаменник, тим менше дріб), то наводитимемо дріб $\frac(1)(2k+3) $ на вигляд $\frac(1)(2k+1)$.

Вираз у знаменнику дробу $\frac(1)(2k+3)$ я представлю в такому вигляді:

$$ \frac(1)(2k+3)=frac(1)(2k+2+1)=frac(1)(2(k+1)+1). $$

І суму $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ тепер можна записати так:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Якщо рівність $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ не викликає питань, то підемо далі. Якщо питання є, то прошу розгорнути примітку.

Як ми отримали перетворену суму? показати\сховати

У нас був ряд $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Давайте замість $k+1$ введемо нову змінну, наприклад $t$. Отже, $ t = k + 1 $.

Як змінювалася стара змінна $k$? А змінювалася вона від 1 до $ n $. Давайте з'ясуємо, як буде змінюватися нова змінна $t$. Якщо $k=1$, то $t=1+1=2$. Якщо $k=n$, то $t=n+1$. Отже, вираз $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ тепер став таким: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

У нас є сума $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Питання: а чи не однаково, яку літеру використовувати у цій сумі? :) Банально записуючи букву $k$ замість $t$, отримаємо наступне:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Отак і виходить рівність $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) \frac(1)(2k+1)$.

Таким чином, часткову суму можна подати у такому вигляді:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Зауважте, що суми $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ і $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ відрізняються лише межами підсумовування. Зробимо ці межі однаковими. "Забираючи" перший елемент із суми $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ будемо мати:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

"Забираючи" останній елемент із суми $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, отримаємо:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3).$$

Тоді вираз для часткової суми набуде вигляду:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Якщо пропустити всі пояснення, то процес знаходження скороченої формули для n-ї часткової суми набуде такого вигляду:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+frac(1)(2n+3)right)=frac(1)(3)-frac(1)(2n+3). $$

Нагадаю, що ми наводили дріб $frac(1)(2k+3)$ до вигляду $frac(1)(2k+1)$. Зрозуміло, можна і навпаки, тобто. уявити дріб $\frac(1)(2k+1)$ як $\frac(1)(2k+3)$. Кінцевий вираз для часткової суми не зміниться. Процес знаходження часткової суми в цьому випадку я приховаю під примітку.

Як знайти $S_n$, якщо приводити до вигляду іншого дробу? показати\сховати

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3). $$

Отже, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Знаходимо межу $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Заданий ряд сходиться і його сума $S=\frac(1)(3)$.

Відповідь: $S=\frac(1)(3)$.

Продовження теми знаходження суми ряду буде розглянуто у другій та третій частинах.

Гармонійний ряд- сума, складена з нескінченної кількості членів, обернених послідовним числам натурального ряду:

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

✪ Числові ряди. Основні поняття - bezbotvy

✪ Доказ розбіжності гармонійного ряду

✪ Числові ряди-9. Східність та розбіжність ряду Діріхле

✪ Консультація №1. Мат. аналіз. Ряд Фур'є за тригонометричною системою. Найпростіші властивості

✪ РЯДИ. Огляд

Субтитри

Сума перших n членів ряду

Окремі члени ряду прагнуть нуля, але його сума розходиться. n-тою частковою сумою s n гармонійного ряду називається n-то гармонійне число:

Деякі значення часткових сум

Формула Ейлера

При значення ε n → 0 (\displaystyle \varepsilon _(n)\rightarrow 0)отже, для великих n (\displaystyle n):

Більш точна асимптотична формула для часткової суми гармонійного ряду:

Цей ряд розходиться, проте помилка обчислень щодо нього ніколи не перевищує половини першого відкинутого члена.

Теоретико-числові властивості часткових сум

∀ n > 1 s n ∉ N (\displaystyle \forall n>1\;\;\;\;s_(n)\notin \mathbb (N) )

Розбіжність ряду

S n → ∞ (\displaystyle s_(n)\rightarrow \infty )при n → ∞ (\displaystyle n\rightarrow \infty )

Гармонічний ряд розходитьсядуже повільно (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно близько 1043 елементів ряду).

Розбіжність гармонійного ряду можна продемонструвати, порівнявши його з телескопічним рядом:

часткова сума якого, очевидно, дорівнює:

Доказ Орема

Доказ розбіжності можна побудувати, групуючи доданки таким чином:

Останній ряд, очевидно, розходиться. Цей доказ належить середньовічному вченому Миколі Орему (бл. 1350).

Альтернативний доказ розбіжності

пропонуємо читачеві переконатися у помилковості цього доказу

Різниця між n (\displaystyle n)-м гармонійним числом та натуральним логарифмом n (\displaystyle n)сходиться до постійної Ейлера-Маскероні.

Різниця між різними гармонійними числами ніколи не дорівнює цілому числу і жодне гармонійне число, крім H 1 = 1 (\displaystyle H_(1)=1)не є цілим.

Пов'язані ряди

Ряд Діріхле

Узагальненим гармонійним рядом (або поруч дирихлі) називають ряд

Узагальнений гармонійний ряд розходиться при α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1)і сходиться за α > 1 (\displaystyle \alpha >1) .

Сума узагальненого гармонійного ряду порядку α (\displaystyle \alpha)дорівнює значенню дзета-функції Римана:

Для парних це значення явно виражається через число пі, наприклад, ζ (2) = π 2 6 (\displaystyle \zeta (2)=(\frac (\pi ^(2))(6))), А для α=3 його значення аналітично невідомо.

Іншою ілюстрацією розбіжності гармонійного ряду може бути співвідношення ζ (1 + 1 n) ~ n (\displaystyle \zeta (1+(\frac (1)(n)))\sim n) . Тому кажуть, що такий ряд має ймовірність 1 , і сума ряду є випадкова величина з цікавими властивостями. Наприклад, функція, щільності, ймовірності, обчислена в точках +2 або −2 має значення:

відрізняючись від ⅛ менш ніж 10 −42 .

«Витончений» гармонійний ряд

Якщо розглянути гармонійний ряд, в якому залишені тільки доданки, знаменники яких не містять цифри 9, то виявиться, що сума, що залишилася, сходиться до числа<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе n (\displaystyle n), все менше доданків береться для суми «витонченого» ряду. Тобто в кінцевому рахунку відкидається переважна більшість членів, що утворюють суму гармонійного ряду, щоб не перевершити геометричну прогресію, що обмежує зверху.

Перевірити збіжність ряду можна кількома способами. По-перше можна просто знайти суму ряду. Якщо в результаті ми отримаємо кінцеве число, то такий ряд сходиться. Наприклад, оскільки

то ряд сходиться. Якщо нам не вдалося знайти суму ряду, слід використовувати інші методи для перевірки збіжності ряду.

Одним із таких методів є ознака Даламбера

тут і відповідно n-ий та (n+1)-й члени ряду, а збіжність визначається значенням D: Якщо D< 1 - ряд сходится, если D >

Як приклад, досліджуємо збіжність низки з допомогою ознаки Даламбера. Спочатку запишемо вирази для і. Тепер знайдемо відповідну межу:

Оскільки, відповідно до ознаки Даламбера, ряд сходиться.

Ще одним методом, що дозволяє перевірити збіжність ряду радикальна ознака Коші, який записується наступним чином:

тут n-ий член ряду, а збіжність, як у разі ознаки Даламбера, визначається значенням D: Якщо D< 1 - ряд сходится, если D >1 – розходиться. При D = 1 - ця ознака не дає відповіді і потрібно проводити додаткові дослідження.

Як приклад досліджуємо збіжність ряду за допомогою радикальної ознаки Коші. Спочатку запишемо вираз для . Тепер знайдемо відповідну межу:

Оскільки відповідно до радикальної ознаки Коші, ряд розходиться.

Варто зазначити, що поряд з перерахованими, існують інші ознаки збіжності рядів, такі як інтегральна ознака Коші, ознака Раабе та ін.

Наш онлайн калькулятор, побудований на основі системи Wolfram Alpha, дозволяє протестувати збіжність ряду. При цьому, якщо калькулятор як сума ряду видає конкретне число, ряд сходиться. Інакше необхідно звертати увагу на пункт «Тест збіжності ряду». Якщо там є словосполучення «series converges», то ряд сходиться. Якщо є словосполучення «series diverges», то ряд розходиться.

Нижче наведено переклад усіх можливих значень пункту «Тест збіжності ряду»:

Знайдемо суму низки чисел. Якщо не виходить її знайти, система обчислює суму ряду з певною точністю.

Збіжність ряду

Цей калькулятор вміє визначати - чи сходиться ряд, а також показує - які ознаки збіжності спрацьовують, а які - ні.

Також вміє визначати збіжність статечних рядів.

Також будується графік ряду, де можна побачити швидкість збіжності (або розбіжності).

Правила введення виразів та функцій

Вирази можуть складатися з функцій (позначення наведено в алфавітному порядку): absolute(x)Абсолютне значення x
(модуль xабо |х|) arccos(x)Функція - арккосинус від x arccosh(x)Арккосинус гіперболічний від x arcsin(x)Арксинус від x arcsinh(x)Арксинус гіперболічний від x arctg(x)Функція - арктангенс від x arctgh(x)Арктангенс гіперболічний від x e eчисло, яке приблизно дорівнює 2.7 exp(x)Функція - експонента від x(що і e^x) log(x) or ln(x)Натуральний логарифм від x
(Щоб отримати log7(x), треба ввести log(x)/log(7) (або, наприклад, для log10(x)=log(x)/log(10)) piЧисло - "Пі", яке приблизно дорівнює 3.14 sin(x)Функція - Сінус від x cos(x)Функція - Косинус від x sinh(x)Функція - Синус гіперболічний від x cosh(x)Функція - Косинус гіперболічний від x sqrt(x)Функція - квадратний корінь з x sqr(x)або x^2Функція - Квадрат x tg(x)Функція - Тангенс від x tgh(x)Функція - Тангенс гіперболічний від x cbrt(x)Функція - кубічний корінь з x

У виразах можна застосовувати такі операції: Справжні числавводити у вигляді 7.5 , не 7,5 2*x- множення 3/x- розподіл x^3- зведення в ступінь x + 7- додавання x - 6- віднімання
Інші функції: floor(x)Функція - округлення xу меншу сторону (приклад floor(4.5)==4.0) ceiling(x)Функція - округлення xу велику сторону (приклад ceiling(4.5)==5.0) sign(x)Функція - Знак x erf(x)Функція помилок (або інтеграл ймовірності) laplace(x)Функція Лапласа