Історія розвитку теорії ймовірностей. Тема

Ліберт Олена

Азарт і спрага розбагатіти дали поштовх виникненню нової надзвичайно суттєвої математичної дисципліни: теорії ймовірностей. У розробці її основ брали участь математики такого масштабу, як Паскаль та Ферма, Гюйгенс.

Завантажити:

Попередній перегляд:

МБОУ ЗОШ №8 м. Ярцево Смоленської області

Проект з математики:

"Історія виникнення теорії ймовірностей"

Підготувала: учениця 11 класу

середньої школи №8 Ліберт Олена

Керівник: учитель математики

Борисенкова Ольга Володимирівна

Г. Ярцеве, 2015р.

Історія виникнення теорії ймовірностей…………………………………………………………..…...3

Середньовічна Європа та початок Нового часу……………………….4

XVII століття: Паскаль, Ферма, Гюйгенс…..………………………………….5

XVIII століття……..…………………………………………………………….7

ХІХ століття. Загальні тенденції та критика……………………….…………..7

Застосування теорії ймовірності XIX-XX століттях……………….…..…8

Астрономія………………………………………………………….8
Фізика………………………….……………………………………9
Біометрія……………...……………………………………………9
Сільське господарство………………………..………………………..9
Промисловість …………………………………………………..10
Медицина…………………………………………………………....10
Біоінформатика……………...…………………………………….10
Економіка та банківська справа…….……………………………….11

Історія виникнення теорії ймовірностей

Французький дворянин, пан Де Мере, був азартним гравцем у кістки і пристрасно хотів розбагатіти. Він витратив багато часу, щоб відкрити таємницю гри у кістки. Він вигадував різні варіанти гри, припускаючи, що таким чином набуде великого стану. Так, наприклад, він пропонував кидати одну кістку по черзі чотири рази і переконував партнера, що принаймні один раз випаде при цьому шістка. Якщо за 4 кидки шістка не виходила, то вигравав супротивник.

У ті часи ще не існувала галузь математики, яку сьогодні ми називаємо теорією ймовірностей, а тому, щоб переконатися, чи вірні його припущення, пан Мере звернувся до свого знайомого, відомого математика та філософа Б. Паскаля з проханням, щоб він вивчив два відомі питання Перший з яких він спробував вирішити сам. Запитання були такі:

Скільки разів треба кидати дві гральні кістки, щоб випадків випадання одразу двох шісток було більше половини від загальної кількості кидань?

Як справедливо розділити поставлені на кон двома гравцями гроші, якщо вони з якихось причин припинили гру передчасно?

Паскаль не тільки сам зацікавився цим, а й написав листа відомому математику П. Ферма, чим спровокував його зайнятися загальними законами гри в кістки та ймовірністю виграшу.

Таким чином, азарт і спрага розбагатіти дали поштовх виникненню нової надзвичайно суттєвої математичної дисципліни: теорії ймовірностей. У розробці її основ брали участь математики такого масштабу, як Паскаль і Ферма, Гюйгенс (1629-1695), який написав тракти "Про розрахунки при азартних іграх", Яків Бернуллі (1654-1705), Муавр (1667-1754), Лаплас ( 1749 - 1827), Гаусс (1777-1855) та Пуассон (1781-1840). В наш час теорія ймовірності використовується майже у всіх галузях знань: у статистиці, синоптиці (прогноз погоди), біології, економіці, технології, будівництві тощо.

Середньовічна Європа та початок Нового часу

Перші завдання імовірнісного характеру виникли в різних азартних іграх - кістках, картах та ін Французький канонік XIII століття Рішар де Фурніваль правильно підрахував усі можливі суми очок після кидка трьох кісток і вказав кількість способів, якими може вийти кожна з цих сум. Цю кількість способів можна розглядати як першу числову міру очікуваності події, аналогічну ймовірності. До Фурнівалю, а іноді і після нього, цей захід часто підраховували невірно, вважаючи, наприклад, що суми 3 і 4 очки рівноймовірні, оскільки обидва можуть вийти «тільки одним способом»: за результатами кидка «три одиниці» та «двійка з двома» одиницями» відповідно. При цьому не враховувалося, що три одиниці насправді виходять лише одним способом: ~1+1+1, а двійка з двома одиницями - трьома: ~1+1+2;\;1+2+1;\;2+ 1+1, тому ці події не рівноймовірні. Аналогічні помилки неодноразово зустрічалися і подальшої історії науки.

У великій математичній енциклопедії «Сума арифметики, геометрії, відносин і пропорцій» італійця Лукі Пачолі (1494) містяться оригінальні завдання на тему: як поділити ставку між двома гравцями, якщо серію ігор перервано достроково. Приклад такого завдання: гра йде до 60 очок, переможець отримує всю ставку в 22 дукати, в ході гри перший гравець набрав 50 очок, другий - 30, і тут гру довелося припинити; потрібно справедливо поділити вихідну ставку. Рішення залежить від того, що розуміти під «справедливим» розділом; сам Пачолі запропонував ділити пропорційно набраним очкам (55/4 та 33/4 дуката); Пізніше його рішення було визнано помилковим.

Розподіл суми очок після кидання двох кісток

Великий алгебраїст XVI століття Джероламо Кардано присвятив аналізу гри змістовну монографію «Книга про гру в кістки» (1526, опублікована посмертно). Кардано провів повний і безпомилковий комбінаторний аналіз для значень суми очок і вказав на різні події очікуване значення частки «сприятливих» подій: наприклад, при киданні трьох кісток частка випадків, коли значення всіх 3 кісток збігаються, дорівнює 6/216 або 1/36. Кардано зробив проникливе зауваження: реальна кількість досліджуваних подій може при невеликій кількості ігор сильно відрізнятися від теоретичного, але чим більше ігор у серії, тим частка цієї різниці менша. Фактично, Кардано близько підійшов до поняття ймовірності:

Отже, є одне загальне правило для розрахунку: необхідно врахувати загальну кількість можливих випадень і число способів, якими можуть з'явитися дані випадання, а потім знайти відношення останнього числа до можливих випадень, що залишилися.

Інший італійський алгебраїст, Нікколо Тарталья, розкритикував підхід Пачолі до вирішення завдання про розділ ставки: адже якщо один із гравців ще не встиг набрати жодного очка, то алгоритм Пачолі віддає всю ставку його супернику, але це важко назвати справедливим, оскільки деякі шанси на виграш у відстаючого все ж таки є. Кардано і Тарталья запропонували свої (різні) методи поділу, але згодом і ці методи були визнані невдалими.

Дослідженням цієї теми займався і Галілео Галілей, який написав трактат «Про вихід очок при грі в кістки» (1718, опублікований посмертно). Виклад теорії гри у Галілея відрізняється вичерпною повнотою та ясністю. У своїй головній книзі «Діалог про дві найголовніші системи світу, птоломієву та коперникову» Галілей також вказав на можливість оцінки похибки астрономічних та інших вимірювань, причому заявив, що малі помилки вимірювання ймовірніші, ніж великі, відхилення в обидві сторони рівноймовірні, а середній результат повинен бути близьким до справжнього значення вимірюваної величини. Ці якісні міркування стали першим історія передбаченням нормального розподілу помилок.

XVII століття: Паскаль, Ферма, Гюйгенс

У XVII столітті почало формуватися виразне уявлення про проблематику теорії ймовірностей та з'явилися перші математичні (комбінаторні) методи вирішення ймовірнісних завдань. Засновниками математичної теорії ймовірностей стали Блез Паскаль та П'єр Ферма.

Перед цим математик-аматор шевальє де Мере звернувся до Паскаля з приводу так званої «завдання про окуляри»: скільки разів треба кидати дві кістки, щоб ставити на одночасне випадання хоча б разів дві шістки було вигідно? Паскаль і Ферма розпочали листування друг з одним щодо цього завдання та родинних питань (1654). У рамках цього листування вчені обговорили низку проблем, пов'язаних із ймовірнісними розрахунками; зокрема, розглядалося старе завдання про поділ ставки, і обидва вчені прийшли до рішення, що треба розділити ставку відповідно до шансів на виграш, що залишаються. Паскаль вказав де Мере на помилку, допущену ним при вирішенні «завдання про окуляри»: тоді як де Мере невірно визначив рівноймовірні події, отримавши відповідь: 24 кидки, Паскаль дав правильну відповідь: 25 кидків.

Паскаль у своїх працях далеко просунув застосування комбінаторних методів, які систематизував у своїй книзі "Трактат про арифметичний трикутник" (1665). Спираючись на імовірнісний підхід, Паскаль навіть доводив (у посмертно опублікованих нотатках), що бути віруючим вигіднішим, ніж атеїстом.

Гюйгенс спочатку використовував термін «вартість», а термін «очікування» з'явився вперше при перекладі трактату Гюйгенса Ван Схоутеном латинською мовою і став загальноприйнятим у науці.

У книзі багато завдань, деякі з рішеннями, інші «для самостійного рішення». З останніх особливий інтерес та жваве обговорення викликало «завдання про руйнування гравця». У дещо узагальненому вигляді вона формулюється так: у гравців A та B є a та b монет відповідно, у кожній грі виграється одна монета, ймовірність виграшу A у кожній грі дорівнює p, потрібно знайти ймовірність повного його руйнування. Повне загальне рішення «завдання про руйнування» дав Абрахам де Муавр через півстоліття (1711). У наші дні ймовірнісна схема «завдання про руйнування» використовується при вирішенні багатьох завдань типу «випадкове блукання».

Гюйгенс проаналізував і завдання про поділ ставки, давши її остаточне рішення: ставку треба розділити пропорційно до ймовірностей виграшу при продовженні гри. Він також вперше застосував ймовірнісні методи до демографічної статистики та показав, як розрахувати середню тривалість життя.

До цього ж періоду належать публікації англійських статистиків Джона Граунта (1662) та Вільяма Петті (1676, 1683). Обробивши дані більш ніж за століття, вони показали, що багато демографічних характеристик лондонського населення, незважаючи на випадкові коливання, мають досить стійкий характер - наприклад, співвідношення числа новонароджених хлопчиків і дівчаток рідко відхиляється від пропорції 14 до 13, невеликі коливання та відсотки смертності від конкретних випадкових причин. Ці дані підготували наукову громадськість до нових ідей.

Граунт також уперше склав таблиці смертності – таблиці ймовірності смерті як функції віку. Питаннями теорії ймовірностей та її застосування до демографічної статистики зайнялися також Йоган Худде та Ян де Вітт у Нідерландах, які у 1671 році також склали таблиці смертності та використовували їх для обчислення розмірів довічної ренти. Докладніше це коло питань було викладено 1693 року Едмундом Галлеєм.

XVIII століття

На книгу Гюйгенса спиралися трактати П'єра де Монмора, що з'явилися на початку XVIII століття, «Досвід дослідження азартних ігор» (опублікований в 1708 і перевиданий з доповненнями в 1713 році) і Якоба Бернуллі «Мистецтво припущень» (опублікований вже після смерті вченого, в тому ). Останній мав для теорії ймовірностей особливо велике значення.

XIX століття

Загальні тенденції та критика

У ХІХ столітті число робіт з теорії ймовірностей продовжувало зростати, були навіть компрометуючі науку спроби поширити її методи далеко за розумні межі - наприклад, на область моралі, психології, правозастосування і навіть богослов'я. Зокрема, валлійський філософ Річард Прайс, а слідом за ним і Лаплас, вважали за можливе розрахувати за формулами Байєса ймовірність майбутнього сходу Сонця, Пуассон намагався провести ймовірнісний аналіз справедливості судових вироків та достовірності показань свідків. Філософ Дж. С. Мілль в 1843, вказавши на подібні спекулятивні застосування, назвав обчислення ймовірностей «ганьбою математики». Ця та інші оцінки свідчили про недостатню суворість обґрунтування теорії ймовірностей.

Математичний апарат теорії ймовірностей тим часом продовжував удосконалюватись. Основною сферою її застосування у період була математична обробка результатів спостережень, що містять випадкові похибки, і навіть розрахунки ризиків у справі та інших статистичних параметрів. Серед головних прикладних завдань теорії ймовірностей та математичної статистики ХІХ століття можна назвати такі:

визначити ймовірність того, що сума незалежних випадкових величин з однаковим (відомим) законом розподілу перебуває у заданих межах. Особливу важливість ця проблема представляла для теорії помилок виміру, насамперед з метою оцінки похибки спостережень;

встановлення статистичної значущості відмінності випадкових значень чи серій таких значень. Приклад: порівняння результатів застосування нового та старого видів ліків для ухвалення рішення про те, чи справді нові ліки кращі;

Вивчення впливу заданого фактора на випадкову величину (факторний аналіз).

Вже до середини ХІХ століття формується ймовірнісна теорія артилерійської стрілянини. Більшість країн Європи створили національні статистичні організації. Наприкінці століття сфера застосування імовірнісних методів почала успішно поширюватися на фізику, біологію, економіку, соціологію.

Застосування теорії ймовірності у XIX-XX століттях.

У 19 і 20 століттях теорія ймовірностей проникає спочатку в науку (астрономію, фізику, біологію), потім у практику (сільське господарство, промисловість, медицину), і нарешті, після винаходу комп'ютерів, у повсякденне життя будь-якої людини, яка користується сучасними засобами отримання та передачі інформації. Простежимо застосування у різних галузях.

1.Астрономія.

Саме для використання в астрономії був розроблений знаменитий метод найменших квадратів (Лежандр 1805, Гаусс 1815). Головним завданням, для вирішення якої він був спочатку використаний, став розрахунок орбіт комет, який доводилося робити за малою кількістю спостережень. Зрозуміло, що надійне визначення типу орбіти (еліпс чи гіпербола) і точний розрахунок її параметрів виявляється важким, оскільки орбіта спостерігається лише на невеликій ділянці. Метод виявився ефективним, універсальним і викликав бурхливі суперечки про пріоритет. Його стали використовувати в геодезії та картографії. Зараз, коли мистецтво ручних розрахунків втрачено, важко уявити, що з складанні карт світового океану в 1880-х роках в Англії методом найменших квадратів було чисельно вирішено систему, що з приблизно 6000 рівнянь із кількома сотнями невідомих.

2.Фізика.

У другій половині 19 століття була в роботах Максвелла, Больцмана і Гіббса розвинута статистична механіка, яка описувала стан розряджених систем, що містять величезну кількість частинок (порядку числа Авогадро). Якщо раніше поняття розподілу випадкової величини було переважно пов'язане з розподілом помилок вимірювання, то тепер розподіленими виявилися різні величини - швидкості, енергії, довжини вільного пробігу.

3. Біометрія.

У 1870-1900 роках бельгієць Кетле та англійці Френсіс Гальтон і Карл Пірсон заснували новий науковий напрямок – біометрію, в якій вперше стала систематично та кількісно вивчатися невизначена мінливість живих організмів та успадкування кількісних ознак. У науковий обіг було запроваджено нові поняття – регресії та кореляції.

Отже, до початку 20 століття основні додатки теорії ймовірності пов'язані з науковими дослідженнями. Впровадження у практику – сільське господарство, промисловість, медицину відбулося 20 столітті.

4.Сільське господарство.

На початку 20 століття Англії було поставлено завдання кількісного порівняння ефективності різних методів ведення сільського господарства. Для вирішення цього завдання було розвинуто теорію планування експериментів, дисперсійний аналіз. Основна заслуга у розвитку вже чисто практичного використання статистики належить серу Рональду Фішеру, астроному за освітою, а надалі фермеру, статистику, генетику, президенту англійського Королівського товариства. Сучасна математична статистика, придатна для широкого застосування на практиці, була розвинена в Англії (Карл Пірсон, Стьюдент, Фішер). Стьюдент уперше вирішив завдання оцінки невідомого параметра розподілу без використання байєсівського підходу.

5.Промисловість.

Введення методів статистичного контролю з виробництва (контрольні карти Шухарта). Скорочення необхідної кількості випробувань якості продукції. Математичні методи виявляються настільки важливими, що й стали засекречивать. Так, книга з описом нової методики, що дозволяла скоротити кількість випробувань (“Послідовний аналіз” Вальда), була видана тільки після закінчення Другої світової війни у 1947 році.

6.Медицина.

Широке застосування статистичних методів у медицині розпочалося порівняно недавно (друга половина 20 століття). Розвиток ефективних методів лікування (антибіотики, інсулін, ефективна анестезія, штучний кровообіг) зажадав достовірних методів оцінки їхньої ефективності. Виникло нове поняття "Доказова медицина". Почав розвиватися більш формальний, кількісний підхід до терапії багатьох захворювань - запровадження протоколів, guidelines.

З середини 1980-х років виник новий і найважливіший фактор, який революціонізував усі додатки теорії ймовірностей – можливість широкого використання швидких та доступних комп'ютерів. Відчути всю величезність перевороту можна, якщо врахувати, що один сучасний персональний комп'ютер перевершує по швидкодії та пам'яті всі комп'ютери СРСР і США, що були до 1968 року, часу, коли вже були здійснені проекти, пов'язані з будівництвом атомних електростанцій, польотами на Місяць, створенням термоядерної бомби. На даний момент методом прямого експериментування можна отримувати результати, які раніше були недоступні - мисленняfunkinkable.

7. Біоінформатика.

Починаючи з 1980-х років кількість відомих послідовностей білків та нуклеїнових кислот стрімко зростає. Обсяг накопиченої інформації такий, що тільки комп'ютерний аналіз цих даних може розв'язувати завдання щодо вилучення інформації.

8.Економіка та банківська справа.

Широке застосування має теорія ризику. Теорія ризику є теорія прийняття рішень за умов імовірнісної невизначеності. З математичної точки зору вона є розділом теорії ймовірностей, а застосування теорії ризику практично безмежні. Найбільш просунута фінансова сфера додатків: банківська справа та страхування, управління ринковими та кредитними ризиками, інвестиціями, бізнес-ризиками, телекомунікаціям. Розвиваються і нефінансові додатки, пов'язані з загрозами здоров'ю, навколишньому середовищу, ризиками аварій та екологічних катастроф та іншими напрямками.

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Подібні документи

Виникнення та розвиток теорії ймовірностей та її додатків. Рішення класичних парадоксів гри в кістки та "азартних ігор". Парадокс закону великих чисел Бернуллі та Бертрана, дня народження та роздачі подарунків. Вивчення парадоксів із книги Г. Секея.

контрольна робота , доданий 29.05.2016

Сутність та предмет теорії ймовірностей, що відображає закономірності, властиві випадковим явищам масового характеру. Вивчення нею закономірностей масових однорідних випадкових явищ. Опис найбільш популярних теоретично ймовірностей експериментів.

презентація , доданий 17.08.2015

Сутність поняття "комбінаторика". Історична довідка з розвитку науки. Правило суми та твори, розміщення та перестановки. Загальний вид формули для обчислення числа поєднань із повтореннями. Приклад розв'язання задач з теорії ймовірностей.

контрольна робота , доданий 30.01.2014

Теорія ймовірності як математична наука, що вивчає закономірність у масових однорідних випадках, явищах та процесах, предмет, основні поняття та елементарні події. Визначення ймовірності події. Аналіз основних теорем теорії ймовірностей.

шпаргалка, доданий 24.12.2010

Виникнення теорії ймовірностей як науки, внесок зарубіжних учених та Петербурзької математичної школи у її розвиток. Поняття статистичної ймовірності події, обчислення найімовірнішого числа події. Сутність локальної теореми Лапласа.

презентація , додано 19.07.2015

Принципи вирішення завдань за основними розділами теорії ймовірностей: випадкові події та їх допустимість, мимовільні величини, розподіли та числові характеристики градування, основні граничні теореми для сум незалежних імовірнісних величин.

контрольна робота , доданий 03.12.2010

Перевага використання формули Бернуллі, її місце в теорії ймовірностей та застосування у незалежних випробуваннях. Історичний нарис життя та діяльності швейцарського математика Якоба Бернуллі, його досягнення у галузі диференціального обчислення.

презентація , доданий 11.12.2012

Дослідження Дж. Кардано та Н. Тарталья у сфері вирішення первинних завдань теорії ймовірностей. Внесок Паскаля та Ферма у розвиток теорії ймовірностей. Робота Х. Гюйгенса. Перші дослідження з демографії. Формування поняття геометричної ймовірності.

курсова робота , доданий 24.11.2010

Визначення.Теорія ймовірностей – це наука, яка вивчає закономірності у випадкових явищах.

Визначення.Випадкове явище - це таке явище, яке при неодноразовому випробуванні протікає щоразу по-різному.

Визначення.Досвід – діяльність людини чи процес, випробування.

Визначення.Подія – результат досвіду.

Визначення.Предметом теорії ймовірностей є випадкові явища та специфічні закономірності масових випадкових явищ.

Класифікація подій:

Подія називається достовірним якщо в результаті досвіду воно обов'язково відбудеться.

приклад.Шкільний урок обов'язково закінчиться.

Подія називається неможливим якщо за заданих умов воно ніколи не відбудеться.

приклад.Якщо в ланцюзі немає електричного струму, лампа не загориться.

Подія називається випадковим або неможливим якщо в результаті досвіду воно може відбутися або не відбутися.

приклад.Подія – скласти іспит.

Подія називається рівноможливим якщо умови появи однакові і немає підстав стверджувати, що в результаті досвіду одна з них має шанс з'явитися більше, ніж інша.

приклад.Випадання герба або решки під час кидка монети.

Події називаються спільними якщо поява одного з них не виключає можливостей появи іншого.

приклад.При пострілі, промах та переліт – події спільні.

Подія називається несумісним якщо поява одного з них виключає можливість появи іншого.

приклад.При одному пострілі потрапляння та промах – події не спільні.

Дві несумісні події називаються протилежними якщо в результаті досвіду одне з них обов'язково відбудеться.

приклад.При складанні іспиту, події «склав іспит» та «не склав іспит», називаються протилежними.

Позначення: - нормальна подія; - протилежна подія.

Декілька подій утворюють повну групу несумісних подій якщо в результаті досвіду настане тільки одне з них.

приклад.При складанні іспиту можливо: «не склав іспит», «склав на 3», «склав на 4», - повна група несумісних подій.

Правила суми та твори.

Визначення.Сумою двох творів a і b називають подію c , яка полягає у появі події a або події b або обох одночасно.

Суму подій називають об'єднанням подій (Поява хоча б однієї з подій).

Якщо в задачі за змістом очевидно, що має з'явитися a АБО b , то кажуть, що знаходять суму.

Визначення.Добутком подій a і b називають подію c , що полягає в одночасному появі подій a і b .

Твором називають перетин двох подій.

Якщо у завданні кажуть, що знаходять a І b , Отже знаходять твір.

приклад.При двох пострілах:

якщо потрібно знайти попадання хоча б один раз, то знаходять суму.
якщо потрібно знайти попадання двічі, то знаходять твір.

Імовірність. Властивість імовірності.

Визначення.Частотою деякої події називають число рівне відношенню числа дослідів, в якому подія з'явилася до всіх вироблених дослідів.

Позначення: r() – частота події.

приклад.Підкидаючи монету 15 разів, і у своїй герб випаде 10 разів, тоді частота появи герба: r()=.

Визначення.При нескінченно великій кількості дослідів, частота події стає рівна ймовірності події.

Визначення класичної ймовірності. Імовірністю події називають відношення числа сприятливих появі цієї події випадків до всіх єдино можливих і рівноможливих випадків.

Позначення: , де P - ймовірність,

m – кількість випадків, що сприяють появі події.

n – загальна кількість можливих і рівноможливих випадків.

приклад. У змаганнях із бігу беруть участь 60 студентів ЧІЕПу. Кожен має номер. Знайти ймовірність того, що номер студента, який виграв забіг, не містить цифри 5.

Властивості ймовірності:

значення ймовірності не негативне і укладено між значеннями 0 та 1.
ймовірність дорівнює 0, тоді і лише тоді, коли це ймовірність неможливої події.
ймовірність дорівнює 1, тоді й лише тоді, коли це ймовірність достовірної події.
ймовірність однієї й тієї ж події незмінно, залежить від кількості проведених дослідів і змінюється лише тоді, коли зміняться умови проведення досвіду.

Визначення геометричної ймовірності. Геометричною ймовірністю називають відношення частини області, потрапляння в якій обраної точки необхідно знайти у всій області, потрапляння в якій у цій точці є рівноможливим.

Область може бути мірою площі довжини чи обсягу.

приклад.Знайти ймовірність попадання деякої точки на ділянку довжиною 10 км, якщо необхідно, щоб вона потрапила поблизу кінців відрізка, не далі ніж на 1 км від кожного.

Зауваження.

Якщо заходи області s і S мають різні одиниці виміру за умовою завдання, то для розв'язання необхідно s та S надати єдиної розмірності.

З'єднання. Елементи комбінаторики.

Визначення.Об'єднання елементів різних груп, які відрізняються порядком елементів або хоча б одним елементом називають сполуками.

З'єднання бувають:

Розміщення

Поєднання

Перестановки

Визначення.Розміщеннями з n - елементів по m разів, називають з'єднання, що відрізняється один від одного, хоча б одним елементом і порядком розташування елементів.

Визначення.Поєднаннями з n елементів по m називається з'єднання, що складається з одних і тих же елементів, що відрізняються хоча б одним елементом.

Визначення.Перестановками з n елементів називають з'єднання, що складаються з одних і тих же елементів, що відрізняється один від одного тільки порядком розташування елементів.

приклад.

1) Скільки способами можна скласти автоколону з 5 автомобілів.

2) Скільки способами можна призначити в класі 3х чергових, якщо всього людина в класі 25.

Так як порядок елементів не важливий і групи сполук відрізняються кількістю елементів, то обчислимо число поєднань з 25 по 3 елементів.

методів.

3) Скількими способами цифр 1,2,3,4,5,6 можна скласти 4х значне число. Отже, т.к. з'єднання відрізняються порядком розташування і хоча б одним елементом, то обчислимо розміщення з 6 елементів 4.

Приклад використання елементів комбінаторики, на обчислення ймовірності.

У партії із n виробів – m – бракованих. Довільним чином вибираємо l-виробів. Знайти ймовірність того, що серед них виявиться рівно k – шлюбів.

приклад.

У магазин на склад привезли 10 холодильників із них 4-3хкамерних, решта – 2хкамерні.

Знайти ймовірність того, що серед обраних довільним чином 5 пагорбів – 3 будуть 3-х камерними.

Основні теореми теорії ймовірностей.

Теорема 1.

Імовірність суми 2х несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Слідство.

1) якщо подія утворює повну групу несумісних подій, сума їх ймовірностей дорівнює 1.

2) сума ймовірностей 2х протилежних подій дорівнює 1.

Теорема 2.

Імовірність твору 2-х незалежних подій дорівнює твору їх ймовірностей.

Визначення.Подія A називається незалежною від події У, якщо ймовірність появи події А залежить від цього станеться подія У чи ні.

Визначення. 2 події називаються незалежними, якщо ймовірність настання одного з них залежить від появи або появи другої.

Визначення.Вірогідність події У обчислену за умови, що подія А мала місце, називають умовною ймовірністю.

Теорема 3.

Імовірність твору 2х незалежних подій дорівнює ймовірності появи однієї події на умовну ймовірність другої при тому, що перша подія сталася.

приклад.

У бібліотеці є 12 підручників з математики. З них, 2 підручники з елементарної математики, 5 – з теорії ймовірностей, інші – з вищої математики. Вибираємо довільним чином 2 підручники. Знайти ймовірність того, що вони обидва поп елементарної математики.

Теорема 4. Імовірність появи події хоча б 1 раз.

Імовірність появи хоча б однієї з подій, що утворюють повну групу несумісних подій і різниці між першим і твором ймовірностей протилежних даним подій.

Нехай тоді

Слідство.

Якщо ймовірність появи кожного з події , однакова і дорівнює p, тоді ймовірність того, що з'явиться хоча б одна з даних подій

N – кількість зроблених дослідів.

приклад.

Виробляють 3 постріли по мішені. Імовірність влучення при першому пострілі 0,7, при другому – 0,8, при третьому – 0,9. визначити ймовірність того, що при трьох незалежних пострілах у ціль буде:

А) 0 влучень;

Б) 1 влучення;

В) 2 влучення;

Г) 3 влучення;

Д) хоча б одне влучення.

Теорема 5. Формула ймовірності.

Нехай подія А може виникнути разом з однією з гіпотез, тоді можливість того, що подія А сталося, знаходять за формулою:

та . Наводимо до спільного знаменника.

Т.о. виграти одну партію з 2х у рівносильного супротивника вірогідніше, ніж виграти 2 партії з 4х.

ВСТУП 3 РОЗДІЛ 1. ІМОВІРНІСТЬ 5 1.1. ПОНЯТТЯ МОЖЛИВОСТІ 5 1.2. ІМОВІРНІСТЬ І ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 7 РОЗДІЛ 2. ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРІЇ ІМОВІТНОСТІ У ПРИКЛАДНІЙ ІНФОРМАТИЦІ 10 2.1. Імовірний підхід 10 2.2. ІМОВІРНІСНИЙ, АБО ЗМІСТНИЙ ПІДХІД 11 2.3. Алфавітний підхід до вимірювання інформації 12

Вступ

Прикладна інформатика не може існувати окремо від інших наук, вона створює нові інформаційні техніки та технології, які застосовуються для вирішення різних проблем у різних галузях науки, техніки та в повсякденному житті. Основні напрями розвитку прикладної інформатики це – теоретична, технічна та прикладна інформатика. Прикладна інформатика розвиває загальні теорії пошуку, переробки та зберігання інформації, з'ясування законів створення та перетворення інформації, використання у різних сферах нашої діяльності, вивчення взаємозв'язку «людина – ЕОМ», формування інформаційних технологій. Прикладна інформатика передбачає область народного господарства, що включає автоматизовані системи переробку інформації, формування нового покоління обчислювальної техніки, еластичних технологічних систем, роботів, штучного інтелекту тощо. Прикладна інформатика формує основи знань інформатики, розробляє оптимальні методики автоматизації виробництва, теоретичних основ проектування, встановлення взаємозв'язку науки з виробництвом та ін. Актуальність обраної теми полягає в тому, що теорія ймовірностей використовується в різних галузях техніки та природознавства: в інформатиці, теорії надійності, теорії масового обслуговування, теоретичній фізиці та інших теоретичних і прикладних науках. Якщо не знати теорію ймовірностей, не можна побудувати такі важливі теоретичні курси, як «Теорія управління», «Дослідження операцій», «Математичне моделювання». Теорія ймовірностей широко використовується практично. Багато випадкових величин, таких як вимірювальні помилки, зношування деталей різних механізмів, розмірні відхилення від стандартних підпорядковуються нормальному розподілу. Теоретично надійності нормальне розподіл використовується при оцінюванні надійності об'єктів, піддається старінню і зношується, і, звичайно, розрегулювання, тобто. при оцінюванні поступових відмов. Мета роботи: розглянути застосування теорії ймовірностей у прикладній інформатиці. Теорія ймовірностей вважається дуже потужним засобом для вирішення прикладних завдань та багатофункціональною мовою науки, але й також об'єктом загальної культури. Теорія інформації – база інформатики, й те водночас – одне з основних напрямів технічної кібернетики.

Висновок

Отже, розібравши теорію ймовірності, її хроніку і стан та можливості, можна сказати, що поява цієї концепції була не випадковим явищем у науці, а була необхідністю подальшого формування технології та кібернетики. Так як програмне управління, яке вже існує не здатне допомагати людині в розробці кібернетичних машин, які, мислять як людина самостійно. І безпосередньо теорія ймовірності сприяє виникненню штучного інтелекту. "Процедура управління, де вони протікають - в живих організмах, машинах або суспільстві, - здійснюється певним законам", - повідомила кібернетика. А значить не пізнані до кінця процедури, що відбуваються в мозку людини і дають їй еластично адаптуватися до мінливої атмосфери, є можливість програти штучно в найскладніших автоматичних пристроях. Важливим визначенням математики є визначення функції, проте завжди говорилося про функцію однозначною, яка єдиному значенню аргументу зіставляє одне значення функції і функціональний зв'язок між ними добре визначена. Але насправді трапляються мимовільні явища, і багато подій мають конкретний характер взаємозв'язків. Знаходження закономірностей у випадкових явищах – це завдання теорій ймовірності. Теорія ймовірності - це інструмент вивчення не видимих і багатозначних взаємозв'язків різних явищ у численних галузях науки, техніки та економіки. Теорія ймовірності дає можливість правильно порахувати коливання попиту, пропозиції, цін та інших економічних показників. Теорія ймовірності є частиною базової науки як статистика та прикладна інформатика. Оскільки без теорії ймовірностей неспроможна працювати жодна прикладна програма, і комп'ютер загалом. І в теорії ігор вона також є основною.

Список літератури

1. Бєляєв Ю.К. та Носко В.П. «Основні поняття та завдання математичної статистики.» - М: Вид-во МДУ, ЧеРо, 2012. 2. В.Є. Гмурман «Теорія ймовірностей та математична статистика. – М.: Вища школа, 2015. 3. Корн Г., Корн Т. «Довідник з математики для науковців та інженерів. - СПБ: Видавництво "Лань" 2013. 4. Пехелецький І. Д. "Математика підручник для студентів" - М. Академія, 2013. 5. Суходільський В.Г. "Лекції з вищої математики для гуманітаріїв." - СПБ Видавництво Санкт-Петербурзького державного університету. 2013; 6. Гнеденко Б. В. та Хінчін А. Я. «Елементарне введення в теорію ймовірностей» 3 видавництва, М. – Л., 2012. 7. Гнеденко Б. В. «Курс теорії ймовірностей» 4 видавництва, М. , 2015. 8. Феллер В. «Введення в теорію ймовірностей та її застосування» (Дискретні розподіли), пров. з англ., 2 видавництва, т. 1-2, М., 2012. 9. Бернштейн С. Н. «Теорія ймовірностей» 4 видавництва, М. – Л., 2014. 10. Гмурман, Володимир Юхимович. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчальний посібник для вузів / Ст. Е. Гмурман.-вид. 12-те, перераб.-М.: Вища школа, 2009.-478с.

Оновлено 09.12.2009

Невеликий екскурс в історію застосування теорії ймовірності на практиці.

Аж до кінця 18 століття прикладна статистика, без якої немислимий державний облік і контроль, і тому існувала здавна, мала елементарний, суто арифметичний характер. Теорія ймовірностей залишалася суто академічною дисципліною, і як порівняно складних її “додатків” виступали лише азартні гри. Поліпшення технології виробництва гральних кісток у 18 столітті стимулювало розвиток теорії ймовірності. Гравці, самі того не бажаючи, почали масово ставити відтворювані досліди, оскільки кістки стали однаковими, стандартними. Так виник приклад того, що згодом буде названо "статистичним експериментом" - досвід, який можна повторювати необмежену кількість разів у однакових умовах.

1.Астрономія.

Саме для використання в астрономії був розроблений знаменитий "метод найменших квадратів" (Лежандр 1805, Гаусс 1815). Головним завданням, для вирішення якої він був спочатку використаний, став розрахунок орбіт комет, який доводилося робити за малою кількістю спостережень. Зрозуміло, що надійне визначення типу орбіти (еліпс чи гіпербола) і точний розрахунок її параметрів виявляється важким, оскільки орбіта спостерігається лише на невеликій ділянці. Метод виявився ефективним, універсальним і викликав бурхливі суперечки про пріоритет. Його стали використовувати в геодезії та картографії. Зараз, коли мистецтво ручних розрахунків втрачено, важко уявити, що з складанні карт світового океану в 1880-х роках в Англії методом найменших квадратів було чисельно вирішено систему, що з приблизно 6000 рівнянь із кількома сотнями невідомих.

3. Біометрія.

У 1870-1900 роках бельгієць Кетле та англійці Френсіс Гальтон і Карл Пірсон заснували новий науковий напрямок - біометрію, в якій вперше стала систематично та кількісно вивчатися невизначена мінливість живих організмів та успадкування кількісних ознак. У науковий обіг було запроваджено нові поняття - регресії та кореляції.

4.Сільське господарство.

На початку 20 століття Англії було поставлено завдання кількісного порівняння ефективності різних методів ведення сільського господарства. Для вирішення цього завдання було розвинуто теорію планування експериментів, дисперсійний аналіз. Основна заслуга у розвитку вже чисто практичного використання статистики належить серу Рональду Фішеру, астроному(!) за освітою, а надалі фермеру, статистику, генетику, президенту англійського Королівського товариства. Сучасна математична статистика, придатна для широкого застосування на практиці, була розвинена в Англії (Карл Пірсон, Стьюдент, Фішер). Стьюдент уперше вирішив завдання оцінки невідомого параметра розподілу без використання байєсівського підходу.

5.Промисловість. Введення методів статистичного контролю з виробництва (контрольні карти Шухарта). Скорочення необхідної кількості випробувань якості продукції. Математичні методи виявляються настільки важливими, що й стали засекречивать. Так, книга з описом нової методики, що дозволяла скоротити кількість випробувань (“Послідовний аналіз” Вальда), була видана тільки після закінчення Другої світової війни у 1947 році.

6.Медицина. Широке застосування статистичних методів у медицині розпочалося порівняно недавно (друга половина 20 століття). Розвиток ефективних методів лікування (антибіотики, інсулін, ефективна анестезія, штучний кровообіг) зажадав достовірних методів оцінки їхньої ефективності. Виникло нове поняття "Доказова медицина". Почав розвиватися більш формальний, кількісний підхід до терапії багатьох захворювань - запровадження протоколів, guide lines.

З середини 1980-х років виник новий і найважливіший фактор, що революціонізував всі додатки теорії ймовірностей - можливість широкого використання швидких та доступних комп'ютерів. Відчути всю величезність перевороту можна, якщо врахувати, що один(!)сучасний персональний комп'ютер перевершує по швидкодії та пам'яті всі(!) комп'ютери СРСР і США, що були до 1968 року, часу, коли вже були здійснені проекти, пов'язані з будівництвом атомних електростанцій , політ на Місяць, створення термоядерної бомби. Зараз методом прямого експериментування можна отримувати результати, які раніше були недоступні - thinking of unthinkable.

7. Біоінформатика. Починаючи з 1980-х років кількість відомих послідовностей білків та нуклеїнових кислот стрімко зростає. Обсяг накопиченої інформації такий, що тільки комп'ютерний аналіз цих даних може розв'язувати завдання щодо вилучення інформації.

8. Розпізнавання образів.