З чого складається безліч дійсних чисел. Урок "множина дійсних чисел"

На третьому рядку – по три числа на кожне кубічне рівняння соотв. упорядкованим четвіркам тощо.

Т. о. отримаємо матрицю, яку можна обійти з допомогою діагонального процесу Кантора. Якщо частина коренів рівняння алгебри комплексна, при нумерації їх просто пропускаємо. Т. о. кожне число алгебри отримає відповідний номер, і це підтверджує той факт, що безліч алгебраїчних дійсних чисел рахунково .

факт ефективної перелічності множини А безпосередньо випливає з наведеного способу нумерації елементів натуральними числами, тому що попутно зазначена ефективна процедура нумерації наборів раціональних чисел, що однозначно задають рівняння алгебри відповідного ступеня. При цьому важливо те, що рівняння алгебри n-ого ступеня має ефективний алгоритм рішення, т. о. Процедура повністю ефективна. Отже, безліч алгебраїчних дійсних чисел рахунково і ефективно перераховано, Q. E.D.

Рахунковими також будуть множини, складені з усіх пар, трійок, і т. д. чисел алгебри.

2.3.7. Рахункові числові множини: узагальнення

Т.2Теорема (без доказу)

Безліч елементів, які можна представити за допомогою кінцевого числа лічильної системи знаків, лічильна.

У реальному житті ми використовуємо різні кінцеві системи знаків, наприклад, цифри, літери, ноти.

Розглянемо систему знаків, наприклад, числа у будь-якій кінцевій системі числення, допустимо десяткової. Маючи 10 знаків у нашому розпорядженні: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ми можемо становити два типи множин: фіксованої довжини та довільної довжини.

У першому випадку йдеться про суто комбінаторну задачу, наприклад можна скласти 105 різних послідовностей з п'яти символів. Це немаленьке число, але воно натуральне і потужність розглянутої множини всіх можливих послідовностей такого роду виражається натуральним числом. У другому випадку безліч таких послідовностей буде лічильно-нескінченно, за аналогією з безліччю комплексів натуральних чисел, і його потужність є числом алеф-нуль.

Можна узагальнити, що отримане в результаті застосування Теореми 2.3.(7) безліч буде лічильно-нескінченно, якщо у разі кінцевої системи знаків допустити скільки завгодно довгі комплекси знаків (скільки завгодно довгі, але при цьому все одно кінцеві!).

Рахунково-нескінченними є, наприклад:

· безліч «слів», яке можна скласти за допомогою кінцевого алфавіту («слово» тут - комплекс літер, які не мають сенсу чи ні),

· безліч всіх книг, написаних будь-якою або навіть усіма мовами,

· Багато всіх симфоній і т. д.

2.4.1. Численність безлічі дійсних чисел (континууму)

Безліч дійсних чисел позначимо латинською літерою R.

Т.2Теорема

Безліч дійсних чисел незліченна.

Доведення

Припустимо неприємне, нехай безліч дійсних чисел лічильне. Тоді будь-яке підмножина лічильної множини теж лічильне. Візьмемо на безлічі дійсних чисел підмножина R1 - інтервал (0,1) і викинемо з цього відрізка числа, що містять хоча б в одному своєму розряді нулі або дев'ятки (приклади таких чисел: 0.9, 0.0001 тощо). Множина R2, складена з чисел, що залишилися, є підмножиною безлічі R1 . Це означає, що R2 – лічильне.

З того факту, що R2 – лічильне, безпосередньо випливає, що можливий будь-який спосіб перерахування його елементів для встановлення взаємно-однозначної відповідності між елементами R2 та елементами множини натуральних чисел. Це випливає із самого визначення потужності множини, згідно з яким передбачається, що в рівносильних множинах кожен елемент однієї множини має парний елемент з іншої множини і навпаки. Зверніть увагу, фундаментальна відмінність даного визначення від визначення ефективної перелічності полягає в тому, що в даному випадку ми навіть не говоримо про наявність будь-якого алгоритму перерахування, ми просто стверджуємо, що можна навести список дійсних чисел з R2 і список відповідних їм натуральних чисел з множини N. Алгоритм побудови зв'язку N ↔ R2 нас у даному випадку не цікавить, достатньо того, що така відповідність можлива.

Побудуємо такий список чисел з множини R2 і пронумеруємо числа в розрядах:

Тепер побудуємо число b = 0.b1b2 ..., причому

bi=aii+1, де + позначає операцію додавання, результатом якого неможливо знайти числа 0 і 9, т. е. якщо aii=1, то bi=2; якщо аii=2, bi=3, …., якщо aii=8, то bi=1).

Таким чином, побудоване число b відрізнятиметься від кожного з чисел множини R2 хоча б в одному розряді, і, отже, не потрапить до складеного списку. Однак за своєю структурою число b повинне міститися в множині R2. Отримали суперечність, отже вихідне припущення неправильне і безліч R2 - незліченна.

Так як безліч R2 є за умовою підмножиною безлічі R1, то R1 - незліченна, а т. к. R1 незліченна - то значить і безліч R незліченно, Q. E.D.

Примітка: можна і не викидати числа, що містять 0 і 9. Таким чином, у наш ряд деякі числа увійдуть двічі. Це з тим, що кінцеві дроби може бути перетворені на нескінченні. Наприклад, ½=0,5=0,5(0)=0,4(9).

Загалом це могло стати причиною того, що не вдалося порахувати безліч дійсних чисел. Але безліч чисел, представлених двояким чином (кінцеві дроби) - це безліч раціональних чисел. Як було доведено раніше, їхня рахункова кількість. Можна навіть показати, що це безліч ефективно перераховано. Т. о. навіть подвійне уявлення безлічі таких чисел утворює лічильна множина, отже, доказ вірний навіть без такого спрощення.

Отримано принципово новий результат – знайдено безліч чисел. Його потужність згідно з доведеною теоремою не дорівнює алеф-нуль (À0), а значить необхідне нове число в трансфінітній шкалі.

Алеф ( À) - Друге трансфінітне число. За визначенням це потужність континууму (всіх дійсних чисел). Це друга за величиною нескінченна потужність. Доведена щойно Теорема 2.4.(1) про численності безлічі дійсних чисел є переконливим доказом те, що потужність цієї множини більше, ніж алеф-нуль (більше безлічі натуральних чисел). І це дуже важливий результат після низки доказів ліченості різноманітних множин чисел.

Якщо оперувати поняттям кардинального числа (потужності), то отримаємо, що, оскільки кожне число сегмента (0,1) може бути представлено десятковим дробом виду 0.a1a2a3 ... не менше одного разу і не більше двох, то:

À≤10 À0≤ 2À ,

а т. до. 2À=À, то отримаємо що 10 À0= À. Ті самі міркування справедливі у разі, якщо ми розкладатимемо числа не в десяткові, а, наприклад, у двійкові дроби, дроби з основою 3, 15, 10005 або навіть À0 (якщо ви можете таке собі уявити).

Т. о. À =2À0=3À0=…=10À0=…nÀ0=…À0À0

Якщо замислитись, можна виявити черговий не цілком очевидний факт з теорії множин. À2=À À є потужністю безлічі пар дійсних чисел. Пара дійсних чисел, взагалі кажучи, відповідає точці на площині. У свою чергу, À3=À À À є потужністю безлічі трійок дійсних чисел, а це точки в просторі. Міркування можна продовжити далі аж до À0 - мірного простору або множини всіх послідовностей дійсних чисел лічильної довжини. Т. о. всі кінцево-вимірні або рахунково-вимірні простори мають однакову потужність À (тут À - кількість точок у просторі).

Для À0-мірного дійсного простору або множини всіх послідовностей дійсних чисел лічильної довжини з точки зору операцій над кардинальними числами отримаємо ÀÀ0=(2À0)À0=2À0∙À0=2À0=À.

Тут цікаво буде звернутися до історичних подій, пов'язаних з низкою доказів у цій сфері. З тим, що на нескінченній прямій стільки ж точок, як і на відрізку, математики, хоч і не відразу, але в результаті примирилися. Але наступний результат Кантора виявився ще більш несподіваним. У пошуках множини, що має більше елементів, ніж відрізок на дійсній осі, він звернув увагу на безліч точок квадрата. Спочатку сумнівів у результаті не було: адже відрізок цілком розміщується на одній стороні квадрата, а безліч усіх відрізків, на які можна розкласти квадрат, сама по собі має ту ж потужність, що і безліч точок відрізка. Протягом майже трьох років (з 1871 по 1874 рр.) Кантор шукав доказ того, що взаємно однозначна відповідність між точками відрізка і точками квадрата неможлива. І в якийсь момент зовсім несподівано вийшов прямо протилежний результат: йому вдалося побудувати відповідність, яку він щиро вважав за неможливе. Кантор не вірив сам собі і навіть написав німецькому математику Ріхарду Дедекінду: "Я бачу це, але не вірю цьому". Коли шок від цього факту минув, стало інтуїтивно зрозуміло і невдовзі доведено, що куб має стільки ж точок, скільки відрізок. Взагалі, будь-яка геометрична фігура на площині (геометричне тіло в просторі), що містить хоча б одну лінію, має стільки ж точок, скільки відрізок. Такі множини назвали множинами потужності континууму (від латинського continuum – безперервний). Наступний крок майже очевидний: розмірність простору у певних межах несуттєва. Наприклад, 2-мірна площина, 3-мірний звичний простір, 4-х, 5-ти і далі n-мірні простори з точки зору кількості точок, що містяться у відповідному n-вимірному тілі, рівносильні. Така ситуація спостерігатиметься навіть у разі простору з нескінченною кількістю вимірювань, важливо лише щоб ця кількість була лічильною.

На даному етапі виявлено два типи нескінченностей і відповідно два трансфінітні числа, що позначають їх потужності. Багато першого типу мають потужність, еквівалентну потужності натуральних чисел (алеф-нуль). Безліч другого типу мають потужність, еквівалентну кількості точок на дійсній осі (потужність континууму, алеф). Показано, що у множинах другого типу елементів більше, ніж у множинах першого типу. Природно, виникає питання – а чи немає в природі «проміжної» множини, яка мала б потужність більшу за кількість натуральних чисел, але при цьому менше, ніж безліч точок на прямій? Це непросте питання отримало назву «проблема континууму» . Вона ж відома як «континуум-гіпотеза» або « перша проблема Гільберта». Точне формулювання звучить так:

https://pandia.ru/text/78/390/images/image023_14.gif" height="10 src="> XDIV_ADBLOCK186">

В результаті після довгих досліджень з питання континуум-гіпотези в 1938 німецький математик Курт Гедель довів, що існування проміжної потужності не суперечить іншим аксіомам теорії множин. І пізніше, у мм. майже одночасно, але незалежно один від одного, американський математик Коен і чеський математик Вопенка показали, що наявність такої проміжної потужності не виводиться з решти аксіом теорії множин. До речі, цікаво помітити, що цей результат дуже схожий на історію з постулатом про паралельні прямі. Як відомо, дві тисячі років його намагалися вивести з решти аксіом геометрії, але тільки після робіт Лобачевського, Гільберта та інших вдалося отримати той самий результат: цей постулат не суперечить решті аксіом, але й не може бути виведений з них.

2.4.2. Безліч комплексних, трансцендентних та ірраціональних чисел

Приведемо на додаток до множини дійсних чисел ще кілька незліченних множин.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image010_26.gif" width="81" height="76"> Т.2.4.(2) Теорема

Безліч комплексних чисел незліченна.

Доведення

Оскільки безліч дійсних чисел R, незліченна за доведеною раніше Теоремі 2.4.(1), є підмножиною безлічі комплексних чисел С, то безліч комплексних чисел також незліченна, Q. E.D.

Трансцендентне число - дійсне число, яке не є алгебраїчним.

Безліч трансцендентних чисел позначимо латинською літерою Т. Кожне дійсне трансцендентне число є ірраціональним, але зворотне невірно. Наприклад, число ірраціональне, але не трансцендентне: воно є коренем рівняння x 2 − 2=0.

Т.2Теорема

Безліч трансцендентних чисел незліченна.

Доведення

Оскільки дійсних чисел – незліченна множина, а алгебраїчних – лічильна, і при цьому множина A є підмножиною R, то R \ А (множина трансцендентних чисел) являє собою незліченну множину, Q. E.D.

Це нескладне доказ існування трансцендентних чисел опубліковано Кантором в 1873 року і справило велике враження на наукову громадськість, оскільки доводило існування безлічі чисел, не будуючи жодного конкретного прикладу, лише з загальних міркувань. З цього доказу не можна витягти жодного конкретного прикладу трансцендентного числа, про доказ такого типу кажуть, що воно неконструктивно .

Важливо, що довгий час математики мали справу лише з числами алгебри. Потрібні були значні зусилля, щоб знайти хоча б кілька трансцендентних чисел. Вперше це вдалося французькому математику Ліувілю в 1844, який довів набір теорем, що дозволяє будувати конкретні приклади таких чисел. Наприклад, трансцендентним числом є число 0, ..., в якому після першої одиниці стоїть один нуль, після другої – два, після третьої – 6, після n відповідно n! нулів.

Було доведено, що трансцендентним є десятковий логарифм будь-якого цілого числа, крім 10 чисел n. Також до багатьох трансцендентних чисел відносяться sin α, cos α та tg α для будь-якого ненульового числа алгебри α . Найбільш яскравими представниками трансцендентних чисел зазвичай вважають числа π і е.До речі, доказ трансцендентності числа π , проведене німецьким математиком Карлом Ліндерманом у 1882 році, було великою науковою подією, адже з нього випливала неможливість квадратури кола. Історія знаходження квадратури кола тривала чотири тисячоліття, а сам термін став синонімом нерозв'язних завдань.

Одиниця вимірювання" href="/text/category/edinitca_izmereniya/" rel="bookmark">одиницю вимірювання радіус кола та позначити xдовжину сторони шуканого квадрата, то завдання зводиться до розв'язання рівняння: x 2 = π, звідки: . Як відомо, за допомогою циркуля та лінійки можна виконати всі 4 арифметичні дії та вилучення квадратного кореня. Це означає, що квадратура кола можлива в тому і лише в тому випадку, якщо за допомогою кінцевого числа таких дій можна побудувати відрізок довжини? Таким чином, нерозв'язність цього завдання випливає з неалгебраїчності (трансцендентності) числа π. Власне, задача про квадратуру кола зводиться до завдання побудови трикутника з основою πr і висотою r. Для нього потім вже легко може бути побудований рівновеликий квадрат.

У згадуваному раніше списку з 23 кардинальних проблем математики під номером 7 йшла проблема трансцендентності чисел, утворених певним чином.

Сьома проблема Гільберта. Нехай a --- позитивне число алгебри, не дорівнює 1, b --- ірраціональне число алгебри. Довести, що ab є трансцендентне число.

У 1934 році радянський математик Гельфонд і трохи пізніше німецький математик Шнайдер довели справедливість цього твердження, і таким чином ця проблема була вирішена.

З принципом розподілу чисел на раціональні та ірраціональні пов'язані ще два цікаві факти, які не відразу сприймаються як істинні.

Т.2.4.(5) Теорема

Між будь-якими двома різними раціональними числами завжди знайдеться безліч ірраціональних чисел потужності континууму.

Доведення

Нехай є два раціональні числа, aі b. Побудуємо лінійну, отже, взаємно-однозначну, функцію f(x) = (x - a) / (b - a). Так як f(a) = 0 і f(b) = 1, то f(x) взаємно-однозначно відображає відрізок [ a; b] у відрізок при цьому зберігається раціональність чисел. Тому потужності множин [ a; b] і дійсних чисел рівні, а, як доведено, потужність відрізка дорівнює потужності континууму. Вибравши з отриманої множини лише ірраціональні числа, ми отримаємо, що між будь-якими двома раціональними числами завжди знайдеться континуум ірраціональних чисел, Q. E.D.

У цілому нині дана теорема інтуїтивно здається цілком логічною. Наступна, здавалося б, сприймається скептично.

Т. 2.4.(6) Теорема

Між будь-якими двома різними ірраціональними числами завжди знайдеться лічильна кількість раціональних чисел.

Доведення

Нехай є два ірраціональні числа aі b, запишемо їх відповідні розряди як a 1a 2a 3... і b 1b 2b 2..., де ai, bi- десяткові цифри. Нехай a < bтоді знайдеться таке N, що a N< b N. Побудуємо нове число c, для чого покладемо ci = ai = biдля i= 1, …, N-1. Нехай cN = bN-1. Очевидно, що c < b. Оскільки всі розряди числа aпісля N-го не можуть бути дев'ятками (тоді це буде періодичний дріб, тобто раціональне число), то позначимо через M >= N такий розряд числа a, що a M< 9. Положим cj = aj, за N< j < M, и c M = 9. У такому разі c > a. Отже, ми отримали одне раціональне число c, таке що a < c < b. Дописуючи до десяткового запису числа cбудь-яке кінцеве число цифр позаду ми можемо отримати скільки завгодно багато раціональних чисел між aі b. Поставивши у відповідність кожному такому числу його порядковий номер, отримаємо взаємно - однозначну відповідність між безліччю цих чисел і безліччю натуральних чисел, тому отримана множина буде лічильною, Q. E.D.

На цьому етапі стає цікавим і важливим доказ наступної теореми, сенс якої до введення шкали трансфінітних чисел був взагалі очевидним, а при появі такої специфічної арифметики вимагає суворого доказу.

Т.2 Теорема Кантора

Для будь-якого кардинального числа α справедливо α<2α.

Доведення

1. Доведемо, що принаймні α≤2α

Як відомо, потужність булеану множини М дорівнює 2|М|. Нехай безліч М = (m1, m2, m3, …). У булеан множини М (множина всіх його підмножин) у тому числі входять множини, що складаються з одного елемента, наприклад (m1),(m2),(m3), …. Тільки такого виду підмножин буде |М|, крім них у булеан входять інші підмножини, отже, у разі |М| ≤ 2 | М |

2. Доведемо строгість нерівності α<2α

З урахуванням доведеного у п.1. достатньо показати, що не допустима ситуація, за якої α=2α.Припустимо неприємне, нехай α=2α, т. е. |М| = 2 | М |. Це означає, що М рівносильно Р(М), отже існує відображення безлічі М на його булеан Р(М). Т. о. кожному елементу m множини M взаємно однозначно відповідає деяке підмножина Мm, що належить Р(М). Отже, будь-який елемент m або належить відповідному йому підмножині Мm, або не належить. Побудуємо безліч M*, утворене з усіх елементів другого роду (тобто тих m, які не належать відповідним їм підмножиною Мm)

По побудові видно, що й який елемент m належить M*, отже він автоматично не належить Мm. Це, своєю чергою означає, що ні якому m неможлива ситуація M*=Мm. Отже, безліч M* відмінно від усіх множин Мm і йому немає взаємно-однозначного елемента m з безлічі M. Це своє чергу означає, що рівність |М|= 2|М| неправильно. Т. о. доведено, що |М| < 2 | М | або α<2α , Q. E.D.

У додатку до розгляду нескінченних множин, це переконливо доводить, що множина всіх підмножин натуральних чисел (а це, по суті, безліч комплексів нескінченної довжини) не рівномірно безлічі самих натуральних чисел. Т. е. À0 ≠ 2À0. І значить, за аналогією, можна побудувати ще більшу множину, наприклад на основі дійсних чисел. Іншими словами, питання щодо інших типів нескінченних множин полягає в наступному: а чи існує безліч потужності більшої, ніж потужність множини дійсних чисел? Якщо таке питання буде вирішено позитивно, відразу ж стане наступне: а чи існує безліч ще більшої потужності? Потім ще більше. І, нарешті, логічне глобальне питання: а чи існує безліч найбільшої потужності?

Т.2Теорема

Для будь-якої множини А знайдеться безліч В, потужність якого більша за А.

Доведення

Розглянемо безліч Увсіх функцій, заданих на безлічі Ата приймаючих значення 0 і 1. Кожній точці абезлічі Апоставимо у відповідність функцію fa(x), що у цій точці значення 1, а інших точках значення 0. Зрозуміло, що різним точкам відповідають різні функції. Звідси випливає, що потужність множини Уне менше потужності множини А (|B|≥|A|).

Припустимо, що потужності безліч Аі Урівні один одному. У цьому випадку існує взаємно-однозначна відповідність між елементами множин Аі У. Позначимо функцію, що відповідає елементу аз множини Ачерез fa(x). Усі функції сімейства fa(x) приймають значення або 0 або 1. Побудуємо нову функцію φ(x)=1-fх(x). Таким чином, щоб знайти значення функції φ(x) у певній точці а, що належить безлічі А, треба спочатку знайти відповідну функцію fа( а) і потім відняти від одиниці значення цієї функції в точці а. З побудови видно, що функція φ(x) також задана на множині Аі приймає значення 0 і 1. Отже, φ(x) є елементом множини У. Тоді існує таке число b у множині А, що φ(x) = fb(x). З урахуванням раніше введеного визначення функції φ(x)=1- fх(x), отримаємо що для всіх х, що належать множині А, Правильно 1 - fх (x) = fb (x). Нехай x = b. Тоді 1 - fb(b) = fb(b) і отже fb(b)=1/2. Цей результат явно суперечить тому, що значення функції fb(х) дорівнюють нулю або одиниці. Отже, прийняте припущення невірно, а отже, не існує взаємно-однозначної відповідності між елементами множин Аі У (| A| ≠| B| ). Оскільки | A| ≠|B| і при цьому | B| ≥| A| , значить | B| >|A| . Це означає, що для будь-якої множини Аможна побудувати безліч Убільшої потужності. Звідси можна дійти невтішного висновку, що безлічі найбільшої потужності немає, Q. E.D.

Існує досить тісний зв'язок між побудованим безліччю функцій і булеаном безлічі А(Багатою всіх підмножин А). Розглянемо безліч Увсіх підмножин безлічі А. Нехай З- деяке підмножина в А. Візьмемо функцію f(x) , що приймає значення 1, якщо хналежить З, і значення 0 інакше. Таким чином, різним підмножинам Звідповідають різні функції. Навпаки, кожної функції f(x) , що приймає два значення 0 і 1, відповідає підмножина А, Що складається з тих елементів х, в яких функція набуває значення 1. Таким чином, встановлено взаємно-однозначну відповідність між безліччю функцій, заданих на множині Аі приймають значення 0 і 1, і безліччю всіх підмножин А.

§ 2.5. Безліч з потужністю більше, ніж потужність континууму

Отже, безлічі найбільшої потужності немає. Перші два трансфінітних числа мали в природі їхні множини (множина натуральних чисел і безліч дійсних чисел). Якщо відштовхуватися від безлічі континууму, можна побудувати безліч всіх підмножин континууму, отримаємо його булеан, назвемо це безліч BR. За визначенням потужність множини BR дорівнює 2À. Відповідно до теореми Кантора 2À≠À. Очевидно, що безліч BR нескінченно, отже, його кардинальне число є числом трансфінітним і воно ніяк не може збігатися з жодним з двох розглянутих раніше трансфінітних чисел. А значить, у нашу шкалу настав час вводити третє трансфінітне число.

Алеф-один ( À 1 ) - Третє трансфінітне число. За визначенням, це потужність багатьох підмножин континууму. Це число відповідає потужності багатьох інших множин, наприклад:

· Безліч всіх лінійних функцій, що приймають будь-які дійсні значення (лінійна функція - дійсна функції однієї або декількох змінних). По суті це безлічі всіх можливих кривих у рахунково-вимірному просторі, де кількість вимірювань n – будь-яке кінцеве число або навіть À0.

· Безліч фігур на площині, тобто множини всіх підмножин точок на площині або множини всіх підмножин пар дійсних чисел.

· Безліч тіл у звичайному тривимірному просторі, а також, взагалі кажучи, у будь-якому рахунково-вимірному просторі, де кількість вимірювань n – будь-яке кінцеве число або навіть À0.

Оскільки число À1 вводиться як потужність булеану множини з потужністю À, отримуємо твердження, що À1 =2À.

§ 2.6. Парадокси теорії множин

Виникає резонне питання: а що далі? Що буде, якщо побудувати безліч всіх підмножин BR. Чому буде дорівнює його кардинальне число (звісно, ​​за аналогією можна припустити, що це 2À1) і, головне, якій реально існуючій множині це буде відповідати? Чи є взагалі більші, ніж BR нескінченні множини і скільки їх?

Хоча нами показано, що найбільшого трансфінітного числа не існують, як показують дослідження, підніматися все далі й далі до нових великих кардинальних чисел небезпечно – це призводить до антиномії (парадоксів). Дійсно, якою б не було безліч кардинальних чисел, завжди можна знайти кардинальне число, більше, ніж усі числа цієї множини і, отже, не входить до нього. Т. о. жодна така множина не містить всіх кардинальних чисел і множини всіх кардинальних чисел немислима.

Цілком природно, що кожному математику хочеться мати справу з несуперечливою теорією, тобто такою, що в ній не можна одночасно довести дві теореми, які заперечують один одного. Чи є теорія Кантора несуперечливою? До яких меж можна розширювати коло множин, що розглядаються? На жаль, не все так безхмарно. Якщо ввести таке зовні нешкідливе поняття як «множина всіх множин U», виникає ряд цікавих моментів.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image009_32.gif" width="81" height="75 src="> Т.2.6.(2) Парадокс Рассела

Нехай В – безліч всіх множин, які не містять самих себе як свої власні елементи. Тоді можна довести дві теореми.

Теорема 2.6. (2).1.

Належить Ст.

Доведення

Припустимо неприємне, тобто. Уне належить У. За визначенням, це означає, що Уналежить У. Отримали протиріччя - отже, вихідне припущення неправильне і Уналежить У, Q. E.D.

Теорема 2.6. (2).2.

В не належить Ст.

Доведення

Припустимо неприємне, тобто. Уналежить У. За визначенням множини Убудь-який його елемент не може мати себе як власний елемент, отже, Уне належить У. Суперечність - отже, вихідне припущення неправильне і Уне належить У, Q. E.D.

Неважко бачити, що Теореми 2.6. (2).1. та 2.6.(2).2. виключають одне одного.

На жаль, навіть виняток із розгляду всіх надмірних множин не рятує теорію Кантора. Насправді, феномен Рассела зачіпає логіку, т. е. методи міркування, з допомогою яких під час переходу від однієї справжнього твердження до іншого утворюються нові поняття.

Вже при виведенні феномена використовується логічний закон виключеного третього, що є одним з невід'ємних прийомів міркувань у класичній математиці (тобто якщо твердження не-А, то хибно А). Якщо задуматися про суть речей, то можна загалом уникнути і теорії множин, і від математики загалом.

shortcodes">

Є одним із основних невизначених понять математики. Під безліччю розуміють сукупність (збори, клас, сімейство...) деяких об'єктів, об'єднаних за якоюсь ознакою. Так можна говорити про безліч студентів інституту, про безліч риб у Чорному морі, про безліч коренів рівняння х 2+2х+2=0, безлічівсіх натуральних чисел і т.д.

Об'єкти, у тому числі складається безліч, називаються його елементами. Безліч прийнято позначати великими літерами латинського алфавіту А, В,..., X, Y,..., які елементи - малими літерами a, b,... ...,х,у,...

Якщо елемент х належить множині X, то записують х X; запис хÏ Х або х Î X означає, що елемент х не належить множині X.

Наприклад, запис А=(1,3,15) означає, що безліч А складається з трьох чисел 1, 3 та 15; запис А=(х:0≤х≤2) означає, що множина А складається з усіх дійсних (якщо не обумовлено інше) чисел, що задовольняють нерівності 0 ≤ х ≤ 2.

БезлічА називається підмножиною множини В, якщо кожен елемент множини А є елементом множини В. Символічно це позначають так А? В («А включено в В») або ВÉ А («множина В включає безліч А»).

Кажуть що безлічі A і В рівні або збігаються, і пишуть А=В, якщо А В і В А. Іншими словами, безлічі, Що складаються з тих самих елементів, називаються рівними.

Об'єднанням(або сумою) множин A і В називається безліч, що складається з елементів, кожен з яких належить хоча б одному з цих множин. Об'єднання (суму) множин позначають AUB (або A+B). Стисло можна записати АUВ=(х:хеА або хеВ).

Перетином (або твором) множин А і В називається множина, що складається з елементів, кожен з яких належить множині А і множині В. Перетин (твір) множин позначають А∩В (або А*В). Коротко можна записати А∩В=(х:хєА та хєВ)

Надалі для скорочення записів будемо використовувати деякі найпростіші логічні символи:

ΑÞ ß - означає «з пропозиції α слідує пропозиція ß»;

Α ß - «пропозиції α і ß рівносильні», тобто з α слід ß і з ß слід α;

"- означає "для будь-якого", "для всякого";

$ - «існує», «знайдеться»;

: - «має місце», «таке що»;

→ - "відповідність".

Наприклад:
1) запис "xÎ А:α означає: «для будь-якого елемента хÎ А має місце пропозиція α»;
2) (х є A U В)<==>(х є А або х є); цей запис визначає об'єднання множин А і В.

13.2. Числові безлічі. Безліч дійсних чисел

Безліч, елементами яких є числа, називаються числовими. Прикладами числових множин є:

N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - безліч натуральних чисел;

Zo = (0; 1; 2; ...; n; ...) - безліч цілих невід'ємних чисел;

Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - безліч цілих чисел;

Q=(m/n: mÎ Z,nÎ N) - безліч раціональних чисел.

R-множина дійсних чисел.

Між цими множинами існує співвідношення

NÌ ZoÌ ZÌ QÌ R.

Безліч R містить раціональні та ірраціональні числа. Будь-яке раціональне число виражається або кінцевим десятковим дробом або нескінченним періодичним дробом. Так, 1/2 = 0,5 (= 0,500 ...), 1 / 3 = 0,333 ... - Раціональні числа.

Дійсні числа, які не є раціональними, називаються ірраціональними.

Теорема 13.1.

Немає раціонального числа, квадрат якого дорівнює числу 2.

▼Допустимо, що існує раційне число, представлене нескоротним дробом m/n, квадрат якого дорівнює 2. Тоді маємо:

(m/n) 2 =2, тобто m2 = 2n 2 .

Звідси випливає, що m 2 (отже, і m) - парне число, тобто m=2k. Підставивши m=2k у рівність m 2 =2n 2 отримаємо 4k 2 = 2n 2 , тобто 2k 2 =n 2 ,

Звідси випливає, що число n-парне, тобто n = 2l. Це суперечить припущенню, що m/n дріб нескоротний. Отже, немає раціонального числа, квадрат якого дорівнює числу 2. ▲

Ірраціональне число виражається нескінченним неперіодичним дробом. Так, √2 = 1,4142356 ... - ірраціональні числа. Можна сміливо сказати: безліч дійсних чисел є безліч всіх нескінченних десяткових дробів. І записати

R=(х: х=α,α 1 α 2 α 3 ...), де аеZ, а i є(0,1,...,9).

Безліч R дійсних чисел має такі властивості.

1. Воно впорядковане: для будь-яких двох різних чисел α і b має місце одне із двох співвідношень а

2. Безліч R щільне: між будь-якими двома різними числами a і b міститься безліч дійсних чисел х, тобто чисел, що задовольняють нерівності a<х

Так, якщо a

(a

3. Безліч R безперервне. Нехай безліч R розбито на два непусті класи А і В таких, що кожне дійсне число міститься тільки в одному класі і для кожної пари чисел aєА та bєВ виконано нерівність a

Властивість безперервності дозволяє встановити взаємно-однозначну відповідність між безліччювсіх дійсних чисел і безліччю всіх точок прямої. Це означає, що кожному хеR відповідає певна (єдина) точка числової осі і, навпаки, кожній точці осі відповідає певне (єдине) дійсне число. Тому замість слова «число» часто кажуть «крапка».