Зобразити геометрично комплексні номери онлайн. Графічна форма представлення комплексних чисел

Го) числа.

2. Алгебраїчна форма подання комплексних чисел

Комплексним числомабо комплексом, називається число, що складається з двох чисел (частин) – речовинного та уявного.

Речовимназивається будь-яке позитивне або негативне число, наприклад, + 5 - 28 і т.п. Позначимо речове число буквою “L”.

Уявнимназивається число, що дорівнює добутку речовинного числа на квадратний корінь з негативної одиниці, наприклад, 8 - 20 і т.п.

Негативна одиниця називається уявний і позначається буквою "йот":

Позначимо речове число у складі уявного буквою “М”.

Тоді уявне число можна записати так: j М. У такому разі комплексне число А можна записати так:

А = L + j М(2).

Така форма запису комплексного числа (комплексу), що представляє собою алгебраїчну суму речовинної та уявної частин, називається алгебраїчної.

приклад 1.Представити в формі алгебри комплекс, речовинна частина якого дорівнює 6, а уявна 15.

Рішення. А = 6+j15.

Крім алгебраїчної форми, комплексне число можна уявити ще трьома:

1. графічної;

2. тригонометричної;

3. показовою.

Таке різноманіття форм різко спрощує розрахунки синусоїдальних величин та їх графічне зображення.

Почергово розглянемо графічну, тригонометричну та показник-

ну форми подання комплексних чисел.

Графічна форма представлення комплексних чисел

Для графічного представлення комплексних чисел застосовують прямо-

вугільну систему координат. У звичайній (шкільній) системі координат уздовж осей «х» (вісь абсцис) та «y» (вісь ординат) відкладаються позитивні чи негативні речові числа.

У системі координат, прийнятої в символічному методі, вздовж осі «х»

у вигляді відрізків відкладають дійсні числа, а вздовж осі «у» – уявні

Рис. 1. Система координат для графічного зображення комплексних чисел

Тому вісь абсцис «х» називають віссю речових величин або, для скорочення, речової віссю.

Вісь ординат називають віссю уявних величин або уявний віссю.

Саму ж площину (тобто площину малюнка), де зображують комплексні числа чи величини, називають комплексної площиною.

У цій площині комплексне число А = L + j М зображено вектором А

(рис. 2), проекція якого на речову вісь дорівнює його речовій частині Re A = А" = L, а проекція на уявну вісь - уявної частини Im A = А" = М.

(Re – від англ. real – реальний, дійсний, справжній, Im – від англ. imaginary – нереальний, уявний).

Рис. 2. Графічне уявлення комплексного числа

У цьому випадку число А можна записати так

А = А + А = Re A + j Im A (3) .

Використовуючи графічне зображення числа А в комплексній площині, введемо нові визначення та отримаємо деякі важливі співвідношення:

1. довжина вектора А називається модулем вектор і позначається |A|.

За теоремою Піфагора

|A| = (4) .

2. кутα, утворений вектором А і речовинної позитивної напів-

віссю, називається аргументом вектора А і визначається через його тангенс:

tg α = А"/А" = Im A/Re A (5).

Таким чином, для графічного представлення комплексного числа

А = А" + А" у вигляді вектора треба:

1. Визначити модуль вектора |A| за формулою (4);

2. визначити аргумент вектора tg α за формулою (5);

3. знайти кут α із співвідношення α = arc tg α;

4. у системі координат j(х) провести під кутом α допоміжну

пряму і у ньому у певному масштабі відкласти відрізок, рівний модулю вектора |A|.

приклад 2.Комплексне число А = 3 + j 4 подати у графічній формі.

Геометричне зображення комплексних чисел. Тригонометрична форма комплексного числа.

2015-06-04

Дійсна та уявна вісь
Аргумент комплексного числа
Головний аргумент комплексної кількості
Тригонометрична форма комплексного числа

Завдання комплексного числа $z = a+bi$ рівносильне завданню двох дійсних чисел $a,b$ - дійсної та уявної частин даного комплексного числа. Але впорядкована пара чисел $(a,b)$ зображується в декартовій прямокутній системі координат крапкою з координатами $(a, b)$. Таким чином, ця точка може служити зображенням для комплексного числа $z$: між комплексними числами і точками координатної площини встановлюється взаємно однозначна відповідність.

При використанні координатної площини для зображення комплексних чисел вісь $Ox$ зазвичай називають дійсною віссю (оскільки дійсна частина числа приймається за абсцис точки), а вісь $Oy$ - уявною віссю (бо уявна частина числа приймається за ординату точки).

Рис.1
На рис. 1 побудовано зображення чисел $z_(1) = 2 + 3i, z_(2)=1 =1,z_(3) = 4i, z_(4) = -4 + i, z_(5) = -2, z_( 6) = - 3 - 2i, z_ (7) = -5i, z_ (8) = 2 - 3i $.

Два комплексно пов'язані числа зображуються точками, симетричними щодо осі $Ox$ (точки $z_(1)$ і $z_(8)$ на рис. 1).

Рис. 2
Часто з комплексним числом $z$ пов'язують не тільки точку $M$, що зображує це число, а й вектор $\vec(OM)$, що веде з $O$ $M$; зображення числа $z$ вектором зручно з погляду геометричного тлумачення дії складання та віднімання комплексних чисел. На рис. 2 а показано, що вектор, що зображує суму комплексних чисел $z_(1), z_(2)$, виходить як діагональ паралелограма, побудованого на векторах $\vec(OM_(1)), \vec(OM_(2)) $, що зображують доданки. Це правило складання векторів відоме як правило паралелограма (наприклад, для складання сил чи швидкостей у курсі фізики). Віднімання може бути зведене до додавання з протилежним вектором (рис. 2, б).

Рис. 3
Як відомо, положення точки на площині можна також задавати її полярними координатами $r, \phi$. Тим самим і комплексне число - афікс точки також визначиться завданням $r$ і $\phi$. З рис. 3 ясно, що $r = OM = \sqrt(x^(2) + y^(2))$ є водночас модулем комплексного числа $z$: полярний радіус точки, що зображує число $z$, дорівнює модулю цього числа.

Полярний кут точки $M$ називають аргументом числа $z$, що зображується цією точкою.

Усі значення аргументу разом позначаються символом $Arg \: z$.

Отже, кожному комплексному числу можна поставити у відповідність пари дійсних чисел: модуль і аргумент цього числа, причому аргумент визначається неоднозначно. Навпаки, заданим модулем $|z| = r$ і аргументу $\phi$ відповідає однину $z$, що має дані модуль і аргумент. Особливими властивостями має число нуль: його модуль дорівнює нулю, аргумент не приписується ніякого певного значення.

Для досягнення однозначності у визначенні аргументу комплексного числа можна умовитися одне із значень аргументу називати головним. Його позначають символом $arg: z$. Зазвичай як головне значення аргументу вибирається значення, що задовольняє нерівностей
$0 \leq arg \: z (в інших випадках нерівностям $- \pi

Дійсна та уявна частини комплексного числа (як декартові координати точки) виражаються через його модуль та аргумент (полярні координати точки) за формулами:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
і комплексне число може бути записано у наступній тригонометричній формі:
$z = r(\cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(Запис числа як $z = a + bi$ називатимемо записом в алгебраїчної формі).

Перехід від запису числа в формі алгебри до його запису в тригонометричній формі і назад здійснюється за формулами (4):
$r = \sqrt(a^(2) + b^(2)), \cos \phi = \frac(a)(r)= \frac(a)(\sqrt(a^(2) + b^ (2))), \sin \phi = \frac(b)(r) = \frac(b)(\sqrt(a^(2) + b^(2))), tg \phi = \frac( b)(a)$ (3)
та формулам (1). При визначенні аргументу (його головного значення) можна використовувати значення однієї з тригонометричних функцій $\cos \phi$ або $\sin \phi$ і враховувати знак другий.

приклад. Записати в тригонометричній формі такі числа:
а) $ 6 + 6i $; б) $3i$; в) $-10 $.
Рішення, а) Маємо
$r = \sqrt(6^(2) + (-6)^(2)) = 6 \sqrt(2)$,
$\cos \phi = \frac(6)(6 \sqrt(2)) = \frac(1)(\sqrt(2)) = \frac(\sqrt(2))(2)$,
$\sin \phi = - \frac(6)(6 \sqrt(2)) = - \frac(1)(\sqrt(2)) = - \frac(\sqrt(2))(2)$,
звідки $\phi = \frac(7 \pi)(4)$, і, отже,
$6-6i = 6 \sqrt(2) \left (\cos \frac(7 \pi)(4) + i \sin \frac(7 \pi)(4) \right)$;
б) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \left (\cos \frac(\pi)(2) + i \sin \frac(\pi)(2) \right)$
в) $ r = 10, \ cos \ phi = -1, \ sin \ phi = 0, \ phi = \ pi $;
$-10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$

Комплексні числа, їхнє зображення на площині. Алгебраїчні операції над комплексними числами. Комплексне сполучення. Модуль та аргумент комплексного числа. Алгебраїчна та тригонометрична форми комплексного числа. Коріння із комплексних чисел. Показова функція комплексного аргументу. Формула Ейлер. Показова форма комплексного числа.

При вивченні одного з основних прийомів інтегрування: інтегрування раціональних дробів – потрібно для проведення суворих доказів розглядати багаточлени у комплексній галузі. Тому вивчимо попередньо деякі властивості комплексних чисел та операцій з них.

Визначення 7.1. Комплексним числом z називається впорядкована пара дійсних чисел (а,b) : z = (a,b) (термін «упорядкована» означає, що в записі комплексного числа важливий порядок чисел а та b: (a,b)≠(b,a )). При цьому перше число а називається дійсною частиною комплексного числа z та позначається a = Re z, а друге число b називається уявною частиною z: b = Im z.

Визначення 7.2. Два комплексні числа z 1 = (a 1 , b 1) і z 2 = (a 2 , b 2) рівні тоді і тільки тоді, коли у них рівні дійсні та уявні частини, тобто a 1 = a 2 , b 1 = b 2 .

Події над комплексними числами.

1. Сумоюкомплексних чисел z 1 =(a 1 , b 1) та z 2 =(a 2 , b 2 z =(a,b) таке, що a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2 .Властивості складання: а) z 1 + z 2 = z 2 + z 1; б) z 1 +(z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3; в) існує комплексне число 0 = (0,0): z + 0 =zдля будь-якого комплексного числа z.

2. Творомкомплексних чисел z 1 =(a 1 , b 1) та z 2 =(a 2 , b 2) називається комплексне число z =(a,b) таке, що a = a 1 a 2 – b 1 b 2 , b = a 1 b 2 + a 2 b 1 .Властивості множення: а) z 1 z 2 = z 2 z 1; б) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3, в) ( z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Зауваження. Підмножиною безлічі комплексних чисел є безліч дійсних чисел, що визначаються як комплексні числа виду ( а, 0). Можна переконатися, що визначення операцій над комплексними числами зберігає відомі правила відповідних операцій над дійсними числами. Крім того, дійсне число 1 = (1,0) зберігає свою властивість при множенні на будь-яке комплексне число: 1∙ z = z.

Визначення 7.3.Комплексне число (0, b) називається чисто уявним. Зокрема, число (0,1) називають уявною одиницеюта позначають символом i.

Властивості уявної одиниці:

1) i∙i=i² = -1; 2) чисто уявне число (0, b) можна представити як добуток дійсного числа ( b, 0) та i: (b, 0) = b∙i.

Отже, будь-яке комплексне число z = (a, b) можна подати у вигляді: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + ib.

Визначення 7.4. Запис виду z = a + ib називають формою алгебри запису комплексного числа.

Зауваження. Алгебраїчна запис комплексних чисел дозволяє виконувати операції над ними за звичайними правилами алгебри.

Визначення 7.5. Комплексне число називається комплексно сполученим числом z = a + ib.

3. Відніманнякомплексних чисел визначається як операція, зворотна до складання: z =(a,b) називається різницею комплексних чисел z 1 =(a 1 , b 1) та z 2 =(a 2 , b 2), якщо a = a 1 - a 2, b = b 1 - b 2 .

4. Поділкомплексних чисел визначається як операція, обернена до множення: число z = a + ibназивається приватним від розподілу z 1 = a 1 + ib 1і z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0), якщо z 1 = z z 2 .Отже, дійсну та уявну частини частки можна знайти з вирішення системи рівнянь: a 2 a – b 2 b = a 1, b 2 a + a 2 b = b 1 .

Геометрична інтерпретація комплексних чисел.

Комплексне число z =(a,b) можна подати у вигляді точки на площині з координатами ( a,b) або вектора з початком на початку координат і кінцем у точці ( a,b).

При цьому модуль отриманого вектора називається модулемкомплексного числа, а кут, утворений вектором з позитивним напрямом осі абсцис,- аргументомчисла. Враховуючи що a = ρ cos φ, b = ρ sin φ, де ρ = |z| - модуль z,а φ = arg z – його аргумент можна отримати ще одну форму запису комплексного числа:

Визначення 7.6.Запис виду

z = ρ(cos φ + i sin φ ) (7.1)

називається тригонометричною формоюзаписи комплексного числа.

У свою чергу, модуль та аргумент комплексного числа можна виразити через аі b: . Отже, аргумент комплексного числа визначений не однозначно, а з точністю до кратного, що додається, 2π.

Легко переконатися, що операція складання комплексних чисел відповідає операції складання векторів. Розглянемо геометричну інтерпретацію множення. Нехай тоді

Отже, модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку їх модулів, а аргумент – сумі їхніх аргументів. Відповідно, при розподілі модуль приватного дорівнює відношенню модулів дільника і дільника, а аргумент - різниці їх аргументів.

Приватним випадком операції множення є зведення у ступінь:

- формула Муавра.

Використовуючи отримані співвідношення, перерахуємо основні властивості комплексно сполучених чисел: