Як рухається тіло по колу. Рух тіла по колу з постійною за модулем швидкістю

Рівномірний рух по колу- Це найпростіший приклад. Наприклад, по колу рухається кінець стрілки годинника по циферблату. Швидкість руху тіла по колу зветься лінійна швидкість.

При рівномірному русі тіла по колу модуль швидкості тіла з часом не змінюється, тобто v = const, а змінюється лише напрямок вектора швидкості в цьому випадку відсутня (a r = 0), а зміна вектора швидкості за напрямом характеризується величиною, яка називається доцентрове прискорення() a n або а ЦС. У кожній точці вектор допоміжного прискорення направлений до центру кола по радіусу.

Модуль доцентрового прискорення дорівнює

a ЦС = v 2 / R

Де v – лінійна швидкість, R – радіус кола

Рис. 1.22. Рух тіла по колу.

Коли описується рух тіла по колу, використовується кут повороту радіусу- Кут φ, на який за час t повертається радіус, проведений з центру кола до точки, в якій в цей момент знаходиться тіло, що рухається. Кут повороту вимірюється у радіанах. дорівнює куту між двома радіусами кола, довжина дуги між якими дорівнює радіусу кола (рис. 1.23). Тобто якщо l = R, то

1 радіан = l / R

Так як довжина окружностідорівнює

l = 2πR

360 про = 2πR / R = 2π рад.

Отже

1 рад. = 57,2958 про = 57 про 18'

Кутова швидкістьрівномірного руху тіла по колу - це величина ω, що дорівнює відношенню кута повороту радіуса φ до проміжку часу, протягом якого скоєно цей поворот:

ω = φ / t

Одиниця вимірювання кутової швидкості – радіан за секунду [рад/с]. Модуль лінійної швидкості визначається ставленням довжини пройденого шляху l до проміжку часу t:

v=l/t

Лінійна швидкістьпри рівномірному русі по колу спрямована по дотичній у цій точці колу. При русі точки довжина l дуги кола, пройденої точкою, пов'язана з кутом повороту виразом φ

l = Rφ

де R – радіус кола.

Тоді у разі рівномірного руху точки лінійна та кутова швидкості пов'язані співвідношенням:

v = l / t = Rφ / t = Rω або v = Rω

Рис. 1.23. Радіан.

Період звернення- Це проміжок часу Т, протягом якого тіло (точка) здійснює один оборот по колу. Частота звернення– це величина, зворотна періоду звернення – число оборотів за одиницю часу (за секунду). Частота звернення позначається літерою n.

n = 1/T

За один період кут повороту φ точки дорівнює 2π радий, тому 2π = ωT, звідки

T = 2π/ω

Тобто кутова швидкість дорівнює

ω = 2π / T = 2πn

Центрошвидке прискоренняможна виразити через період Т та частоту звернення n:

a ЦС = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

Рух по колу – найпростіший випадок криволінійного руху тіла. Коли тіло рухається навколо деякої точки, поряд з вектором переміщення зручно ввести кутове переміщення ∆ φ (кут повороту щодо центру кола), яке вимірюється в радіанах.

Знаючи кутове переміщення, можна обчислити довжину дуги кола (шлях), що пройшло тіло.

∆ l = R ∆ φ

Якщо кут повороту малий, то ∆ l ≈ ∆ s .

Проілюструємо сказане:

Кутова швидкість

При криволінійному русі вводиться поняття кутової швидкості , тобто швидкості зміни кута повороту.

Визначення. Кутова швидкість

Кутова швидкість в даній точці траєкторії - межа відношення кутового переміщення φ до проміжку часу t , за яке воно відбулося. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Одиниця виміру кутової швидкості - радіан в секунду (ряд).

Існує зв'язок між кутовою та лінійною швидкостями тіла при русі по колу. Формула для знаходження кутової швидкості:

При рівномірному русі по колу, швидкості v і ω залишаються незмінними. Змінюється лише напрямок вектора лінійної швидкості.

При цьому рівномірний рух по колу на тіло діє доцентрове, або нормальне прискорення, спрямоване по радіусу кола до її центру.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль доцентрового прискорення можна обчислити за формулою:

a n = v 2 R = ω 2 R

Доведемо ці співвідношення.

Розглянемо, як змінюється вектор v → за проміжок часу ∆ t . ∆ v → = v B → - v A → .

У точках А і вектор швидкості спрямований по дотичній до кола, при цьому модулі швидкостей в обох точках однакові.

За визначенням прискорення:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Погляньмо на малюнок:

Трикутники OAB та BCD подібні. З цього випливає, що O A A B = B C C D .

Якщо значення кута ∆ φ мало, відстань A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Зважаючи на те, що O A = R і C D = ∆ v для розглянутих вище подібних трикутників отримаємо:

R v ∆ t = v ∆ v або ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , напрямок вектора ∆ v → = v B → - v A → наближається до напрямку до центру кола. Приймаючи, що ∆ t → 0 отримуємо:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t; ∆ t → 0; a n → = v 2 R .

При рівномірному русі колом модуль прискорення залишається постійним, а напрям вектора змінюється з часом, зберігаючи орієнтацію на центр кола. Саме тому це прискорення називається доцентровим: вектор у будь-який момент часу спрямований до центру кола.

Запис доцентрового прискорення у векторній формі виглядає наступним чином:

a n → = - ω 2 R → .

Тут R → - радіус векторної точки на колі з початком в її центрі.

У загальному випадку прискорення при русі по колу складається з двох компонентів - нормальне і тангенціальне.

Розглянемо випадок, коли тіло рухається по колу нерівномірно. Введемо поняття тангенціального (дотикового) прискорення. Його напрямок збігається з напрямком лінійної швидкості тіла і в кожній точці кола спрямований по дотичній до неї.

a τ = ∆ v τ ∆ t; ∆ t → 0

Тут ∆ v τ = v 2 - v 1 - зміна модуля швидкості за проміжок ∆ t

Напрямок повного прискорення визначається векторною сумою нормального та тангенційного прискорень.

Рух по колу у площині можна описувати за допомогою двох координат: x та y. У кожний момент часу швидкість тіла можна розкласти на складові v x і v y.

Якщо рух рівномірний, величини v x і v y а також відповідні координати будуть змінюватися в часі за гармонічним законом із періодом T = 2 π R v = 2 π ω

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

1. Досить часто можна спостерігати такий рух тіла, у якому його траєкторією є коло. По колу рухається, наприклад, точка обода колеса при його обертанні, точки деталей верстатів, що обертаються, кінець стрілки годинника, дитина, що сидить на якій-небудь фігурі обертаються каруселів.

При русі по колу може змінюватися як напрям швидкості тіла, а й її модуль. Можливий рух, при якому змінюється тільки напрямок швидкості, а її модуль залишається постійним. Такий рух називають рівномірним рухом тіла по колу. Введемо показники цього руху.

2. Рух тіла по колу повторюється через певні проміжки часу, що рівні періоду звернення.

Періодом звернення називають час, протягом якого тіло здійснює повний оборот.

Період звернення позначають буквою T. За одиницю періоду звернення до СІ прийнято секунда (1 с).

Якщо за час tтіло зробило Nповних оборотів, то період звернення дорівнює:

T = .

Частотою звернення називають число повних обертів тіла за секунду.

Частоту звернення позначають буквою n.

n = .

За одиницю частоти звернення до СІ прийнято секунда в мінус першого ступеня (1 с-1).

Частота та період звернення пов'язані наступним чином:

3. Розглянемо величину, що характеризує положення тіла на колі. Нехай у початковий момент часу тіло знаходилося у точці A, а за час tвоно перемістилося в крапку B(Рис. 38).

Проведемо радіус-вектор із центру кола в крапку Aі радіус-вектор з центру кола в крапку B. При русі тіла по колу радіус-вектор повернеться за час tна кут j. Знаючи кут повороту радіуса-вектора, можна визначити положення тіла на колі.

Одиниця кута повороту радіуса-вектора в СІ - радіан (1 радий).

При тому самому куті повороту радіуса-вектора точки Aі B, що знаходяться на різних відстанях від його центру диска, що рівномірно обертається (рис. 39), пройдуть різні шляхи.

4. При русі тіла по колу миттєву швидкість називають лінійною швидкістю.

Лінійна швидкість тіла, що рівномірно рухається по колу, залишаючись постійною по модулю, змінюється у напрямку і в будь-якій точці спрямована по дотичній до траєкторії.

Модуль лінійної швидкості можна визначити за такою формулою:

v = .

Нехай тіло, рухаючись по колу радіусом R, Зробило один повний оборот, Тоді пройдений ним шлях дорівнює довжині кола: l= 2p R, а час дорівнює періоду звернення T. Отже, лінійна швидкість тіла:

Оскільки T= , то можна записати

v= 2p Rn.

Швидкість обігу тіла характеризують кутовий швидкістю.

Кутовою швидкістю називають фізичну величину, що дорівнює відношенню кута повороту радіуса-вектора до проміжку часу, за який цей поворот відбувся.

Кутова швидкість позначається буквою w.

За одиницю кутової швидкості СІ приймають радіан за секунду (1 рад/с):

[w] == 1 рад/с.

За час, що дорівнює періоду звернення T, Тіло здійснює повний оборот і кут повороту радіуса-вектора j = 2p. Тому кутова швидкість тіла:

w = або w = 2p n.

Лінійна та кутова швидкості пов'язані один з одним. Запишемо відношення лінійної швидкості до кутової:

== R.

Таким чином,

При однаковій кутовій швидкості точок Aі B, розташованих на диску, що рівномірно обертається (див. рис. 39), лінійна швидкість точки Aбільше лінійної швидкості точки B: v A > v B.

5. При рівномірному русі тіла по колу модуль його лінійної швидкості залишається постійним, а напрямок швидкості змінюється. Оскільки швидкість - величина векторна, зміна напрямку швидкості означає, що тіло рухається по колу з прискоренням.

З'ясуємо, як спрямовано і чому це прискорення.

Нагадаємо, що прискорення тіла визначається за такою формулою:

a == ,

де D v- Вектор зміни швидкості тіла.

Напрямок вектору прискорення aзбігається з напрямком вектора D v.

Нехай тіло, що рухається по колу радіусом R, за малий проміжок часу tперемістилося з точки Aв точку B(Рис. 40). Щоб знайти зміну швидкості тіла D v, в точку Aперенесемо паралельно самому собі вектор vі віднімемо з нього v 0 , що рівноцінно додавання вектора vз вектором – v 0 . Вектор спрямований від v 0 до v, і є вектор D v.

Розглянемо трикутники AOBі ACD. Обидва вони рівнобедрені ( AO = OBі AC = AD,оскільки v 0 = v) і мають рівні кути: _ AOB = _CAD(як кути із взаємно перпендикулярними сторонами: AO B v 0 , OB B v). Отже, ці трикутники подібні і можна записати відношення відповідних сторін: = .

Оскільки точки Aі Bрозташовані близько один до одного, то хорда ABмала та її можна замінити дугою. Довжина дуги-шлях, пройдений тілом за час tз постійною швидкістю v: AB = vt.

Крім того, AO = R, DC= D v, AD = v. Отже,

= ;= ;= a.

Звідки прискорення тіла

З малюнка 40 видно, що менше хорда AB, тим точніше напрямок вектора D vзбігається з радіусом кола. Отже, вектор зміни швидкості D vта вектор прискорення aспрямовані по радіусу до центру кола. Тому прискорення при рівномірному русі тіла по колу називають доцентровим.

Таким чином,

при рівномірному русі тіла по колу його прискорення постійно за модулем і в будь-якій точці направлено по радіусу кола до її центру.

Враховуючи що v= w R, можна записати іншу формулу доцентрового прискорення:

6. Приклад розв'язання задачі

Частота обігу каруселі 0,05 с-1. Людина, яка обертається на каруселі, знаходиться на відстані 4 м від осі обертання. Визначте відцентрове прискорення людини, період обертання та кутову швидкість каруселі.

a= 4 (3,14) 2 (0,05с-1) 2 4 м 0,4 м / с 2;

T== 20;

w = 2 3,14 0,05 с – 1 0,3 рад/с.

Відповідь: a 0,4 м/с 2; T= 20; w 0,3 рад/с.

Запитання для самоперевірки

1. Який рух називають рівномірним рухом по колу?

2. Що називають періодом звернення?

3. Що називають частотою обігу? Як пов'язані між собою період та частота звернення?

4. Що називають лінійною швидкістю? Як вона спрямована?

5. Що називають кутовою швидкістю? Що є одиницею кутової швидкості?

6. Як пов'язані кутова та лінійна швидкості руху тіла?

7. Як спрямоване доцентрове прискорення? За якою формулою воно розраховується?

Завдання 9

1. Чому дорівнює лінійна швидкість точки обода колеса, якщо радіус колеса 30 см і один оберт вона здійснює за 2 с? Чому дорівнює кутова швидкість колеса?

2. Швидкість автомобіля 72 км/год. Які кутова швидкість, частота та період обігу колеса автомобіля, якщо діаметр колеса70 см? Скільки обертів зробить колесо за 10 хв?

3. Чому дорівнює шлях, пройдений кінцем хвилинної стрілки будильника за 10 хв, якщо її довжина 2,4 см?

4. Яке доцентрове прискорення точки обода колеса автомобіля, якщо діаметр колеса 70 см? Швидкість автомобіля 54 км/год.

5. Крапка обода колеса велосипеда здійснює один оборот за 2 с. Радіус колеса 35 см. Чому дорівнює доцентрове прискорення точки обода колеса?

ФІЗИЧНІ ВЕЛИЧИНИ, ХАРАКТЕРИЗУЮЧІ РУХ ТІЛА ПО ОКРУЖНОСТІ.

1.ПЕРІОД (Т)-проміжок часу, протягом якого тіло здійснює один повний оборот.

, де t-час, протягом якого скоєно N оборотів.

2. ЧАСТОТА ()- Число оборотів N, що здійснюються тілом за одиницю часу.

(Герц)

3. ЗВ'ЯЗОК ПЕРІОДУ І ЧАСТОТИ:

4. ПЕРЕМІЩЕННЯ () спрямоване хордами.

5. Кутове переміщення (кут повороту).

РІВНОМІРНИЙ РУХ ПО ОКРУЖНОСТІ - це такий рух при якому модуль швидкості не змінюється.

6. ЛІНІЙНА ШВИДКІСТЬ (спрямована по дотичній до кола.

7. Кутова швидкість

8. ЗВ'ЯЗОК ЛІНІЙНОЇ ТА КУТОВОЇ ШВИДКОСТІ

Кутова швидкість не залежить від радіусу кола, по якому рухається тіло. Якщо в задачі розглядається рух точок, розташованих на одному диску, але на різній відстані від його центру, то треба мати на увазі, що кутова швидкість цих крапок однакова.

9. ЦЕНТРОЗБАЧАЛЬНЕ (нормальне) ПРИСКОРІННЯ ().

Так як при русі по колу постійно змінюється напрямок вектора швидкості, то рух по колу відбувається з прискоренням. Якщо тіло рухається по колу рівномірно, воно має тільки доцентровим (нормальним) прискоренням, яке спрямоване по радіусу до центру окружності. Прискорення називається нормальним, оскільки у цій точці вектор прискорення розташований перпендикулярно (нормально) до вектора лінійної швидкості. .

Якщо тіло рухається по колу з швидкістю, що змінюється по модулю, то поряд з нормальним прискоренням, що характеризує зміну швидкості в напрямку, з'являється ТАНГЕНЦІЙНЕ ПРИСКОРЕННЯ, що характеризує зміну швидкості по модулю (). Направлено тангенціальне прискорення щодо дотичного до кола. Повне прискорення тіла при нерівномірному русі по колу визначиться за теоремою Піфагора:

ВІДНОСНІСТЬ МЕХАНІЧНОГО РУХУ

При розгляді руху тіла щодо різних систем відліку траєкторія, шлях, швидкість, переміщення виявляються різними. Наприклад, людина сидить у автобусі, що рухається. Його траєкторія щодо автобуса - точка, а щодо Сонця - дуга кола, шлях, швидкість, переміщення щодо автобуса дорівнюють нулю, а щодо Землі відмінні від нуля. Якщо розглядається рух тіла щодо рухомої та нерухомої систем відліку, то відповідно до класичного закону складання швидкостей швидкість тіла щодо нерухомої системи відліку дорівнює векторній сумі швидкості тіла щодо рухомої системи відліку та швидкості рухомої системи відліку щодо нерухомої :

Аналогічно

ПРИВАТНІ ВИПАДКИ ВИКОРИСТАННЯ ЗАКОНУ ДОДАТКУ ШВИДКОСТЕЙ

1) Рух тіл щодо Землі

б) тіла рухаються назустріч одне одному

2) Рух тіл щодо один одного

а) тіла рухаються в одному напрямку

б) тіла рухаються у різних напрямках (назустріч одне одному)

3) Швидкість тіла щодо берега під час руху

а) за течією

б) проти течії, де - швидкість тіла щодо води, - швидкість течії.

4) Швидкості тіл спрямовані під кутом одна до одної.

Наприклад: а) тіло перепливає річку, рухаючись перпендикулярно до течії

б) тіло перепливає річку, рухаючись перпендикулярно до берега

в) тіло одночасно бере участь у поступальному і обертальному русі, наприклад, колесо автомобіля, що рухається. Кожна точка тіла має швидкість поступального руху, спрямовану у бік руху тіла і швидкість обертального руху, спрямовану по дотичній до кола. Причому Щоб знайти швидкість будь-якої точки щодо Землі необхідно векторно скласти швидкість поступального і обертального руху:

ДИНАМІКА

ЗАКОНИ НЬЮТОНА

ПЕРШИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА (ЗАКОН ІНЕРЦІЇ)

Існують такі системи відліку, щодо яких тіло перебуває у спокої або рухається прямолінійно та рівномірно, якщо на нього не діють інші тіла або дії тіл компенсуються (урівноважуються).

Явище збереження швидкості тала за відсутності на нього інших тіл чи компенсації дії інших тіл називається інерцією.

Системи відліку, у яких виконуються закони Ньютона, називаються інерційними системами відліку (ІСО). До ІСО відносяться системи відліку пов'язані із Землею або не мають прискорення щодо Землі. Системи відліку, які з прискоренням щодо Землі, є неінерційними, у яких закони Ньютона не виконуються. Згідно з класичним принципом відносності Галілея всі ІСО рівноправні, закони механіки мають однакову форму у всіх ІСО, всі механічні процеси протікають однаково у всіх ІСО (ніякими механічними дослідами, проведеними всередині ІСО, не можна визначити перебуває вона у спокої або рухається прямолінійно і рівномірно).

ДРУГИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

Швидкість тіла змінюється при дії тіла сили. Будь-яке тіло має властивість інертності. . Інертність –ця властивість тіл, яка полягає в тому, що для зміни швидкості тіла потрібен час, швидкість тіла миттєво змінитися не може. Те тіло, яке більше змінює свою швидкість за дії однакової сили, є менш інертним. Мірою інертності служить маса тіла.

Прискорення тіла прямо пропорційно чинної на нього силі і обернено пропорційно масі тіла.

Сила та прискорення завжди співспрямовані. Якщо на тіло діють кілька сил, то прискорення тілу повідомляє рівнодіючацих сил (), яка дорівнює векторній сумі всіх сил, що діють на тіло:

Якщо тіло здійснює рівноприскорений рух, то на нього діє постійна сила.

ТРЕТІЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

Сили виникають при взаємодії тіл.

Тіла діють один на одного з силами, спрямованими вздовж однієї прямої, рівними за модулем і протилежними у напрямку.

Особливості сил, що виникають при взаємодії:

1. Сили завжди виникають парами.

2 Сили, що виникають під час взаємодії, мають одну природу.

3.Сили, що не мають рівнодіючої, тому що прикладені до різних тіл.

СИЛИ У МЕХАНІЦІ

СИЛА ВСЕМИРНОГО ТЯГНЕННЯ-сила, з якою притягуються всі тіла у Всесвіті.

ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГНЕННЯ: тіла притягуються один до одного з силами прямо пропорційними добутку їх мас і обернено пропорційними квадрату відстані між ними.

(Формулою можна користуватися для розрахунку тяжіння точкових тіл і куль), де G-гравітаційна постійна (постійна всесвітнього тяжіння), G=6,67·10 -11 ,-маси тіл, R-відстань між тілами, вимірюється між центрами тіл.

СИЛА ТЯЖКОСТІ – сила тяжіння тіл до планети. Сила тяжкості обчислюється за формулами:

1) , де - Маса планети, - Маса тіла, - Відстань між центром планети і тілом.

2) , де - прискорення вільного падіння,

Сила тяжіння завжди спрямована до центру тяжкості планети.

Радіус орбіти штучного супутника, радіус планети, висота супутника над поверхнею планети,

Тіло стає штучним супутником, якщо йому у горизонтальному напрямку повідомити необхідну швидкість. Швидкість, необхідна для того, щоб тіло рухалося круговою орбітою навколо планети, називається першою космічною швидкістю. Щоб отримати формулу для обчислення першої космічної швидкості, необхідно пам'ятати, що всі космічні тіла, у тому числі й штучні супутники, рухаються під дією сили всесвітнього тяжіння, крім того, швидкість – величина кінематична, «містком» у кінематику може бути формула, наступна з другого закону Ньютона Прирівнюючи праві частини формул, отримуємо: або Враховуючи, що тіло рухається по колу і тому має доцентрове прискорення , отримуємо: або . Звідси - формула для обчислення першої космічної швидкості. Враховуючи, що формулу для розрахунку першої космічної швидкості можна записати у вигляді: . Аналогічно, використовуючи другий закон Ньютона та формули криволінійного руху, можна визначити, наприклад, період обігу тіла по орбіті.

СИЛА ПРУЖНОСТІ – сила, що діє з боку деформованого тіла та спрямована у бік, протилежний зсуву частинок при деформації. Силу пружності можна обчислити за допомогою закону Гука: сила пружності прямо пропорційна подовженню:де - подовження,

Жорсткість, . Жорсткість залежить від матеріалу тіла, його форми та розмірів.

З'ЄДНАННЯ ПРУЖИН

Закон Гука виконується лише за пружних деформацій тіл. Пружними називаються деформації, при яких після припинення дії сили тіло набуває колишніх форм і розмірів.