Як із великої матриці відняти. Дії з матрицями

1-й курс, вища математика, вивчаємо матриціта основні дії над ними. Тут ми систематизуємо основні операції, які можна проводити із матрицями. З чого почати знайомство із матрицями? Звичайно, з найпростішого – визначень, основних понять та найпростіших операцій. Запевняємо, матриці зрозуміють усі, хто приділить їм хоч трохи часу!

Визначення матриці

Матриця- Це прямокутна таблиця елементів. Ну а якщо простою мовою – таблиця чисел.

Зазвичай матриці позначаються великими латинськими літерами. Наприклад, матриця A , матриця B і так далі. Матриці можуть бути різного розміру: прямокутні, квадратні, також є матриці-рядки та матриці-стовпці, які називають векторами. Розмір матриці визначається кількістю рядків та стовпців. Наприклад, запишемо прямокутну матрицю розміру m на n , де m – кількість рядків, а n - Кількість стовпців.

Елементи, для яких i=j (a11, a22, .. ) утворюють головну діагональ матриці, і називаються діагональними.

Що можна робити із матрицями? Складати/віднімати, множити на число, множити між собою, транспонувати. Тепер про всі ці основні операції над матрицями по порядку.

Операції складання та віднімання матриць

Відразу попередимо, що можна складати лише матриці однакового розміру. В результаті вийде матриця того самого розміру. Складати (або віднімати) матриці просто – достатньо лише скласти їх відповідні елементи . Наведемо приклад. Виконаємо складання двох матриць A і розміром два на два.

Віднімання виконується за аналогією, тільки з протилежним знаком.

На довільне число можна помножити будь-яку матрицю. Щоб зробити це, потрібно помножити на це число кожен її елемент. Наприклад, помножимо матрицю A з першого прикладу на число 5:

Операція множення матриць

Перемножити між собою вдасться в повному обсязі матриці. Наприклад, у нас є дві матриці - A і B. Їх можна помножити одна на одну тільки в тому випадку, якщо число стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В. При цьому кожен елемент матриці, що стоїть в i-му рядку і j-му стовпці, буде дорівнює сумі творів відповідних елементів в i-му рядку першого множника і j-му стовпці другого. Щоб зрозуміти цей алгоритм, запишемо, як множаться дві квадратні матриці:

І приклад із реальними числами. Помножимо матриці:

Операція транспонування матриці

Транспонування матриці – це операція, коли відповідні рядки та стовпці змінюються місцями. Наприклад, транспонуємо матрицю A з першого прикладу:

Визначник матриці

Визначник, про детермінант – одне з основних понять лінійної алгебри. Колись люди вигадали лінійні рівняння, а за ними довелося вигадати і визначник. У результаті, розбиратися з усім цим доведеться вам, так що останній ривок!

Визначник – це чисельна характеристика квадратної матриці, яка потрібна на вирішення багатьох завдань.
Щоб порахувати визначник найпростішої квадратної матриці, потрібно обчислити різницю творів елементів головної та побічної діагоналей.

Визначник матриці першого порядку, тобто що складається з одного елемента, дорівнює цьому елементу.

А якщо матриця три на три? Тут уже складніше, але можна впоратися.

Для такої матриці значення визначника дорівнює сумі творів елементів головної діагоналі і творів елементів, що лежать на трикутниках з гранню паралельної головної діагоналі, від якої віднімається добуток елементів побічної діагоналі і добуток елементів, що лежать на трикутниках з гранню паралельної побічної діагоналі.

На щастя, обчислювати визначники матриць великих розмірів практично доводиться рідко.

Тут ми розглянули основні операції з матрицями. Звичайно, в реальному житті можна жодного разу так і не зустріти навіть натяку на матричну систему рівнянь або навпаки - зіткнутися з набагато складнішими випадками, коли доведеться дійсно поламати голову. Саме для таких випадків і існує професійний студентський сервіс. Звертайтеся за допомогою, отримуйте якісне та докладне рішення, насолоджуйтесь успіхами у навчанні та вільним часом.

У цій темі будуть розглянуті такі операції, як додавання та віднімання матриць, множення матриці на число, множення матриці на матрицю, транспонування матриці. Усі позначення, що використовуються на цій сторінці, взяті з попередньої теми .

Складання та віднімання матриць.

Сумою $A+B$ матриць $A_(m\times n)=(a_(ij))$ і $B_(m\times n)=(b_(ij))$ називається матриця $C_(m\times n) =(c_(ij))$, де $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n) $.

Аналогічне визначення вводять і для різниці матриць:

Різницею $A-B$ матриць $A_(m\times n)=(a_(ij))$ і $B_(m\times n)=(b_(ij))$ називається матриця $C_(m\times n)=( c_(ij))$, де $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n)$.

Пояснення до запису $i=\overline(1,m)$: показати\приховати

Запис "$i=\overline(1,m)$" означає, що параметр $i$ змінюється від 1 до m. Наприклад, запис $i=\overline(1,5)$ говорить про те, що параметр $i$ приймає значення 1, 2, 3, 4, 5.

Варто звернути увагу, що операції додавання та віднімання визначені тільки для матриць однакового розміру. Взагалі, додавання і віднімання матриць - операції, ясні інтуїтивно, бо означають вони, по суті, лише підсумовування або віднімання відповідних елементів.

Приклад №1

Задано три матриці:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \-5 & 4 \end(array) \right). $$

Чи можна знайти матрицю $A+F$? Знайти матриці $C$ і $D$, якщо $C=A+B$ і $D=A-B$.

Матриця $A$ містить 2 рядки та 3 стовпці (іншими словами - розмір матриці $A$ дорівнює $2\times 3$), а матриця $F$ містить 2 рядки та 2 стовпці. Розміри матриці $A$ і $F$ не збігаються, тому скласти їх ми можемо, тобто. операцію $A+F$ для даних матриць не визначено.

Розміри матриць $A$ і $B$ збігаються, тобто. дані матриці містять рівну кількість рядків і стовпців, тому до них застосовується операція додавання.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Знайдемо матрицю $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Відповідь: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Множення матриці на число.

Добутком матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ на число $\alpha$ називається матриця $B_(m\times n)=(b_(ij))$, де $b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n)$.

Простіше кажучи, помножити матрицю на деяке число - означає помножити кожен елемент заданої матриці на це число.

Приклад №2

Задано матрицю: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Знайти матриці $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ і $ - A $.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

Запис $-A$ є скороченим записом для $-1\cdot A$. Тобто, щоб знайти $-A$ потрібно всі елементи матриці $A$ помножити на (-1). По суті це означає, що знак всіх елементів матриці $A$ зміниться на протилежний:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Відповідь: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Добуток двох матриць.

Визначення цієї операції є громіздким і, на перший погляд, незрозумілим. Тому спочатку вкажу загальне визначення, а потім докладно розберемо, що воно означає і як із ним працювати.

Добутком матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ на матрицю $B_(n\times k)=(b_(ij))$ називається матриця $C_(m\times k)=(c_( ij))$, для якої кожен елемент $c_(ij)$ дорівнює сумі творів відповідних елементів i-го рядка матриці $A$ на елементи j-го стовпця матриці $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Покроково множення матриць розберемо з прикладу. Однак відразу варто звернути увагу, що перемножувати можна не всі матриці. Якщо ми хочемо помножити матрицю $A$ на матрицю $B$, то спочатку потрібно переконатися, що кількість стовпців матриці $A$ дорівнює кількості рядків матриці $B$ (такі матриці часто називають узгодженими). Наприклад, матрицю $A_(5\times 4)$ (матриця містить 5 рядків і 4 стовпці), не можна множити на матрицю $F_(9\times 8)$ (9 рядків і 8 стовпців), оскільки кількість стовпців матриці $A $ не дорівнює кількості рядків матриці $ F $, тобто. $4\neq 9$. А ось помножити матрицю $A_(5\times 4)$ на матрицю $B_(4\times 9)$ можна, оскільки кількість стовпців матриці $A$ дорівнює кількості рядків матриці $B$. При цьому результатом множення матриць $A_(5\times 4)$ і $B_(4\times 9)$ буде матриця $C_(5\times 9)$, що містить 5 рядків і 9 стовпців:

Приклад №3

Задано матриці: $ A = \ left ( \ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \right)$ і $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Знайти матрицю $ C = A \ cdot B $.

Спочатку визначимо розмір матриці $C$. Оскільки матриця $A$ має розмір $3\times 4$, а матриця $B$ має розмір $4\times 2$, то розмір матриці $C$ такий: $3\times 2$:

Отже, в результаті добутку матриць $A$ і $B$ ми повинні отримати матрицю $C$, що складається з трьох рядків та двох стовпців: $ C = \ left ( \ begin (array) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \c_(21) & c_(22) \c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Якщо позначення елементів викликають питання, можна глянути попередню тему: " Матриці. Види матриць. Основні терміни " , на початку якої пояснюється позначення елементів матриці. Наша мета – знайти значення всіх елементів матриці $C$.

Почнемо з елемента $c_(11)$. Щоб отримати елемент $c_(11)$ потрібно знайти суму творів елементів першого рядка матриці $A$ і першого стовпця матриці $B$:

Щоб знайти елемент $c_(11)$ потрібно перемножити елементи першого рядка матриці $A$ на відповідні елементи першого стовпця матриці $B$, тобто. перший елемент перший, другий другий, третій третій, четвертий четвертий. Отримані результати підсумовуємо:

$$ c_(11)=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $$

Продовжимо рішення та знайдемо $c_(12)$. Для цього доведеться перемножити елементи першого рядка матриці $A$ і другого шпальти матриці $B$:

Аналогічно попередньому, маємо:

$$ c_(12)=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $$

Усі елементи першого рядка матриці $C$ знайдено. Переходимо до другого рядка, який починає елемент $c_(21)$. Щоб його знайти, доведеться перемножити елементи другого рядка матриці $A$ і першого стовпця матриці $B$:

$$ c_(21)=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23. $$

Наступний елемент $c_(22)$ знаходимо, перемножуючи елементи другого рядка матриці $A$ на відповідні елементи другого стовпця матриці $B$:

$$ c_(22)=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $$

Щоб знайти $c_(31)$ перемножимо елементи третього рядка матриці $A$ на елементи першого стовпця матриці $B$:

$$ c_(31)=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8. $$

І, нарешті, знаходження елемента $c_(32)$ доведеться перемножити елементи третього рядка матриці $A$ на відповідні елементи другого стовпця матриці $B$:

$$ c_(32)=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $$

Всі елементи матриці $C$ знайдені, залишилося лише записати, що $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \- -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$ . Або, якщо вже писати повністю:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Відповідь: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

До речі, часто немає сенсу докладно розписувати знаходження кожного елемента матриці-результату. Для матриць, розмір яких невеликий, можна надходити і так:

Варто звернути увагу, що множення матриць некоммутативно. Це означає, що в загальному випадку $A\cdot B\neq B\cdot A$. Лише для деяких типів матриць, які називають перестановочними(або комутуючими), вірна рівність $A cdot B = B cdot A $. Саме з некоммутативности множення, потрібно вказувати як ми домножуємо вираз ту чи іншу матрицю: справа чи зліва. Наприклад, фраза "домножимо обидві частини рівності $3E-F=Y$ на матрицю $A$ праворуч" означає, що потрібно отримати таку рівність: $(3E-F)\dot A=Y\cdot A$.

Транспонованою по відношенню до матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ називається матриця $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, для елементів якої $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Простіше кажучи, для того, щоб отримати транспоновану матрицю $A^T$, потрібно у вихідній матриці $A$ замінити стовпці відповідними рядками за таким принципом: був перший рядок - стане перший стовпець; був другий рядок - стане другий стовпець; був третій рядок - стане третій стовпець і таке інше. Наприклад, знайдемо транспоновану матрицю до матриці $A_(3\times 5)$:

Відповідно, якщо вихідна матриця мала розмір $3\times 5$, транспонована матриця має розмір $5\times 3$.

Деякі характеристики операцій над матрицями.

Тут передбачається, що $ alpha $, $ beta $ - деякі числа, а $ A $, $ B $, $ C $ - матриці. Для перших чотирьох властивостей я вказав назви, решту можна назвати за аналогією з першими чотирма.

1. $A+B=B+A$ (комутативність додавання)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (асоціативність додавання)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (дистрибутивність множення на матрицю щодо складання чисел)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (дистрибутивність множення на число щодо складання матриць)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\dot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, де $E$ - одинична матриця відповідного порядку.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, де $O$ - нульова матриця відповідного розміру.
10. $\left(A^T \right)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

У наступній частині буде розглянуто операцію зведення матриці в цілий невід'ємний ступінь, а також вирішено приклади, в яких потрібно виконання декількох операцій над матрицями.

Слід зазначити, що цієї операції піддаються лише матриці однакового розміру. При додаванні двох матриць попарно підсумовуються всі їх елементи, а при відніманні ми, відповідно, маємо справу з їхньою попарною різницею. Отримавши детальне та покрокове рішення, ви зможете краще розібратися з процесом знаходження суми та різниці матриць.

Отже, перед вами дві матриці, і вам необхідно дізнатися їх суму, або різницю. І те, й інше ви зможете легко та оперативно зробити, якщо скористаєтеся нашим онлайн калькулятором. Він буде вам дуже корисний, якщо ви хочете розібратися в алгоритмі даних операцій. Теорія не завжди здатна дати чітку відповідь на всі питання, куди краще із цим завданням справляються практичні розрахунки. Використовуючи онлайн калькулятор, ви отримаєте докладну схему, за якою відбувається віднімання або складання матриць. До того ж, ви можете спочатку спробувати прорахувати все самостійно, а потім перевіряти ще раз тут.

Даний онлайн калькулятор має дуже просту інструкцію. Вказати розміри кожної з матриць ви зможете, натискаючи на іконки "+" або "-" зліва від матриць та під ними. Далі вам потрібно буде ввести всі елементи. І потім, натиснувши кнопку «Обчислити», ви зможете швидко отримати потрібне значення разом із розгорнутим алгоритмом обчислень.

Додавання матриць:

Віднімання та складання матрицьзводиться до відповідних операцій над їх елементами. Операція складання матрицьвводиться тільки для матрицьоднакового розміру, тобто для матриць, у яких число рядків та стовпців відповідно дорівнює. Сумою матрицьА і В, називається матрицяС, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів. З = А + У c ij = a ij + b ij Аналогічно визначається різницю матриць.

Розмноження матриці на число:

Операція множення (поділу) матрицібудь-якого розміру на довільне число зводиться до множення (поділу) кожного елемента матриціцього числа. Добутком матриціА на число k називається матрицяВ, така що

b ij = k × a ij. В = k × A b ij = k × a ij. Матриця- А = (-1) × А називається протилежною матриціА.

Властивості складання матриць та множення матриці на число:

Операції складання матрицьі множення матриціна число мають такі властивості: 1. А + В = В + А; 2. А+(В+С) = (А+В)+С; 3. А + 0 = А; 4. А – А = 0; 5. 1 × А = А; 6. α × (А + В) = αА + αВ; 7. (α + β) × А = αА + βА; 8. α × (βА) = (αβ) × А; де А, В і С - матриці, α і β - числа.

Множення матриць (Виробництво матриць):

Операція множення двох матрицьвводиться лише для випадку, коли число стовпців першої матрицідорівнює числу рядків другий матриці. Добутком матриціА m×n на матрицюУ n×p називається матрицяЗ m×p така, що з ik = a i1 ? матриціА на відповідні елементи j - ого стовпця матриціВ. Якщо матриціА і В квадратні одного розміру, то твори АВ та ВА завжди існують. Легко показати, що А × Е = Е × А = А де А квадратна матриця, Е - одинична матрицятого ж розміру.

Властивості множення матриць:

Розмноження матрицьне комутативно, тобто. АВ ≠ ВА навіть якщо визначено обидва твори. Однак, якщо для яких-небудь матрицьспіввідношення АВ = ВА виконується, то такі матриціназиваються перестановочними. Найхарактернішим прикладом може бути одинична матриця, яка є перестановною з будь-якої іншої матрицеютого ж розміру. Перестановочними можуть бути лише квадратні матриціодного й того самого порядку. А × Е = Е × А = А

Розмноження матрицьмає такі властивості: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + З) = АВ + АС; 3. (А + В) С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0; 6. (АВ) Т = В Т А Т; 7. (АВС) Т = С Т В Т А Т; 8. (А + В) Т = А Т + В Т;

2. Визначники 2-го та 3-го порядків. Властивості визначників.

Визначником матрицідругого порядку, або визначникомдругого порядку називається число, яке обчислюється за формулою:

Визначником матрицітретього порядку, або визначникомтретього порядку називається число, яке обчислюється за формулою:

Це число представляє суму алгебри, що складається з шести доданків. У кожен доданок входить рівно по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця матриці. Кожен доданок складається з твору трьох співмножників.

Знаки, з якими члени визначника матрицівходять до формули знаходження визначника матриціТретого порядку можна визначити, користуючись наведеною схемою, яка називається правилом трикутників або правилом Саррус. Перші три доданки беруться зі знаком плюс і визначаються з лівого малюнка, а наступні три доданки беруться зі знаком мінус і визначаються з правого малюнка.

Визначити кількість доданків для знаходження визначника матриці, в сумі алгебри, можна обчисливши факторіал: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Властивості визначників матриць

Властивості визначників матриць:

Властивість №1:

Визначник матриціне зміниться, якщо його рядки замінити стовпцями, причому кожен рядок стовпцем з тим самим номером, і навпаки (Транспонування). |А| = | А | Т

Наслідок:

Стовпці та рядки визначника матрицірівноправні, отже, властивості властиві рядкам виконуються й у стовпців.

Властивість №2:

При перестановці 2-х рядків або стовпців визначник матрицізмінить знак на протилежний, зберігаючи абсолютну величину, тобто:

Властивість №3:

Визначник матриці, Що має два однакові ряди, дорівнює нулю.

Властивість №4:

Загальний множник елементів якогось ряду визначника матриціможна винести за знак визначника.

Наслідки з властивостей №3 та №4:

Якщо всі елементи деякого ряду (рядки або стовпця) пропорційні відповідним елементам паралельного ряду, то такий визначник матрицідорівнює нулю.

Властивість № 5:

визначника матрицірівні нулю, то сам визначник матрицідорівнює нулю.

Властивість №6:

Якщо всі елементи якогось рядка або стовпця визначникапредставлені у вигляді суми 2-х доданків, то визначник матриціможна подати у вигляді суми 2-х визначниківза формулою:

Властивість № 7:

Якщо до якогось рядка (або стовпця) визначникадодати відповідні елементи іншого рядка (або стовпця), помножені на те саме число, то визначник матриціне змінить своєї величини.

Приклад застосування властивостей для обчислення визначника матриці:

Інструкція. Для онлайн рішення необхідно задати матричний вираз. На другому етапі потрібно буде уточнити розмірність матриць.

Допустимі операції: множення (*), додавання (+), віднімання (-), зворотна матриця A^(-1), зведення в ступінь (A^2, B^3), транспонування матриці (A^T).
Для виконання списку операцій використовуйте роздільник крапка з комою (;). Наприклад, для виконання трьох операцій:
а) 3А+4В
б) АВ-ВА
в) (А-В) -1
необхідно буде записати так: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Матриця - прямокутна числова таблиця, що має m рядків та n стовпців, тому схематично матрицю можна зображати у вигляді прямокутника.
Нульовою матрицею (нуль-матрицею)називають матрицю, всі елементи якої дорівнюють нулю та позначають 0.
Поодинокою матрицеюназивається квадратна матриця виду

Визначимо основні операції над матрицями.

Додавання матриць

Приклад 6 . .
Операція складання матриць поширюється у разі будь-якого числа доданків. Вочевидь, що A+0=A .
Ще раз підкреслимо, що складати можна лише матриці однакового розміру; для матриць різних розмірів операція додавання не визначена.

Віднімання матриць

Розмноження матриць

Приклад 7 . Дано матриці і . Знайти матриці C = A B і D = B A.
Рішення. Насамперед зауважимо, що добуток A·B існує, оскільки число стовпців A дорівнює числу рядків B.

Приклад 8 . Дано матрицю . Знайти 3A 2 – 2A.
Рішення.

.
; .
.
Зазначимо такий цікавий факт.
Як відомо, добуток двох відмінних від нуля чисел не дорівнює нулю. Для матриць подібна обставина може і не мати місця, тобто добуток ненульових матриць може виявитися рівним нуль-матриці.