Як накреслити 10 косинець за допомогою циркуля. Побудова правильних багатокутників - технічне креслення

Побудова вписаного в коло правильного шестикутника.Побудова шестикутника полягає в тому, що сторона його дорівнює радіусу описаного кола. Тому для побудови достатньо розділити коло на шість рівних частин і з'єднати знайдені точки між собою (фіг. 60 а).

Правильний шестикутник можна побудувати, користуючись рейсшиною та косинцем 30X60°. Для виконання цієї побудови приймаємо горизонтальний діаметр кола за бісектрису кутів 1 і 4 (фіг. 60 б), будуємо сторони 1 -6, 4-3, 4-5 і 7-2, після чого проводимо сторони 5-6 і 3- 2.

Побудова вписаного в коло рівностороннього трикутника. Вершини такого трикутника можна побудувати за допомогою циркуля та косинця з кутами 30 і 60° або тільки одного циркуля.

Розглянемо два способи побудови вписаного в коло рівностороннього трикутника.

Перший спосіб(фіг. 61,a) заснований на тому, що всі три кути трикутника 7, 2, 3 містять по 60°, а вертикальна пряма, проведена через точку 7, є одночасно висотою і бісектрисою кута 1. Так як кут 0-1- 2 дорівнює 30 °, то для знаходження сторони

1-2 досить побудувати по точці 1 і стороні 0-1 кут 30°. Для цього встановлюємо рейсшину та косинець так, як це показано на фігурі, проводимо лінію 1-2, яка буде однією зі сторін шуканого трикутника. Щоб побудувати бік 2-3, встановлюємо рейсшину в положення, показане штриховими лініями, і через точку 2 проводимо пряму, яка визначить третю вершину трикутника.

Другий спосібзаснований на тому, що якщо побудувати правильний шестикутник, вписаний в коло, а потім з'єднати його вершини через одну, то вийде рівносторонній трикутник.

Для побудови трикутника (фіг. 61 б) намічаємо на діаметрі вершину-точку 1 і проводимо діаметральну лінію 1-4. Далі з точки 4 радіусом, рівним D/2, описуємо дугу до перетину з колом у точках 3 і 2. Отримані точки будуть двома іншими вершинами шуканого трикутника.

Побудова квадрата, вписаного в коло. Цю будову можна виконати за допомогою косинця та циркуля.

Перший спосіб заснований на тому, що квадрати діагоналі перетинаються в центрі описаного кола і нахилені до його осях під кутом 45°. Виходячи з цього, встановлюємо рейсшину та косинець з кутами 45° так, як це показано на фіг. 62 а, і відзначаємо точки 1 і 3. Далі через ці точки проводимо за допомогою рейсшини горизонтальні сторони квадрата 4-1 і 3-2. Потім за допомогою рейсшини по катету косинця проводимо вертикальні сторони квадрата 1-2 та 4-3.

Другий спосіб заснований на тому, що вершини квадрата ділять навпіл дуги кола, укладені між кінцями діаметра (фіг. 62 б). Намічаємо на кінцях двох взаємно перпендикулярних діаметрів точки А, В і С і з них радіусом описуємо дуги до взаємного їх перетину.

Далі через точки перетину дуг проводимо допоміжні прямі, відзначені на фігурі суцільними лініями. Крапки їх перетину з колом визначать вершини 1 та 3; 4 і 2. Отримані таким чином вершини квадрата, що шукається, з'єднуємо послідовно між собою.

Побудова вписаного в коло правильного п'ятикутника.

Щоб вписати в коло правильний п'ятикутник (фіг. 63), робимо такі побудови.

Намічаємо на колі точку 1 і приймаємо її за одну з вершин п'ятикутника. Ділимо відрізок АТ навпіл. Для цього радіусом АТ з точки А описуємо дугу до перетину з колом у точках M і В. З'єднавши ці точки прямий, отримаємо точку К, яку з'єднуємо потім з точкою 1. Радіусом, рівним відрізку A7, описуємо з точки До дугу до перетину з діаметральною лінією АТ у точці H. З'єднавши точку 1 з точкою H, отримаємо бік п'ятикутника. Потім розчином циркуля, рівним відрізку 1H, описавши дугу з вершини 1 до перетину з колом, знайдемо вершини 2 і 5. Зробивши тим самим розчином циркуля засічки з вершин 2 і 5, отримаємо решту вершин 3 і 4. Знайдені точки послідовно з'єднуємо між собою.

Побудова правильного п'ятикутника з цієї стороні.

Для побудови правильного п'ятикутника з даної стороні (фіг. 64) ділимо відрізок AB на шість рівних частин. З точок А і В радіусом AB описуємо дуги, перетин яких дасть точку К. Через цю точку і розподіл 3 на прямий AB проводимо вертикальну пряму.

Отримаємо точку 1-вершину п'ятикутника. Потім радіусом, що дорівнює АВ, з точки 1 описуємо дугу до перетину з дугами, раніше проведеними з точок А і В. Точки перетину дуг визначають вершини п'ятикутника 2 і 5. Знайдені вершини з'єднуємо послідовно між собою.

Побудова вписаного в коло правильного семикутника.

Нехай дано коло діаметра D; потрібно вписати до неї правильний семикутник (фіг. 65). Ділимо вертикальний діаметр кола на сім рівних частин. З точки 7 радіусом, що дорівнює діаметру кола D, описуємо дугу до перетину з продовженням горизонтального діаметра в точці F. Точку F назвемо полюсом багатокутника. Прийнявши точку VII за одну з вершин семикутника, проводимо з полюса F через парні поділки вертикального діаметра промені, перетин яких з колом визначать вершини VI, V і IV семикутника. Для отримання вершин / - // - /// З точок IV, V і VI проводимо до перетину з колом горизонтальні прямі. Знайдені вершини послідовно з'єднуємо між собою. Семикутник може бути побудований шляхом проведення променів із полюса F і через непарні поділки вертикального діаметра.

Наведений спосіб придатний для побудови правильних багатокутників із будь-яким числом сторін.

Розподіл кола на будь-яке число рівних частин можна проводити також, користуючись даними табл. 2, в якій наведені коефіцієнти, що дають можливість визначати розміри сторін правильних багатокутників вписаних.

Десятикутник, як і всі багатокутники, можна легко побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Існує два нескладні способи для вирішення даної цікавої та незвичайної задачі.

Вам знадобиться

• - циркуль;
• - Лінійка.

Інструкція

Багатокутником називається замкнута ламана. Десятикутник, відповідно, - це замкнута ламана, що складається з 10 кутів та 10 відрізків. Побудувати довільний десятикутник нескладно. Для цього треба взяти 10 будь-яких точок, що не лежать на одній прямій, і з'єднати ці точки відрізками так, щоб вийшла замкнута фігура. Причому має виконуватися умова: дві будь-які точки всередині фігури, що вийшла, повинні з'єднуватися лінією, що не перетинає межі фігури. Якщо ця умова не виконується, то побудована постать не є багатокутником.

1 спосіб: За допомогою циркуля накресліть коло. Використовуючи транспортир, розділіть її на 10 рівних секторів по 36 градусів кожен (360:10 = 36). Потім послідовно з'єднайте всі точки, зазначені на колі.

2 спосіб: Знову ж таки, за допомогою циркуля накресліть коло. Центр кола, що вийшло, позначте буквою О. Проведіть два перпендикулярні діаметри даного кола СD і АВ. Розділіть один із 4-х радіусів на дві рівні частини. З малюнка видно, що радіус СО = СМ + МО, де СМ = МО.

Далі поставте ніжку циркуля в точку М і накресліть коло радіусом, що дорівнює половині радіусу початкового кола. За допомогою лінійки з'єднайте центр маленького кола М з будь-якою з 2 точок (А або В) на перпендикулярному діаметрі. На малюнку центр невеликого кола з'єднаний стільником А. Довжина, що вийшов відрізка АМ дорівнюватиме довжині сторони десятикутника. Залишилося зробити розчин циркуля, рівний довжині відрізка АМ, поставити ніжку циркуля в точку А і відзначити наступну точку на колі. Далі перемістіть ніжку циркуля в нову точку та позначте наступну. І так доти, доки на колі не з'явиться 10 рівновіддалених один від одного крапок.

З десятьма кутами та десятьма сторонами.

Правильний десятикутник

У правильного десятикутника всі сторони рівної довжини і кожен внутрішній кут становить 144°.

Площа правильного десятикутника дорівнює (t – довжина сторони):

$A\; =\; \backslash frac(5)(2)t^2\; \backslash cot\; \backslash frac(\backslash pi)(10)\; =\; \backslash frac(5t^2)(2)\; \backslash sqrt(5+2\backslash sqrt(5))\; \backslash approx\; 7.694\; t^2.$

Альтернативна формула $A=2.5dt$де d - відстань між паралельними сторонами або діаметр вписаного кола. У тригонометричних функціях він виражається так:

$d=2t\backslash left(\backslash cos\backslash tfrac(3\backslash pi)(10)+\backslash cos\backslash tfrac(\backslash pi)(10)\backslash right),$

і може бути представлений у радикалах як

$d\; =\; t\; sqrt\; (5\; +2\; sqrt\; (5)).$

Сторона правильного десятикутника, вписаного в одиничне коло, дорівнює $\backslash tfrac(\backslash sqrt(5)-1)(2)=\backslash tfrac(1)(\backslash varphi)$, де $\backslash varphi$- Золотий перетин .

Радіус описаного кола декагону дорівнює

$R=frac(sqrt(5)+1)(2)t,$

а радіус вписаного кола

$r=frac(sqrt(5+2sqrt(5)))(2)t.$

Побудова

Інакше його можна побудувати так:

1. Побудувати спочатку правильний п'ятикутник.
2. З'єднати всі його вершини з центром описаного кола прямими до перетину з цим же колом на протилежному боці. У цих точках перетину і решта п'яти вершин десятикутника.
3. З'єднати по порядку вершини п'ятикутника та п'ять точок, знайдені кроком раніше. Шуканий десятикутник побудований.

Розбиття правильного десятикутника

Напишіть відгук про статтю "Десятикутник"

Посилання

Уривок, що характеризує Десятикутник