Як знайти гіпотенузу знаючи площу. Як знайти гіпотенузу, якщо відомі катети

У перекладі з грецької мови, гіпотенуза означає «натягнутий». Для правильного розуміння уявіть собі тятиву цибулі, яка з'єднує два кінці гнучкої палиці. Ось також і у прямокутному трикутнику, найбільшою за довжиною стороною, є гіпотенуза, що лежить проти прямого кута. Вона виступає з'єднувачем двох інших сторін, іменованих катетами. Щоб дізнатися, яка ж довжина цієї «тітьови», необхідно мати значення довжин катетів, або величину двох гострих кутів. Комбінуючи ці дані, можна вирахувати за допомогою формул потрібне значення.

Як знайти гіпотенузу з катетів

Найпростіший спосіб розрахунку, якщо ви знаєте величину двох катетів (позначимо один А, другий). На допомогу приходить сам Піфагор та його всесвітньо відома теорема. Вона розповідає нам, що й звести довжину катетів у квадрат і скласти пораховані значення, то результаті ми дізнаємося значення довжини гіпотенузи зведене в квадрат. З наведеного вище зробимо висновок: для знаходження величини гіпотенузи необхідно витягти квадратний корінь із загальної суми квадратів катетів С=√(А²+В²). Приклад: катет А=10 см, катет В=20 см. Гіпотенуза при цьому дорівнює 22,36 см. Розрахунок відбувається так: √(10²+20²)=√(100+400)= √500≈22,36.

Як знайти гіпотенузу через кут

Дещо складніше розрахувати довжину гіпотенузи через заданий кут. Якщо ви знаєте розмір одного з двох катетів (позначимо А) та величину кута (позначимо α), що лежить навпроти нього, то розмір гіпотенузи знаходиться за допомогою тригонометрії, а конкретно – синуса. Все, що потрібно зробити, це розділити значення відомого катета на синус кута. З=А/sin(?). Приклад: довжина катета А=30 див, кут навпроти нього 45°, гіпотенуза у своїй буде 42,25 див. Розрахунок відбувається так: 30/sin(45°)=30/0,71=42,25.

Ще один спосіб – знайти розмір гіпотенузи через косинус. Він застосовується якщо вам відомий розмір катета (позначимо В) та гострого кута (позначимо α), що прилягає до нього. Все, що потрібно зробити, це розділити значення катета на синус кута. С=В/cos(?). Приклад: довжина катета = 30 см, кут навпроти нього 45 °, гіпотенуза при цьому буде 42,25 см. Розрахунок відбувається так: 30 / cos (45 °) = 30/0,71 = 42,25.

Як знайти гіпотенузу рівнобедреного прямокутного трикутника

Будь-який школяр, який себе поважає, знає, що трикутник рівнобедрений, за умови, що дві з трьох сторін рівні між собою. Ці сторони називаються бічними, а що залишається - основою. Якщо ж один із кутів дорівнює 90°, то перед вами рівнобедрений прямокутний трикутник.

Щоб знайти гіпотенузу в такому трикутнику, просто, адже він має кілька властивостей, які допоможуть. Вугілля, що прилягає до основи, однакове за значенням, загальна сума значень кутів дорівнює 180°. Це означає, що прямий кут лежить навпроти основи, значить основа – гіпотенуза, катетами є бічні сторони.

Катетами називають дві сторони прямокутного трикутника, що утворюють прямий кут. Протилежна прямому куту найдовша сторона трикутника називається гіпотенузою. Щоб виявити гіпотенузу, потрібно знати довжину катетів.

Інструкція

1. Довжини катетів та гіпотенузи пов'язані співвідношенням, яке описується теоремою Піфагора. Алгебраїчна формулювання: "У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів."

2. Знаючи довжини катетів, за теоремою Піфагора можна виявити гіпотенузу прямокутного трикутника: c =? (a2 + b2).

3. приклад. Довжина одного з катетів дорівнює 3 см, довжина іншого - 4 см. Сума їх квадратів дорівнює 25 см?: 9 см? + 16 см? = 25 см?. Довжина гіпотенузи в нашому випадку дорівнює квадратному кореню з 25 см? - 5 см. Отже, довжина гіпотенузи дорівнює 5 см.

Гіпотенузою називається сторона у прямокутному трикутнику, яка знаходиться навпаки кута 90 градусів. Для того, щоб розрахувати його довжину, достатньо знати довжину одного з катетів і величину одного з гострих кутів трикутника.

Інструкція

1. При знаменитому катеті і гострому куті прямокутного трикутника, то розмір гіпотенузи може дорівнювати відношенню катета до косінус/синус цього кута, якщо даний кут є йому протилежним/прилеглим:h = C1(або C2)/sin?;h = С1(або С2 )/cos?.Приклад: Нехай дано прямокутний трикутник ABC з гіпотенузою AB і прямим кутом C. Нехай кут B дорівнює 60 градусів, а кут A 30 градусів Довжина катета BC 8 см. Потрібно виявити довжину гіпотенузи AB. Для цього можна скористатися будь-яким із запропонованих вище способів: AB = BC/cos60 = 8 см. AB = BC/sin30 = 8 см.

Гіпотенуза – найдовша сторона прямокутного трикутника. Вона розташована протилежно до прямого кута. Метод знаходження гіпотенузи прямокутного трикутниказалежить від того, якими вихідними даними ви володієте.

Інструкція

1. Якщо вестими катети прямокутного трикутника, то довжина гіпотенузи прямокутного трикутникаможе бути виявлена за допомогою теореми Піфагора - квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів: с2 = а2 + b2, де а і b - довжини катетів прямокутного трикутника .

2. Якщо вестим один з катетів і гострий кут, то формула для знаходження гіпотенузи залежатиме від того, який даний кут по відношенню до вестимого катета – прилеглий (розташований поблизу катета) або протилежний (розташований навпаки нього. У разі прилеглого кута, гіпотенуза дорівнює відношенню на косинус цього кута: з = a/cos?; E кут протилежний, гіпотенуза дорівнює відношенню катета на синус кута: з = a/sin?.

Відео на тему

Гіпотенузою називають сторону прямокутного трикутника, що лежить навпаки прямого кута. Вона є найбільшою стороною прямокутного трикутника. Розрахувати її можна з теоремі Піфагора чи з допомогою формул тригонометричних функцій.

Інструкція

1. Катетами називають сторони прямокутного трикутника, що належать до прямого кута. На малюнку катети позначені як AB та BC. Нехай задані довжини обох катетів. Позначимо їх як | AB | та |BC|. Для того, щоб виявити довжину гіпотенузи | AC |, скористаємося теоремою Піфагора. Відповідно до цієї теоремі сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, тобто. у позначеннях нашого малюнка |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. З формули отримуємо, що довжина гіпотенузи AC перебуває як |AC| = ?(|AB|^2 + |BC|^2).

2. Розглянемо приклад. Нехай задані довжини катетів | AB | = 13, | BC | = 21. По теоремі Піфагора отримуємо, що |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Щоб отримати довжину гіпотенузи, необхідно витягти квадратний корінь із суми квадратів катетів, тобто. у складі 610: |AC| =? 610. Скориставшись таблицею квадратів цілих чисел, з'ясовуємо, що число 610 перестав бути повним квадратом якогось цілого числа. Для того, щоб отримати остаточне значення довжини гіпотенузи, спробуємо перенести повний квадрат з-під знаку кореня. Для цього розкладемо число 610 на множники. 610 = 2 * 5 * 61. По таблиці примітивних чисел дивимося, що 61 – число примітивне. Отже наступне приведення числа?610 неможливо. Отримуємо остаточний результат | AC | = ?610.Якби квадрат гіпотенузи дорівнював, наприклад, 675, тоді?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3. Якщо подібне приведення допустиме, виконуйте зворотну перевірку - зведіть результат у квадрат і порівняйте з початковим значенням.

3. Нехай нам відомий один з катетів і кут, що прилягає до нього. Для певності нехай це будуть катет | AB | і кут? Тоді ми можемо скористатися формулою для тригонометричної функції косинус - косинус кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи. Тобто. у наших позначеннях cos? = | AB | / | AC |. Звідси отримуємо довжину гіпотенузи | AC | = | AB | / cos?. Якщо нам знамениті катет |BC| і кут?, то скористаємося формулою для обчислення синуса кута – синус кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи: sin? = | BC | / | AC |. Отримуємо, що довжина гіпотенузи як |AC| = | BC | / cos?.

4. Для наочності розглянемо приклад. Нехай дана довжина катета | AB | = 15. І кут? = 60 °. Отримуємо |AC| = 15 / cos 60 ° = 15 / 0.5 = 30. Розглянемо, як можна перевірити свій результат за допомогою теореми Піфагора. І тому потрібно порахувати довжину другого катета |BC|. Скориставшись формулою для тангенсу кута tg? = | BC | / | AC |, отримуємо | BC | = | AB | * tg? = 15 * tg 60 ° = 15 * ?3. Далі застосовуємо теорему Піфагора, отримуємо 15 2 + (15 * 3) 2 = 30 2 => 225 + 675 = 900. Перевірка виконана.

Корисна порада
Розрахувавши гіпотенузу, виконуйте перевірку – чи задовольняє отримане значення теоремі Піфагора.

На самому початку нагадаємо, що трикутник - це багатогранник, у якого є 3 кути. Як визначити гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо відомі інші величини трикутника?

Інструкція

Відомі довжини катетів. В даному випадку гіпотенузу можна обчислити, застосовуючи теорему Піфагора. Ця теорема звучить так: сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. З цього слід, щоб розрахувати довжину гіпотенузи, необхідно звести у квадрат по черзі величину кожного катета. Після чого отримані цифри скласти, а із загального результату вже витягти квадратний корінь.
Як знаходити гіпотенузу в трикутнику KFB, якщо відомий катет (ВК) і кут, що прилягає до нього? Відомий кут позначимо? Одне з властивостей прямокутного трикутника свідчить наступне, відношення довжини катета прямокутного трикутника до довжини гіпотенузи дорівнює косинус кута, розташованого між гіпотенузою і цим катетом. Записати це можна так: FB=BK*cos(α).
Відомий інший катет (KF) і цей же кут α, Тепер уже він буде протилежним. Гіпотенуза також можна знайти, якщо застосувати ті самі властивості прямокутного трикутника. Тут ми отримаємо, відношення довжини катета прямокутного трикутника до довжини його гіпотенузи дорівнює синусу кута, що протилежить катету. Записуємо: FB = KF * sin (α).
Як знайти гіпотенузу трикутника, якщо біля нього описано коло, в якому відомий її радіус. З властивостей кола, яка описана навколо прямокутного трикутника, відомо, що у такого кола центр збігається з точкою гіпотенузи, яка розділяє його навпіл. Іншими словами – радіус дорівнює половині гіпотенузи. А це означає, що два радіуси складають гіпотенузу: FB = 2 * R.

Знаючи властивості прямокутного трикутника та теорему Піфагора, дуже просто обчислити довжину гіпотенузи. Якщо вам все ж таки складно запам'ятати всі властивості, тоді просто вивчіть готові формули, в які дуже просто підставити відомі значення, щоб розрахувати довжину гіпотенузи.

Теорема Піфагора є фундаментальною для кожної математики. Вона встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Наразі зафіксовано 367 доказів цієї теореми.

Інструкція

1. Класичне шкільне формулювання теореми Піфагора звучить так: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Таким чином, щоб виявити гіпотенузу прямокутного трикутника за двома катетами, необхідно по черзі побудувати в квадрат довжини катетів, скласти їх і витягти квадратний корінь з результату. У початковому своєму формулюванні теорема стверджувала, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ 2-х квадратів, побудованих на катетах. Втім сучасне формулювання алгебри не вимагає вводити уявлення площі.

2. Нехай, скажімо, дано прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють 7 см і 8 см. Тоді, згідно з теоремою Піфагора, квадрат гіпотенузи дорівнює 7?+8?=49+64=113 см?. Сама гіпотенуза дорівнює кореню квадратному з числа 113. Вийшло ірраціональне число, що йде в результат.

3. Якщо катети трикутника дорівнюють 3 і 4, тоді гіпотенуза дорівнює?25=5. При добуванні квадратного кореня вийшло природне число. Числа 3, 4, 5 становлять піфагорову трійку, оскільки вони задовольняють співвідношенню x?+y?=z?, будучи все природними. Інші приклади піфагорової трійки: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

4. Якщо катети рівні між собою, тоді теорема Піфагора перетворюється на більш примітивне рівняння. Нехай, наприклад, обидва катета дорівнюють числу A, а гіпотенуза позначена за C. Тоді C?=A?+A?, C?=2A?, C=A?2. У цьому випадку не потрібно зводити в квадрат число A.

5. Теорема Піфагора - окремий випадок більше загальної теореми косінусів, яка встановлює співвідношення між трьома сторонами трикутника для довільного кута між якими-небудь двома з них.

Інструкція

2. Якщо відомий один з катетів і гострий кут, то формула для знаходження гіпотенузи залежатиме від того, який даний кут по відношенню до знаменитого катета - прилеглий (розташований поблизу катета) або протилежний (розташований навпаки нього. У разі прилеглого кута, гіпотенуза дорівнює відношенню катета на косинус цього кута: з = a/cos?; E кут протилежний, гіпотенуза дорівнює відношенню катета на синус кута: з = a/sin?.

Відео на тему

Корисна порада
Прямокутний трикутник, сторони якого співвідносяться як 3:4:5, названий єгипетським трикутником, оскільки саме такі постаті енергійно застосовувалися архітекторами Стародавнього Єгипту. Він є також найпростішим прикладом Геронових трикутників, у яких сторони та площа представлені цілими числами.