Як знайти координати орта. Вектори для чайників

Будуть і завдання для самостійного вирішення, до яких можна переглянути відповіді.

Концепція вектор

Перш ніж Ви дізнаєтеся про вектори та операції над ними, налаштуйтеся на вирішення нескладного завдання. Є вектор вашої підприємливості та вектор ваших інноваційних здібностей. Вектор підприємливості веде Вас до Цілі 1, а вектор інноваційних здібностей - до Цілі 2. Правила гри такі, що Ви не можете рухатися відразу за напрямками цих двох векторів і досягти відразу двох цілей. Вектори взаємодіють, або якщо говорити математичною мовою, над векторами проводиться деяка операція. Результатом цієї операції стає вектор "Результат", який наводить Вас до Цілі 3.

А тепер скажіть: результатом якої операції над векторами "Підприємливість" та "Інноваційні здібності" є вектор "Результат"? Якщо не можете сказати одразу, не сумуйте. У міру вивчення цього уроку Ви зможете відповісти на це запитання.

Як ми вже побачили вище, вектор обов'язково йде від певної точки Aпо прямій до деякої точки B. Отже, кожен вектор має як числове значення - довжину, але й фізичне і геометричне - спрямованість. З цього виводиться перше, найпростіше визначення вектора. Отже, вектор - це спрямований відрізок, що йде від точки Aдо точки B. Позначається він так: .

А щоб приступити до різних операціям із векторами нам потрібно познайомитися з ще одним визначенням вектора.

Вектор - це вид уявлення точки, до якої потрібно дістатися з деякої початкової точки. Наприклад, тривимірний вектор, як правило, записується у вигляді (х, y, z) . Говорячи дуже просто, ці числа означають, як далеко потрібно пройти в трьох різних напрямках, щоб дістатися точки.

Нехай дано вектор. При цьому x = 3 (права рука вказує праворуч), y = 1 (ліва рука вказує вперед), z = 5 (Під точкою стоїть сходи, що ведуть вгору). За цими даними ви знайдете точку, проходячи 3 метри в напрямку, що вказується правою рукою, потім 1 метр в напрямку, що вказується лівою рукою, а далі на Вас чекає сходи і, піднімаючись на 5 метрів, Ви нарешті опинитеся в кінцевій точці.

Решта термінів - це уточнення представленого вище пояснення, необхідних різних операцій над векторами, тобто, вирішення практичних завдань. Пройдемося цим суворішим визначенням, зупиняючись на типових завданнях на вектори.

Фізичними прикладамивекторних величин можуть бути зміщення матеріальної точки, що рухається в просторі, швидкість і прискорення цієї точки, а також сила, що діє на неї.

Геометричний векторпредставлений у двовимірному та тривимірному просторі у вигляді спрямованого відрізка. Це відрізок, у якого розрізняють початок та кінець.

Якщо A- Початок вектора, а B- його кінець, то вектор позначається символом або однією малою літерою. На малюнку кінець вектора вказується стрілкою (рис. 1)

Довжиною(або модулем) геометричного вектора називається довжина його відрізка, що породжує

Два вектори називаються рівними , якщо можуть бути поєднані (при збігу напрямів) шляхом паралельного переносу, тобто. якщо вони паралельні, направлені в ту саму сторону і мають рівні довжини.

У фізиці часто розглядаються закріплені вектори, задані точкою програми, довжиною та напрямком. Якщо точка програми вектора не має значення, то її можна переносити, зберігаючи довжину та напрямок у будь-яку точку простору. В цьому випадку вектор називається вільним. Ми домовимося розглядати лише вільні вектори.

Лінійні операції над геометричними векторами

Розмноження вектора на число

Добутком вектора на числоназивається вектор, що виходить з вектора розтягуванням (при ) або стисненням (при ) в раз, причому напрямок вектора зберігається, якщо , і змінюється на протилежне, якщо . (Мал. 2)

З визначення випливає, що вектори = завжди розташовані на одній або на паралельних прямих. Такі вектори називаються колінеарними. (Можна говорити також, що ці вектори паралельні, проте у векторній алгебрі прийнято говорити "колінеарні".) Справедливо і зворотне твердження: якщо вектори і колінеарні, то вони пов'язані ставленням

Отже, рівність (1) висловлює умову колінеарності двох векторів.

Складання та віднімання векторів

При складанні векторів потрібно знати, що сумоювекторів і називається вектор , початок якого збігається з початком вектора , а кінець - з кінцем вектора , за умови, що початок вектора прикладено до кінця вектора . (Мал. 3)

Це визначення може бути розподілене на будь-яке кінцеве число векторів. Нехай у просторі дані nвільних векторів. При додаванні кількох векторів їх суму приймають замикаючий вектор, початок якого збігається з початком першого вектора, а кінець - з кінцем останнього вектора. Тобто, якщо до кінця вектора додати початок вектора, а до кінця вектора - початок вектора і т.д. і, нарешті, до кінця вектора - початок вектора , то сумою цих векторів служить замикаючий вектор початок якого збігається з початком першого вектора, а кінець - з кінцем останнього вектора. (Мал. 4)

Доданки називаються складовими вектора, а сформульоване правило - правилом багатокутника. Цей багатокутник може бути плоским.

При множенні вектора число -1 виходить протилежний вектор . Вектори мають однакові довжини і протилежні напрямки. Їхня сума дає нульовий вектор, Довжина якого дорівнює нулю. Напрямок нульового вектора не визначено.

У векторной алгебрі немає необхідності розглядати окремо операцію віднімання: відняти з вектора вектор означає додати до вектора протилежний вектор, тобто.

приклад 1.Спростити вираз:

тобто, вектори можна складати і множити числа так само, як і багаточлени (зокрема, також завдання на спрощення виразів). Зазвичай, необхідність спрощувати лінійно подібні вирази з векторами виникає перед обчисленням творів векторів.

приклад 2.Вектори і є діагоналями паралелограма ABCD (рис. 4а). Виразити через вектори , , і , що є сторонами цього паралелограма.

Рішення. Точка перетину діагоналей паралелограма поділяє кожну діагональ навпіл. Довжини необхідних умов завдання векторів знаходимо або як половини сум векторів, що утворюють з шуканими трикутник, або як половини різниць (залежно від напрямку вектора, що служить діагоналлю), або, як в останньому випадку, половини суми, взятої зі знаком мінус. Результат - необхідні завдання вектори:

Є всі підстави вважати, що тепер Ви правильно відповіли на запитання про вектори "Підприємливість" та "Інноваційні здібності" на початку цього уроку. Правильна відповідь: над цими векторами провадиться операція складання.

Вирішити завдання на вектори самостійно, а потім переглянути рішення

Як знайти довжину суми векторів?

Це завдання займає особливе місце в операціях з векторами, оскільки передбачає використання тригонометричних властивостей. Допустимо, Вам трапилося завдання на кшталт наступного:

Дані довжини векторів та довжина суми цих векторів. Знайти довжину різниці цих векторів.

Розв'язання цієї та інших подібних завдань та пояснення, як їх вирішувати - в уроці " Додавання векторів: довжина суми векторів і теорема косінусів. ".

А перевірити вирішення таких завдань можна на Калькулятор онлайн "Невідома сторона трикутника (складання векторів і теорема косінусів)" .

А де твори векторів?

Твори вектора вектор не є лінійними операціями і розглядаються окремо. І у нас є уроки "Скалярний твір векторів" та "Векторний та змішаний твор векторів".

Вектор проекції на вісь

Проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини вектора, що проектується, на косинус кута між вектором і віссю:

Як відомо, проекцією точки Aна пряму (площину) служить основу перпендикуляра, опущеного з цієї точки на пряму (площину).

Нехай – довільний вектор (Рис. 5), а й – проекції його початку (точки A) та кінця (точки B) на вісь l. (Для побудови проекції точки A) на пряму проводимо через точку Aплощину, перпендикулярну до прямої. Перетин прямої та площини визначить необхідну проекцію.

Складає вектор на осі lназивається такий вектор, що лежить на цій осі, початок якого збігається з проекцією початку, а кінець - з проекцією кінця вектора.

Вектор проекції на вісь lназивається число

рівне довжині складового вектора на цій осі, взяте зі знаком плюс, якщо напрямок складової збігається з напрямком осі lі зі знаком мінус, якщо ці напрямки протилежні.

Основні властивості проекцій вектора на вісь:

1. Проекції рівних векторів на ту саму вісь рівні між собою.

2. При множенні вектора на число його проекція множиться на це число.

3. Проекція суми векторів на якусь вісь дорівнює сумі проекцій на цю вісь доданків векторів.

4. Проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини проектованого вектора на косинус кута між вектором та віссю:

Рішення. Спроектуємо вектори на вісь lяк визначено у теоретичній довідці вище. З рис.5а очевидно, що проекція суми векторів дорівнює сумі векторних проекцій. Обчислюємо ці проекції:

Знаходимо остаточну проекцію суми векторів:

Зв'язок вектора з прямокутною декартовою системою координат у просторі

Знайомство з прямокутною декартовою системою координат у просторі відбулося у відповідному уроцібажано відкрити його в новому вікні.

Впорядкована система координатних осей 0xyzвісь Oxназивається віссю абсцисвісь 0y – віссю ординат, і вісь 0z – віссю аплікат.

З довільною точкою Мпростору зв'яжемо вектор

званий радіус-векторомкрапки Мта спроектуємо його на кожну з координатних осей. Позначимо величини відповідних проекцій:

Числа x, y, zназиваються координатами точки Мвідповідно абсцисою, ординатоюі аплікати, і записуються як упорядкованої точки чисел: M (x; y; z)(Рис.6).

Вектор одиничної довжини, напрямок якого збігається із напрямком осі, називають одиничним вектором(або ортом) Осі. Позначимо через

Відповідно орти координатних осей Ox, Ой, Oz

Теорема.Будь-який вектор може бути розкладений по орт координатних осей:

(2)

Рівність (2) називається розкладанням вектора за координатними осями. Коефіцієнтами цього розкладання є проекції вектора координатні осі. Таким чином, коефіцієнтами розкладання (2) вектора координатними осями є координати вектора.

Після вибору в просторі певної системи координат вектор і трійка координат однозначно визначають один одного, тому вектор може бути записаний у формі

Подання вектора у вигляді (2) та (3) тотожні.

Умова колінеарності векторів у координатах

Як ми вже зазначали, вектори називаються колінеарними, якщо вони пов'язані ставленням

Нехай дані вектори . Ці вектори є колінеарними, якщо координати векторів пов'язані ставленням

тобто, координати векторів пропорційні.

Приклад 6.Дані вектори . Чи колінеарні ці вектори?

Рішення. З'ясуємо співвідношення координат даних векторів:

Координати векторів пропорційні, отже, вектори колінеарні, або, що те саме, паралельні.

Довжина вектора та напрямні косинуси

Внаслідок взаємної перпендикулярності координатних осей довжина вектора

дорівнює довжині діагоналі прямокутного паралелепіпеда, побудованого на векторах

і виражається рівністю

(4)

Вектор повністю визначається завданням двох точок (початку та кінця), тому координати вектора можна виразити через координати цих точок.

Нехай у заданій системі координат початок вектора знаходиться у точці

а кінець – у точці

З рівності

Випливає, що

або в координатній формі

Отже, координати вектора рівні різницям однойменних координат кінця та початку вектора . Формула (4) у цьому випадку набуде вигляду

Напрямок вектора визначають напрямні косинуси . Це косинуси кутів, які вектор утворює з осями Ox, Ойі Oz. Позначимо ці кути відповідно α , β і γ . Тоді косинуси цих кутів можна знайти за формулами

Напрямні косинуси вектора є координатами орта цього вектора і, таким чином, орт вектора

Враховуючи, що довжина векторного орта дорівнює одній одиниці, тобто

отримуємо наступну рівність для напрямних косінусів:

Приклад 7.Знайти довжину вектора x = (3; 0; 4).

Рішення. Довжина вектора дорівнює

Приклад 8.Дані точки:

З'ясувати, чи рівнобедрений трикутник, побудований на цих точках.

Рішення. За формулою довжини вектора (6) знайдемо довжини сторін і встановимо, чи є серед них дві рівні:

Дві рівні сторони знайшлися, тому необхідність шукати довжину третьої сторони відпадає, а заданий трикутник є рівнобедреним.

Приклад 9.Знайти довжину вектора та його напрямні косинуси, якщо .

Рішення. Координати вектора:

Довжина вектора дорівнює квадратному кореню із суми квадратів координат вектора:

Знаходимо напрямні косинуси:

Вирішити завдання на вектори самостійно, а потім переглянути рішення

Операції над векторами, заданими у координатній формі

Нехай дані два вектори і , задані своїми проекціями:

Вкажемо події над цими векторами.

Вектором у геометрії називають спрямований відрізок або впорядковану пару точок евклідового простору. Ортом векторає одиничний вектор нормованого векторного простору або вектор, норма (довжина) якого дорівнює одиниці.

Вам знадобиться

Знання з геометрії.

Інструкція

Для початку необхідно обчислити довжину вектора. Як відомо, довжина (модуль) векторадорівнює кореню квадратному із суми квадратів координат. Нехай дано вектор із координатами: a(3, 4). Тоді його довжина дорівнює | = (9 + 16) ^ 1/2 чи |a|=5.

Щоб знайти орт вектора a, необхідно поділити кожну його з його довжину. Результатом буде вектор, який називається ортом чи одиничним вектором. Для вектораа(3, 4) ортом буде вектор а(3/5, 4/5). Вектор a` буде одиничним для вектораа.

Для перевірки, чи правильно знайдений орт, можна зробити таке: знайти довжину отриманого орта, якщо вона дорівнює одиниці, то все знайдено правильно, якщо ні, то розрахунки закралася помилка. Перевіримо, чи правильно знайдений орт a`. Довжина вектора a` дорівнює: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Отже, довжина вектора a` дорівнює одиниці, отже орт знайдено правильно.

Зміну координати x2 - x1 прийнято позначати символом Δx12 (читається "дельта ікс один, два"). Цей запис означає, що за проміжок часу від моменту t1 до t2 зміна координати тіла Δx12 = x2 — x1. Таким чином, якщо тіло рухалося в позитивному напрямку осі X обраної системи координат (x2> x1), то Δx12>

На рис. 45 зображено точкове тіло, яке рухається в негативному напрямку осі X. За проміжок часу від t1 до t2 воно переміщається з точки з більшою координатою x1 в точку з меншою координатою x2. В результаті зміна координати точки B за аналізований проміжок часу Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) м = -3 м. Вектор переміщення в цьому випадку буде спрямований у негативному напрямку осі X, а його модуль | Δx12 | дорівнює 3 м. З розглянутих прикладів можна зробити такі висновки.

У розглянутих прикладах (див. рис. 44 і 45) тіло постійно рухалося в якомусь одному напрямку.

Як знайти модуль переміщення у фізиці? (Може є якась універсальна формула?)

Тому шлях, що пройдений, дорівнює модулю зміни координати тіла і модулю переміщення: s12 = |Δx12|.

Визначимо зміну координати та переміщення тіла за проміжок часу від t0 = 0 до t2 = 7 с. Відповідно до визначення зміна координати Δx02 = x2 - x0 = 2 м >

Тепер визначимо шлях, який пройшло тіло за той самий проміжок часу від t0 = 0 до t2 = 7 с. Спочатку тіло пройшло 8 м в одному напрямку (що відповідає модулю зміни координати x01), а потім 6 м у зворотному напрямку (ця величина відповідає модулю зміни координати x12). Отже, всього тіло пройшло 8+6=14 (м). За визначенням шляху за проміжок часу від t0 до t2 тіло пройшло шлях s02 = 14 м.

Підсумки

Переміщенням точки за проміжок часу називають спрямований відрізок прямої, початок якого збігається з початковим положенням точки, а кінець - з кінцевим положенням точки.

Запитання

Вправи

Векторні дії з векторами

теореми Піфагора теоремі косінусів

Довжину вектора будемо позначати. Аналогічне позначення має модуль числа і довжину вектора часто називають модулем вектора.

, звідки .

Таким чином, .

Розглянемо приклад.

Таким чином, довжина вектора .

Обчисліть довжину вектора

, отже,

На початок сторінки

Розглянемо рішення прикладів.

Переміщення

На початок сторінки

Таким чином, .

або ,
або ,

Нема коли розбиратися?
Замовте рішення

На початок сторінки

Досі ми розглядали лише прямолінійний рівномірний рух. При цьому точкові тіла рухалися в обраній системі відліку або в позитивному або негативному напрямку осі координат X. Ми встановили, що в залежності від напрямку руху тіла, наприклад, за проміжок часу від моменту t1 до моменту t2 зміна координати тіла (x2 - x1 ) може бути позитивним, негативним або рівним нулю (якщо x2 = x1).

Результат руху зручно визначати за допомогою векторної величини. Такою векторною величиною є рух.

Як і будь-яку векторну величину, переміщення характеризують модулем та напрямком.

Записувати вектор переміщення точки за проміжок часу від t1 до t2 ми будемо у такий спосіб: Δx12.

Пояснимо сказане з прикладу. Нехай деяка точка A (точкове чоло) рухається у позитивному напрямку осі X і за проміжок часу від t1 до t2 переміщається з точки з координатою x1 до точки з більшою координатою x2 (рис. 44). В цьому випадку вектор переміщення направлений у позитивному напрямку осі X, а його модуль дорівнює зміні координати за проміжок часу, що розглядається: Δx12 = x2 - x1 = (5 - 2) м = 3 м.

На рис. 45 зображено точкове тіло, яке рухається в негативному напрямку осі X.

За проміжок часу від t1 до t2 воно переміщається з точки з більшою координатою x1 до точки з меншою координатою x2. В результаті зміна координати точки B за аналізований проміжок часу Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) м = -3 м. Вектор переміщення в цьому випадку буде спрямований у негативному напрямку осі X, а його модуль | Δx12 | дорівнює 3 м. З розглянутих прикладів можна зробити такі висновки.

Напрямок переміщення при прямолінійному русі одному напрямку збігається з напрямом руху.

Модуль вектора переміщення дорівнює модулю зміни координати тіла за проміжок часу, що розглядається.

У повсякденні для опису кінцевого результату руху використовують поняття «шлях». Зазвичай, шлях позначають символом S.

Шлях – це вся відстань, пройдена точковим тілом за розглянутий проміжок часу.

Як і будь-яку відстань, шлях – величина невід'ємна. Наприклад, шлях, пройдений точкою A у розглянутому прикладі (див. рис. 44), дорівнює трьом метрам. Шлях, пройдений точкою B, також дорівнює трьом метрам.

У розглянутих прикладах (див. рис. 44 і 45) тіло постійно рухалося в якомусь одному напрямку. Тому шлях, що пройдений, дорівнює модулю зміни координати тіла і модулю переміщення: s12 = |Δx12|.

Якщо тіло рухалося весь час в одному напрямку, то пройдений ним шлях дорівнює модулю переміщення та модулю зміни координати.

Ситуація зміниться, якщо тіло протягом розглянутого проміжку часу змінює напрямок руху.

На рис. 46 зображено, як рухалося точкове тіло з моменту t0 = 0 до t2 = 7 с. До моменту t1 = 4 с рух відбувався рівномірно в позитивному напрямку осі X. Внаслідок чого зміна координати Δx01 = x1 - x0 = (11 - 3) м = -8 м. Після цього тіло почало рухатися в негативному напрямку осі X до моменту t2 = 7 с. При цьому зміна координати Δx12 = x2 — x1 = (5 — 11) м = -6 м. Графік цього руху наведено на рис. 47.

Визначимо зміну координати та переміщення тіла за проміжок часу від t0 = 0 до t2 = 7 с. Відповідно до визначення зміна координати Δx02 = x2 - x0 = 2 м > 0. Тому переміщення Δx02 спрямоване в позитивному напрямку осі Х, а його модуль дорівнює 2 м.

Траєкторія

Отже, всього тіло пройшло 8+6=14 (м). За визначенням шляху за проміжок часу від t0 до t2 тіло пройшло шлях s02 = 14 м.

Розібраний приклад дозволяє зробити висновок:

У випадку, коли тіло протягом проміжку часу, що розглядається, змінює напрямок свого руху, шлях (все пройдена тілом відстань) більше і модуля переміщення тіла, і модуля зміни координати тіла.

Тепер уявіть, що тіло після моменту часу t2 = 7 с продовжило свій рух у негативному напрямку осі X до моменту t3 = 8 с відповідно до закону, зображеного на рис. 47 пунктирною лінією. В результаті в момент часу t3 = 8 з координати тіла дорівнювала x3 = 3 м. Неважко визначити, що в цьому випадку переміщення тіла за проміжок часу від t0 до t3 дорівнює Δx13 = 0.

Зрозуміло, якщо нам відомо лише переміщення тіла під час його руху, ми можемо сказати як рухалося тіло протягом цього часу. Наприклад, якби про тіло було відомо лише, що його початкова та кінцева координати рівні, то ми сказали б, що за час руху переміщення цього тіла дорівнює нулю. Сказати щось конкретніше про характер руху цього тіла було б не можна. Тіло могло за таких умов взагалі стояти дома протягом усього проміжку часу.

Переміщення тіла за деякий проміжок часу залежить тільки від початкової та кінцевої координат тіла та не залежить від того, як рухалося тіло протягом цього проміжку часу.

Підсумки

Переміщення точкового тіла визначається тільки кінцевою та початковою координатами тіла і не залежить від того, як рухалося тіло протягом розглянутого проміжку часу.

Шлях - вся відстань, пройдена точковим тілом за проміжок часу, що розглядається.

Якщо тіло у процесі руху не змінювало напрями руху, то пройдений цим тілом шлях дорівнює модулю його переміщення.

Якщо тіло протягом розглянутого проміжку часу змінювало напрямок свого руху, шлях більший і молуля переміщення тіла, і модуля зміни координати тіла.

Шлях завжди величина невід'ємна. Він дорівнює нулю тільки в тому випадку, якщо протягом всього проміжку часу, що розглядається, тіло спочивало (стояло на місці).

Запитання

Що таке рух? Від чого залежить?
Що таке шлях? Від чого залежить?
Чим шлях відрізняється від переміщення та зміни координати за той самий проміжок часу, протягом якого тіло рухалося прямолінійно, не змінюючи напрямки руху?

Вправи

Використовуючи закон руху на графічній формі, представлений на рис. 47, опишіть характер руху тіла (напрямок, швидкість) у різні проміжки часу: від t0 до t1, від t1 до t2, від t2 до t3.
Собачка Протон вибіг з дому в момент часу t0 = 0, а потім по команді свого господаря в момент часу t4 = 4 с кинувся назад. Знаючи, що Протон весь час біг прямою і модуль його швидкості |v| = 4 м/с, визначте графічним способом: а) зміна координати та шлях Протона за проміжок часу від t0 = 0 до t6 = 6 с; б) шлях Протона за проміжок часу від t2 = 2 до t5 = 5 с.

Векторні дії з векторами

Знаходження довжини вектора, приклади та рішення.

За визначенням вектор – це спрямований відрізок, а довжина цього відрізка у заданому масштабі є довжиною вектора. Таким чином, завдання знаходження довжини вектора на площині та просторі зводиться до знаходження довжини відповідного відрізка. Для вирішення цього завдання у нашому розпорядженні всі засоби геометрії, хоча в більшості випадків достатньо теореми Піфагора. З її допомогою можна отримати формулу для обчислення довжини вектора за його координатами прямокутної системи координат, а також формулу знаходження довжини вектора за координатами точок його початку і кінця. Коли вектор є стороною трикутника, його довжина може бути знайдена по теоремі косінусівякщо відомі довжини двох інших сторін і кут між ними.

Знаходження довжини вектора за координатами.

Довжину вектора будемо позначати.

фізичний словник (кінематика)

Аналогічне позначення має модуль числа і довжину вектора часто називають модулем вектора.

Почнемо із знаходження довжини вектора на площині за координатами.

Введемо на площині прямокутну декартову систему координат Oxy. Нехай у ній заданий вектор і має координати . Отримаємо формулу, що дозволяє знаходити довжину вектора через координати та .

Відкладемо від початку координат (від точки О) вектор. Позначимо проекції точки на координатні осі як і відповідно і розглянемо прямокутник з діагоналлю ОА.

У силу теореми Піфагора справедлива рівність , звідки . З визначення координат вектора в прямокутній системі координат ми можемо стверджувати, що і , а по побудові довжина ОА дорівнює довжині вектора , отже, .

Таким чином, формула для знаходження довжини вектораза його координатами на площині має вигляд .

Якщо вектор представлений у вигляді розкладання за координатними векторами , то його довжина обчислюється за цією ж формулою , так як в цьому випадку коефіцієнти є координатами вектора в заданій системі координат.

Розглянемо приклад.

Знайдіть довжину вектора , заданого в системі декарт координат.

Відразу застосовуємо формулу для знаходження довжини вектора за координатами :

Тепер отримаємо формулу для знаходження довжини вектора за його координатами у прямокутній системі координат Oxyz у просторі.

Відкладемо від початку координат вектор і позначимо проекції точки на координатні осі як і . Тоді ми можемо збудувати на сторонах і прямокутний паралелепіпед, в якому ОА буде діагоналлю.

В цьому випадку (оскільки ОА – діагональ прямокутного паралелепіпеда), звідки . Визначення координат вектора дозволяє нам записати рівності , а довжина ОА дорівнює довжині вектора, що шукається, отже, .

Таким чином, довжина вектора у просторі дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координаттобто знаходиться за формулою .

Обчисліть довжину вектора , де - Орти прямокутної системи координат.

Нам дано розкладання вектора за координатними векторами виду , отже, . Тоді за формулою знаходження довжини вектора за координатами маємо .

На початок сторінки

Довжина вектора через координати точок його початку та кінця.

А як знайти довжину вектора, якщо дано координати точок його початку та кінця?

У попередньому пункті ми отримали формули для знаходження довжини вектора за його координатами на площині та тривимірному просторі. Тоді ми можемо ними скористатися, якщо знайдемо координати вектора координат точок його початку і кінця.

Таким чином, якщо на площині задані точки і то вектор має координати та його довжина обчислюється за формулою , а формула для знаходження довжини вектора за координатами точок і тривимірного простору має вигляд.

Розглянемо рішення прикладів.

Знайдіть довжину вектора, якщо у прямокутній декартовій системі координат .

Можна відразу застосувати формулу для знаходження довжини вектора за координатами точок початку та кінця на площині :

Другим варіантом рішення є визначення координат вектора через координати точок та застосування формули :

Визначте, за яких значень довжина вектора дорівнює , якщо .

Довжина вектора за координатами точок початку та кінця може бути знайдена як

Прирівнявши отримане значення довжини вектора до обчислимо шукані :

На початок сторінки

Знаходження довжини вектора за теоремою косінусів.

Більшість завдань перебування довжини вектора вирішуються в координатах. Однак, коли координати вектора невідомі, доводиться шукати інші шляхи вирішення.

Нехай відомі довжини двох векторів і кут між ними (або косинус кута), а потрібно знайти довжину вектора або . У цьому випадку можна по теоремі косінусів у трикутнику АВС обчислити довжину сторони ВС, яка дорівнює довжині вектора, що шукається.

Розберемо рішення прикладу для пояснення сказаного.

Довжини векторів і дорівнюють 3 і 7 відповідно, а кут між ними дорівнює . Обчисліть довжину вектора.

Довжина вектора дорівнює довжині сторони НД у трикутнику АВС. З умови нам відомі довжини сторін АВ та АС цього трикутника (вони дорівнюють довжинам відповідних векторів), а також кут між ними, тому нам достатньо даних для застосування теореми косінусів:

Таким чином, .

Отже, для знаходження довжини вектора за координатами використовуємо формули
або ,
за координатами точок початку та кінця вектора
або ,
у деяких випадках до результату наводить теорема косінусів.

Нема коли розбиратися?
Замовте рішення

На початок сторінки

Бугров Я.С., Микільський С.М. Вища математика. Том перший: елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдіна І.І. Геометрія. 7-9 класи: підручник для загальноосвітніх установ.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Кисельова Л.С., Позняк Е.Г. Геометрія. Підручник для 10–11 класів середньої школи.

Пошук лекцій

Скалярний квадрат вектор

Що буде, якщо вектор помножити на себе?

Число називається скалярним квадратомвектора і позначаться як .

Таким чином, скалярний квадрат вектордорівнює квадрату довжини даного вектора:

Одиничний вектор- це векторабсолютна величина (модуль) якого дорівнює одиниці. Для позначення одиничного вектора ми будемо використовувати нижній індекс е. Так, якщо заданий вектор а, то його одиничним вектором буде ае. Цей одиничний вектор спрямований туди, куди спрямований і сам вектор а, та її модуль дорівнює одиниці, тобто а е = 1.

Очевидно, а= а · ае (а - модуль вектора а). Це випливає з правила, яким виконується операція множення скаляра на вектор .

Поодинокі векторичасто пов'язують із координатними осями системи координат (зокрема, з осями декартової системи координат). Напрями цих векторівзбігаються з напрямками відповідних осей, які початку часто поєднують з початком системи координат.

Нагадаю, що декартовою системою координату просторі традиційно називається трійка взаємно перпендикулярних осей, що перетинаються у точці, яка називається початком координат. Координатні осі зазвичай позначають буквами X, Y, Z і називають відповідно віссю абсцис, віссю ординат і віссю аплікат. Сам Декарт користувався лише однією віссю, де відкладалися абсциси. Заслуга використання системиосей належить його учням. Тому фраза декартова система координатісторично хибна. Краще говорити прямокутна система координатабо ортогональна система координат. Тим не менш, змінювати традиції ми не станемо і надалі вважатимемо, що декартова та прямокутна (ортогональна) системи координат – це те саме.

Одиничний вектор, спрямований уздовж осі Х, позначається i, одиничний вектор, спрямований уздовж осі Y, позначається j, а одиничний вектор, спрямований уздовж осі Z, позначається k. Вектори i, j, kназиваються ортами(рис. 12, зліва), вони мають одиничні модулі, тобто
i = 1, j = 1, k = 1.

Осі та орти прямокутної системи координату деяких випадках мають інші назви та позначення. Так, вісь абсцис X може називатися дотичною віссю, а її орт позначається τ (грецька рядкова літера тау), вісь ординат - віссю нормалі, її орт позначається n, вісь аплікат - віссю бінормалі, її орт позначається b. Навіщо змінювати назви, якщо суть залишається такою самою?

Річ у тім, що, наприклад, у механіці щодо руху тіл прямокутна система координат використовується дуже часто. Так от, якщо сама система координат нерухома, а зміна координат об'єкта, що рухається, відстежується в цій нерухомій системі, то зазвичай осі позначають X, Y, Z, а їх ортивідповідно i, j, k.

Але нерідко, коли об'єкт рухається якоюсь криволінійною траєкторією (наприклад, по колу) буває зручніше розглядати механічні процеси в системі координат, що рухається з цим об'єктом. Саме для такої системи координат, що рухається, і використовуються інші назви осей та їх ортів. Просто так заведено. У цьому випадку вісь X направляють по дотичній траєкторії в тій її точці, в якій в даний момент цей об'єкт знаходиться. І тоді цю вісь називають вже не віссю X, а дотичною віссю, а її орт позначають уже не i, а τ . Вісь Y направляють по радіусу кривизни траєкторії (у разі руху по колу - до центру кола). А оскільки радіус перпендикулярний дотичній, то вісь називають віссю нормалі (перпендикуляр і нормаль - це те саме). Орт цієї осі позначають вже не j, а n. Третя вісь (колишня Z) перпендикулярна двом попереднім. Це - бінормаль з ортом b(Рис. 12, праворуч). До речі, у цьому випадку таку прямокутну систему координатчасто називають «природною» чи натуральною.