Як визначити відносну похибку наближеного значення. Вимірювання фізичних величин

1. Як визначати похибки вимірів.

Виконання лабораторних робіт пов'язане з вимірюванням різних фізичних величин та подальшою обробкою їх результатів.

Вимірювання- Знаходження значення фізичної величини досвідченим шляхом за допомогою засобів вимірювань.

Прямий вимір- Визначення значення фізичної величини безпосередньо засобами вимірювання.

Непрямий вимір- Визначення значення фізичної величини за формулою, що зв'язує її з іншими фізичними величинами, що визначаються прямими вимірами.

Введемо такі позначення:

А, У, З, ... - фізичні величини.

А пр - наближене значення фізичної величини, тобто значення, отримане шляхом прямих чи непрямих вимірів.

ΔА - абсолютна похибка виміру фізичної величини.

ε - відносна похибка виміру фізичної величини, рівна:

Δ І А - абсолютна інструментальна похибка, яка визначається конструкцією приладу (похибка засобів вимірювання; див. табл. 1).

Δ 0 А - абсолютна похибка відліку (виходить від недостатньо точного відліку показань засобів вимірювання); вона дорівнює в більшості випадків половині ціни розподілу, при вимірі часу - ціні розподілу секундоміра або годинника.

Таблиця 1

Абсолютні інструментальні похибки засобів вимірювань

Максимальна абсолютна похибка прямих вимірювань складається з абсолютної інструментальної похибки та абсолютної похибки відліку за відсутності інших похибок:

Абсолютну похибку вимірювання зазвичай округляють до однієї значущої цифри (ΔА = 0,17 ≈ 0,2); числове значення результату вимірювань округляють так, щоб його остання цифра опинилася в тому ж розряді, що і цифра похибки (А = 10,332 ≈ 10,3).

Результати повторних вимірювань фізичної величини А, проведених за одних і тих самих контрольованих умовах і при використанні досить чутливих і точних (з малими похибками) засобів вимірювання, зазвичай відрізняються один від одного. У цьому випадку А пр знаходять як середнє арифметичне значення всіх вимірів, а похибка ΔА (її називають випадковою похибкою) визначають методами математичної статистики.

У шкільній лабораторній практиці такі засоби виміру практично не використовуються. Тому під час виконання лабораторних робіт необхідно визначати максимальні похибки виміру фізичних величин. Для отримання результату достатньо одного виміру.

Відносна похибка непрямих вимірів визначається так, як показано у таблиці 2.

Таблиця 2

Формули для обчислення відносної похибки непрямих вимірів

№	Формула для фізичної величини	Формула для відносної похибки
1
2
3
4

Абсолютна похибка непрямих вимірів визначається за формулою ΔА = Апр ε (ε виражається десятковим дробом).

2. Про клас точності електровимірювальних приладів.

Для визначення абсолютної інструментальної похибки приладу треба зазначити його клас точності. Клас точності γ вимірювального приладу показує, скільки відсотків становить абсолютна інструментальна похибка Δ і А від усієї шкали приладу (A max):

Клас точності вказують на шкалі приладу або в паспорті (знак % при цьому не пишуть). Існують такі класи точності електровимірювальних приладів: 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4. Знаючи клас точності приладу (γ пр) та всю його шкалу (А mах), визначають абсолютну похибку Δ та А вимірювання фізичної величини А цим приладом:

3. Як порівнювати результати вимірів.

1. Записати результати вимірів у вигляді подвійних нерівностей:

А 1np - ΔА 1< А 1пр < А 1пр + ΔА 1 ,

А 2пр - ΔА 2< А 2пр < А 2пр + ΔА 2 .

2. Порівняти отримані інтервали значень: якщо інтервали не перекриваються, результати неоднакові; якщо перекриваються - однакові за даної відносної похибки вимірів.

4. Як оформлювати звіт про виконану роботу.

1. Лабораторна робота №....
2. Назва роботи.
3. Мета роботи.
4. Креслення (якщо потрібно).
5. Формули шуканих величин та їх похибок.
6. Таблиця результатів вимірів та обчислень.
7. Остаточний результат, висновок та ін. (згідно з метою роботи).

5. Як записувати результат виміру.

А = А пр ± ΔА
е = ...%.

Нехай деяка випадкова величина aвимірюється nразів у однакових умовах. Результати вимірів дали набір nрізних чисел

Абсолютна похибка- Розмірна величина. Серед nзначень абсолютних похибок обов'язково зустрічаються як позитивні, і негативні.

За найбільш ймовірне значення величини азазвичай приймають середнє арифметичнезначення результатів вимірів

.

Чим більша кількість вимірів, тим ближче середнє значення до істинного.

Абсолютною похибкоюi

.

Відносною похибкоюi-го виміру називається величина

Відносна похибка – величина безрозмірна. Зазвичай відносна похибка виражається у відсотках, при цьому e iпримножують на 100%. Розмір відносної похибки характеризує точність виміру.

Середня абсолютна похибкавизначається так:

.

Наголосимо на необхідності підсумовування абсолютних значень (модулів) величин D а i.В іншому випадку вийде тотожний нульовий результат.

Середньою відносною похибкоюназивається величина

.

При великій кількості вимірів.

Відносну похибку можна як значення похибки, що припадає на одиницю вимірюваної величини.

Про точність вимірів судять виходячи з порівняння похибок результатів вимірів. Тому похибки вимірів виражають у такій формі, щоб для оцінки точності достатньо було зіставити тільки одні похибки результатів, не порівнюючи при цьому розміри об'єктів, що вимірюваються або знаючи ці розміри вельми наближено. З практики відомо, що абсолютна похибка виміру кута залежить від значення кута, а абсолютна похибка вимірювання довжини залежить від значення довжини. Чим більше значення довжини, тим за даного методу та умов вимірювання абсолютна похибка буде більшою. Отже, за абсолютною похибкою результату про точність вимірювання кута можна судити, а про точність вимірювання довжини не можна. Вираз похибки у відносній формі дозволяє порівнювати у відомих випадках точність кутових та лінійних вимірів.

Основні поняття теорії ймовірності. Випадкова похибка.

Випадковою похибкою називають складову похибки вимірювань, що змінюється випадковим чином при повторних вимірах однієї й тієї величини.

При проведенні з однаковою ретельністю і в однакових умовах повторних вимірювань однієї і тієї ж постійної незмінної величини ми отримуємо результати вимірювань – деякі з них відрізняються один від одного, а деякі збігаються. Такі розбіжності у результатах вимірів свідчать про наявність у яких випадкових складових похибки.

Випадкова похибка виникає при одночасному впливі багатьох джерел, кожен з яких сам по собі непомітно впливає на результат вимірювання, але сумарний вплив всіх джерел може виявитися досить сильним.

Випадкові помилки є неминучим наслідком будь-яких вимірів та обумовлені:

а) неточністю відліків за шкалою приладів та інструментів;

б) не ідентичність умов повторних вимірів;

в) безладними змінами зовнішніх умов (температури, тиску, силового поля тощо), які неможливо контролювати;

г) усіма іншими впливами на вимірювання, причини яких нам невідомі. Величину випадкової похибки можна звести до мінімуму шляхом багаторазового повторення експерименту та відповідної математичної обробки отриманих результатів.

Випадкова помилка може набувати різних за абсолютною величиною значення, передбачити які для даного акта вимірювання неможливо. Ця помилка однаково може бути як позитивною, так і негативною. Випадкові помилки завжди є в експерименті. За відсутності систематичних помилок вони спричиняють розкид повторних вимірів щодо справжнього значення.

Припустимо, що з допомогою секундоміра вимірюють період коливань маятника, причому вимір багаторазово повторюють. Похибки пуску та зупинки секундоміра, помилка у величині відліку, невелика нерівномірність руху маятника – все це викликає розкид результатів повторних вимірів і тому може бути віднесено до категорії випадкових помилок.

Якщо інших помилок немає, то одні результати виявляться дещо завищеними, а інші дещо заниженими. Але якщо, крім цього, годинник ще й відстає, то всі результати будуть занижені. Це вже систематична помилка.

Деякі фактори можуть викликати одночасно систематичні та випадкові помилки. Так, включаючи і вимикаючи секундомір, ми можемо створити невеликий нерегулярний розкид моментів пуску та зупинки годинника щодо руху маятника і внести тим самим випадкову помилку. Але якщо до того ж ми щоразу поспішаємо включити секундомір і трохи запізнюємося вимкнути його, це призведе до систематичної помилки.

Випадкові похибки викликаються помилкою паралаксу при відліку поділів шкали приладу, струсі фундаменту будівлі, впливом незначного руху повітря тощо.

Хоча виключити випадкові похибки окремих вимірів неможливо, математична теорія випадкових явищ дозволяє зменшити вплив цих похибок на остаточний результат вимірів. Нижче буде показано, що для цього необхідно зробити не один, а кілька вимірювань, причому чим менше значення похибки ми хочемо отримати, тим більше вимірювань потрібно провести.

У зв'язку з тим, що виникнення випадкових похибок неминуче і неусувно, основним завданням будь-якого процесу виміру є доведення похибок до мінімуму.

В основі теорії похибок лежать два основні припущення, що підтверджуються досвідом:

1. При великому числі вимірів випадкові похибки однакової величини, але різного знака, тобто похибки у бік збільшення та зменшення результату трапляються досить часто.

2. Великі по абсолютній величині похибки зустрічаються рідше, ніж малі, отже, ймовірність виникнення похибки зменшується зі зростанням її величини.

Поведінка випадкових величин описують статистичні закономірності, що є предметом теорії ймовірностей. Статистичним визначенням ймовірності w iподії iє відношення

де n- загальна кількість дослідів, n i- кількість дослідів, у яких подія iсталося. При цьому загальна кількість дослідів має бути дуже великою. n®¥). При великій кількості вимірів випадкові помилки підпорядковуються нормальному розподілу (розподіл Гаусса), основними ознаками якого є:

1. Чим більше відхилення значення виміряної величини від істинного, тим менша ймовірність такого результату.

2. Відхилення обидві сторони від справжнього значення рівноймовірні.

З наведених вище припущень випливає, що зменшення впливу випадкових помилок необхідно зробити вимір цієї величини кілька разів. Припустимо, що вимірюємо деяку величину x. Нехай зроблено nвимірювань: x 1, x 2, ... x n- тим самим методом і з однаковою ретельністю. Очікується, що число dnотриманих результатів, які лежать у деякому досить вузькому інтервалі від xдо x + dx, має бути пропорційно:

Величині взятого інтервалу dx;

Загальній кількості вимірів n.

Ймовірність dw(x) того, що деяке значення xлежить в інтервалі від xдо x + dx,визначається так :

(при числі вимірів n ®¥).

Функція f(х) називається функцією розподілу або щільністю ймовірності.

Як постулат теорії помилок приймається, що результати прямих вимірювань та їх випадкові похибки при великій їх кількості підпорядковуються закону нормального розподілу.

Знайдена Гаусом функція розподілу безперервної випадкової величини xмає такий вигляд:

де mіs - параметри розподілу .

Параметр нормального розподілу дорівнює середньому значенню á xñ випадкової величини, яка при довільній відомій функції розподілу визначається інтегралом

.

Таким чином, величина m є найімовірнішим значенням вимірюваної величини x, тобто. її найкращою оцінкою.

Параметр s 2 нормального розподілу дорівнює дисперсії D випадкової величини, що у загальному випадку визначається наступним інтегралом

.

Квадратний корінь із дисперсії називається середнім квадратичним відхиленням випадкової величини.

Середнє відхилення (похибка) випадкової величини визначається за допомогою функції розподілу наступним чином

Середня похибка вимірювань ásñ, обчислена за функцією розподілу Гаусса, співвідноситься з величиною середнього квадратичного відхилення s наступним чином:

< s > = 0,8s.

Параметри s і m пов'язані між собою так:

.

Цей вираз дозволяє знаходити середнє квадратичне відхилення s якщо є крива нормального розподілу.

Графік функції Гауса представлений малюнки. Функція f(x) симетрична щодо ординати, проведеної в точці x = m; проходить через максимум у точці x = m і має перегин у точках m±s. Таким чином, дисперсія характеризує ширину функції розподілу або показує, наскільки широко розкидані значення випадкової величини щодо її істинного значення. Чим точніше виміру, тим ближчі один до справжнього значення результати окремих вимірів, тобто. величина s – менше. На малюнку A зображено функцію f(x) для трьох значень s .

Площа фігури, обмеженою кривою f(x) і вертикальними прямими, проведеними з точок x 1 та x 2 (рис.б) , чисельно дорівнює ймовірності потрапляння результату виміру в інтервал D x = x 1 - x 2 яка називається довірчою ймовірністю. Площа під усією кривою f(x) дорівнює ймовірності влучення випадкової величини в інтервал від 0 до ¥, тобто.

,

оскільки можливість достовірного події дорівнює одиниці.

Використовуючи нормальний розподіл, теорія помилок ставить і вирішує дві основні задачі. Перша – оцінка точності проведених вимірювань. Друга – оцінка точності середнього арифметичного значення результатів вимірів. Довірчий інтервал. Коефіцієнт Ст'юдента.

Теорія ймовірностей дозволяє визначити величину інтервалу, в якому з певною ймовірністю wперебувають результати окремих вимірів. Ця ймовірність називається довірчою ймовірністю, а відповідний інтервал (<x> ± D x)wназивається довірчим інтервалом.Довірча ймовірність також дорівнює відносної частки результатів, що опинилися всередині довірчого інтервалу.

Якщо кількість вимірів nдосить велике, то довірча ймовірність висловлює частку із загальної кількості nтих вимірів, у яких виміряна величина виявилася не більше довірчого інтервалу. Кожній довірчій ймовірності wвідповідає свій довірчий інтервал. 2 80%. Чим ширший довірчий інтервал, тим більша ймовірність отримати результат усередині цього інтервалу. Теоретично ймовірностей встановлюється кількісний зв'язок між величиною довірчого інтервалу, довірчою ймовірністю і числом вимірів.

Якщо в якості довірчого інтервалу вибрати інтервал, що відповідає середній похибці, тобто D a =áD аñ, то при досить великій кількості вимірювань він відповідає довірчій ймовірності w 60%. При зменшенні кількості вимірювань довірча ймовірність, що відповідає такому довірчому інтервалу (á аñ ± áD аñ), зменшується.

Таким чином, для оцінки довірчого інтервалу випадкової величини можна користуватися величиною середньої похибки аñ .

Для характеристики величини випадкової похибки необхідно задати два числа, а саме величину довірчого інтервалу та величину довірчої ймовірності . Вказівка ​​однієї лише величини похибки без відповідної їй довірчої ймовірності значною мірою позбавлена ​​сенсу.

Якщо відома середня похибка вимірювання ásñ, довірчий інтервал, записаний у вигляді (<x> ± ásñ) w, визначений з довірчою ймовірністю w= 0,57.

Якщо відоме середнє квадратичне відхилення s розподілу результатів вимірювань, зазначений інтервал має вигляд (<x>± t w s) w, де t w- Коефіцієнт, що залежить від величини довірчої ймовірності і розраховується за розподілом Гаусса.

Найбільш часто використовувані величини D xнаведено у таблиці 1.

Абсолютна та відносна похибка

Елементи теорії похибок

Точні та наближені числа

Точність числа, як правило, не викликає сумнівів, коли йдеться про цілі значення даних (2 олівці, 100 дерев). Однак, у більшості випадків, коли точного значення числа вказати неможливо (наприклад, при вимірюванні предмета лінійкою, зняття результатів з приладу тощо), ми маємо справу з наближеними даними.

Наближеним значеннямназивається число, що незначно відрізняється від точного значення і замінює його в обчисленнях. Ступінь відхилення наближеного значення числа від його точного значення характеризується похибкою .

Розрізняють такі основні джерела похибок:

1. Похибки постановки задачі, що виникають внаслідок наближеного опису реального явища у термінах математики

2. Похибки методу, пов'язані з труднощами чи неможливістю розв'язання поставленої задачі та заміною її подібною, такою, щоб можна було застосувати відомий і доступний метод вирішення та отримати результат, близький до шуканого.

3. Непереборні похибки, пов'язані з наближеними значеннями вихідних даних та обумовлені виконанням обчислень над наближеними числами.

4. Похибки округлення, пов'язані з округленням значень вихідних даних, проміжних та кінцевих результатів, одержуваних із застосуванням обчислювальних засобів.

Абсолютна та відносна похибка

Облік похибок є важливим аспектом застосування чисельних методів, оскільки похибка кінцевого результату вирішення завдання є продуктом взаємодії всіх видів похибок. Тому одним із основних завдань теорії похибок є оцінка точності результату на підставі точності вихідних даних.

Якщо точне число і його наближене значення, то похибкою (помилкою) наближеного значення є ступінь близькості його значення до його точного значення .

Найпростішою кількісною мірою похибки є абсолютна похибка, яка визначається як

(1.1.2-1)

Як очевидно з формули 1.1.2-1, абсолютна похибка має самі одиниці виміру, як і величина . Тому за величиною абсолютної похибки далеко не завжди можна зробити правильний висновок про якість наближення. Наприклад, якщо , а йдеться про деталі верстата, то виміри є дуже грубими, а якщо розмір судна, то – дуже точними. У зв'язку з цим запроваджено поняття відносної похибки, у якому значення абсолютної похибки віднесено до модуля наближеного значення ( ).

(1.1.2-2)

Використання відносних похибок зручно, зокрема тим, що вони не залежать від масштабів величин і одиниць вимірювань даних. Відносна похибка вимірюється у частках чи відсотках. Так, наприклад, якщо

,а , то , а якщо і ,

то тоді .

Щоб чисельно оцінити похибку функції, потрібно знати основні правила підрахунку похибки дій:

· при додаванні та відніманні чисел абсолютні похибки чисел складаються

· при множенні та розподілі чисел один на одного складаються їх відносні похибки

· при зведенні до ступеня наближеного числа його відносна похибка множиться на показник ступеня

Приклад 1.1.2-1. Дана функція: . Знайти абсолютну та відносну похибки величини (похибка результату виконання арифметичних операцій), якщо значення відомі, а 1 - точне число та його похибка дорівнює нулю.

Визначивши таким чином значення відносної похибки, можна знайти значення абсолютної похибки, як , де величина обчислюється за формулою при наближених значеннях

Оскільки точне значення величини зазвичай невідоме, то обчислення і за наведеними вище формулами неможливо. Тому практично проводять оцінку граничних похибок виду:

(1.1.2-3)

де і – відомі величини, які є верхніми межами абсолютної та відносної похибок, інакше їх називають – гранична абсолютна та гранична відносна похибки. Таким чином, точне значення лежить у межах:

Якщо величина відома, то а якщо відома величина , то

3.1 Середньоарифметична похибка.Як зазначалося раніше, виміри принципово неможливо знайти абсолютно точними. Тому в ході виміру виникає задача про визначення інтервалу, в якому найімовірніше перебуває справжнє значення вимірюваної величини. Такий інтервал вказують як абсолютної помилки виміру.

Якщо припустити, що грубі промахи у вимірах усунуті, а систематичні помилки зведені до мінімуму ретельним налаштуванням приладів та всієї установки і не є визначальними, то результати вимірювань будуть, в основному, містити лише випадкові похибки, які є знакозмінними величинами. Тому, якщо проведено кілька повторних вимірів однієї й тієї ж величини, то найімовірнішим значенням величини, що вимірюється, є її середньоарифметичне значення:

Середньою абсолютною помилкоюназивається середньоарифметичним модулем абсолютних помилок окремих вимірювань:

Остання нерівність зазвичай прийнято записувати як остаточний результат вимірювання наступним чином:

де абсолютна похибка a ср повинна обчислюватись (округлюватись) з точністю до однієї-двох значущих цифр. Абсолютна помилка показує, у якому знаку числа містяться неточності, тому у виразі для а срзалишають усі вірні цифри та одну сумнівну. Тобто середнє значення та середня помилка вимірюваної величини повинні обчислюватися до цифри того самого розряду. Наприклад: g = (9,78 ± 0,24) м/с 2 .

Відносна похибка.Абсолютна помилка визначає інтервал найімовірніших значень вимірюваної величини, але з характеризує ступінь точності проведених вимірів. Наприклад, відстань між населеними пунктами, виміряна з точністю до кількох метрів, можна віднести до вельми точних вимірів, у той час як вимірювання діаметра дроту з точністю до 1 мм, в більшості випадків буде дуже наближеним виміром.

Ступінь точності проведених вимірів характеризує відносну похибку.

Середній відносною похибкоюабо просто відносною помилкою вимірювання називається відношення середньої абсолютної помилки вимірювання до середнього значення вимірюваної величини:

Відносна помилка є безрозмірною величиною і зазвичай виявляється у відсотках.

3.2 Похибка методу чи приладова похибка.Середньоарифметичне значення вимірюваної величини тим ближче до істинного, чим більше проведено вимірів, при цьому абсолютна похибка виміру зі збільшенням їх числа прагне значення, яке визначається методом вимірювання та технічними характеристиками використовуваних приладів.

Похибка методуабо приладову похибку можна розрахувати за одноразовим виміром, знаючи клас точності приладу або інші дані технічного паспорта приладу, в якому вказується клас точності приладу, або його абсолютна або відносна похибка виміру.

Клас точностіприладу виражає у відсотках номінальну відносну помилку приладу, тобто відносну помилку вимірювання, коли величина, що вимірюється, дорівнює граничному для даного приладу значенню

Абсолютна похибка приладу залежить від значення вимірюваної величини.

Відносна похибка приладу (за визначенням):

(10)

звідки видно, що відносна помилка приладу тим менше, чим ближче значення вимірюваної величини до межі вимірювання даного приладу. Тому рекомендується підбирати прилади те щоб вимірювана величина становила 60 -90% від величини, яку розрахований прилад. Працюючи з многопредельными приладами теж слід прагнути до того що, щоб відлік проводився у другій половині шкали.

Працюючи з простими приладами (лінійка, мензурка тощо.), класи точності і похибки яких визначено технічними характеристиками, абсолютну похибку прямих вимірів приймають рівної половині ціни розподілу даного приладу. (Ціною поділу називають значення вимірюваної величини при показаннях приладу в один поділ).

Приладову похибку непрямих вимірівможна розрахувати, використовуючи правила наближених обчислень. В основі обчислення похибки непрямих вимірів лежать дві умови (припущення):

1. Абсолютні помилки вимірювань завжди дуже малі порівняно з величинами, що вимірюються. Тому абсолютні помилки (теоретично) можна розглядати як нескінченно малі збільшення вимірюваних величин, і вони можуть бути замінені відповідними диференціалами.

2. Якщо фізична величина, яку визначають непрямим шляхом, є функцією однієї чи кількох безпосередньо вимірюваних величин, то абсолютна помилка функції, обумовлена ​​нескінченно малими приростами, є також нескінченно малою величиною.

При зазначених припущеннях абсолютну і відносну похибку можна розрахувати, використовуючи відомі висловлювання з теорії диференціального обчислення багатьох змінних функцій:

	(11)
	(12)

Абсолютні помилки безпосередніх вимірів можуть мати знаки "плюс" чи "мінус", але який саме – невідомо. Тому щодо похибок розглядається найбільш невигідний випадок, коли помилки прямих вимірів окремих величин мають один і той самий знак, тобто абсолютна помилка має максимальне значення. Тому при розрахунку прирощень функції f(x 1 ,x 2 ,...,х n)за формулами (11) та (12) приватні збільшення повинні складатися за абсолютною величиною. Таким чином, використовуючи наближення Dх i ≈ dx i ,і вирази (11) і (12), для нескінченно малих прирощень Dаможна записати:

	(13)
	(14)

Тут: а -опосередковано вимірювана фізична величина, тобто визначається за розрахунковою формулою, Dа- Абсолютна помилка її вимірювання, х 1, х 2, ... х n; Dх 1, Dx 2, ..., Dх n,- фізичні величини прямих вимірів та його абсолютні помилки відповідно.

Таким чином: а) абсолютна помилка непрямого методу виміру дорівнює сумі модулів творів приватних похідних функції виміру та відповідних абсолютних помилок прямих вимірів; б) відносна помилка непрямого методу вимірювання дорівнює сумі модулів диференціалів від логарифму натуральної функції вимірювання, що визначається розрахунковою формулою.

Вирази (13) і (14) дозволяють розрахувати абсолютні та відносні похибки за одноразовим виміром. Зауважимо, що для скорочення розрахунків за зазначеними формулами достатньо розрахувати одну з похибок (абсолютну або відносну), а іншу розрахувати, використовуючи простий зв'язок між ними:

На практиці частіше користуються формулою (13), оскільки при логарифмуванні розрахункової формули твори різних величин перетворюються на відповідні суми, а статечні та показові функції перетворюються на твори, що набагато спрощує процес диференціювання.

Для практичного посібника з розрахунку похибки непрямого методу виміру можна скористатися таким правилом:

Щоб обчислити відносну помилку непрямого методу виміру, потрібно:

1. Визначити абсолютні помилки (приладові чи середні) прямих вимірів.

2. Прологарифмувати розрахункову (робочу) формулу.

3. Приймаючи величини прямих вимірів за незалежні змінні, знайти повний диференціал отриманого виразу.

4. Скласти всі приватні диференціали за абсолютною величиною, замінивши у них диференціали змінних відповідними абсолютними помилками прямих вимірів.

Наприклад, щільність тіла циліндричної форми обчислюється за такою формулою:

(16)

де m, D, h -вимірювані величини.

Отримаємо формулу до розрахунку похибок.

1. Виходячи з використовуваного обладнання, визначаємо абсолютні похибки вимірювання маси, діаметра та висоти циліндра (∆m, ∆D, ∆hвідповідно).

2. Логарифмуємо вираз (16):

3. Диференціюємо:

4. Замінюючи диференціал незалежних змінних на абсолютні помилки та складаючи модулі приватних прирощень, отримуємо:

5. Використовуючи чисельні значення m, D, h, D, m, h, розраховуємо е.

6. Обчислюємо абсолютну помилку

де rрозраховано за формулою (16).

Пропонуємо самим переконатися, що у разі порожнього циліндра чи трубки із внутрішнім діаметром D 1та зовнішнім діаметром D 2

До розрахунку помилки методу виміру (прямого чи непрямого) доводиться вдаватися у випадках, коли багаторазові виміри або неможливо провести в одних і тих самих умовах, або вони займають багато часу.

Якщо визначення похибки виміру є важливим завданням, зазвичай вимірювання проводять багаторазово і обчислюють і среднеарифметическую похибку і похибка методу (приладову похибку). В остаточному підсумку вказують велику з них.

Про точність обчислень

Помилка результату визначається як неточностями вимірів а й неточностями обчислень. Обчислення необхідно проводити так, щоб їх помилка була на порядок меншою від помилки результату вимірювань. Для цього згадаємо правила математичної дії із наближеними числами.

Результати вимірів – наближені числа. У наближеному числі всі цифри мають бути вірними. Останньою вірною цифрою наближеного числа вважається така цифра, помилка у якій перевищує однієї одиниці її розряду. Усі цифри від 1 до 9 і 0, якщо він стоїть у середині чи наприкінці числа, називаються значущими. Серед 2330 - 4 значущих цифри, а числі 6,1×10 2 – лише дві, серед 0,0503 – три, оскільки нулі ліворуч від п'ятірки незначні. Запис числа 2,39 означає, що вірні всі знаки до другого після коми, а запис у 1,2800 - що вірно також і третій та четвертий знаки. У числі 1,90 три значущих цифри і це означає, що при вимірі ми враховували не тільки одиниці, а й десяті та соті, а в числі 1,9 – лише дві значущі цифри і це означає, що ми враховували цілі та десяті і точність цього числа у 10 разів менше.

Правила округлення чисел

При округленні залишають лише вірні знаки, інші відкидаються.

1. Округлення досягається простим відкиданням цифр, якщо перша з цифр, що відкидаються менше, ніж 5.

2. Якщо перша з цифр, що відкидаються більше, ніж 5, то остання цифра збільшується на одиницю. Остання цифра збільшується також і в тому випадку, коли перша з цифр, що відкидаються 5, а за нею є одна або кілька цифр, відмінних від нуля.

Наприклад, різні округлення числа 35856 будуть: 359; 36.

3. Якщо цифра 5, що відкидається, а за нею немає значущих цифр, то округлення проводиться на найближче парне число, тобто, остання збережена цифра залишається незмінною, якщо вона парна і збільшується на одиницю, якщо вона непарна.

Наприклад, 0,435 округляємо до 0,44; 0,365 округляємо до 0,36.

Насправді зазвичай числа, з яких виробляються обчислення, є наближеними значеннями тих чи інших величин. Для стислості промови наближене значення величини називають наближеним числом. Справжнє значення величини називають точним числом. Наближене число має практичну цінність лише тоді ми можемо визначити, з яким ступенем точності воно дано, тобто. оцінити його похибку. Нагадаємо основні поняття із загального курсу математики.

Позначимо: x- точне число (справжнє значення величини), а-Наближене число (наближене значення величини).

Визначення 1. Похибкою (або істинною похибкою) наближеного числа називається різниця між числом xта його наближеним значенням а. Похибка наближеного числа абудемо позначати. Отже,

Точне число xнайчастіше буває невідомо, тому знайти справжню та абсолютну похибки не є можливим. З іншого боку, необхідно оцінити абсолютну похибку, тобто. вказати число, якого може перевищити абсолютна похибка. Наприклад, вимірюючи довжину предмета даним інструментом, ми повинні бути впевнені, що похибка отриманого числового значення не перевищить деякого числа, наприклад 0,1 мм. Іншими словами, ми маємо знати межу абсолютної похибки. Цей кордон називатимемо граничною абсолютною похибкою.

Визначення 3. Граничною абсолютною похибкою наближеного числа аназивається позитивне число таке, що , тобто.

Значить, хза нестачею, - за надлишком. Застосовують також такий запис:

Зрозуміло, що гранична абсолютна похибка визначається неоднозначно: якщо деяке число є граничною абсолютною похибкою, то будь-яке більше є гранична абсолютна похибка. Насправді намагаються вибирати можливо менше і просте по запису (з 1-2 значними цифрами) число , що задовольняє нерівності (2.3).

приклад.Визначити справжню, абсолютну та граничну абсолютну похибки числа а = 0,17, взятого як наближене значення числа .

Справжня похибка:

Абсолютна похибка:

За граничну абсолютну похибку можна прийняти число і більше. У десятковому записі будемо мати: Замінюючи це число більшим і, можливо, простішим за записом, приймемо:

Зауваження. Якщо ає наближене значення числа х, причому гранична абсолютна похибка дорівнює h, то кажуть, що ає наближене значення числа хз точністю до h.

Знання абсолютної похибки недостатньо для характеристики якості виміру чи обчислення. Нехай, наприклад, отримані такі результати при вимірі довжини. Відстань між двома містами S 1=500 1 км та відстань між двома будинками у місті S 2=10 1 км. Хоча абсолютні похибки обох результатів однакові, проте істотне значення має те, що в першому випадку абсолютна похибка в 1 км. припадає на 500 км., у другому - на 10 км. Якість виміру у першому випадку краще, ніж у другому. Якість результату виміру чи обчислення характеризується відносною похибкою.

Визначення 4.Відносною похибкою наближеного значення ачисла хназивається відношення абсолютної похибки числа адо абсолютного значення числа х:

Визначення 5.Граничною відносною похибкою наближеного числа аназивається позитивне число таке, що .

Оскільки , то з формули (2.7) випливає, що можна обчислити за формулою

Для стислості мови у випадках, коли це викликає непорозумінь, замість “гранична відносна похибка” кажуть просто “відносна похибка”.

Граничну відносну похибку часто виражають у відсотках.

Приклад 1. . Вважаючи, можемо прийняти =. Виробляючи розподіл і округляючи (обов'язково у бік збільшення), отримаємо =0,0008=0,08%.

приклад 2.При зважуванні тіла одержано результат: p=23,4 0,2 р. Маємо =0,2. . Виробляючи поділ та округляючи, отримаємо =0,9%.

Формула (2.8) визначає залежність між абсолютною та відносною похибками. З формули (2.8) випливає:

Користуючись формулами (2.8) та (2.9), ми можемо, якщо відоме число а, з цієї абсолютної похибки знаходити відносну похибку і навпаки.

Зауважимо, що формули (2.8) та (2.9) часто доводиться застосовувати і тоді, коли ми ще не знаємо наближеного числа аз необхідною точністю, а знаємо грубе наближене значення а. Наприклад, потрібно виміряти довжину предмета відносної похибкою не вище 0,1%. Постає питання: чи можливо виміряти довжину з потрібною точністю за допомогою штангенциркуля, що дозволяє виміряти довжину з абсолютною похибкою до 0,1 мм? Нехай ми ще не вимірювали предмет точним інструментом, але знаємо, що грубе наближене значення довжини – близько 12 див.За формулою (1.9) знаходимо абсолютну похибку:

Звідси видно, що з допомогою штангенциркуля можна здійснити вимір із необхідної точністю.

У процесі обчислювальної роботи часто доводиться переходити від абсолютної похибки відносної, і навпаки, що робиться за допомогою формул (1.8) і (1.9).