Як знайти площу неправильного багатокутника знаючи периметр. Які їхні види існують? Формула площі багатокутника через радіус вписаного кола

У цій статті мова піде про те, як висловити площу багатокутника, в який можна вписати коло через радіус цього кола. Відразу варто відзначити, що не у всякий багатокутник можна вписати коло. Однак, якщо це можливо, формула, за якою обчислюється площа такого багатокутника, стає дуже простою. Дочитайте цю статтю до кінця або подивіться відеоурок, що додається, і ви дізнаєтеся, як же виразити площу багатокутника через радіус вписаного в нього кола.

Формула площі багатокутника через радіус вписаного кола

Намалюємо багатокутник A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 , не обов'язково правильний, але такий, в який можна вписати коло. Нагадаю, що вписаним називається коло, яке стосується всіх сторін багатокутника. На малюнку це зелене коло з центром у точці O:

Ми взяли тут для прикладу 5-кутник. Але насправді це не має суттєвого значення, оскільки подальший доказ справедливий і для 6-кутника і для 8-кутника і взагалі для будь-якого скільки завгодно «кутника».

Якщо з'єднати центр вписаного кола з усіма вершинами багатокутника, він розіб'ється на стільки трикутників, скільки вершин у цьому багатокутнику. У нашому випадку: 5 трикутників. Якщо ж з'єднати точку Oз усіма точками торкання вписаного кола зі сторонами багатокутника, то вийде 5 відрізків (на малюнку знизу це відрізки OH 1 , OH 2 , OH 3 , OH 4 та OH 5), які рівні радіусу кола та перпендикулярні сторонам багатокутника, до яких вони проведені. Останнє справедливо, оскільки радіус, проведений у точку торкання, перпендикулярний дотичній:

Як знайти площу нашого описаного багатокутника? Відповідь проста. Потрібно скласти площі всіх отриманих у результаті розбиття трикутників:

Розглянемо, чому дорівнює площа трикутника . На малюнку знизу він виділено жовтим кольором:

Вона дорівнює половині твору основи A 1 A 2 на висоту OH 1 , проведену до цієї основи. Але, як ми вже з'ясували, ця висота дорівнює радіусу вписаного кола. Тобто формула площі трикутника набуває вигляду: , де r- Радіус вписаного кола. Аналогічно знаходяться площі всіх трикутників, що залишилися. В результаті шукана площа багатокутника виявляється рівна:

Видно, що у всіх складових цієї суми їсть загальний множник, який можна винести за дужки. В результаті вийде такий вираз:

Тобто у дужках залишилася просто сума всіх сторін багатокутника, тобто його периметр P. Найчастіше у цій формулі вираз замінюють просто на pі називають цю літеру "напівпериметром". В результаті, остаточна формула набуває вигляду:

Тобто площа багатокутника, в який вписано коло відомого радіусу, дорівнює добутку цього радіусу на півпериметр багатокутника. Це і є той результат, якого ми прагнули.

Зазначить насамкінець, що у трикутник, який є окремим випадком багатокутника, завжди можна вписати коло. Тому для трикутника цю формулу можна застосовувати завжди. Для інших багатокутників, з кількістю сторін більшою за 3, спочатку потрібно переконатися, що в них можна вписати коло. Якщо це так, можна сміливо використати цю просту формулу та знаходити по ній площу цього багатокутника.

Матеріал підготував, Сергій Валерійович

Така фігура неодмінно характеризуватиметься двома положеннями:

1. Сумежні сторони не належать до однієї прямої.
2. У несуміжних відсутні спільні точки, тобто вони не перетинаються.

Щоб зрозуміти, які вершини є сусідніми, потрібно подивитися, чи вони належать одній стороні. Якщо так, то сусідні. В іншому випадку їх можна буде з'єднати відрізком, який слід назвати діагоналлю. Їх можна провести лише у багатокутниках, у яких більше трьох вершин. Які їхні види існують? Багатокутник, у якого більше чотирьох кутів, може бути опуклим або увігнутим. Відмінність останнього в тому, що деякі його вершини можуть лежати з різних боків від прямої, проведеної через довільну сторону багатокутника.

Площа багатокутника

Розрахунок площі Багатокутника, використовуючи радіус вписаного кола і довжину сторони:[ (A×P)/2 ][ Apothem(A) = side/(2×Tan(π/N)) ] Введіть довжину = Введіть кількість сторін = Площа Багатокутника = Розрахунок площі по довжині сторони: Площа Багатокутника = ((side)² * N) / (4Tan(π / N))Периметр Багатокутника = N * (side) Розрахунок площі по радіусу описаного кола: Площа Багатокутника = ½ * R² * Sin(2π / N) Розрахунок площі по радіусу вписаного кола: Площа Багатокутника = A² * N * Tan (π / N) де, A = R * Cos (π / N) По радіусу вписаного кола і довжині сторони: Площа багатокутника = ( A * P) / 2де A = сторона / (2 * Tan (π / N)) де,

• N = Кількість сторін,
• A = Радіус вписаного кола,
• R = Радіус описаної орудності,
• P = Периметр

Приклади: Завдання 1: Знайдіть площу та периметр багатокутника, якщо довжина сторони = 2 та кількість сторін = 4.

Площа правильного багатокутника

З неї легко отримати таку, яка стане в нагоді для окремих випадків:

1. трикутника: S = (3√3)/4 * R2;
2. квадрата: S = 2*R2;
3. шестикутника: S = (3√3)/2 * R2.

Ситуація з неправильною фігурою Виходом для того, як дізнатися площу багатокутника, якщо він не є правильним і його не можна віднести до жодної з відомих раніше фігур, є алгоритм:

• розбити його на прості фігури, наприклад трикутники, щоб вони не перетиналися;
• обчислити їх площі за будь-якою формулою;
• скласти усі результати.

Що робити, якщо завдання задані координати вершин багатокутника? Тобто відомий набір пар чисел для кожної точки, які обмежують сторони фігури.

Площа та периметр багатокутника

Тоді площа багатокутника визначається як сума n доданків.

Увага

Кожна з них має такий вигляд: ((yi+1 +yi)/2) * (xi+1 — xi).

Приклад завдання Умови. Координати вершин задані такими значеннями (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5).

Інфо

Потрібно обчислити площу багатокутника. Рішення.

Наведені вище приклади показують, як обчислити площу та периметр багатокутника вручну.

Правильний багатокутник

S tan⁡〖(180°)/n〗)/n)/2 tan⁡〖(180°)/n〗=√(S/(n tan⁡〖(180°)/n〗)) R=a/ (2 sin⁡〖(180°)/n〗)=√((4S tan⁡〖(180°)/n〗)/n)/2 sin⁡〖(180°)/n〗=√(S/( n cos⁡〖(180°)/n〗)) Обчислити периметр правильного багатокутника через площу можливо, якщо уявити його у вигляді добутку кількості сторін n на отриманий замість сторони радикал, а потім спростити вираз, внісши n під корінь. P=na=n√((4S tan⁡〖(180°)/n〗)/n)=√(4nS tan⁡〖(180°)/n〗) Кут правильного багатокутника можна обчислити за формулою, яка має лише одну змінну – кількість сторін фігури, тому потребує жодних змін.

Калькулятор площі багатокутника

Підставляючи замість n кількість сторін фігури можна отримати формулу визначення площі будь-якого правильного полігону, яка буде площа квадрата a^2, помноженого на певний коефіцієнт.

Цікаво, що зі збільшенням кількості кутів цей коефіцієнт також збільшуватиметься, наприклад, для пентагону - 1,72, а гексагону - 2,59. Оскільки біля будь-якого правильного полігону можна описати коло або вписати його до нього, ми можемо використовувати відповідні радіуси для обчислення площ багатокутників.

Сторона та радіус описаного кола для будь-якого полігону співвідносяться як: a = R × 2 sin (pi/n), де R – радіус описаного кола, n – кількість сторін геометричної фігури.

Для вписаного в полігон кола співвідношення трохи змінюється і виглядає як: a = r × 2 tg (pi/n), де r – радіус вписаного кола.

Як розрахувати площу правильного багатокутника

Приклад багатокутника Даний калькулятор обчислює площу багатокутника по введених сторонах і діагоналях, що розбивають багатокутник на трикутники, що не перетинаються.

Дивимося на картинку - площу багатокутника ABCDE можна обчислити як суму площ трикутників ABD, BCD та ADE.

Для цього, зрозуміло, крім довжин сторін багатокутника, треба знати ще й довжини діагоналей BD і AD, але це і все, що потрібно - площу будь-якого трикутника можна обчислити тільки по довжинах сторін, без вимірювання кутів.

А це досить зручно, наприклад, при побутовому ремонті - довжини всяко простіше поміряти, ніж кути.

Отже, вимірюємо довжини сторін багатокутника, що цікавить нас, заносимо їх в таблицю, подумки розбиваємо багатокутник на трикутники, вимірюваємо потрібні діагоналі, також заносимо їх в таблицю, після чого калькулятор розраховує площу всієї фігури.

Як дізнатися площу багатокутника?

Як поводитися з правильним багатокутником, у якого більше чотирьох вершин? Для початку така фігура характеризується тим, що у ній усі сторони рівні. Плюс до цього, багатокутник має однакові кути. Якщо навколо такої фігури описати коло, то її радіус збігатиметься з відрізком від центру багатокутника до однієї з вершин. Тому для того щоб обчислити площу правильного багатокутника з довільним числом вершин, знадобиться така формула: Sn = 1/2 * n * Rn2 * sin (360º/n), де n - кількість вершин багатокутника.
Таким чином, для визначення площі будь-якого правильного полігону вам знадобиться вказати кількість сторін n та будь-який параметр на вибір:

• довжина сторони a;
• радіус вписаного кола r;
• радіус описаного кола R.

Розглянемо кілька прикладів для знаходження площі будь-якого багатокутника.

Бджолині стільники - унікальний природний об'єкт, який складається з безлічі гексагональних призматичних осередків.

Давайте підрахуємо скільки таких шестикутників знаходиться в одних сотах.

Для цього нам потрібно дізнатися загальну площу та площу одного осередку.

З Вікіпедії ми знаємо, що стандартна рамка для сот має розміри 435 х 300 мм, відповідно, загальна площа становить 130 500 квадратних міліметрів.

Там же зазначено, що горизонтальний діаметр одного осередку становить приблизно 5,5 мм.

Діагональ 2 Кут α ($ main.angles $) Кут β ($ main.angles $) Введіть будь-які 3 величини Сторона A Сторона B Висота ha Висота hb Діагональ 1 Діагональ 2 Кут α ($ main.angles $) Кут β ($ main .angles $) Введіть будь-які 3 величини Основа A Основа C Висота H Доповніть бічні сторони для пошуку периметра Сторона B Сторона D Введіть 1 величину Сторона A Радіус описаного кола (R) Радіус вписаного кола (r) Кількість сторін багатокутника Введіть 1 величину Сторона A Радіус описаного кола (R) Радіус вписаного кола (r) Введіть 1 величину Сторона A = радіуса описаного кола (R) Радіус вписаного кола (r) Результат розрахунку

• Периметр: ($ result.p|number:4 $)
• Площа: ($ result.s|number:4 $)

Багатокутник або полігон – геометрична фігура, яка має n-ну кількість кутів.
Загалом багатокутник - це частина площини, яка обмежена замкненою ламаною.

Геометрія багатокутників Загалом така геометрична фігура може мати абсолютно будь-який вигляд.

Наприклад, символи зірки та компасу, полігон для моделювання або грань шестерні – багатокутники.

Багатокутні фігури поділяються на дві групи:

• неопуклі, які мають будь-яку химерну форму з можливими самоперетинами (найочевидніший приклад - зірка);
• опуклі, всі точки яких знаходяться по одну сторону від прямої, проведеної через дві сусідні вершини (квадрат, трикутник).

Випуклий полігон, у якого всі кути рівні та всі сторони рівні, вважається правильним і має власну назву.

\[(\Large(\text(Основні факти про площу)))\]

Можна сказати, що площа багатокутника - це величина, що позначає частину площини, яку займає багатокутник. За одиницю виміру площі приймають площу квадрата зі стороною (1) см, (1) мм і т.д. (Поодинокий квадрат). Тоді площа буде вимірюватися в см(^2\) , мм(^2\) відповідно.

Інакше кажучи, можна сказати, площа фігури - це величина, чисельне значення якої показує, скільки разів одиничний квадрат вміщається у цій фігурі.

Властивості площі

1. Площа будь-якого багатокутника – величина позитивна.

2. Рівні багатокутники мають рівні площі.

3. Якщо багатокутник складений із кількох багатокутників, його площа дорівнює сумі площ цих багатокутників.

4. Площа квадрата зі стороною \(a\) дорівнює \(a^2\).

\[(\Large(\text(Площа прямокутника і паралелограма)))]]

Теорема: площа прямокутника

Площа прямокутника зі сторонами (a) і (b) дорівнює (S = ab).

Доведення

Добудуємо прямокутник \(ABCD\) до квадрата зі стороною \(a+b\), як показано на малюнку:

Даний квадрат складається з прямокутника \(ABCD\), ще одного рівного йому прямокутника і двох квадратів зі сторонами \(a\) і \(b\). Таким чином,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(пр-к))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(пр-к))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(text(пр-к))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(пр-к) )=ab \end(multline*)\)

Визначення

Висота паралелограма - це перпендикуляр, проведений з вершини паралелограма до сторони (або продовження сторони), що не містить цієї вершини.
Наприклад, висота \(BK\) падає на бік \(AD\) , а висота \(BH\) - на продовження сторони \(CD\) :

Теорема: площа паралелограма

Площа паралелограма дорівнює добутку висоти та сторони, до якої проведена ця висота.

Доведення

Проведемо перпендикуляри \(AB"\) та \(DC"\), як показано на малюнку. Зауважимо, що ці перпендикуляри дорівнюють висоті паралелограма (ABCD).

Тоді \(AB"C"D\) – прямокутник, отже, \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Зауважимо, що прямокутні трикутники \(ABB"\) та \(DCC"\) рівні. Таким чином,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\text(Площа трикутника)))\]

Визначення

Будемо називати сторону, до якої в трикутнику проведена висота, основою трикутника.

Теорема

Площа трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту, проведену до цієї основи.

Доведення

Нехай \(S\) - площа трикутника \(ABC\). Приймемо сторону \(AB\) за основу трикутника і проведемо висоту \(CH\). Доведемо, що \ Добудуємо трикутник \(ABC\) до паралелограма \(ABDC\) так, як показано на малюнку:

Трикутники \(ABC\) і \(DCB\) рівні по трьох сторонах (\(BC\) – їх спільна сторона, \(AB = CD\) та \(AC = BD\) як протилежні сторони паралелограма \(ABDC\) )), тому їх площі рівні. Отже, площа \(S\) трикутника \(ABC\) дорівнює половині площі паралелограма \(ABDC\), тобто \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdot CH\).

Теорема

Якщо два трикутники \(\triangle ABC\) і \(\triangle A_1B_1C_1\) мають рівні висоти, їх площі відносяться як підстави, до яких ці висоти проведені.

Слідство

Медіана трикутника ділить його на два трикутники, рівних за площею.

Теорема

Якщо два трикутники \(\triangle ABC\) і \(\triangle A_2B_2C_2\) мають по рівному куту, їх площі відносяться як твори сторін, що утворюють цей кут.

Доведення

Нехай \(\angle A = angle A_2\) . Сумісний ці кути так, як показано на малюнку (точка \(A\) суміщалася з точкою \(A_2\) ):

Проведемо висоти (BH) і (C_2K).

Трикутники \(AB_2C_2\) і \(ABC_2\) мають однакову висоту \(C_2K\) , отже: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Трикутники \(ABC_2\) і \(ABC\) мають однакову висоту \(BH\) , отже: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Перемножуючи останні дві рівності, отримаємо: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( або ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

теорема Піфагора

У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів:

Правильне і обернене: якщо в трикутнику квадрат довжини однієї сторони дорівнює сумі квадратів довжин інших двох сторін, то такий трикутник прямокутний.

Теорема

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів.

Теорема: формула Герона

Нехай \(p\) - напівпериметр трикутника, \(a\) , \(b\) , \(c\) - довжини його сторін, тоді його площа дорівнює \

\[(\Large(\text(Площа ромба та трапеції)))]

Зауваження

Т.к. ромб є паралелограмом, то йому правильна та сама формула, тобто. площа ромба дорівнює добутку висоти та сторони, до якої проведена ця висота.

Теорема

Площа опуклого чотирикутника, діагоналі якого перпендикулярні, дорівнює половині добутку діагоналей.

Доведення

Розглянемо чотирикутник (ABCD). Позначимо (AO = a, CO = b, BO = x, DO = y) :

Зауважимо, що даний чотирикутник складений із чотирьох прямокутних трикутників, отже, його площа дорівнює сумі площ цих трикутників:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multline*)\)

Наслідок: площа ромба

Площа ромба дорівнює половині твору його діагоналей: \

Визначення

Висота трапеції – це перпендикуляр, проведений з вершини однієї основи до іншої основи.

Теорема: площа трапеції

Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми підстав на висоту.

Доведення

Розглянемо трапецію \(ABCD\) з основами \(BC\) і \(AD\). Проведемо \(CD"\parallel AB\), як показано на малюнку:

Тоді (ABCD ") - паралелограм.

Проведемо також \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) - висоти трапеції).

Тоді \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Т.к. трапеція складається з паралелограма \(ABCD"\) і трикутника \(CDD"\) , то її площа дорівнює сумі площ паралелограма та трикутника, тобто:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

Площа багатокутника. Друзі! До вашої уваги кілька завдань з багатокутником і вписаною в нього коло. Існує формула, якою зв'язується радіус зазначеного кола та периметр із площею такого багатокутника. Ось вона:

Як виводиться ця формула? Просто!

Маємо багатокутник і вписане коло. *Розглянемо висновок на прикладі п'ятикутника. Розіб'ємо його на трикутники (з'єднаємо центр кола та вершини відрізками). Виходить, що у кожного трикутника основа є стороною багатокутника, а висоти утворених трикутників дорівнюють радіусу вписаного кола:

Використовуючи формулу площі трикутника, можемо записати:

Винесемо спільні множники:

Впевнений, що сам принцип вам зрозумілий.

*При виведенні формули кількість сторін взятого багатокутника не має значення. У загальному вигляді висновок формули виглядав би так:

*Додаткова інформація!

Відома формула радіуса кола вписаного в трикутник

Не важко помітити, що вона виходить із отриманої нами формули, подивіться (a, b, c – це сторони трикутника):

27640. Біля кола, радіус якого дорівнює 3, описано багатокутник, периметр якого дорівнює 20. Знайдіть його площу.

Обчислюємо:

Ще кілька завдань з багатокутниками.

27930. Кут між стороною правильного n-кутника, вписаного в коло, та радіусом цього кола, проведеним в одну з вершин сторони, дорівнює 54 0 . Знайдіть n.

Якщо кут між радіусом кола та стороною багатокутника дорівнює 54 0 , то кут між сторонами багатокутника дорівнюватиме 108 0 . Тут слід згадати формулу кута правильного багатокутника:

Залишається підставити у формулу значення кута та обчислити n:

27595. Периметри двох подібних багатокутників відносяться як 2:7. Площа меншого багатокутника дорівнює 28. Знайдіть площу більшого багатокутника.

Тут треба згадати у тому, що й лінійні розміри фігури збільшується в k раз, то площа фігури збільшується в k 2 раз. *Властивість подібності фігур.

Периметр більшого багатокутника більший за периметр меншого в 7/2 рази, отже площа збільшилася в (7/2) 2 рази. Таким чином, площа більшого багатокутника дорівнює.

У задачах геометрії часто потрібно обчислити площу багатокутника. Причому може мати досить різноманітну форму - від усім знайомого трикутника до деякого n-кутника з якимось неймовірним числом вершин. До того ж ці багатокутники бувають опуклими чи увігнутими. У кожній конкретній ситуації потрібно відштовхуватися від зовнішнього вигляду фігури. Так вдасться вибрати оптимальний шлях розв'язання задачі. Фігура може виявитися правильною, що спростить вирішення завдання.

Трохи теорії про багатокутники

Якщо провести три або більше прямих, що перетинаються, то вони утворюють деяку фігуру. Саме вона є багатокутником. За кількістю точок перетину стає зрозумілим, скільки вершин у нього буде. Вони дають назву фігурі, що вийшла. Це може бути:

Така фігура неодмінно характеризуватиметься двома положеннями:

1. Сумежні сторони не належать до однієї прямої.
2. У несуміжних відсутні спільні точки, тобто вони не перетинаються.

Щоб зрозуміти, які вершини є сусідніми, потрібно подивитися, чи вони належать одній стороні. Якщо так, то сусідні. В іншому випадку їх можна буде з'єднати відрізком, який слід назвати діагоналлю. Їх можна провести лише у багатокутниках, у яких більше трьох вершин.

Які їхні види існують?

Багатокутник, у якого більше чотирьох кутів, може бути опуклим або увігнутим. Відмінність останнього в тому, що деякі його вершини можуть лежати з різних боків від прямої, проведеної через довільну сторону багатокутника. У опуклі завжди всі вершини лежать з одного боку від такої прямої.

У шкільному курсі геометрії більшість часу приділяється саме опуклим фігурам. Тому в завданнях потрібно дізнатися площу опуклого багатокутника. Тоді існує формула через радіус описаного кола, що дозволяє знайти потрібну величину для будь-якої фігури. В інших випадках однозначного рішення немає. Для трикутника формула одна, а для квадрата чи трапеції зовсім інші. У ситуаціях, коли фігура неправильна або вершин дуже багато, прийнято розділяти їх на прості та знайомі.

Як вчинити, якщо фігура має три чи чотири вершини?

У першому випадку він виявиться трикутником, і можна скористатися однією з формул:

• S = 1/2 * а * н, де а – сторона, н – висота до неї;
• S = 1/2 * а * в * sin (А), де а, в - сторони трикутника, А - кут між відомими сторонами;
• S = √(p * (p - а) * (p - в) * (p - с)), де с - сторона трикутника, до вже позначених двох, р - напівпериметр, тобто сума всіх трьох сторін, розділена на два .

Фігура з чотирма вершинами може виявитися паралелограмом:

• S = а * н;
• S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), де d 1 і d 2 - діагоналі, α - кут між ними;
• S = a * * sin(α).

Формула для площі трапеції: S = н * (a + в) / 2, де а і в - Довжини основ.

Як поводитися з правильним багатокутником, у якого більше чотирьох вершин?

Для початку така фігура характеризується тим, що у ній усі сторони рівні. Плюс до цього, багатокутник має однакові кути.

Якщо навколо такої фігури описати коло, то її радіус збігатиметься з відрізком від центру багатокутника до однієї з вершин. Тому для того, щоб обчислити площу правильного багатокутника з довільним числом вершин, знадобиться така формула:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), де n - кількість вершин багатокутника.

З неї легко отримати таку, яка стане в нагоді для окремих випадків:

1. трикутника: S = (3√3)/4 * R 2;
2. квадрата: S = 2 * R 2;
3. шестикутника: S = (3√3)/2 * R 2 .

Ситуація із неправильною фігурою

Виходом для того, як дізнатися площу багатокутника, якщо він не є правильним і його не можна віднести до жодної з відомих раніше фігур, є алгоритм:

• розбити його на прості фігури, наприклад трикутники, щоб вони не перетиналися;
• обчислити їх площі за будь-якою формулою;
• скласти усі результати.

Що робити, якщо завдання задані координати вершин багатокутника?

Тобто відомий набір пар чисел для кожної точки, які обмежують сторони фігури. Зазвичай вони записуються як (x 1 ; y 1) для першої, (x 2 ; y 2) - для другої, а n-а вершина має такі значення (x n ; y n). Тоді площа багатокутника визначається як сума n доданків. Кожне з них має такий вигляд: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). У цьому вся виразі i змінюється від одиниці до n.

Слід зазначити, що знак результату залежатиме від обходу фігури. При використанні зазначеної формули та руху за годинниковою стрілкою відповідь буде негативною.

Приклад завдання

Умови. Координати вершин задані такими значеннями (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5). Потрібно обчислити площу багатокутника.

Рішення. За формулою, зазначеною вище, перший доданок буде дорівнює (1.8 + 0.6) / 2 * (3.6 - 2.1). Тут потрібно просто взяти значення для грека та ікса від другої та першої крапок. Нескладний розрахунок спричинить результат 1.8.

Другий доданок аналогічно виходить: (2.2 + 1.8) / 2 * (2.3 - 3.6) = -2.6. При вирішенні подібних завдань не варто лякатися негативних величин. Все йде так, як треба. Це є планомірним.

Подібним чином виходять значення третього (0.29), четвертого (-6.365) і п'ятого доданків (2.96). Тоді підсумкова площа дорівнює: 1.8 + (-2.6) + 0.29 + (-6.365) + 2.96 = – 3.915.

Порада щодо вирішення задачі, для якої багатокутник зображений на папері в клітку

Найчастіше спантеличує те, що у даних є лише розмір клітини. Але виявляється, що більше інформації не потрібно. Рекомендацією до вирішення такої задачі є розбивання фігури на множину трикутників і прямокутників. Їхні площі досить просто порахувати по довжинах сторін, які потім легко скласти.

Але часто є простіший підхід. Він у тому, щоб домалювати фігуру до прямокутника і визначити значення його площі. Потім порахувати площі тих елементів, які виявилися зайвими. Відняти їх із загального значення. Цей варіант часом передбачає дещо менше дій.