Як знайти середнє значення обсягу Цікава математика

Велике поширення у статистиці мають середні величини. Середні величини характеризують якісні показники комерційної діяльності: витрати звернення, прибуток, рентабельність та інших.

Середня - це один із поширених прийомів узагальнень. Правильне розуміння сутності середньої визначає її особливу значущість в умовах ринкової економіки, коли середня через одиничне та випадкове дозволяє виявити загальне та необхідне, виявити тенденцію закономірностей економічного розвитку.

Середня величина - це узагальнюючі показники, у яких знаходять вираз дії загальних умов, закономірностей досліджуваного явища.

Статистичні середні розраховуються на основі масових даних правильно статистично організованого масового спостереження (суцільного та вибіркового). Однак статистична середня буде об'єктивною і типовою, якщо вона розраховується за масовими даними для якісно однорідної сукупності (масових явищ). Наприклад, якщо розраховувати середню заробітну плату в кооперативах і на держпідприємствах, а результат поширити на всю сукупність, то середня фіктивна, оскільки розрахована за неоднорідною сукупністю, і така середня втрачає будь-який сенс.

За допомогою середньої відбувається як би згладжування відмінностей у величині ознаки, що виникають з тих чи інших причин в окремих одиниць спостереження.

Наприклад, середнє вироблення продавця залежить багатьох причин: кваліфікації, стажу, віку, форми обслуговування, здоров'я тощо.

Середнє вироблення відбиває загальне властивість всієї сукупності.

Середня величина є відображенням значень досліджуваного ознаки, отже, вимірюється у тому розмірності, як і це ознака.

Кожна середня величина характеризує досліджувану сукупність за якоюсь однією ознакою. Щоб отримати повне і всебічне уявлення про сукупність, що вивчається, по ряду істотних ознак, в цілому необхідно розташовувати системою середніх величин, які можуть описати явище з різних сторін.

Існують різні середні:

середня арифметична;

середня геометрична;

середня гармонійна;

середня квадратична;

середня хронологічна.

Розглянемо деякі види середніх, які найчастіше використовуються у статистиці.

Середня арифметична

Середня арифметична проста (невиважена) дорівнює сумі окремих значень ознаки, поділеної на число цих значень.

Окремі значення ознаки називають варіантами та позначають через х(); число одиниць сукупності позначають через n, середнє значення ознаки через . Отже, середня арифметична проста дорівнює:

За даними дискретного ряду розподілу видно, що одні й самі значення ознаки (варіанти) повторюються кілька разів. Так, варіанти х зустрічається в сукупності 2 рази, а варіанти х-16 разів і т.д.

Число однакових значень ознаки в рядах розподілу називається частотою або вагою та позначається символом n.

Обчислимо середню заробітну плату одного робітника у руб.:

Фонд заробітної плати за кожною групою робітників дорівнює добутку варіанти на частоту, а сума цих творів дає загальний фонд заробітної плати всіх робітників.

Відповідно до цього, розрахунки можна подати у загальному вигляді:

Отримана формула називається середньою арифметичною завислою.

Статистичний матеріал у результаті обробки може бути представлений у вигляді дискретних рядів розподілу, а й у вигляді інтервальних варіаційних рядів із закритими чи відкритими інтервалами.

Обчислення середньої за згрупованими даними проводиться за формулою середньої арифметичної зваженої:

У практиці економічної статистики іноді доводиться обчислювати середню за груповим середнім або середнім окремих частин сукупності (приватним середнім). У разі за варіанти (х) приймаються групові чи приватні середні, виходячи з яких обчислюється загальна середня як звичайна середня арифметична зважена.

Основні властивості середньої арифметичної .

Середня арифметична має ряд властивостей:

1. Від зменшення або збільшення частот кожного значення ознаки х у п раз величина середньої арифметичної не зміниться.

Якщо всі частоти розділити або помножити на якесь число, то величина середньої не зміниться.

2. Загальний множник індивідуальних значень ознаки може бути винесений за знак середньої:

3. Середня суми (різниці) двох або кількох величин дорівнює сумі (різниці) їх середніх:

4. Якщо х = с, де с – постійна величина, то
.

5. Сума відхилень значень ознаки Х від середньої арифметичної х дорівнює нулю:

Середня гармонійна.

Поряд із середньою арифметичною, у статистиці застосовується середня гармонійна величина, обернена середньою арифметичною зі зворотних значень ознаки. Як і середня арифметична, вона може бути простою та зваженою.

Характеристиками варіаційних рядів, поряд із середніми, є мода та медіана.

Мода - це величина ознаки (варіанту), що найчастіше повторюється в досліджуваній сукупності. Для дискретних рядів розподілу модою буде значення варіанта із найбільшою частотою.

Для інтервальних рядів розподілу з рівними інтервалами мода визначається за такою формулою:

де
- Початкове значення інтервалу, що містить моду;

- Величина модального інтервалу;

- Частота модального інтервалу;

- частота інтервалу, що передує модальному;

- Частота інтервалу, наступного за модальним.

Медіана - Це варіанта, розташована в середині варіаційного ряду. Якщо ряд розподілу дискретний і має непарне число членів, то медіаною буде варіанта, що знаходиться в середині впорядкованого ряду (упорядкований ряд - це розташування одиниць сукупності у порядку, що зростає або спадає).

Тема 5. Середні величини як статистичні показники

Концепція середньої величини. Область застосування середніх величин у статистичному дослідженні

Середні величини використовуються на етапі обробки та узагальнення отриманих первинних статистичних даних. Потреба визначення середніх величин пов'язані з тим, що з різних одиниць досліджуваних сукупностей індивідуальні значення однієї й тієї ж ознаки, зазвичай, неоднакові.

Середньою величиноюназивають показник, який характеризує узагальнене значення ознаки чи групи ознак у досліджуваній сукупності.

Якщо досліджується сукупність із якісно однорідними ознаками, то середня величина виступає тут як типова середня. Наприклад, груп працівників певної галузі з фіксованим рівнем доходу визначається типова середня витрат на предмети першої необхідності, тобто. Типова середня узагальнює якісно однорідні значення ознаки у цій сукупності, яким є частка витрат у працівників цієї групи на товари першої необхідності.

При дослідженні сукупності з якісно різнорідними ознаками першому плані може бути нетиповість середніх показників. Такими, наприклад, є середні показники виробленого національного доходу на душу населення (різні вікові групи), середні показники врожайності зернових культур по всій території Росії (райони різних кліматичних зон та різних зернових культур), середні показники народжуваності населення по всіх регіонах країни, середні температури за певний період тощо. Тут середні величини узагальнюють якісно різнорідні значення ознак чи системних просторових сукупностей (міжнародне співтовариство, континент, держава, регіон, район тощо.) чи динамічних сукупностей, протяжних у часі (століття, десятиліття, рік, сезон тощо.) . Такі середні величини називають системними середніми.

Отже, значення середніх величин полягає у їх узагальнюючої функції. Середня величина замінює велику кількість індивідуальних значень ознаки, виявляючи загальні властивості, властиві всім одиницям сукупності. Це, своєю чергою, дозволяє уникнути випадкових причин і виявити загальні закономірності, зумовлені загальними причинами.

Види середніх величин та методи їх розрахунку

На етапі статистичної обробки можуть бути поставлені різні завдання дослідження, для вирішення яких потрібно вибрати відповідну середню. При цьому необхідно керуватися наступним правилом: величини, які є чисельником і знаменником середньої, повинні бути логічно пов'язані між собою.

статечні середні;

структурні середні.

Введемо такі умовні позначення:

Величини, котрим обчислюється середня;

Середня, де риса зверху свідчить у тому, що має місце опосередкування індивідуальних значень;

Частота (повторність індивідуальних значень ознаки).

Різні середні виводяться із загальної формули статечної середньої:

(5.1)

при k = 1 – середня арифметична; k = -1 – середня гармонійна; k = 0 – середня геометрична; k = -2 – середня квадратична.

Середні величини бувають прості та зважені. Виваженими середніминазивають величини, які враховують, деякі варіанти значень ознаки може мати різну чисельність, у зв'язку з чим кожен варіант доводиться множити з цього чисельність. Інакше кажучи, «вагами» виступають числа одиниць сукупності у різних групах, тобто. кожен варіант "зважують" за своєю частотою. Частоту f називають статистичною вагоюабо вагою середньої.

Середня арифметична- Найпоширеніший вид середньої. Вона використовується, коли розрахунок здійснюється за несгрупованими статистичними даними, де потрібно отримати середній доданок. Середня арифметична - це середнє значення ознаки, при отриманні якого зберігається незмінним загальний обсяг ознаки в сукупності.

Формула середньої арифметичної (простий) має вигляд

де n – чисельність сукупності.

Наприклад, середня заробітна плата працівників підприємства обчислюється як середня арифметична:

Визначальними показниками тут є заробітна плата кожного працівника та кількість працівників підприємства. При обчисленні середньої загальна сума заробітної плати залишилася колишньою, але розподіленою між усіма працівниками порівну. Наприклад, необхідно обчислити середню заробітну плату працівників невеликої фірми, де зайнято 8 осіб:

При розрахунку середніх величин окремі значення ознаки, що середня, можуть повторюватися, тому розрахунок середньої величини проводиться за згрупованими даними. У цьому випадку йдеться про використання середньої арифметичної зваженої, яка має вигляд

(5.3)

Так нам необхідно розрахувати середній курс акцій якогось акціонерного товариства на торгах фондової біржі. Відомо, що угоди здійснювалися протягом 5 днів (5 угод), кількість проданих акцій за курсом продажів розподілилася так:

1 – 800 ак. - 1010 руб.

2 - 650 ак. - 990 руб.

3 – 700 ак. - 1015 руб.

4 – 550 ак. - 900 руб.

5 – 850 ак. - 1150 руб.

Вихідним співвідношенням визначення середнього курсу вартості акцій є ставлення загальної суми угод (ОСС) до кількості проданих акцій (КПА):

ОСС = 1010 · 800 +990 · 650 +1015 · 700 +900 · 550 +1150 · 850 = 3634500;

КПА = 800 +650 +700 +550 +850 = 3550.

У цьому випадку середній курс вартості акцій дорівнював

Необхідно знати властивості арифметичної середньої, що дуже важливо як щодо її використання, так і при її розрахунку. Можна виділити три основні властивості, які найбільше зумовили широке застосування арифметичної середньої статистико-економічних розрахунків.

Властивість перше (нульове): сума позитивних відхилень індивідуальних значень ознаки від його середнього значення дорівнює сумі негативних відхилень. Це дуже важлива властивість, оскільки вона показує, що будь-які відхилення (як з +, так і з -), спричинені випадковими причинами, будуть взаємно погашені.

Доведення:

Властивість друге (мінімальне): сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної менше, ніж від іншого числа (а), тобто. є мінімальне число.

Доведення.

Складемо суму квадратів відхилень від змінної а:

(5.4)

Щоб знайти екстремум цієї функції, необхідно її похідну а прирівняти нулю:

Звідси отримуємо:

(5.5)

Отже, екстремум суми квадратів відхилень досягається при . Цей екстремум – мінімум, тому що функція не може мати максимуму.

Властивість третє: середня арифметична постійної величини дорівнює цій постійній: при а = const.

Крім цих трьох найважливіших властивостей середньої арифметичної є так звані розрахункові властивості, які поступово втрачають свою значущість у зв'язку з використанням електронно-обчислювальної техніки:

якщо індивідуальне значення ознаки кожної одиниці помножити або розділити на постійне число, то середня арифметична збільшиться або зменшиться у стільки разів;

середня арифметична не зміниться, якщо вага (частоту) кожного значення ознаки поділити на постійне число;

якщо індивідуальні значення ознаки кожної одиниці зменшити або збільшити на ту саму величину, то середня арифметична зменшиться або збільшиться на ту саму величину.

Середня гармонійна. Цю середню називають зворотною середньою арифметичною, оскільки ця величина використовується при k = -1.

Проста середня гармонійнавикористовується тоді, коли ваги значень ознаки однакові. Її формулу можна вивести із базової формули, підставивши k = -1:

Наприклад, нам необхідно обчислити середню швидкість двох машин, що пройшли той самий шлях, але з різною швидкістю: перша - зі швидкістю 100 км/год, друга - 90 км/год. Застосовуючи метод середньої гармонійної, ми обчислюємо середню швидкість:

У статистичній практиці найчастіше використовується гармонійна зважена, формула якої має вигляд

Ця формула використовується у випадках, коли ваги (чи обсяги явищ) за кожним ознакою не рівні. У вихідному співвідношенні до розрахунку середньої відомий чисельник, але невідомий знаменник.

Середня величина є найбільш цінною з аналітичної точки зору та універсальною формою вираження статистичних показників. Найбільш поширена середня – середня арифметична – має низку математичних властивостей, які можуть бути використані при її розрахунку. У той же час при обчисленні конкретної середньої завжди доцільно спиратися на її логічну формулу, що є відношенням обсягу ознаки до обсягу сукупності. Для кожної середньої існує лише одне справжнє вихідне співвідношення, для реалізації якого, залежно від наявних даних, можуть знадобитися різні форми середніх. Однак у всіх випадках, коли характер середньої величини має на увазі наявність ваг, не можна замість зважених середніх формул використовувати їх незважені формули.

Середня величина – це найбільш характерне для сукупності значення ознаки та розподілений рівними частками між одиницями сукупності розмір ознаки сукупності.

Ознака, для якої розраховується середня величина, має назву середній .

Середня величина - показник, що розраховується зіставленням абсолютних чи відносних величин. Середню величину позначають

Середня величина відображає вплив всіх факторів, що впливають на досліджуване явище, і є для них рівнодією. Іншими словами, погашаючи індивідуальні відхилення та усуваючи вплив випадків, середня величина, відбиваючи загальну міру результатів цієї дії, виступає загальною закономірністю явища, що вивчається.

Умови застосування середніх величин:

Ø однорідність досліджуваної сукупності. Якщо деякі схильні до впливу випадкового фактора елементи сукупності мають значно від інших величини досліджуваного ознаки, то дані елементи вплинуть на розмір середньої для даної сукупності. У цьому випадку середня не виражатиме найбільш типову для сукупності величину ознаки. Якщо досліджуване явище неоднорідне, потрібно його розбивка містять однорідні елементи групи. У цьому випадку розраховують середні за групами - групові середні, що виражають найбільш характерну величину явища в кожній групі, а потім розраховується загальна середня величина для всіх елементів, що характеризує явище в цілому. Вона розраховується як середня з групових середніх, зважених за кількістю включених у кожну групу елементів сукупності;

Ø достатню кількість одиниць у сукупності;

Ø максимальне та мінімальне значення ознаки в досліджуваній сукупності.

Середня величина (показник)– це узагальнена кількісна характеристика ознаки у систематичній сукупності у конкретних умовах місця та часу.

У статистиці застосовується такі форми (види) середніх величин, званих статечними та структурними:

Ø середня арифметична(проста та зважена);

проста

Найважливіша властивість середньої у тому, що вона відбиває те загальне, властиво всім одиницям досліджуваної сукупності. Значення ознаки окремих одиниць сукупності варіюють під впливом безлічі факторів, серед яких можуть бути як основні, так і випадкові. Сутність середньої в тому і полягає, що в ній взаємокомпенсуються відхилення значень ознаки, що обумовлені дією випадкових факторів, і накопичуються (враховуються) зміни, спричинені дією основних факторів. Це дозволяє середній відбивати типовий рівень ознаки та абстрагуватися від індивідуальних особливостей, властивих окремим одиницям.

Для того, щоб середній показник був дійсно типовим, він повинен розраховуватися з урахуванням певних принципів.

Основні засади застосування середніх величин.

1. Середня має визначатися для сукупностей, які з якісно однорідних одиниць.

2. Середня має обчислюватися для сукупності, що складається з досить великої кількості одиниць.

3. Середня повинна розраховуватися для сукупності в стаціонарних умовах (коли фактори, що впливають, не змінюються або змінюються не значно).

4. Середня має обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника.

Розрахунок більшості конкретних статистичних показників ґрунтується на використанні:

· Середній агрегатній;

· Середньої статечної (гармонійної, геометричної, арифметичної, квадратичної, кубічної);

· Середній хронологічній (див. розділ).

Всі середні, за винятком середньої агрегатної, можуть розраховуватися у двох варіантах – як виважені чи незважені.

Середня агрегатна. Використовується формула:

де w i= x i* f i;

x i- i-й варіант ознаки, що осредняється;

f i, - вага i- го варіанта.

Середня статечна. У загальному вигляді формула для розрахунку:

де ступінь k- Вигляд середньої статечної.

Значення середніх розрахованих на підставі середніх статечних для тих самих вихідних даних — не однакові. Зі збільшенням показника ступеня k, збільшується і відповідна середня величина:

Середня хронологічна. Для моментного динамічного ряду з рівними інтервалами між датами розраховується за формулою:

,

де х 1і хnзначення показника на початкову та кінцеву дату.

Формули розрахунку статечних середніх

приклад. За даними табл. 2.1 потрібно розрахувати середню заробітну плату загалом у трьох підприємствах.

Таблиця 2.1

Заробітна плата підприємств АТ

Конкретна розрахункова формула залежить від цього, які дані табл. 7 є вихідними. Відповідно можливі варіанти: дані стовпців 1 (чисельність ППП) та 2 (місячний ФОП); або - 1 (чисельність ППП) і 3 (середня ЗП); або 2 (місячний ФОП) та 3 (середня ЗП).

Якщо є лише дані стовпців 1 і 2. Підсумки цих граф містять необхідні величини для розрахунку середньої. Використовується формула середньої агрегатної:

Якщо є лише дані стовпців 1 та 3, то відомий знаменник вихідного співвідношення, але відомий його чисельник. Однак фонд заробітної плати можна одержати множенням середньої заробітної плати на чисельність ППП. Тому загальна середня може бути розрахована за формулою середньої арифметичної зваженої:

Необхідно враховувати, що вага ( f i) в окремих випадках може бути добутком двох або навіть трьох значень.

Крім того, у статистичній практиці знаходить застосування та середня арифметична невважена:

де n – обсяг сукупності.

Ця середня використовується тоді, коли ваги ( f i) відсутню (кожен варіант ознаки зустрічається лише один раз) або рівні між собою.

Якщо є лише дані стовпців 2 та 3., Т. е. Відомий чисельник вихідного співвідношення, але не відомий його знаменник. Чисельність ППП кожного підприємства можна отримати розподілом ФОП на середню ЗП. Тоді розрахунок середньої ЗП загалом по трьох підприємствах проводиться за формулою середньої гармонійної зваженої:

При рівності ваг ( f i) розрахунок середнього показника може бути зроблений за середньої гармонійної невваженої:

У нашому прикладі використовувалися різні форми середніх, але отримали одну й ту саму відповідь. Це зумовлено тим, що для конкретних даних щоразу реалізовувалося одне й те саме вихідне співвідношення середньої.

Середні показники можуть розраховуватися за дискретними та інтервальними варіаційними рядами. При цьому розрахунок провадиться за середньою арифметичною зваженою. Для дискретного ряду дана формула використовується так само, як і у наведеному вище прикладі. В інтервальному ряду для розрахунку визначаються середини інтервалів.

приклад. За даними табл. 2.2 визначимо величину середньодушового грошового доходу протягом місяця в умовному регіоні.

Таблиця 2.2

Вихідні дані (варіаційний ряд)

Найбільше в ек. практиці доводиться вживати середню арифметичну, яка може бути обчислена як середня арифметична проста та зважена.

Середня арифметична (СА)-нНайбільш поширений вид середніх. Вона застосовується в тих випадках, коли обсяг ознаки, що варіює, для всієї сукупності є сумою значень ознак окремих її одиниць. Для суспільних явищ характерна адитивність (сумарність) обсягів варіюючої ознаки, цим визначається сфера застосування СА і пояснюється її поширеність як узагальнюючого показника, напр: загальний фонд зарплатню – це сума зарплатню всіх працівників.

Щоб обчислити СА, необхідно суму всіх значень ознак розділити з їхньої число.СА примен-ся у 2 формах.

Розглянемо спочатку просту арифметичну середню.

1-СА проста (вихідна, визначальна форма) дорівнює простій сумі окремих значень середньої ознаки, поділеної на загальне число цих значень (застосовується коли є несгруповані інд. значення ознаки):

Зроблені обчислення можуть бути узагальнені в наступну формулу:

(1)

де - Середнє значення варіює ознаки, тобто середня арифметична проста;

означає підсумовування, тобто додавання окремих ознак;

x- окремі значення варіюючої ознаки, які називаються варіантами;

n - Число одиниць сукупності

Приклад1,потрібно знайти середнє вироблення одного робітника (слюсаря), якщо відомо, скільки деталей виготовив кожен із 15 робочих, тобто. дано ряд інд. значень ознаки, прим.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

СА проста розраховується за формулою (1), шт.:

Приклад2. Розрахуємо СА на підставі умовних даних по 20 магазинах, що входять до торгової фірми (табл. 1). Таблиця 1

Розподіл магазинів торгової фірми "Весна" за площею, кв. М

Для обчислення середньої площі магазину ( ) необхідно скласти площі всіх магазинів та отриманий результат розділити на число магазинів:

Т.ч., середня площа магазину за цією групою торгових підприємств складає 71 кв.

Отже, щоб визначити СА просту, потрібно суму всіх значень даної ознаки розділити на число одиниць, що мають цю ознаку.

2

де f 1 , f 2 , … ,f n – ваги (частоти повторення однакових ознак);

– сума творів величини ознак їх частоти;

- Загальна чисельність одиниць сукупності.

Де х- Варіанти;

f- Частота (вага).

СА зважена є окреме від поділу суми творів варіантів і відповідних їм частот у сумі всіх частот. Частоти ( f) що фігурують у формулі СА, прийнято називати вагами, внаслідок чого СА, обчислена з урахуванням ваг, і отримала назву виваженою.

Техніку обчислення зваженої СА проілюструємо на розглянутому вище прикладі 1. Для цього згрупуємо вихідні дані і помістимо їх в табл.

Середня із згрупованих даних визначається наступним чином: спочатку перемножують варіанти на частоти, потім складають твори та отриману суму ділять на суму частот.

За формулою (2) СА зважена дорівнює, шт.:

П

Розподіл магазинів фірми "Весна" за торговельною площею, кв. м

Т.ч., результат вийшов той самий. Однак це вже буде середня величина арифметична зважена.

У попередньому прикладі ми обчислювали арифметичну середню за умови, що відомі абсолютні частоти (чисельність магазинів). Однак у ряді випадків абсолютні частоти відсутні, а відомі відносні частоти, або, як прийнято їх називати, частості, які показують частку абопитома вага частот у всій сукупності.

При розрахунках СА виваженим використання частотдозволяє спрощувати розрахунки, коли частота виражена великими, багатозначними числами. Розрахунок проводиться тим самим способом, однак, оскільки середня величина виявляється збільшеною в 100 разів, отриманий результат слід розділити на 100.

Тоді формула середньої арифметичної зваженої матиме вигляд:

де d- Частість, тобто. частка кожної частоти у загальній сумі всіх частот.

У прикладі 2 спочатку визначають питому вагу магазинів за групами у кількості магазинів фірми " Весна " . Так, для першої групи питома вага відповідає 10%
. Отримуємо такі дані Таблиця3