Як знайти висоту трапеції. Відома величина середньої лінії

У цій статті ми намагатимемося наскільки можна повно відобразити властивості трапеції. Зокрема, йтиметься про загальні ознаки та властивості трапеції, а також про властивості вписаної трапеції та про коло, вписане в трапецію. Зачепимо ми і властивості рівнобедреної та прямокутної трапеції.

Приклад розв'язання задачі з використанням розглянутих властивостей допоможе вам розкласти по місцях у голові та краще запам'ятати матеріал.

Трапеція і все-все-все

Для початку коротко згадаємо, що таке трапеція і які поняття з нею пов'язані.

Отже, трапеція – фігура-чотирикутник, дві із сторін якої паралельні одна одній (це підстави). І дві не паралельні – це бічні сторони.

У трапеції може бути опущена висота – перпендикуляр до основ. Проведено середню лінію та діагоналі. А також з будь-якого кута трапеції можна провести бісектрису.

Про різні властивості, пов'язані з усіма цими елементами та їх комбінаціями, ми зараз і поговоримо.

Властивості діагоналей трапеції

Щоб було зрозуміліше, поки читаєте, накидайте собі на аркуші трапецію АКМЕ і проведіть у ній діагоналі.

Якщо ви знайдете середини кожної з діагоналей (позначимо ці точки Х і Т) і з'єднайте їх, вийде відрізок. Одна з властивостей діагоналей трапеції полягає в тому, що ХТ лежить на середній лінії. А його довжину можна отримавши, розділивши різницю підстав на дві: ХТ = (a – b)/2.
Перед нами та сама трапеція АКМЕ. Діагоналі перетинаються в точці О. Розгляньмо трикутники АОЕ і МОК, утворені відрізками діагоналей разом з основами трапеції. Ці трикутники – подібні. Коефіцієнт подібності k трикутників виражається через відношення основ трапеції: k = АЕ/КМ.
Відношення площ трикутників АОЕ та МОК описується коефіцієнтом k 2 .
Все та ж трапеція, ті ж діагоналі, що перетинаються в точці О. Тільки цього разу ми розглядатимемо трикутники, які відрізки діагоналей утворили спільно з бічними сторонами трапеції. Площі трикутників АКО та ЕМО є рівновеликими – їхні площі однакові.
Ще одна властивість трапеції включає побудову діагоналей. Так, якщо продовжити бічні сторони АК і МЕ в напрямку меншої основи, то рано чи пізно вони перетнуться до певної точки. Далі, через середини основ трапеції проведемо пряму. Вона перетинає основи у точках Х і Т.
Якщо ми тепер продовжимо пряму ХТ, вона разом з'єднає точку перетину діагоналей трапеції О, точку, у якій перетинаються продовження бічних сторін і середини підстав Х і Т.
Через точку перетину діагоналей проведемо відрізок, який з'єднає основи трапеції (Т лежить на меншій підставі КМ, Х – на більшому АЕ). Точка перетину діагоналей ділить цей відрізок у наступному співвідношенні: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
А тепер через точку перетину діагоналей проведемо паралельний основам трапеції (a та b) відрізок. Точка перетину розділить його на дві рівні частини. Знайти довжину відрізка можна за формулою 2ab/(a + b).

Властивості середньої лінії трапеції

Середню лінію проведіть у трапеції паралельно до її підстав.

Довжину середньої лінії трапеції можна обчислити, якщо скласти довжини основ і розділити їх навпіл: m = (a + b)/2.
Якщо провести через обидві підстави трапецію будь-який відрізок (висота, наприклад), середня лінія розділить його на дві рівні частини.

Властивість бісектриси трапеції

Виберіть будь-який кут трапеції та проведіть бісектрису. Візьмемо, наприклад, кут КАЄ нашої трапеції АКМЕ. Виконавши побудову самостійно, ви легко переконаєтеся - бісектриса відсікається від основи (або його продовження на прямій за межами самої фігури) відрізок такої ж довжини, що й бічна сторона.

Властивості кутів трапеції

Яку б із двох пар прилеглих до бічної сторони кутів ви не вибрали, сума кутів у парі завжди становить 180 0: α + β = 180 0 і γ + δ = 180 0 .
З'єднаємо середини основ трапеції відрізком ТХ. Тепер подивимося на кути при основах трапеції. Якщо сума кутів при будь-якому з них становить 90 0 довжину відрізка ТХ легко обчислити виходячи з різниці довжин підстав, розділеної навпіл: ТХ = (АЕ - КМ) / 2.
Якщо через сторони кута трапеції провести паралельні прямі, розділять сторони кута на пропорційні відрізки.

Властивості рівнобедреної (рівнобічної) трапеції

У рівнобедреній трапеції рівні кути при будь-якій підставі.
Тепер знову збудуйте трапецію, щоб простіше було уявити, про що йдеться. Подивіться уважно на основу АЕ – вершина протилежної основи М проектується на якусь точку на прямій, яка містить АЕ. Відстань від вершини А до точки проекції вершини М та середня лінія рівнобедреної трапеції – рівні.
Кілька слів про властивість діагоналей рівнобедреної трапеції – їх довжини рівні. А також однакові кути нахилу цих діагоналей до основи трапеції.
Тільки біля рівнобедреної трапеції можна описати коло, оскільки сума протилежних кутів чотирикутника 1800 – обов'язкова умова для цього.
З попереднього пункту випливає властивість рівнобедреної трапеції – якщо біля трапеції можна описати коло, вона є рівнобедреною.
З особливостей рівнобедреної трапеції випливає властивість висоти трапеції: якщо її діагоналі перетинаються під прямим кутом, то довжина висоти дорівнює половині суми основ: h = (a + b)/2.
Знову проведіть відрізок ТХ через середини основ трапеції – у рівнобедреній трапеції він є перпендикуляром до основ. І водночас ТХ – вісь симетрії рівнобедреної трапеції.
Цього разу опустіть на більшу основу (позначимо його a) висоту з протилежної вершини трапеції. Вийде два відрізки. Довжину одного можна знайти, якщо довжини підстав скласти та розділити навпіл: (a + b)/2. Другий отримаємо, коли з більшої основи віднімемо менше і отриману різницю розділимо на два: (a – b)/2.

Властивості трапеції, вписаної в коло

Раз вже мова зайшла про вписану в коло трапецію, зупинимося на цьому питанні докладніше. Зокрема на тому, де знаходиться центр кола по відношенню до трапеції. Тут теж рекомендується не полінуватися взяти олівець до рук і накреслити те, про що йтиметься нижче. Так і зрозумієте швидше і запам'ятайте краще.

Розташування центру кола визначається кутом нахилу діагоналі трапеції до його боці. Наприклад, діагональ може виходити з вершини трапеції під прямим кутом до бокової сторони. У такому разі більша основа перетинає центр описаного кола точно посередині (R = ½АЕ).
Діагональ і бічний бік можуть зустрічатися і під гострим кутом – тоді центр кола виявляється всередині трапеції.
Центр описаного кола може виявитися поза межами трапеції, за її основою, якщо між діагоналлю трапеції і бічною стороною – тупий кут.
Кут, утворений діагоналлю і великою основою трапеції АКМЕ (вписаний кут) становить половину центрального кута, який йому відповідає: ТРАВНЕ = ½МОЄ.
Коротко про два способи визначити радіус описаного кола. Спосіб перший: уважно подивіться на своє креслення – що ви бачите? Ви легко помітите, що діагональ розбиває трапецію на два трикутники. Радіус можна знайти через відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута, помноженого на два. Наприклад, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогічно формулу можна розписати для будь-якої зі сторін обох трикутників.
Спосіб другий: знаходимо радіус описаного кола через площу трикутника, утвореного діагоналлю, бічною стороною та основою трапеції: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ.

Властивості трапеції, описаної біля кола

Вписати коло в трапецію можна, якщо дотримується одна умова. Детальніше про нього нижче. І разом ця комбінація фігур має низку цікавих властивостей.

Якщо в трапецію вписано коло, довжину її середньої лінії можна легко знайти, склавши довжини бічних сторін і розділивши отриману суму навпіл: m = (c + d)/2.
У трапеції АКМЕ, описаної біля кола, сума довжин основ дорівнює сумі довжин бічних сторін: АК + МЕ = КМ + АЕ.
З цієї властивості основ трапеції випливає зворотне твердження: коло можна вписати в ту трапецію, сума основ якої дорівнює сумі бічних сторін.
Точка торкання кола з радіусом r, вписаної в трапецію, розбиває бічну сторону на два відрізки, назвемо їх a та b. Радіус кола можна обчислити за такою формулою: r = √ab.
І ще одна властивість. Щоб не заплутатися, цей приклад також накресліть самі. У нас є стара-добра трапеція АКМЕ, описана біля кола. У ній проведені діагоналі, що перетинаються у точці О. Утворені відрізками діагоналей та бічними сторонами трикутники АОК та ЕОМ – прямокутні.
Висоти цих трикутників, опущені на гіпотенузи (тобто бічні сторони трапеції), збігаються з радіусами вписаного кола. А висота трапеції – збігається з діаметром вписаного кола.

Властивості прямокутної трапеції

Прямокутною називають трапецію, один із кутів якої є прямим. І її властивості випливають із цієї обставини.

У прямокутної трапеції одна з бічних сторін перпендикулярна до основ.
Висота та бічна сторона трапеції, що прилягає до прямого кута, рівні. Це дозволяє обчислювати площу прямокутної трапеції (загальна формула S = (a + b) * h/2) не тільки через висоту, а й через бічну сторону, що прилягає до прямого кута.
Для прямокутної трапеції актуальні описані вище загальні властивості діагоналей трапеції.

Докази деяких властивостей трапеції

Рівність кутів на підставі рівнобедреної трапеції:

Ви вже напевно і самі здогадалися, що тут нам знову знадобиться трапеція АКМЕ – накресліть рівнобедрену трапецію. Проведіть із вершини М пряму МТ, паралельну бічній стороні АК (МТ || АК).

Отриманий чотирикутник АКМТ - паралелограм (АК | | МТ, КМ | | АТ). Оскільки МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – рівнобедрений та МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, отже МТЕ = КАЄ, МЕТ = МТЕ = КАЄ.

Звідки АКМ = 180 0 - МЕТ = 180 0 - КАЄ = КМЕ.

Що і потрібно було довести.

Тепер на підставі властивості рівнобедреної трапеції (рівності діагоналей) доведемо, що трапеція АКМЕ є рівнобедреною:

Спочатку проведемо пряму МХ – МХ || КЕ. Отримаємо паралелограм КМХЕ (підстава – МХ || КЕ та КМ || ЕХ).

∆АМХ - рівнобедрений, оскільки АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, тому МАЄ = МХЕ.

У нас вийшло, що трикутники АКЕ та ЕМА рівні між собою, тому що АМ = КЕ та АЕ – загальна сторона двох трикутників. А також ТРАВНІ = МХЕ. Можемо дійти невтішного висновку, що АК = МЕ, а звідси випливає і що трапеція АКМЕ – равнобедренная.

Завдання для повторення

Підстави трапеції АКМЕ дорівнюють 9 см і 21 см, бічна сторона КА, що дорівнює 8 см, утворює кут 150 0 з меншою основою. Потрібно знайти площу трапеції.

Рішення: З вершини До опустимо висоту до більшої основи трапеції. І почнемо розглядати кути трапеції.

Кути АЕМ та КАН є односторонніми. А це означає, що в сумі вони дають 180 0 . Тому КАН = 300 (на підставі властивості кутів трапеції).

Розглянемо тепер прямокутний ∆АНК (вважаю, цей момент очевидний читачам без додаткових доказів). З нього знайдемо висоту трапеції КН – у трикутнику вона є катетом, що лежить навпроти кута 30 0 . Тому КН = ?АВ = 4 см.

Площу трапеції знаходимо за формулою: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Післямова

Якщо ви уважно і вдумливо вивчили цю статтю, не полінувалися з олівцем у руках накреслити трапеції для всіх наведених властивостей і розібрати їх на практиці, матеріал повинен був непогано засвоїтися.

Звичайно, інформації тут багато, різноманітної і навіть навіть заплутаної: не так вже й складно переплутати властивості описаної трапеції з властивостями вписаної. Але ви самі переконалися, що різниця величезна.

Тепер у вас є докладний конспект усіх загальних властивостей трапеції. А також специфічних властивостей та ознак трапецій рівнобедреної та прямокутної. Їм дуже зручно користуватися, щоб готуватися до контрольних та іспитів. Спробуйте самі та поділіться посиланням з друзями!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Геометрія - одна з наук, із застосуванням якої на практиці людина стикається практично щодня. Серед різноманіття геометричних постатей окремої уваги заслуговує і трапеція. Вона є опуклою фігурою з чотирма сторонами, з яких дві паралельні між собою. Останні називаються основами, а дві – бічними сторонами. Відрізок, перпендикулярний основ і визначальний величину проміжку між ними, буде висотою трапеції. Яким чином можна обчислити його довжину?

Знайти висоту довільної трапеції

Базуючись на вихідних даних, визначення висоти фігури можливе декількома способами.

Відома площа

Якщо довжина паралельних сторін відома, а також вказана площа фігури, то для визначення перпендикуляра, що шукається, можна скористатися наступним співвідношенням:

S=h*(a+b)/2,
h - потрібна величина (висота),
S – площа фігури,
a та b – сторони, паралельні одна одній.
З наведеної формули випливає, що h=2S/(a+b).

Відома величина середньої лінії

Якщо серед вихідних даних крім площі трапеції (S) відома, і довжина її лінії середини (l), то обчислень знадобиться інша формула. Насамперед варто уточнити, що таке середня лінія для цього виду чотирикутника. Термін визначає частину прямої, що з'єднує середини бокових сторін фігури.

З властивості трапеції l=(a+b)/2,
l – лінія середини,
a, b – сторони-основи чотирикутника.
Тому h=2S/(a+b)=S/l.

Відомі 4 сторони фігури

У разі допоможе теорема Піфагора. Опустивши перпендикуляри на велику сторону-основу, скористайтеся нею для двох прямокутних трикутників, що вийшли. Підсумковий вираз матиме вигляд:

h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 ,

c та d – 2 інші сторони.

Кути в основі

За наявності даних про кути на основі, скористайтеся тригонометричними функціями.

h = c* sinα = d*sinβ,

α та β – кути в основі чотирикутника,
c та d – його бічні сторони.

Діагоналі фігури та кути, які перетинаючи вони утворюють

Довжина діагоналі - Довжина відрізка, що з'єднує протилежні вершини фігури. Позначимо дані величини символами d1 та d2, а кути між ними γ та φ. Тоді:

h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,

h = (d1 * d2) / 2l sin γ = (d1 * d2) / 2l sinφ,

a і b - сторони-основи фігури,
d1 та d2 – діагоналі трапеції,
γ та φ – кути між діагоналями.

Висота фігури і радіус кола, яке в неї вписано

Як випливає з визначення такого роду кола, вона стосується кожної основи в 1 точці, які є частиною однієї прямої. Тому відстань між ними – діаметр – шукана висота фігури. Оскільки діаметр – подвоєний радіус, то:

h = 2 * r,
r – радіус кола, яке вписали у цю трапецію.

Знайти висоту рівнобедреної трапеції

Як і випливає з формулювання, характерною характеристикою рівнобедреної трапеції є рівність її бічних сторін. Тому знаходження висоти фігури скористайтеся формулою визначення даної величини у разі, коли відомі сторони трапеції.

Отже, якщо с = d, то h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 = √c 2 -(a-b) 2 /4,
a, b - сторони-основи чотирикутника,
c = d – його бічні сторони.

За наявності величини кутів, утворених двома сторонами (підставою та бічною), висоту трапеції визначає наступне співвідношення:

h = c* sinα,
h = з * tgα *cosα = з * tgα * (b – a)/2c = tgα * (b-a)/2,

α – кут в основі фігури,
a, b (a< b) – основания фигуры,
c = d – його бічні сторони.

Якщо дані величини діагоналей фігури, то вираз перебування висоти фігури видозміниться, т.к. d1 = d2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.

Трапецією називається такий чотирикутник, дві сторони якого паралельні (це підстави трапеції, позначені малюнку a і b), інші два - немає (на малюнку АТ і CB). Висота трапеції – це відрізок h, проведений перпендикулярно до основ.

Як знайти висоту трапеції при відомих величинах площі трапеції та довжин основ?

Для обчислення площі S трапеції ABCD скористаємося формулою:

S = ((a+b) × h)/2.

Тут відрізки a і b – це основи трапеції, h – це висота трапеції.

Перетворюючи цю формулу, можемо записати:

Використовуючи цю формулу, отримаємо значення h, якщо відомі величина площі S та величини довжин основ a та b.

приклад

Якщо відомо, що площа трапеції S дорівнює 50 см², довжина основи a становить 4 см, довжина основи b становить 6 см, то, щоб знайти висоту h використовуємо формулу:

Підставляємо у формулу відомі величини.

h = (2 × 50)/(4+6) = 100/10 = 10 см

Відповідь: висота трапеції становить 10 див.

Як знаходити висоту трапеції, якщо дані величини площі трапеції та довжина середньої лінії?

Скористаємося формулою обчислення площі трапеції:

Тут m – середня лінія, h – висота трапеції.

Якщо виникає питання, як знайти висоту трапеції, то формула:

h = S/m, буде відповіддю.

Таким чином можемо знайти величину висоти трапеції h, маючи відомі величини площі S і відрізка середньої лінії m.

приклад

Відома довжина середньої лінії трапеції m, яка становить 20 см, і площа S, що дорівнює 200 см². Знайдемо значення величини висоти трапеції h.

Підставивши значення S та m, отримаємо:

h = 200/20 = 10 см

Відповідь: висота трапеції становить 10 см

Як знайти висоту прямокутної трапеції?

Якщо трапеція – це чотирикутник, з двома паралельними сторонами (підставами) трапеції. То діагональ - це відрізок, який з'єднує дві протилежні вершини кутів трапеції (відрізок АС малюнку). Якщо трапеція прямокутна, за допомогою діагоналі знайдемо величину висоти трапеції h.

Прямокутною трапецією називається така трапеція, де одна з бічних сторін перпендикулярна до основ. І тут її довжина (АТ) збігається з висотою h.

Отже, розглянемо прямокутну трапецію ABCD, де AD – це висота, DC – це основа, AC – це діагональ. Скористайтеся теоремою Піфагора. Квадрат гіпотенузи AC прямокутного трикутника ADC дорівнює сумі квадратів його катетів AB та BC.

Тоді можна записати:

AC² = AD²+DC².

AD - це катет трикутника, бічна сторона трапеції і водночас її висота. Адже відрізок АТ перпендикулярний до підстав. Його довжина становитиме:

AD = √(AC² - DC²)

Отже, маємо формулу для обчислення висоти трапеції.

приклад

Якщо довжина основи прямокутної трапеції (DC) дорівнює 14 см, а діагональ (AC) становить 15 см, для отримання значення висоти (AD-бічної сторони) скористаємося теоремою Піфагора.

Нехай х – це невідомий катет прямокутного трикутника (AD), тоді

AC² = AD² + DC² можна записати

15² = 14² + х²,

х = √(15²-14²) = √(225-196) = √29 см

Відповідь: висота прямокутної трапеції (АВ) складе √29 см, що приблизно становитиме, 5.385 см

Як знайти висоту рівнобедреної трапеції?

Рівностегнової трапецією називають трапецію, у якої довжини бічних сторін рівні між собою. Пряма, проведена через середини основ такої трапеції буде віссю симетрії. Приватним випадком є трапеція, діагоналі якої перпендикулярні один одному, тоді висота h дорівнюватиме напівсумі основ.

Розглянемо випадок, якщо діагоналі не перпендикулярні одна одній. У рівнобічної (рівностегнової) трапеції рівні кути при основах та довжини діагоналей рівні. Також відомо, що всі вершини рівнобічної трапеції стосуються лінії кола, проведеного навколо цієї трапеції.

Розглянемо рисунок. ABCD-рівнобедрова трапеція. Відомо, що основи трапеції паралельні, отже, BC = b паралельно AD = a, сторона AB = CD = c, отже, кути при основах відповідно дорівнюють, можна записати кут BAQ = CDS = α, і кут ABC = BCD = β. Таким чином, робимо висновок про рівність трикутника ABQ трикутнику SCD, отже, відрізок

AQ = SD = (AD – BC)/2 = (a – b)/2.

Маючи за умовою задачі величини основ a і b, і довжину бічної сторони знайдемо висоту трапеції h, рівну відрізку BQ.

Розглянемо прямокутний трикутник ABQ. ВО - висота трапеції, перпендикулярна основи AD, отже і відрізку AQ. Сторону AQ трикутника ABQ, знайдемо, скориставшись виведеною раніше формулою:

Маючи значення двох катет прямокутного трикутника, знайдемо гіпотенузу BQ = h. Використовуємо теорему Піфагора.

AB²= AQ² + BQ²

Підставимо дані завдання:

c? = AQ? + h?.

Отримаємо формулу для знаходження висоти рівнобедреної трапеції:

h = √(c²-AQ²).

приклад

Дано рівнобедрену трапецію ABCD, де основа AD = a = 10см, основа BC = b = 4см, а бічна сторона AB = c = 12см. За таких умов розглянемо на прикладі, як знайти трапеції висоту, рівнобедреної трапеції АВСД.

Знайдемо сторону AQ трикутника ABQ, підставивши відомі дані:

AQ = (a - b) / 2 = (10-4) / 2 = 3см.

Тепер підставимо значення сторін трикутника до формули теореми Піфагора.

h = √(c²-AQ²) = √(12²- 3²) = √135 = 11.6см.

Відповідь. Висота h рівнобедреної трапеції ABCD становить 11.6 див.