Як визначити значення функції за графіком первісної. Первісна та інтеграли

Тип завдання: 7
Тема: Первісна функції

Умова

На малюнку зображено графік функції y=f(x) (що є ламаною лінією, що складається з трьох прямолінійних відрізків). Користуючись малюнком, обчисліть F(9)-F(5), де F(x) — одна з першорядних функцій f(x).

Показати рішення

Рішення

За формулою Ньютона-Лейбніца різниця F(9)-F(5), де F(x) — одна з первісних функцій f(x), дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції y=f(x), прямими y=0 , x=9 та x=5. За графіком визначаємо, що зазначена криволінійна трапеція є трапецією з основами, рівними 4 і 3 та висотою 3 .

Її площа дорівнює \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Відповідь

Тип завдання: 7
Тема: Первісна функції

Умова

На малюнку зображено графік функції y=F(x) — однієї з першорядних певної функції f(x) , визначеної на інтервалі (-5; 5). Користуючись малюнком, визначте кількість розв'язків рівняння f(x)=0 на відрізку [-3; 4].

Показати рішення

Рішення

Відповідно до визначення первісної виконується рівність: F"(x)=f(x). Тому рівняння f(x)=0 можна записати як F"(x)=0. Оскільки малюнку зображено графік функції y=F(x), треба знайти ті точки проміжку [-3; 4], у яких похідна функції F(x) дорівнює нулю. З малюнка видно, що це будуть абсциси екстремальних точок (максимум або мінімум) графіка F(x). Їх на зазначеному проміжку рівно 7 (чотири точки мінімуму та три точки максимуму).

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Первісна функції

Умова

На малюнку зображено графік функції y=f(x) (що є ламаною лінією, що складається з трьох прямолінійних відрізків). Користуючись малюнком, обчисліть F(5)-F(0), де F(x) — одна з першорядних функцій f(x).

Показати рішення

Рішення

За формулою Ньютона-Лейбніца різниця F(5)-F(0), де F(x) — одна з первісних функцій f(x), дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції y=f(x), прямими y=0 , x=5 та x=0. За графіком визначаємо, що зазначена криволінійна трапеція є трапецією з основами, рівними 5 та 3 і висотою 3 .

Її площа дорівнює \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Первісна функції

Умова

На малюнку зображено графік функції y=F(x) — однієї з першорядних певної функції f(x), визначеної на інтервалі (-5; 4). Користуючись малюнком, визначте кількість розв'язків рівняння f(x)=0 на відрізку (-3; 3].

Показати рішення

Рішення

З малюнка видно, що це будуть абсциси екстремальних точок (максимум або мінімум) графіка F(x). Їх на зазначеному проміжку рівно 5 (дві точки мінімуму та три точки максимуму).

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Первісна функції

Умова

На малюнку зображено графік деякої функції y = f (x). Функція F(x)=-x^3+4,5x^2-7 — одна з першорядних функцій f(x).

Знайдіть площу заштрихованої фігури.

Показати рішення

Рішення

Заштрихована фігура є криволінійною трапецією, обмеженою зверху графіком функції y=f(x), прямими y=0, x=1 та x=3. За формулою Ньютона-Лейбніца її площа S дорівнює різниці F(3)-F(1), де F(x) — вказана в умові первісна функція f(x). Тому S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Первісна функції

Умова

На малюнку зображено графік деякої функції y=f(x). Функція F(x)=x^3+6x^2+13x-5 — одна з першорядних функцій f(x). Знайдіть площу заштрихованої фігури.

Одна з операцій диференціювання-знаходження похідної (диференціала) та застосування до дослідження функцій.

Не менш важливим є зворотне завдання. Якщо відомо поведінка функції на околицях кожної точки її визначення, те, як відновити функцію загалом, тобто. у всій галузі її визначення. Це завдання є предметом вивчення так званого інтегрального обчислення.

Інтегруванням називається дія зворотне диференціювання. Або відновлення функції f(х) за даною похідною f`(х). Латинське слово "integro" означає відновлення.

Приклад №1.

Нехай (f(х))' = 3х2. Знайдемо f(х).

Рішення:

Маючи правило диференціювання, неважко здогадатися, що f(х)=х 3 , бо

(х 3)' = 3х 2 Однак, легко можна помітити, що f(х) неоднозначно. Як f(х) можна взяти f(х)= х 3 +1 f(х)= х 3 +2 f(х)= х 3 -3 та ін.

Т.к. похідна кожної їх дорівнює 3х 2 . (Похідна постійної дорівнює 0). Всі ці функції відрізняються одна від одної постійним доданком. Тому загальне рішення задачі можна записати у вигляді f(х) = х 3 + С, де С - будь-яке постійне дійсне число.

Будь-яку із знайдених функцій f(х) називають первісноїдля функції F`(х) = 3х2

Визначення.

Функція F(х) називається первісною для функції f(х) на заданому проміжку J, якщо для всіх х із цього проміжку F`(х)= f(х). Так функція F(х)=х 3 первісна для f(х)=3х 2 на (- ∞ ; ∞). Оскільки для всіх х ~R справедлива рівність: F`(х)=(х 3)`=3х 2

Як ми вже помітили, дана функція має безліч первісних.

Приклад №2.

Функція є первісна всім на проміжку (0; +∞), т.к. для всіх годин з цього проміжку, виконується рівність.

Завдання інтегрування полягає в тому, щоб для заданої функції знайти всі її первісні. При вирішенні цього завдання важливу роль відіграє таке твердження:

Ознака сталості функції. Якщо F"(х) = 0 на деякому проміжку I, то функція F - постійна цьому проміжку.

Доведення.

Зафіксуємо деяке x 0 із проміжку I. Тоді для будь-якого числа х із такого проміжку через формулу Лагранжа можна вказати таке число c, укладене між х і x 0 , що

F(x) - F(x0) = F"(c)(x-x0).

За умовою F' (с) = 0, так як з ∈1, отже,

F(x) - F(x 0) = 0.

Отже, для всіх х із проміжку I

тобто функція F зберігає постійне значення.

Усі первісні функції f можна записати за допомогою однієї формули, яку називають загальним видом первісних для функції f. Справедлива наступна теорема ( основна властивість первісних):

Теорема. Будь-яка первісна для функції f на проміжку I може бути записана у вигляді

F(x) + C, (1) де F(х) - одна з первісних для функції f(x) на проміжку I, а С - довільна стала.

Пояснимо це твердження, в якому коротко сформульовані дві властивості первісної:

хоч би яке число поставити у вираз (1) замість З, отримаємо первісну для f на проміжку I;
яку б первинну Ф для f на проміжку I не взяти, можна підібрати таке число З, що для всіх х з проміжку I буде виконано рівність

Доведення.

За умовою функція F - первісна для f на проміжку I. Отже, F"(х)= f(х) для будь-якого х∈1, тому (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), тобто F(x) + C - первісна для функції f.
Нехай Ф (х) - одне з первообразных функції f тому ж проміжку I, т. е. Ф"(x) = f (х) всім x∈I.

Тоді (Ф(x) - F(x))" = Ф"(х)-F'(х) = f(x)-f(x)=0.

Звідси випливає ст. силу ознаки сталості функції, що різниця Ф(х) - F(х) є функція, що приймає деяке постійне значення на проміжку I.

Таким чином, для всіх х із проміжку I справедлива рівність Ф(х) - F(x)=С, що й вимагалося довести. Основній властивості первісної можна надати геометричний зміст: графіки будь-яких двох первісних для функції f виходять один з одного паралельним перенесенням вздовж осі Оу

Запитання до конспектів

Функція F(x) є первинною для функції f(x). Знайдіть F(1), якщо f(x)=9x2 - 6x + 1 і F(-1) = 2.

Знайдіть всі первісні функції

Для функції (x) = cos2 * sin2x, знайдіть первісну F(x), якщо F(0) = 0.

Для функції знайдіть первісну, графік якої проходить через точку

Первинної функції f(x)на проміжку (a; b)називається така функція F(x)що виконується рівність для будь-якого хіз заданого проміжку.

Якщо взяти до уваги той факт, що похідна від константи Здорівнює нулю, то справедлива рівність. Таким чином, функція f(x)має безліч первісних F(x)+Cдля довільної константи З, причому ці первинні відрізняються один від одного на довільну постійну величину.

Визначення невизначеного інтегралу.

Усі безліч первісних функцій f(x)називається невизначеним інтегралом цієї функції та позначається .

Вираз називають підінтегральним виразом, а f(x) – підінтегральною функцією. Підінтегральний вираз є диференціал функції f(x).

Дія знаходження невідомої функції за заданим її диференціалом називається невизначенимінтегрування, тому що результатом інтегрування є не одна функція F(x), а безліч її первісних F(x)+C.

Геометричний зміст невизначеного інтегралу. Графік первісної Д(х) називають інтегральною кривою. У системі координат х0у графіки всіх первісних від цієї функції представляють сімейство кривих, що залежать від величини постійної З і одержуються одна з іншої шляхом паралельного зсуву вздовж осі 0у. Наприклад, розглянутого вище, маємо:

J 2 х ^ х = х2 + C.

Сімейство первісних (х+С) геометрично інтерпретується сукупністю парабол.

Якщо з сімейства первісних потрібно знайти одну, то задають додаткові умови, що дозволяють визначити постійну С. Зазвичай з цією метою визначають початкові умови: при значенні аргументу х = х0 функція має значення Д(х0) = у0.

приклад. Потрібно знайти ту з первісних функцій у = 2 х, яка набуває значення 3 при х0 = 1.

Шукана первісна: Д(х) = х2 + 2.

Рішення. ^2х^х = х2 + C; 12 + С = 3; З = 2.

2. Основні властивості невизначеного інтегралу

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

2. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

3. Невизначений інтеграл від диференціалу деякої функції дорівнює сумі самої цієї функції та довільної постійної:

4. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

5. Інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів:

6. Властивість є комбінацією властивостей 4 та 5:

7. Властивість інваріантності невизначеного інтеграла:

Якщо , то

8. Властивість:

Якщо , то

Фактично дана властивість є окремим випадком інтегрування за допомогою методу заміни змінної, який більш докладно розглянутий у наступному розділі.

Розглянемо приклад:

3. Метод інтегрування,при якому даний інтеграл шляхом тотожних перетворень підінтегральної функції (або виразу) та застосування властивостей невизначеного інтеграла наводиться до одного або кількох табличних інтегралів, називається безпосереднім інтегруванням. При зведенні даного інтеграла до табличного часто використовуються такі перетворення диференціала (операція « підведення під знак диференціалу»):

Взагалі, f'(u)du = d(f(u)).ця (формула часто використовується при обчисленні інтегралів.

Знайти інтеграл

Рішення.Скористаємося властивостями інтеграла і наведемо даний інтеграл до кількох табличних.

4. Інтегрування шляхом підстановки.

Суть методу полягає в тому, що ми вводимо нову змінну, виражаємо підінтегральну функцію через цю змінну, в результаті приходимо до табличного (або простішого) вигляду інтеграла.

Найчастіше метод підстановки рятує при інтегруванні тригонометричних функцій і з радикалами.

приклад.

Знайти невизначений інтеграл .

Рішення.

Введемо нову змінну. Висловимо хчерез z:

Виконуємо підстановку отриманих виразів у вихідний інтеграл:

З таблиці первісних маємо .

Залишилося повернутися до вихідної змінної х:

Відповідь:

Ціль:

Формування поняття первісної.
Підготовка до сприйняття інтегралу.
Формування обчислювальних навичок.
Виховання почуття прекрасного (уміння бачити красу в незвичайному).

Математичний аналіз - сукупність розділів математики, присвячених дослідженню функцій та їх узагальнень методами диференціального та інтегрального обчислень.

Якщо до теперішнього часу ми вивчали розділ математичного аналізу, званого диференційним обчисленням, суть якого полягає у вивченні функції у “малому”.

Тобто. дослідження функції у досить малих околицях кожної точки визначення. Одна з операцій диференціювання-знаходження похідної (диференціала) та застосування до дослідження функцій.

Приклад №1.

Нехай (х) `= 3х2.
Знайдемо f(х).

Рішення:

Маючи правило диференціювання, неважко здогадатися, що f(х)=х 3 , бо (х 3)`=3х 2
Однак легко можна помітити, що f(х) знаходиться неоднозначно.
Як f(х) можна взяти
f(х) = х 3 +1
f(х) = х 3 +2
f(х)= х 3 -3 та ін.

Т.к.похідна кожної з них дорівнює 3х2. (Похідна постійної дорівнює 0). Всі ці функції відрізняються одна від одної постійним доданком. Тому загальне рішення задачі можна записати у вигляді f(х) = х 3 + С, де С - будь-яке постійне дійсне число.

Будь-яку із знайдених функцій f(х) називають ПЕРШОСВІТНІЙдля функції F`(х) = 3х2

Визначення. Функція F(х) називається первісною для функції f(х) на заданому проміжку J, якщо для всіх х із цього проміжку F`(х)= f(х). Так функція F(х)=х 3 первісна для f(х)=3х 2 на (- ∞ ; ∞).
Оскільки для всіх х ~R справедлива рівність: F`(х)=(х 3)`=3х 2

Як ми вже помітили, дана функція має безліч первісних (дивись приклад № 1).

Приклад №2. Функція F(х)=х є первинна всім f(х)= 1/х на проміжку (0; +), т.к. для всіх х з цього проміжку виконується рівність.
F`(х)= (х 1/2)`=1/2х -1/2 =1/2х

Приклад №3. Функція F(х)=tg3х є первісною для f(х)=3/cos3х на проміжку (-п/ 2; п/ 2),
т.к. F`(х)=(tg3х)`= 3/cos 2 3х

Приклад №4. Функція F(х)=3sin4х+1/х-2 первісна для f(х)=12cos4х-1/х 2 на проміжку (0;∞)
т.к. F`(х)=(3sin4х)+1/х-2)`= 4cos4х-1/х 2

лекція 2.

Тема: Первісна. Основна властивість первісної функції.

При вивченні первісної спиратимемося на таке твердження. Ознака сталості функції: Якщо проміжку J похідна Ψ(х) функції дорівнює 0, то цьому проміжку функція Ψ(х) постійна.

Це твердження можна продемонструвати геометрично.

Відомо, що Ψ`(х)=tgα, γде α-кут нахилу дотичної до графіку функції Ψ(х) у точці з абсцисою х 0 . Якщо Ψ`(υ)=0 у будь-якій точці проміжку J, то tgα=0 δля будь-якої дотичної до графіка функції Ψ(х). Це означає, що до графіка функції в будь-якій його точці паралельна осі абсцис. Тому на вказаному проміжку графік функції Ψ(х) збігається з відрізком прямої у=С.

Отже, функція f(х)=з постійна на проміжку J, якщо f`(х)=0 у цьому проміжку.

Справді, для довільного х 1 і х 2 із проміжку J за теоремою про середнє значення функції можна записати:
f(х 2) - f(х 1) = f`(с) (х 2 - х 1), т.к. f`(с)=0, то f(х 2)= f(х 1)

Теорема: (Основна властивість первісної функції)

Якщо F(х) одна з первісних для функції f(х) на проміжку J, то множина всіх первісних цієї функції має вигляд: F(х)+С, де С - будь-яке дійсне число.

Доведення:

Нехай F`(х) = f(х), тоді (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f(х), для х Є J.
Допустимо існує Φ(х)- інша первісна для f(х) на проміжку J, тобто. Φ`(х) = f(х),
тоді (Φ(х)- F(х))` = f(х) - f(х) = 0, для х Є J.
Це означає, що Φ(х)- F(х) постійна на проміжку J.
Отже, Φ(х)- F(х) = С.
Звідки Φ(х)= F(х)+С.
Це означає, що якщо F(х) - первісна для функції f(х) на проміжку J, то безліч всіх первісних цієї функції має вигляд: F(х)+С, де С - будь-яке дійсне число.
Отже, будь-які дві первісні цієї функції відрізняються один від одного постійним доданком.

Приклад: Знайти безліч первісних функцій f(х) = cos х. Зобразити графіки перших трьох.

Рішення: Sin х - одна з первісних для функції f(х) = cos х
F(х) = Sin х+С – безліч всіх первісних.

F 1 (х) = Sin х-1
F 2 (х) = Sin х
F 3 (x) = Sin x +1

Геометрична ілюстрація:Графік будь-якої первісної F(х)+З можна отримати з графіка первісної F(х) за допомогою паралельного перенесення r(0;с).

Приклад: Для функції f (х) = 2х визначити первісну, графік якої проходить через т.м (1; 4)

Рішення: F(х)=х 2 +З – безліч всіх первісних, F(1)=4 - за умовою завдання.
Отже, 4 = 1 2 +С
С = 3
F(х) = х 2 +3

Функція F(x ) називається первісної для функції f(x) на заданому проміжку, якщо для всіх x з цього проміжку виконується рівність

F"(x ) = f(x ) .

Наприклад, функція F(x) = х 2 f(x ) = 2х , так як

F"(x) = (х 2 )" = 2x = f(x). ◄

Основна властивість первісної

Якщо F(x) - Первісна для функції f(x) на заданому проміжку, то функція f(x) має нескінченно багато первісних, і всі ці первісні можна записати у вигляді F(x) + С, де З - Довільна постійна.

Наприклад.

Функція F(x) = х 2 + 1 є первісною для функції

f(x ) = 2х , так як F"(x) = (х 2 + 1 )" = 2 x = f(x);

функція F(x) = х 2 - 1 є первісною для функції

f(x ) = 2х , так як F"(x) = (х 2 - 1)" = 2x = f(x) ;

функція F(x) = х 2 - 3 є первісною для функції

f(x) = 2х , так як F"(x) = (х 2 - 3)" = 2 x = f(x);

будь-яка функція F(x) = х 2 + З , де З - довільна постійна, і тільки така функція, є першорядною для функції f(x) = 2х . ◄

Правила обчислення первісних

Якщо F(x) - Первісна для f(x) , а G(x) - Первісна для g(x) , то F(x) + G(x) - Первісна для f(x) + g(x) . Іншими словами, первісна сума дорівнює сумі первісних .
Якщо F(x) - Первісна для f(x) , і k - Постійна, то k · F(x) - Первісна для k · f(x) . Іншими словами, постійний множник можна виносити за знак похідної .
Якщо F(x) - Первісна для f(x) , і k,b- Постійні, причому k ≠ 0 , то 1 / k · F ( k x + b ) - Первісна для f(k x + b) .

Невизначений інтеграл

Невизначеним інтегралом від функції f(x) називається вираз F(x) + С, тобто сукупність всіх первісних даної функції f(x) . Позначається невизначений інтеграл так:

∫ f(x) dx = F(x) + С ,

f(x)- називають підінтегральною функцією ;

f(x) dx- називають підінтегральним виразом ;

x - називають змінної інтегрування ;

F(x) - Одна з первісних функції f(x) ;

З - Довільна постійна.

Наприклад, ∫ 2 x dx =х 2 + З , ∫ cosx dx = sin х + З і так далі. ◄

Слово "інтеграл" походить від латинського слова integer що означає "відновлений". Вважаючи невизначений інтеграл від 2 x, ми ніби відновлюємо функцію х 2 , похідна якої дорівнює 2 x. Відновлення функції за її похідною, або, те саме, відшукання невизначеного інтеграла по даній підінтегральної функції, називається інтегруванням цієї функції. Інтегрування є операцією, зворотну диференціюванню. Для того щоб перевірити, чи правильно виконано інтегрування, достатньо продиференціювати результат і отримати при цьому підінтегральну функцію.

Основні властивості невизначеного інтегралу

Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

Постійний множник підінтегрального виразу можна виносити за знак інтеграла:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

Інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів від цих функцій:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

Якщо k,b- Постійні, причому k ≠ 0 , то

∫ f ( k x + b) dx = 1 / k · F ( k x + b ) + З .

Таблиця первісних та невизначених інтегралів

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + С
I.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
ІІ.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
ІІІ.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln \|x\|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln \|x\|+C$$
V.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln\|x+\sqrt(a^2+x^2)\|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln\|x+\sqrt(a^2+x^2)\|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln \|\cos x\|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln \|\cos x\|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln \|\sin x\|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln \|sin x\|+C$$
ХІХ.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
Первинні та невизначені інтеграли, наведені в цій таблиці, прийнято називати табличними первісними і табличними інтегралами .

Визначений інтеграл

Нехай на проміжку [a; b] задана безперервна функція y = f(x) тоді певним інтегралом від a до b функції f(x) називається прирощення первісної F(x) цієї функції, тобто

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Числа aі bназиваються відповідно нижнім і верхнім межами інтегрування.

Основні правила обчислення певного інтегралу

1. $\int_(a)^(a)f(x)dx=0$;

2. $\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx$;

3. $\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,$ де k - Постійна;

4. $\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x) dx $;

5. $\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx$;

6. $\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx$, де f(x) - парна функція;

7. $\int_(-a)^(a)f(x)dx=0$, де f(x) - Непарна функція.

Зауваження . У всіх випадках передбачається, що підінтегральні функції, що інтегруються на числових проміжках, межами яких є межі інтегрування.

Геометричний та фізичний зміст певного інтегралу

Геометричний зміст певного інтегралу	Фізичний зміст певного інтегралу

Площа Sкриволінійної трапеції (фігура, обмежена графіком безперервної позитивної на проміжку [a; b] функції f(x) , віссю Ox та прямими x=a , x=b ) обчислюється за формулою $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Шлях s, який подолала матеріальна точка, рухаючись прямолінійно зі швидкістю, що змінюється за законом v(t) , за проміжок часу a ; b] , то площа фігури, обмеженою графіками цих функцій та прямими x = a , x = b , обчислюється за формулою $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Наприклад. Обчислимо площу фігури, обмеженою лініями y = x 2 і y = 2- x . Зобразимо схематично графіки даних функцій і виділимо іншим кольором фігуру, площу якої потрібно знайти. Для знаходження меж інтегрування розв'яжемо рівняння: x 2 = 2- x ; x 2 + x - 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm\|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Об'єм тіла обертання

Якщо тіло отримано внаслідок обертання біля осі Ox криволінійної трапеції, обмеженої графіком безперервної та невід'ємної на проміжку [a; b] функції y = f(x) та прямими x = aі x = b , то його називають тілом обертання .

Обсяг тіла обертання обчислюється за формулою

$$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$

Якщо тіло обертання отримано внаслідок обертання фігури, обмеженої зверху та знизу графіками функцій y = f(x) і y = g(x) відповідно, то

$$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$

Наприклад. Обчислимо об'єм конуса з радіусом r та заввишки h .

Розташуємо конус у прямокутній системі координат так, щоб його вісь збігалася з віссю Ox , А центр основи розташовувався на початку координат. Обертання утворює ABвизначає конус. Оскільки рівняння AB

$$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$

$$y=r-\frac(rx)(h)$$

і для об'єму конуса маємо

$$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$

◄