Як називається графік розподілу випадкової величини x. Закон розподілу дискретної випадкової величини

9. Математичне очікування та дисперсія безперервних випадкових величин

Нехай безперервна випадкова величина Xзадана щільністю розподілу f(x) .

Визначення9.1: Математичним очікуванням безперервної випадкової величини X, [ a, b]

Ox, то

Примітка:Передбачається, що невласний інтеграл сходиться абсолютно, тобто існує інтеграл

Визначення9.2: Дисперсією безперервної випадкової величини X, можливі значення якої належать відрізку [ a, b] , називають певний інтеграл

Якщо можливі значення належать до всієї осі Ox, то

Так як D(X) = M(X 2 ) – [ M(X)] 2 , то можна використовувати такі формули для обчислення дисперсії:

або
.

Примітка:Властивості математичного очікування та дисперсії дискретних випадкових величин зберігаються й у безперервних величин.

Середнє квадратичне відхилення безперервної випадкової величинивизначається аналогічно дискретному випадку:

10. Типові розподіли безперервних випадкових величин

10.1. Рівномірний розподіл

Визначення10.1: Розподіл імовірностейназивають рівномірнимякщо на інтервалі, якому належать всі можливі значення випадкової величини, щільність розподілу зберігає постійне значення.

приклад.Шкала вимірювального пристрою проградуйована в деяких одиницях. Помилка при округленні відліку до найближчого цілого поділу можна розглядати як випадкову величину X, яка може приймати з постійною щільністю ймовірності будь-яке значення між двома цілими цілими поділами. Таким чином, X має рівномірний розподіл.

Знайдемо щільність рівномірного розподілу f(x) :

За умовою, Xне набуває значень поза інтервалом (a, b), тому f(x)=0 при x aі x > b.

Знайдемо постійну Cз умови, що
. Тоді
.

Звідси
.

Отже, потрібна щільність ймовірності рівномірного розподілу має вигляд:

Функція розподілу ймовірностей рівномірної випадкової величини має вигляд:

Для випадкової величини Х, рівномірно розподіленою в інтервалі ( a, b), ймовірність попадання в будь-який інтервал ( x 1 , x 2 ), що лежить всередині інтервалу ( a, b), дорівнює:
тобто залежить від довжини інтервалу, а не від того, де він розташований.

Графік щільності рівномірного розподілу має вигляд:

Функція розподілу рівномірної випадкової величини має вигляд:

Приклад:Знайдемо математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення безперервної випадкової величини X, розподіленої рівномірно в інтервалі (a, b).

Рішення:Враховуючи густину рівномірного розподілу, отримуємо:

Звісно, отримаємо, що

Середнє квадратичне відхилення
.

Примітка:Наприклад, якщо X- Випадкова величина, розподілена рівномірно на інтервалі (0,1) , то
,
,
.

10.2. Нормальний (Гауссівський) розподіл

Визначення10.2: Нормальнимназивають розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини, що описується наступною щільністю ймовірностей:

, де
.

Графік функції f(x) має такий вигляд:

Графік щільності нормального розподілу називають нормальною кривоюабо кривою Гауса.

Нормальний розподіл визначається двома параметрами: і
. Імовірнісний зміст цих параметрів такий: є математичне очікування - середнє квадратичне відхилення нормального розподілу, тобто
і
.

Графік функції розподілу нормальної випадкової величини має такий вигляд:

Примітка: Стандартним нормальнимабо нормованимназивають нормальний розподіл із параметрами
і
. Наприклад, якщо X- Нормальна величина з параметрами і , то
- стандартна нормальна величина, причому
і
. Щільність стандартного нормального розподілу має вигляд

Ця функція табульована (див. додаток 1).

Функція розподілу
нормального розподілу має вигляд:

Функція розподілу стандартного нормального розподілу має вигляд:

Примітка:
.

Примітка:Імовірність влучення стандартної нормальної величини Xв інтервал (0 , x) можна знайти, користуючись функцією Лапласа
:

і
.

Функція
табульована (див. додаток 2).

Вплив параметрів нормального розподілу на форму нормальної кривої

Зміна величини параметра (математичного очікування) не змінює форми нормальної кривої, а призводить лише до її зсуву вздовж осі Ox: вправо, якщо зростає, і вліво, якщо убуває:

Максимум функції густини ймовірностей нормального розподілу дорівнює
.

Звідси випливає, що зі зростанням максимальна ордината нормальної кривої зменшується, а сама крива стає пологішою, тобто стискається до осі Ox; при зменшенні нормальна крива стає більш "гостровершинною" і розтягується в позитивному напрямку осі Ой:

Примітка:При будь-яких значеннях параметрів та площа, обмежена нормальною кривою та віссю Ox, Залишається рівною одиниці.

Імовірність попадання в заданий інтервал нормальної випадкової величини

Нехай випадкова величина Xрозподілено за нормальним законом. Тоді ймовірність того, що Xнабуде значення, що належить інтервалу
, дорівнює

Введемо нову змінну
Звідси,
,
Знайдемо нові межі інтегрування. Якщо
то
; якщо то

Таким чином, маємо

Користуючись функцією Лапласа, отримаємо

приклад.Випадкова величина Xрозподілено за нормальним законом
і
. Знайти ймовірність того, що випадкова величина Xнабуде значення, що належить інтервалу .

Рішення:

За таблицею додатка 2 знаходимо
Звідси шукана ймовірність

приклад.Знайти математичне очікування випадкової величини X, яка розподілена за нормальним законом.

Рішення:За визначенням математичного очікування безперервної випадкової величини,

Введемо нову змінну Звідси, ,. Взявши до уваги, що нові межі інтегрування дорівнюють старим, отримаємо

Перше із доданків дорівнює нулю (під знаком інтеграла непарна функція; межі інтегрування симетричні щодо початку координат). Друге із доданків одно а(Інтеграл Пуассона
).

Примітка:При обчисленні дисперсії нормальної випадкової величини робиться така сама заміна змінних і застосовується формула інтегрування частинами.

Правило трьох сигм

Обчислимо ймовірність того, що відхилення нормально розподіленої випадкової величини Xза абсолютною величиною менше потрійного середнього квадратичного відхилення:

Таким чином, сутність правила трьох сигм полягає в наступному: якщо випадкова величина розподілена нормально, то абсолютна величина її відхилення від математичного очікування вбирається у потрійного середнього квадратичного відхилення:

На практиці правило трьох сигм застосовують наступним чином: якщо розподіл досліджуваної випадкової величини невідомий, але умова, зазначена в наведеному правилі, виконується, тобто підстава припускати, що досліджувана величина розподілена нормально; в іншому випадку вона не розподілена нормально.

10.3. Показовий розподіл

Визначення10.3: Показовим (експоненційним)називають розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини X, яке описується щільністю

де - Постійна позитивна величина.

Графік функції f(x) має такий вигляд:

Наприклад, час Тбезвідмовної роботи комп'ютерної системи є випадкова величина, що має показовий розподіл із параметром λ , Фізичний зміст якого - середня кількість відмов в одиницю часу. Інтервал між послідовними надходженнями викликів на автоматичну телефонну станцію, інтервал між послідовними надходженнями автомобілів до стоп-лінії перехрестя – приклади показових випадкових величин.

Знайдемо функцію розподілу показового закону:

Графік функції показового розподілу має такий вигляд:

приклад.Написати щільність та функцію розподілу показового закону, якщо параметр

Рішення.Очевидно, шукана щільність розподілу

при
;
при
.

Шукана функція розподілу

при;
при .

Імовірність попадання в заданий інтервал показово розподіленої випадкової величини

Знайдемо ймовірність попадання в інтервал (a, b) безперервної випадкової величини X, яка розподілена за показовим законом, заданим функцією розподілу

Використовуючи формулу та враховуючи, що

отримаємо

Значення функції
знаходять за таблицею (додаток 4).

Приклад:Безперервна випадкова величина Xрозподілено за показовим законом

при; при
. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Xпотрапить до інтервалу (0,3;1) .

Рішення.За умовою,
. ТодіX

Примітка:Припустимо, є підстави припустити, що досліджувана практично випадкова величина має показовий розподіл. А, щоб перевірити цю гіпотезу, знаходять оцінки математичного очікування середнього квадратичного відхилення, тобто. знаходять вибіркову середню та вибіркове середнє квадратичне відхилення. Математичне очікування та середнє квадратичне відхилення показового розподілу рівні між собою, тому їх оцінки мають незначно відрізнятися. Якщо оцінки виявляться близькими одна до іншої, то дані спостережень підтверджують гіпотезу про показовий розподіл величини, що вивчається, якщо ж оцінки відрізняються істотно, то гіпотезу слід відкинути.

У багатьох завданнях, пов'язаних з нормально розподіленими випадковими величинами, доводиться визначати ймовірність попадання випадкової величини, підпорядкованої нормальному закону з параметрами на ділянку від до. Для обчислення цієї ймовірності скористаємось загальною формулою

де - функція розподілу величини.

Знайдемо функцію розподілу випадкової величини, розподіленої за нормальним законом із параметрами. Щільність розподілу величини дорівнює:

. (6.3.2)

Звідси знаходимо функцію розподілу

. (6.3.3)

Зробимо в інтегралі (6.3.3) заміну змінної

і приведемо його до вигляду:

(6.3.4)

Інтеграл (6.3.4) не виражається через елементарні функції, але його можна обчислити через спеціальну функцію, що виражає певний інтеграл від виразу або (так званий інтеграл ймовірностей), для якого складені таблиці. Існує багато різновидів таких функцій, наприклад:

;

і т.д. Який із цих функцій користуватися – питання смаку. Ми виберемо як таку функцію

. (6.3.5)

Неважко бачити, що ця функція є нічим іншим, як функцією розподілу для нормально розподіленої випадкової величини з параметрами .

Умовимося називати функцію нормальною функцією розподілу. У додатку (табл. 1) наведено таблиці значень функції .

Виразимо функцію розподілу (6.3.3) величини з параметрами та через нормальну функцію розподілу . Очевидно,

. (6.3.6)

Тепер знайдемо можливість попадання випадкової величини на ділянку від до . Згідно з формулою (6.3.1)

Таким чином, ми висловили ймовірність попадання на ділянку випадкової величини, розподіленої за нормальним законом з будь-якими параметрами, через стандартну функцію розподілу, що відповідає найпростішому нормальному закону з параметрами 0,1. Зауважимо, що аргументи функції у формулі (6.3.7) мають дуже простий зміст: є відстань від правого кінця ділянки до центру розсіювання, виражену середніх квадратичних відхиленнях; - така сама відстань для лівого кінця ділянки, причому ця відстань вважається позитивною, якщо кінець розташований праворуч від центру розсіювання, і негативним, якщо ліворуч.

Як і будь-яка функція розподілу, функція має властивості:

3. - Незменшувальна функція.

Крім того, із симетричності нормального розподілу з параметрами щодо початку координат випливає, що

Користуючись цією властивістю, власне кажучи, можна було б обмежити таблиці функції лише позитивними значеннями аргументу, але щоб уникнути зайвої операції (віднімання з одиниці), в таблиці 1 додатка наводяться значення як для позитивних, так і для негативних аргументів.

На практиці часто зустрічається завдання обчислення ймовірності попадання нормально розподіленої випадкової величини на ділянку, симетричну щодо центру розсіювання. Розглянемо таку ділянку довжини (рис. 6.3.1). Обчислимо ймовірність влучення на цю ділянку за формулою (6.3.7):

Враховуючи властивість (6.3.8) функції та надаючи лівій частині формули (6.3.9) більш компактний вигляд, отримаємо формулу для ймовірності попадання випадкової величини, розподіленої за нормальним законом на ділянку, симетричну щодо центру розсіювання:

. (6.3.10)

Розв'яжемо наступне завдання. Відкладемо від центру розсіювання послідовні відрізки довжиною (рис. 6.3.2) і обчислимо ймовірність попадання випадкової величини до кожного з них. Так як крива нормального закону симетрична, достатньо відкласти такі відрізки лише в один бік.

За формулою (6.3.7) знаходимо:

(6.3.11)

Як видно з цих даних, ймовірності попадання на кожен із наступних відрізків (п'ятий, шостий і т.д.) з точністю до 0,001 дорівнюють нулю.

Округлюючи ймовірність попадання у відрізки до 0,01 (до 1%), отримаємо три числа, які легко запам'ятати:

0,34; 0,14; 0,02.

Сума цих значень дорівнює 0,5. Це означає, що з нормально розподіленої випадкової величини все розсіювання (з точністю до відсотка) укладається дільниці .

Це дозволяє, знаючи середнє квадратичне відхилення та математичне очікування випадкової величини, орієнтовно вказати інтервал її практично можливих значень. Такий спосіб оцінки діапазону можливих значень випадкової величини відомий математичної статистики під назвою «правило трьох сигма». З правила трьох сигма випливає орієнтовний спосіб визначення середнього квадратичного відхилення випадкової величини: беруть максимальне практично можливе відхилення від середнього і ділять його на три. Зрозуміло, цей грубий прийом може бути рекомендований тільки якщо немає інших, більш точних способів визначення .

Приклад 1. Випадкова величина, розподілена за нормальним законом, є помилкою вимірювання деякої відстані. При вимірі допускається систематична помилка у бік завищення 1,2 (м); середнє квадратичне відхилення помилки виміру дорівнює 0,8 (м). Знайти ймовірність того, що відхилення виміряного значення від істинного не перевищить абсолютної величини 1,6 (м).

Рішення. Помилка вимірювання є випадковою величиною, підпорядкованою нормальному закону з параметрами і. Потрібно знайти можливість попадання цієї величини на ділянку від до . За формулою (6.3.7) маємо:

Користуючись таблицями функції (додаток, табл. 1), знайдемо:

; ,

Приклад 2. Знайти таку ж ймовірність, що у попередньому прикладі, але за умови, що систематичної помилки немає.

Рішення. За формулою (6.3.10), вважаючи , знайдемо:

Приклад 3. За метою, що має вигляд смуги (автострада), ширина якої дорівнює 20 м, ведеться стрілянина в напрямку перпендикулярному автостраді. Прицілювання ведеться по середній лінії автостради. Середнє квадратичне відхилення у бік стрільби дорівнює м. Є систематична помилка у бік стрільби: недоліт 3 м. Знайти ймовірність потрапляння в автостраду при одному пострілі.

Нормальний закон розподілу ймовірностей

Без перебільшення його можна назвати філософським законом. Спостерігаючи за різними об'єктами та процесами навколишнього світу, ми часто стикаємося з тим, що чогось буває мало, і що буває норма:

Перед вами важливий вигляд функції щільностінормального розподілу ймовірностей, і я вітаю вас на цьому цікавому уроці.

Які приклади можна навести? Їхня просто темрява. Це, наприклад, зростання, вага людей (і не тільки), їхня фізична сила, розумові здібності і т.д. Існує «основна маса» (за тією чи іншою ознакою)і є відхилення в обидві сторони.

Це різні характеристики неживих об'єктів (ті самі розміри, вага). Це випадкова тривалість процесів, наприклад, час забігу стометрівки або перетворення смоли на бурштин. З фізики згадалися молекули повітря: серед них є повільні, швидкі, але більшість рухаються зі «стандартними» швидкостями.

Далі відхиляємося від центру ще одне стандартне відхилення і розраховуємо висоту:

Зазначаємо точки на кресленні (зелений колір)і бачимо, що цього цілком достатньо.

На завершальному етапі акуратно креслимо графік, та особливо акуратновідбиваємо його опуклість/увігнутість! Ну і, мабуть, ви давно зрозуміли, що вісь абсцис – це горизонтальна асимптота, І «залазити» за неї категорично не можна!

При електронному оформленні рішення графік легко побудувати в Екселі, і несподівано для себе я навіть записав короткий відеоролик на цю тему. Але спочатку поговоримо про те, як змінюється форма нормальної кривої в залежності від значень і .

При збільшенні чи зменшенні «а» (При постійному «сигма»)графік зберігає свою форму та переміщається вправо / влівовідповідно. Так, наприклад, при функція набуває вигляду і наш графік «переїжджає» на 3 одиниці вліво – рівно на початок координат:

Нормально розподілена величина з нульовим математичним очікуванням отримала цілком природну назву - центрована; її функція щільності – парна, І графік симетричний щодо осі ординат.

У разі зміни «сигми» (При постійному "а"), графік «залишається дома», але змінює форму. При збільшенні він стає нижчим і витягнутим, наче восьминіг, що розтягує щупальця. І, навпаки, при зменшенні графіка стає вужчим і високим- Виходить «здивований восьминіг». Так, при зменшенні«сигми» вдвічі: попередній графік звужується і витягується вгору вдвічі:

Все в повній відповідності до геометричними перетвореннями графіків.

Нормальний розподіл із одиничним значенням «сигма» називається нормованим, а якщо воно ще й центровано(наш випадок), то такий розподіл називають стандартним. Воно має ще простішу функцію щільності, яка вже зустрічалася в локальної теореми Лапласа: . Стандартний розподіл знайшов широке застосування практично, і дуже скоро ми остаточно зрозуміємо його призначення.

Ну а тепер дивимось кіно:

Так, абсолютно вірно - якось незаслужено у нас залишилася в тіні функція розподілу ймовірностей. Згадуємо її визначення:
- Імовірність того, що випадкова величина набуде значення, МЕНШЕ, ніж змінна , яка "пробігає" всі дійсні значення до "плюс" нескінченності.

Усередині інтеграла зазвичай використовують іншу букву, щоб не виникало «накладок» з позначеннями, бо тут кожному значенню ставиться у відповідність невласний інтеграл , який дорівнює деякому числуз інтервалу.

Майже всі значення не піддаються точному розрахунку, але як ми щойно бачили, із сучасними обчислювальними потужностями з цим немає жодних труднощів. Так, для функції стандартного розподілу відповідна екселівська функція взагалі містить один аргумент:

=НОРМСТРАСП(z)

Раз, два – і готово:

На кресленні добре видно виконання всіх властивостей функції розподілу, і з технічних нюансів тут слід звернути увагу на горизонтальні асимптотиі точку перегину.

Тепер згадаємо одне з ключових завдань теми, а саме з'ясуємо, як знайти – ймовірність того, що нормальна випадкова величина набуде значення з інтервалу. Геометрично ця ймовірність дорівнює площіміж нормальною кривою та віссю абсцис на відповідній ділянці:

але щоразу вимучувати наближене значення нерозумно, і тому тут раціональніше використовувати «легку» формулу:
.

! Згадує також , що

Тут можна знову задіяти Ексель, але є пара вагомих "але": по-перше, він не завжди під рукою, а по-друге, "готові" значення, швидше за все, викличуть питання у викладача. Чому?

Про це я неодноразово розповідав раніше: свого часу (і ще не дуже давно) розкішшю був звичайний калькулятор, і в навчальній літературі досі зберігся «ручний» спосіб вирішення завдання. Його суть полягає в тому, щоб стандартизуватизначення «альфа» та «бета», тобто звести рішення до стандартного розподілу:

Примітка : функцію легко отримати із загального випадкуза допомогою лінійної заміни. Тоді й:

і з проведеної заміни випливає формула переходу від значень довільного розподілу – до відповідних значень стандартного розподілу.

Навіщо це потрібно? Справа в тому, що значення скрупульозно підраховані нашими предками і зведені до спеціальної таблиці, яка є в багатьох книгах за тервером. Але ще частіше зустрічається таблиця значень, з якою ми вже мали справу в інтегральної теореми Лапласа:

Якщо в нашому розпорядженні є таблиця значень функції Лапласа , То вирішуємо через неї:

Дробові значення традиційно округляємо до 4 знаків після коми, як це зроблено у типовій таблиці. І для контролю є Пункт 5 макета.

Нагадую, що , і щоб уникнути плутанини завжди контролюйте, таблиця ЯКИЙ функції перед очима.

Відповідьпотрібно дати у відсотках, тому розраховану ймовірність потрібно помножити на 100 і забезпечити результат змістовним коментарем:

- з перельотом від 5 до 70 м впаде приблизно 15,87% снарядів

Тренуємося самостійно:

Приклад 3

Діаметр підшипників, виготовлених на заводі, являє собою випадкову величину, нормально розподілену з математичним очікуванням 1,5 см і середнім квадратичним відхиленням 0,04 см. Знайти ймовірність того, що розмір навмання взятого підшипника коливається від 1,4 до 1,6 см.

У зразку рішення і далі я використовуватиму функцію Лапласа як найпоширеніший варіант. До речі, зверніть увагу, що згідно з формулюванням, тут можна включити кінці інтервалу до розгляду. Втім, це критично.

І вже у цьому прикладі нам зустрівся особливий випадок – коли інтервал симетричний щодо математичного очікування. У такій ситуації його можна записати у вигляді і, користуючись непарністю функції Лапласа, спростити робочу формулу:

Параметр "дельта" називають відхиленнямвід математичного очікування, і подвійну нерівність можна «упаковувати» за допомогою модуля:

- Імовірність того, що значення випадкової величини відхилиться від математичного очікування менш ніж на .

Добре те рішення, яке вміщується в один рядок:)
- Імовірність того, що діаметр навмання взятого підшипника відрізняється від 1,5 см не більше ніж на 0,1 см.

Результат цього завдання вийшов близьким до одиниці, але хотілося б ще більшої надійності - а саме, дізнатися межі, в яких знаходиться діаметр майже всіхпідшипників. Чи існує якийсь критерій щодо цього? Існує! На поставлене запитання відповідає так зване

правило «трьох сигм»

Його суть полягає в тому, що практично достовірним є той факт, що нормально розподілена випадкова величина набуде значення з проміжку .

І насправді, ймовірність відхилення від матожидания менш ніж становить:
або 99,73%

У «перерахунку на підшипники» – це 9973 штуки з діаметром від 1,38 до 1,62 см і лише 27 «некондиційних» екземплярів.

У практичних дослідженнях правило "трьох сигм" зазвичай застосовують у зворотному напрямку: якщо статистичновстановлено, що майже всі значення досліджуваної випадкової величиниукладаються в інтервал довжиною 6 стандартних відхилень, то з'являються вагомі підстави вважати, що ця величина розподілена за нормальним законом. Перевірка здійснюється за допомогою теорії статистичних гіпотез.

Продовжуємо вирішувати суворі радянські завдання:

Приклад 4

Випадкова величина помилки зважування розподілена за нормальним законом з нульовим математичним очікуванням і стандартним відхиленням 3 грами. Знайти ймовірність того, що чергове зважування буде проведено з помилкою, що не перевищує модуля 5 грам.

Рішеннядуже просте. За умовою, і відразу зауважимо, що за чергового зважування (чогось чи когось)ми майже 100% отримаємо результат із точністю до 9 грам. Але в задачі фігурує вужче відхилення і за формулою :

- Імовірність того, що чергове зважування буде проведено з помилкою, що не перевищує 5 грам.

Відповідь:

Вирішене завдання принципово відрізняється від начебто схожого Приклад 3уроку про рівномірному розподілі. Там була похибка округленнярезультатів вимірів, тут йдеться про випадкової похибки самих вимірів. Такі похибки виникають у зв'язку з технічними характеристиками приладу (діапазон припустимих помилок, як правило, вказують у його паспорті), а також з вини експериментатора – коли ми, наприклад, «на око» знімаємо свідчення зі стрілки тієї ж ваги.

Окрім інших, існують ще так звані систематичніпомилки виміру. Це вже невипадковіпомилки, які виникають через некоректне налаштування або експлуатацію приладу. Так, наприклад, невідрегульовані ваги підлоги можуть стабільно «додавати» кілограм, а продавець систематично обвішувати покупців. Або не систематично можна обрахувати. Однак, у будь-якому випадку, випадковою така помилка не буде, і її маточкування відмінно від нуля.

…терміново розробляю курс з підготовки продавців =)

Самостійно вирішуємо зворотне завдання:

Приклад 5

Діаметр валика - випадкова нормально розподілена випадкова величина, середнє квадратичне відхилення її дорівнює мм. Знайти довжину інтервалу, симетричного щодо математичного очікування, куди з ймовірністю потрапить довжина діаметра валика.

Пункт 5* розрахункового макетав допомогу. Зверніть увагу, що тут не відоме математичне очікування, але це не заважає вирішити поставлене завдання.

І екзаменаційне завдання, яке я настійно рекомендую для закріплення матеріалу:

Приклад 6

Нормально розподілена випадкова величина задана своїми параметрами (математичне очікування) та (середнє квадратичне відхилення). Потрібно:

а) записати щільність ймовірності та схематично зобразити її графік;
б) знайти ймовірність того, що набуде значення з інтервалу ;
в) знайти ймовірність того, що відхилиться по модулю не більше ніж на ;
г) застосовуючи правило "трьох сигм", знайти значення випадкової величини.

Такі завдання пропонуються повсюдно, і за роки практики мені їх довелося вирішити сотні та сотні штук. Обов'язково попрактикуйтесь у ручній побудові креслення та використанні паперових таблиць;)

Ну а я розберу приклад підвищеної складності:

Приклад 7

Щільність розподілу ймовірностей випадкової величини має вигляд . Знайти, математичне очікування, дисперсію, функцію розподілу, побудувати графіки щільності та функції розподілу, знайти.

Рішення: Насамперед, звернемо увагу, що в умові нічого не сказано про характер випадкової величини Сама собою присутність експоненти ще нічого не означає: це може виявитися, наприклад, показовеабо взагалі довільне безперервний розподіл. І тому «нормальність» розподілу ще треба обґрунтувати:

Оскільки функція визначена при будь-комудійсному значенні, і її можна привести до вигляду , то випадкова величина розподілена за нормальним законом.

Наводимо. Для цього виділяємо повний квадратта організуємо триповерховий дріб:

Обов'язково виконуємо перевірку, повертаючи показник у вихідний вигляд:

що ми й хотіли побачити.

Таким чином:
- за правилу дій зі ступенями«відщипуємо». І тут можна одразу записати очевидні числові характеристики:

Тепер знайдемо значення параметра. Оскільки множник нормального розподілу має вигляд і , то:
, звідки висловлюємо та підставляємо на нашу функцію:
, після чого ще раз пробіжимося по запису очима і переконаємося, що отримана функція має вигляд .

Побудуємо графік щільності:

та графік функції розподілу :

Якщо під рукою немає Екселя і навіть звичайного калькулятора, останній графік легко будується вручну! У точці функція розподілу набуває значення і тут знаходиться

Глава 1. Дискретна випадкова величина

§ 1. Поняття випадкової величини.

Закон розподілу дискретної випадкової величини.

Визначення : Випадковою називається величина, яка в результаті випробування приймає тільки одне значення з можливої безлічі своїх значення, наперед невідоме і залежить від випадкових причин.

Розрізняють два види випадкових величин: дискретні та безперервні.

Визначення : Випадкова величина Х називається дискретний (перервний), якщо безліч її значень кінцеве чи нескінченне, але лічильне.

Іншими словами, можливі значення дискретної випадкової величини можна перенумерувати.

Описати випадкову величину можна з її закону розподілу.

Визначення : Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями випадкової величини та їх ймовірностями.

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х може бути заданий у вигляді таблиці, у першому рядку якої вказані в порядку зростання всі можливі значення випадкової величини, а в другому рядку відповідні ймовірності цих значень, тобто.

де р1 + р2 + ... + рn = 1

Така таблиця називається рядом розподілу дискретної випадкової величини.

Якщо безліч можливих значень випадкової величини нескінченно, ряд р1+ р2+…+ рn+… сходиться та її сума дорівнює 1.

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х можна зобразити графічно, для чого в прямокутній системі координат будують ламану, яка з'єднує послідовно точки з координатами (xi; pi), i = 1,2, ... n. Отриману лінію називають багатокутником розподілу (Рис.1).

Органічна хімія органічної хімії відповідно дорівнюють 0,7 і 0,8. Скласти закон розподілу випадкової величини Х - числа іспитів, які здасть студент.

Рішення. Розглянута випадкова величина X в результаті іспиту може прийняти одне з наступних значень: x1 = 0, x2 = 1, х3 = 2.

Знайдемо ймовірність цих значень. Позначимо події:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Отже, закон розподілу випадкової величини Х визначається таблицею:

Контроль: 0,6 +0,38 +0,56 = 1.

§ 2. Функція розподілу

Повний опис випадкової величини також дає функція розподілу.

Визначення: Функцією розподілу дискретної випадкової величини Х називається функція F(x), що визначає для кожного значення х ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення менше х:

F(x)=Р(Х<х)

Геометрично функція розподілу інтерпретується як ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, яке зображується на числовій прямій точці, що лежить ліворуч від точки х.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x)- незнижена функція на (-∞; + ∞);

3) F(x)- безперервна ліворуч у точках х= xi (i=1,2,…n) і безперервна переважають у всіх інших точках;

4) F(-∞)=Р (Х<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=Р(Х<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Якщо закон розподілу дискретної випадкової величини Х заданий у вигляді таблиці:

то функція розподілу F(x) визначається формулою:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 при х≤ x1,

р1 при x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 при x2< х≤ х3

1 при х>хn.

Її графік зображено на рис.2:

§ 3. Числові характеристики дискретної випадкової величини.

До важливих числових характеристик належить математичне очікування.

Визначення: Математичним очікуванням М(Х) дискретної випадкової величини Х називається сума творів всіх її значень відповідні їм ймовірності:

М(Х) = ∑ xiрі = x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Математичне очікування є характеристикою середнього значення випадкової величини.

Властивості математичного очікування:

1) M(C)=C, де З-постійна величина;

2) М (З Х) = З М (Х),

3)М(Х±Y)=М(Х)±M(Y);

4) M (X Y) = M (X) M (Y), де X, Y - незалежні випадкові величини;

5) M(X±C)=M(X)±C, де З-постійна величина;

Для характеристики ступеня розсіювання можливих значень дискретної випадкової величини навколо середнього значення служить дисперсія.

Визначення: Дисперсією D ( X ) випадкової величини Х називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування:

Властивості дисперсії:

1)D(C)=0, де З-постійна величина;

2) D(X)>0, де Х - випадкова величина;

3)D(C X)=C2 D(X), де З-постійна величина;

4) D (X + Y) = D (X) + D (Y), де X, Y - незалежні випадкові величини;

Для обчислення дисперсії часто буває зручно користуватися формулою:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

де М(Х) = ∑ xi2рi = x12р1 + x22р2 + ... + xn2рn

Дисперсія D(X) має розмірність квадрата випадкової величини, що завжди зручно. Тому як показник розсіювання можливих значень випадкової величини використовують також величину D(X).

Визначення: Середнім квадратичним відхиленням σ(Х) випадкової величини Х називається квадратний корінь з дисперсії:

Завдання №2.Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Знайти Р2, функцію розподілу F(x) та побудувати її графік, а також M(X),D(X), σ(Х).

Рішення: Оскільки сума ймовірностей можливих значень випадкової величини Х дорівнює 1, то

Р2 = 1 - (0,1 +0,3 +0,2 +0,3) = 0,1

Знайдемо функцію розподілу F(х)=P(X

Геометрично цю рівність можна витлумачити так: F(х) є ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке зображується на числовій осі точкою, що лежить ліворуч від точки х.

Якщо х≤-1, то F(х)=0, тому що на (-∞;х) немає жодного значення даної випадкової величини;

Якщо -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Якщо 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;х) потрапляють два значення x1=-1 і x2=0;

Якщо 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Якщо 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Якщо х>3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1 +0,1+0,3+0,2+0,3=1, тому що в проміжок (-∞;х) потрапляють чотири значення x1=-1, x2=0,x3=1,х4=2 та х5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 при х≤-1,

0,1 при -1<х≤0,

0,2 при 0<х≤1,

F(x)= 0,5 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

Зобразимо функцію F(x)графічно (рис.3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845.

§ 4. Біноміальний закон розподілу

дискретна випадкова величина, закон Пуассона.

Визначення: Біноміальним називається закон розподілу дискретної випадкової величини Х - числа події А в n незалежних повторних випробуваннях, в кожному з яких події А може наступити з ймовірністю p або не наступити з ймовірністю q=1-p. Тоді Р(Х=m)-імовірність появи події А рівно m разів у n випробуваннях обчислюється за формулою Бернуллі:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

Математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х, розподіленої за бінарним законом, знаходять відповідно за формулами:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Імовірність події А - «випадання п'ятірки» в кожному випробуванні одна і та ж і дорівнює 1/6, тобто Р(А)=р=1/6, тоді Р(А)=1-p=q=5/6, де

- «Випадання не п'ятірки».

Випадкова величина Х може набувати значень: 0;1;2;3.

Імовірність кожного з можливих значень Х знайдемо за формулою Бернуллі:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Т. о. закон розподілу випадкової величини Х має вигляд:

Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Знайдемо числові характеристики випадкової величини Х:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Завдання №4.Верстат-автомат штампує деталі. Імовірність того, що виготовлена деталь виявиться бракованою, дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що серед 1000 відібраних деталей виявиться:

а) 5 бракованих;

б) хоч би одна бракована.

Рішення: Число n=1000 велике, ймовірність виготовлення бракованої деталі р=0,002 мала, і події, що розглядаються (деталь виявиться бракованою) незалежні, тому має місце формула Пуассона:

Рn(m)= e- λ λm

Знайдемо λ=np=1000 0,002=2.

а)Знайдемо ймовірність того, що буде 5 бракованих деталей (m=5):

Р1000 (5) = e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

б)Знайдемо ймовірність того, що буде хоча б одна бракована деталь.

Подія А -«хоча одна з відібраних деталей бракована» є протилежною події -«всі відібрані деталі не браковані». Отже, Р(А)=1-Р(). Звідси шукана ймовірність дорівнює: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e-2 20 = 1 - e-2 = 1-0,13534 ≈ 0,865.

Завдання для самостійної роботи.

1.1

1.2. Дисперсна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Знайти р4, функцію розподілу F(X) та побудувати її графік, а також M(X),D(X), σ(Х).

1.3. У коробці 9 фломастерів, з яких 2 фломастери вже не пишуть. Навмання беруть 3 фломастери. Випадкова величина Х - число друкарських фломастерів серед взятих. Скласти закон розподілу випадкової величини.

1.4. На стелажі бібліотеки у випадковому порядку розставлено 6 підручників, причому 4 з них у палітурці. Бібліотекар бере навмання 4 підручники. Випадкова величина Х-число підручників у палітурці серед взятих. Скласти закон розподілу випадкової величини.

1.5. У квитку два завдання. Імовірність правильного розв'язання першого завдання дорівнює 0,9, другий-0,7. Випадкова величина Х - число правильно вирішених завдань у квитку. Скласти закон розподілу, обчислити математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини, а також знайти функцію розподілу F(x) та побудувати її графік.

1.6. Три стрілки стріляють по мішені. Імовірність попадання в ціль при одному пострілі для першого стрілка дорівнює 0,5, для другого-0,8, для третього -0,7. Випадкова величина Х - число попадань у ціль, якщо стрілки роблять по одному пострілу. Знайти закон розподілу, M(X), D(X).

1.7. Баскетболіст кидає м'яч у кошик із ймовірністю влучення при кожному кидку 0,8. За кожне влучення він отримує 10 очок, а у разі промаху очки йому не нараховують. Скласти закон розподілу випадкової величини Х-числа очок, отриманих баскетболістом за 3 кидки. Знайти M(X),D(X), а також можливість того, що він отримає більше 10 очок.

1.8. На картках написані літери, всього 5 голосних та 3 приголосних. Навмання вибирають 3 картки, причому щоразу взяту картку повертають назад. Випадкова величина Х-число гласних букв серед взятих. Скласти закон розподілу та знайти M(X),D(X),σ(Х).

1.9. У середньому по 60% договорів страхова компанія сплачує страхові суми у зв'язку з настанням страхового випадку. Скласти закон розподілу випадкової величини Х - числа договорів, за якими було виплачено страхову суму серед навмання відібраних чотирьох договорів. Знайти числові показники цієї величини.

1.10. Радіостанція через певні проміжки часу посилає сигнали (не більше чотирьох) до встановлення двостороннього зв'язку. Імовірність отримання відповіді на позивний сигнал дорівнює 0,3. Випадкова величина Х-число надісланих позивних сигналів. Скласти закон розподілу та знайти F(x).

1.11. Є 3 ключі, з яких лише один підходить до замку. Скласти закон розподілу випадкової величини Х-числа спроб відкриття замку, якщо випробуваний ключ у наступних спробах не бере участі. Знайти M(X),D(X).

1.12. Виготовляються послідовні незалежні випробування трьох приладів на надійність. Кожен наступний прилад випробовується лише у тому випадку, якщо попередній виявився надійним. Імовірність витримати випробування для кожного приладу дорівнює 0,9. Скласти закон розподілу випадкової величини Х числа випробуваних приладів.

1.13 .Дискретна випадкова величина Х має три можливі значення: х1 = 1, х2, х3, причому х1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Блок електронного пристрою має 100 однакових елементів. Імовірність відмови кожного елемента протягом часу Т дорівнює 0,002. Елементи працюють незалежно. Знайти ймовірність те, що за час Т відмовить не більше двох елементів.

1.15. Підручник видано тиражем 50000 екземплярів. Імовірність того, що підручник зброшурований неправильно, дорівнює 0,0002. Знайти ймовірність того, що тираж містить:

а) чотири браковані книги,

б) менше двох бракованих книг.

1 .16. Число дзвінків, що надходять на АТС кожну хвилину, розподілено за законом Пуассона з параметром =1,5. Знайдіть ймовірність того, що за хвилину надійде:

а) два виклики;

б)хоча один виклик.

1.17.

Знайти M(Z),D(Z), якщо Z=3X+Y.

1.18. Наведено закони розподілу двох незалежних випадкових величин:

Знайти M(Z),D(Z), якщо Z=X+2Y.

Відповіді:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. р3 = 0,4; 0 при х≤-2,

0,3 при -2<х≤0,

F(x)= 0,5 при 0<х≤2,

0,9 при 2<х≤5,

1 при х>5

1.2. р4 = 0,1; 0 при х≤-1,

0,3 при -1<х≤0,

0,4 при 0<х≤1,

F(x)= 0,6 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

M(Х)=1; D(Х)=2,6; σ(Х) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 при х≤0,

0,03 при 0<х≤1,

F(x)= 0,37 при 1<х≤2,

1 при х>2

M(Х)=2; D(Х)=0,62

M(Х)=2,4; D(Х)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(Х)=15/8; D(Х)=45/64; σ(Х) ≈

M(Х)=2,4; D(Х)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(Х)=2; D(Х)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2 ≈ 0,999

1.15. а) 0,0189; б) 0,00049

1.16. а) 0,0702; б) 0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Розділ 2. Безперервна випадкова величина

Визначення: Безперервний називають величину, всі можливі значення якої повністю заповнюють кінцевий чи нескінченний проміжок числової осі.

Очевидно, кількість можливих значень безперервної випадкової величини нескінченна.

Безперервну випадкову величину можна ставити за допомогою функції розподілу.

Визначення:Ф ункцією розподілу безперервної випадкової величини Х називається функція F(х), що визначає для кожного значення x width="14"

Функцію розподілу іноді називають інтегральною функцією розподілу.

Властивості функції розподілу:

1)1≤ F(x) ≤1

2)У безперервної випадкової величини функція розподілу безперервна у будь-якій точці і диференційована всюди, крім, можливо, окремих точок.

3) Імовірність потрапляння випадкової величини Х до одного з проміжків (а;b), [а;b), [а;b], дорівнює різниці значень функції F(х) у точках а і b, тобто. Р(а<Х

4) Імовірність того, що безперервна випадкова величина Х набуде одного окремого значення дорівнює 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Завдання безперервної випадкової величини з допомогою функції розподілу є єдиним. Введемо поняття густини розподілу ймовірностей (щільність розподілу).

Визначення : Щільністю розподілу ймовірностей f ( x ) безперервної випадкової величини Х називається похідна від її функції розподілу, тобто:

Щільність розподілу ймовірностей іноді називають диференціальною функцією розподілу чи диференціальним законом розподілу.

Графік щільності розподілу ймовірностей f(x) називається кривою розподілу ймовірностей .

Властивості густини розподілу ймовірностей:

1)f(x) ≥0,при хhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height ="62 src="> 0 при х≤2,

f(x)= с(х-2) при 2<х≤6,

0 при х>6.

Знайти: а) значення; б) функцію розподілу F(х) та побудувати її графік; в) Р(3≤х<5)

Рішення:

+ ∞

а) Значення знайдемо з умови нормування: f(x)dx=1.

Отже, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 х

якщо 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(х2/2-2х+2)=1/16(х-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 при х≤2,

F(х)= (х-2)2/16 при 2<х≤6,

1 при х>6.

Графік функції F(х) зображено на рис.3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 при х≤0,

F(х)= (3 arctg х)/π при 0<х≤√3,

1 при х>√3.

Знайти диференціальну функцію розподілу f(х)

Рішення: Т. к.f(х) = F'(x), то

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Усі властивості математичного очікування і дисперсії, розглянуті раніше дисперсних випадкових величин, справедливі й у безперервних.

Завдання №3.Випадкова величина Х задана диференціальною функцією f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + х2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ х2 f(x)dx-(М(х))2=∫ х2 х/3 dx+∫1/3х2 dx=(31/18)2=х4/12 +х3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Завдання для самостійного вирішення.

2.1. Безперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу:

0 при х≤0,

F(х)= 0 при х≤ π/6, 0 при х≤ π/6,

F(х)= - cos 3x при π/6<х≤ π/3,

1 при х> π/3.

Знайти диференціальну функцію розподілу f(x), а також

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 при х≤2,

f(х)= з х при 2<х≤4,

0 при х>4.

2.4. Безперервна випадкова величина Х задана щільністю розподілу:

0 при х≤0,

f(х)= з √х при 0<х≤1,

0 при х>1.

Знайти: а) число с; б) М(Х), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> при х,

0 при х.

Знайти: а) F(х) та побудувати її графік; б) M(X), D(X), σ(Х); в) ймовірність того, що у чотирьох незалежних випробуваннях величина Х прийме рівно 2 рази значення, що належить інтервалу (1; 4).

2.6. Задано щільність розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Х:

f(х)= 2(х-2) при х,

0 при х.

Знайти: а) F(х) та побудувати її графік; б) M(X), D(X), σ(Х); в) ймовірність того, що у трьох незалежних випробуваннях величина Х прийме рівно 2 рази значення, що належить відрізку .

2.7. Функція f(х) задана у вигляді:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. Функція f(x) задана у вигляді:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4; π /4].

Знайти: а) значення постійної с, коли він функція буде щільністю ймовірності деякої випадкової величини Х; б) функцію розподілу F(x).

2.9. Випадкова величина Х, зосереджена інтервалі (3;7), задана функцією розподілу F(х)= . Знайти ймовірність того, що

випадкова величина Х набуде значення: а) менше 5; б) не менше 7.

2.10. Випадкова величина Х, зосереджена на інтервалі (-1; 4),

задана функцією розподілу F(х) = . Знайти ймовірність того, що

випадкова величина Х набуде значення: а) менше 2; б) не менше 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Знайти: а) число с; б) М(Х); в) ймовірність Р(Х> М(Х)).

2.12. Випадкова величина задана диференціальною функцією розподілу:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Знайти: а) М(Х); б) ймовірність Р(Х≤М(Х))

2.13. Розподіл Рем'я задається щільністю ймовірності:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> при х ≥0.

Довести, що f(x) дійсно є густиною розподілу ймовірностей.

2.14. Задано щільність розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Х:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(рис.4) (Рис.5)

2.16. Випадкова величина Х розподілена за законом прямокутного трикутника в інтервалі (0; 4) (рис.5). Знайти аналітичний вираз для густини ймовірності f(x) на всій числовій осі.

Відповіді

0 при х≤0,

f(х)= 0 при х≤ π/6, 0 при х≤ π/6,

F(х)= 3sin 3x при π/6<х≤ π/3,

0 при х> π/3. Безперервна випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу на деякому інтервалі (а; b), якому належать всі можливі значення Х, якщо щільність розподілу ймовірностей f (x) постійна на цьому інтервалі і дорівнює 0 поза ним, тобто

0 при х≤а,

f(х)= при a<х

0 при х≥b.

Графік функції f(x) зображено на рис. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤а,

F(х) = width="30", D(X)=, σ(Х)=.

Завдання №1.Випадкова величина Х рівномірно розподілена на відрізку. Знайти:

а) щільність розподілу ймовірностей f(x) та побудувати її графік;

б) функцію розподілу F(x) та побудувати її графік;

в) M(X), D(X), σ(Х).

Рішення: Скориставшись формулами, розглянутими вище, а=3, b=7, знаходимо:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> при 3≤х≤7,

0 при х>7

Побудуємо її графік (рис.3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 при х≤3,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">рис.4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 при х<0,

f(х)= λе-λх при х≥0.

Функція розподілу випадкової величини Х, розподіленої за показовим законом, задається формулою:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">рис..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ(Х)=

Таким чином, математичне очікування та середнє квадратичне відхилення показового розподілу рівні між собою.

Імовірність потрапляння Х до інтервалу (a;b) обчислюється за формулою:

Р(a<Х

Завдання №2.Середній час безвідмовної роботи приладу дорівнює 100 год. Вважаючи, що час безвідмовної роботи приладу має показовий закон розподілу, знайти:

а) густина розподілу ймовірностей;

б) функцію розподілу;

в) ймовірність, що час безвідмовної роботи приладу перевищить 120 год.

Рішення: За умовою математичний розподіл M(X) = 0 при х<0,

а) f(х)= 0,01-0,01х при х≥0.

б) F(x)= 0 при х<0,

1-е -0,01х при х≥0.

в) Шукану ймовірність знайдемо, використовуючи функцію розподілу:

Р(X>120)=1-F(120)=1-(1- е -1,2)= е -1,2 ≈0,3.

§ 3.Нормальний закон розподілу

Визначення: Безперервна випадкова величина Х має нормальний закон розподілу (закон Гауса), якщо її щільність розподілу має вигляд:

де m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Криву нормального закону розподілу називають нормальної або гаусової кривої (Мал.7)

Нормальна крива симетрична щодо прямої х=m, має максимум т. х=а, рівний .

Функція розподілу випадкової величини Х, розподіленої за нормальним законом, виражається через функцію Лапласа Ф(х) за формулою:

де – функція Лапласа.

Примітка: Функція Ф(х) є непарною (Ф(-х)=-Ф(х)), крім того, при х>5 вважатимуться Ф(х) ≈1/2.

Графік функції розподілу F(x) зображено на рис. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Імовірність того, що абсолютна величина відхилення менша за позитивне число δ обчислюється за формулою:

Зокрема, при m=0 справедлива рівність:

«Правило трьох сигм»

Якщо випадкова величина Х має нормальний закон розподілу з параметрами m і σ то практично достовірно, що її значення укладені в інтервалі (a-3σ; a+3σ), т. до.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">а)

б) Скористаємося формулою:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

По таблиці значень функції Ф(х) знаходимо Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413.

Отже, шукана ймовірність:

P(28)

Завдання для самостійної роботи

3.1. Випадкова величина Х рівномірно розподілена в інтервалі (-3; 5). Знайдіть:

б) функції розподілу F(x);

в) числові показники;

г) ймовірність Р(4<х<6).

3.2. Випадкова величина Х рівномірно розподілена на відрізку. Знайдіть:

а) густина розподілу f(x);

б) функції розподілу F(x);

в) числові показники;

г) ймовірність Р(3?х?6).

3.3. На шосе встановлено автоматичний світлофор, в якому 2 хвилини для транспорту горить зелене світло, 3 секунди жовте і 30 секунд червоне і т. д. Машина проїжджає шосе у випадковий момент часу. Знайти ймовірність того, що машина проїде повз світлофор, не зупиняючись.

3.4. Поїзди метрополітену йдуть регулярно з інтервалом 2 хвилини. Пасажир виходить на платформу у довільний момент часу. Яка ймовірність того, що чекати на поїзд пасажиру доведеться більше 50 секунд. Знайти математичне очікування випадкової величини Х – час очікування поїзда.

3.5. Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення показового розподілу, заданого функцією розподілу:

F(x)= 0 при х<0,

1-е-8х при х≥0.

3.6. Безперервна випадкова величина Х задана щільністю розподілу ймовірностей:

f(x)= 0 при х<0,

0,7 е-0,7х при х≥0.

а) Назвіть закон розподілу випадкової величини, що розглядається.

б) Знайдіть функцію розподілу F(X) та числові характеристики випадкової величини Х.

3.7. Випадкова величина Х розподілена за показовим законом, заданим щільністю розподілу ймовірностей:

f(x)= 0 при х<0,

0,4 е-0,4 х при х≥0.

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення інтервалу (2,5;5).

3.8. Безперервна випадкова величина Х розподілена за показовим законом, заданим функцією розподілу:

F(x)= 0 при х<0,

1-е-0,6х при х≥0

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення відрізка .

3.9. Математичне очікування та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини відповідно дорівнюють 8 і 2. Знайдіть:

а) густина розподілу f(x);

б) ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення з інтервалу (10; 14).

3.10. Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним очікуванням 3,5 та дисперсією 0,04. Знайдіть:

а) густина розподілу f(x);

б) ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення відрізка .

3.11. Випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=0 та D(X)=1. Яка з подій: |Х|≤0,6 або |Х|≥0,6 має більшу ймовірність?

3.12. Випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=0 і D(X)=1.З якого інтервалу (-0,5;-0,1) або (1;2) при одному випробуванні вона набуде значення з більшою ймовірністю?

3.13. Поточна ціна за одну акцію може бути змодельована за допомогою нормального закону розподілу з M(X)=10ден. од. і σ (Х) = 0,3 ден. од. Знайти:

а) ймовірність того, що поточна ціна акції буде від 9,8 грош. од. до 10,4 грош. од.;

б) за допомогою «правила трьох сигм» знайти межі, в яких буде перебувати поточна ціна акції.

3.14. Здійснюється зважування речовини без систематичних помилок. Випадкові помилки зважування підпорядковані нормальному закону із середнім квадратичним ставленням σ=5г. Знайти ймовірність того, що в чотирьох незалежних дослідах помилка при трьох зважування не відбудеться за абсолютною величиною 3г.

3.15. Випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=12,6. Імовірність потрапляння випадкової величини до інтервалу (11,4;13,8) дорівнює 0,6826. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ.

3.16. Випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=12 і D(X)=36. Знайти інтервал, який з ймовірністю 0,9973 потрапить в результаті випробування випадкова величина Х.

3.17. Деталь, виготовлена автоматично, вважається бракованою, якщо відхилення Х контрольованого параметра від номіналу перевищує по модулю 2 одиниці вимірювання . Передбачається, що випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=0 та σ(Х)=0,7. Скільки відсотків бракованих деталей видає автомат?

3.18. Параметр Х деталі розподілено нормально з математичним очікуванням 2 рівним номіналу і середнім квадратичним відхиленням 0,014. Знайти ймовірність, що відхилення Х від номіналу по модулю не перевищить 1% номіналу.

Відповіді

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

б) 0 при х≤-3,

F(х) = left">

3.10. а) f (x) = ,

б) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. а) Р(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

Випадковою величиноюназивають змінну величину, яка в результаті кожного випробування набуває одного заздалегідь невідомого значення, що залежить від випадкових причин. Випадкові величини позначають великими латинськими літерами: $ X, \ Y, Z, \ dots $ За своїм типом випадкові величини можуть бути дискретнимиі безперервними.

Дискретна випадкова величина- це така випадкова величина, значення якої можуть бути не більш ніж лічильними, тобто або кінцевими, або лічильними. Під рахунком мається на увазі, що значення випадкової величини можна занумерувати.

Приклад 1 . Наведемо приклади дискретних випадкових величин:

а) число попадань у мішень при $n$ пострілах, тут можливі значення $0, 1, dots, n $.

б) число гербів, що випали при підкиданні монети, тут можливі значення $0,\ 1,\dots,\n$.

в) число кораблів, що прибули на борт (лічильна безліч значень).

г) кількість викликів, що надходять на АТС (численна кількість значень).

1. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини.

Дискретна випадкова величина $X$ може приймати значення $x_1,\dots,\x_n$ з ймовірностями $p\left(x_1\right),\dots,\p\left(x_n\right)$. Відповідність між цими значеннями та їх ймовірностями називається законом розподілу дискретної випадкової величини. Як правило, ця відповідність задається за допомогою таблиці, у першому рядку якої вказують значення $x_1, \ dots , \ x_n $, а в другому рядку відповідні цим значенням ймовірності $ p_1, \ dots , \ p_n $.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Приклад 2 . Нехай випадкова величина $X$ - кількість очок, що випали при підкиданні грального кубика. Така випадкова величина $X$ може приймати наступні значення $1, 2, 3, 4, 5, 6 $. Імовірності всіх цих значень дорівнюють $1/6$. Тоді закон розподілу ймовірностей випадкової величини $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Зауваження. Оскільки в законі розподілу дискретної випадкової величини $X$ події $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ утворюють повну групу подій, то в сумі ймовірності повинні дорівнювати одиниці, тобто $ \ sum (p_i) = 1 $.

2. Математичне очікування дискретної випадкової величини.

Математичне очікування випадкової величинизадає її "центральне" значення. Для дискретної випадкової величини математичне очікування обчислюється як сума творів значень $x_1,\dots ,\ x_n$ на відповідні цим значенням імовірності $p_1,\dots ,\ p_n$, тобто $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. В англомовній літературі використовують інше позначення $ E \ left (X \ right) $.

Властивості математичного очікування$M\left(X\right)$:

$M\left(Xright)$ укладено між найменшим і найбільшим значеннями випадкової величини $X$.
Математичне очікування від константи дорівнює самій константі, тобто. $M\left(Cright)=C$.
Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування: $ M \ left (CX \ right) = CM \ left (X \ right) $.
Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань: $ M \ left (X + Y \ right) = M \ left (X \ right) + M \ left (Y \ right) $.
Математичне очікування твору незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань: $ M \ left (XY \ right) = M \ left (X \ right) M \ left (Y \ right) $.

Приклад 3 . Знайдемо математичне очікування випадкової величини $X$ із прикладу $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 ) \ over (6)) = 3,5. $ $

Можемо помітити, що $M\left(X\right)$ укладено між найменшим ($1$) і найбільшим ($6$) значеннями випадкової величини $X$.

Приклад 4 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 2 $. Знайти математичне очікування випадкового розміру $3X+5$.

Використовуючи вищевказані властивості, отримуємо $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2 +5 = 11 $.

Приклад 5 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 4 $. Знайти математичне очікування випадкової величини $2X-9$.

Використовуючи вищевказані властивості, отримуємо $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4 -9 = -1 $.

3. Дисперсія дискретної випадкової величини.

Можливі значення випадкових величин із рівними математичними очікуваннями можуть по-різному розсіюватися навколо своїх середніх значень. Наприклад, у двох студентських групах середній бал за іспит з теорії ймовірностей виявився рівним 4, але в одній групі всі виявилися хорошистами, а в іншій групі - лише трієчники та відмінники. Тому виникає потреба у такій числовій характеристиці випадкової величини, яка б показувала розкид значень випадкової величини навколо свого математичного очікування. Такою характеристикою є дисперсія.

Дисперсія дискретної випадкової величини$X$ дорівнює:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

В англомовній літературі використовуються позначення $ V \ left (X \ right), \ Var \ left (X \ right) $. Дуже часто дисперсію $D\left(X\right)$ обчислюють за формулою $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\left(X) \right)\right))^2$.

Властивості дисперсії$D\left(X\right)$:

Дисперсія завжди більша чи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (X \ right) \ ge 0 $.
Дисперсія від константи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (C \ right) = 0 $.
Постійний множник можна виносити за знак дисперсії за умови зведення їх у квадрат, тобто. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $ D \ left (X + Y \ right) = D \ left (X \ right) + D \ left (Y \ right) $.
Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Приклад 6 . Обчислимо дисперсію випадкової величини $X$ із прикладу $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\approx 2,92.$$

Приклад 7 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D left (X right) = 2 $. Знайти дисперсію випадкової величини $4X+1$.

Використовуючи вищезазначені властивості, знаходимо $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\ left (X right) = 16 cdot 2 = 32 $.

Приклад 8 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D \ left (X \ right) = 3 $. Знайти дисперсію випадкової величини $3-2X$.

Використовуючи вищевказані властивості, знаходимо $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\ left (X \ right) = 4 \ cdot 3 = 12 $.

4. Функція розподілу дискретної випадкової величини.

Спосіб подання дискретної випадкової величини у вигляді ряду розподілу не єдиний, а головне він не є універсальним, оскільки безперервну випадкову величину не можна задати за допомогою ряду розподілу. Існує ще один спосіб подання випадкової величини – функція розподілу.

Функцією розподілувипадкової величини $X$ називається функція $F\left(x\right)$, яка визначає ймовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення, менше деякого фіксованого значення $x$, тобто $F\left(x\right )=P\left(X< x\right)$

Властивості функції розподілу:

$0\le F\left(x\right)\le 1$.
Імовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення з інтервалу $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях цього інтервалу: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
$ F \ left (x \ right) $ - Незменшується.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right) = 1 \) $.

Приклад 9 . Знайдемо функцію розподілу $F\left(xright)$ для закону розподілу дискретної випадкової величини $X$ з прикладу $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Якщо $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (у тому числі і при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Якщо $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Якщо $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Якщо $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Якщо $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Якщо $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Якщо $ x > 6 $, то $ F \ left (x \ right) = P \ left (X = 1 \ right) + P \ left (X = 2 \ right) + P \ left (X = 3 \ right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Отже, $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6, при 1< x\le 2,\\
1/3, \ при 2< x\le 3,\\
1/2, при 3< x\le 4,\\
2/3,\ при 4< x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4< x\le 5,\\
1, \ при x > 6.
\end(matrix)\right.$