Як позначається модуль та напрямок вектора швидкості. Швидкість

Для характеристики швидкості руху запроваджується поняття швидкості.

Визначення: Середньою швидкістю руху точки за інтервал часу від до
називається векторна величина дорівнює відношенню збільшення радіус-вектора точки за цей проміжок часу до його тривалості
.

- Середня швидкість.

Визначення: Швидкість (або миттєва швидкість) точки називається векторна величина, що дорівнює першій похідній за часом від радіус-вектора.

Вектор швидкості характеризує рух як за величиною, так і за напрямом. Вектор швидкості завжди спрямований щодо траєкторії у бік руху.

Визначення: Модуль швидкості дорівнює першій похідній часу від пройденого шляху.

Розкладемо вектор швидкості за базисом прямокутної декартової системи координат:

, де V x , V y , V z проекції вектора швидкості на відповідну вісь, які відповідно дорівнюють:

де
- це іксова проекція радіус-вектора матеріальної точки.

У координатному поданні вектор швидкості має вигляд:

Модуль вектора швидкості в координатному поданні:

Зворотне співвідношення.

Представимо радіус вектор швидкості за допомогою певного та невизначеного інтеграла:

де t, t 0 - Початковий і кінцевий момент часу.

Подання пройденого шляху через модуль швидкості за допомогою певного та невизначеного інтеграла.

§4. Вектор прискорення.

Для характеристики швидкості зміни вектора швидкості точки у механіці вводиться поняття прискорення.

Визначення: Середнє прискорення за інтервал часу від до
називається векторна величина, що дорівнює відношенню збільшення вектора швидкості точки за даний інтервал часу до його величини.

Визначення: Прискорення (або миттєве прискорення) точки називається векторна величина, чисельно рівна першій похідній за часом від швидкості точки, що розглядається або, що те ж саме, друга похідна за часом від радіус-вектора цієї точки:

Прискорення можна ввести через межу середнього прискорення:

Два введені записи прискорення є еквівалентними.

Розкладемо вектор прискорення за базисом прямокутної декартової системи координат:

де a x, a y, a z - проекції вектора прискорення на вісь.

Координатна вистава модуля вектора прискорення:

Зворотні співвідношення:

;

Розглянемо рух матеріальної точки вздовж плоскої кривої. Прискорення завжди спрямоване усередину увігнутості кривої або траєкторії. Введемо два одиничні вектори: , який спрямований по дотичній до траєкторії та - спрямований перпендикулярно траєкторії до центру кривої.

;

Розкладемо вектор прискорення за заданими напрямками.

- Дотичне прискорення.

Визначення: Дотичне прискорення – векторна величина, що характеризує швидкість зміни вектора швидкості за модулем.

- Векторні подання.

- скалярне уявлення.

- Нормальне прискорення.

Визначення: Нормальне прискорення характеризує швидкість зміни вектора швидкості за напрямом та обчислюється за формулою:

-де R-радіус кривизни траєкторії в точці М

Якщо траєкторія – коло, то R – радіус кола.

У скалярному поданні:

З властивостей складових повне прискорення випливає, що повне прискорення спрямоване убік увігнутості траєкторії.

Модуль повного прискорення дорівнює:

Аналогічно для вектора повного прискорення:

Ґрунтуючись на визначенні швидкості, ми можемо стверджувати, що швидкість є вектором. Вона безпосередньо виражається через вектор-переміщення, віднесений до проміжку часу, і повинна мати всі властивості вектора переміщення.

Напрямок вектора швидкості, як і напрям фізично малого вектора переміщення, визначається за кресленням траєкторії. У цьому можна переконатися на простих прикладах.

Якщо до точильного каменю, що обертається, доторкнутися залізною пластинкою, то тирса, що знімається ним, придбають швидкість тих точок каменю, до яких торкалася пластинка, і потім відлетять у напрямку вектора цієї швидкості. Усі точки каменю рухаються навкруги. Під час досвіду добре видно, що розжарені частинки-тирса, що відриваються, йдуть по дотичних до цих кіл, вказуючи напрямки векторів швидкостей окремих точок обертового точильного каменю.

Зверніть увагу на те, як розташовані вихідні труби біля кожуха відцентрового водяного насоса або сепаратора для молока. У цих машинах частинки рідини змушують рухатися по колам і потім дають можливість вийти в отвір, розташоване в напрямку вектора тієї швидкості, яку вони мають в момент виходу. Напрямок вектора швидкості в цей момент збігається з напрямом до траєкторії руху частинок рідини. І вихідна труба теж спрямована цією дотичною.

Так само забезпечують вихід частинок у сучасних прискорювачах електронів та протонів при ядерних дослідженнях.

Отже, ми переконалися, що напрямок вектора швидкості визначається траєкторією руху тіла. Вектор швидкості завжди спрямований уздовж дотичної до траєкторії в тій точці, через яку проходить тіло, що рухається.

Для того щоб визначити, в який бік уздовж дотичної спрямований вектор швидкості та який його модуль, потрібно звернутися до закону руху. Припустимо, що закон руху заданий графіком, показаним на рис. 1.54. Візьмемо збільшення довжини шляху відповідне малому вектору яким визначається вектор швидкості. Згадаймо, що Знак вказує

напрямок руху траєкторією, а отже, визначає орієнтування вектора швидкості вздовж дотичної. Очевидно, що через модуль цього збільшення довжини шляху визначатиметься модуль швидкості.

Таким чином, модуль вектора швидкості та орієнтування вектора швидкості вздовж дотичної до траєкторії можна визначити із співвідношення

Тут є величиною алгебри, знак якої вказує, в яку сторону по дотичній до траєкторії спрямований вектор швидкості.

Отже, ми переконалися, що модуль вектора швидкості можна знайти за графіком закону руху. Відношення визначає кут нахилу а дотичної на цьому графіку. Нахил дотичної на графіку закону руху буде тим більше, чим більше тобто чим більше у вибраний момент швидкість руху.

Ще раз звернемо увагу на те, що для повного визначення швидкості потрібне одночасне знання траєкторії та закону руху. Креслення траєкторії дозволяє визначити напрямок швидкості, а графік закону руху - її модуль і знак.

Якщо тепер ми звернемося знову до визначення механічного руху, то переконаємося в тому, що після введення поняття швидкості для опису будь-якого руху більше нічого не потрібно. Використовуючи поняття радіус-вектора, вектора переміщення, вектора швидкості, довжини колії, траєкторії та закону руху, можна отримати відповіді на всі питання, пов'язані з визначенням особливостей будь-якого руху. Всі ці поняття взаємопов'язані один з одним, причому знання траєкторії та закону руху дозволяє знайти будь-яку з цих величин.

Кінематика точки, кінематика твердого тіла, поступальний рух, обертальний рух, плоскопаралельний рух, теорема про проекції швидкостей, миттєвий центр швидкостей, визначення швидкості та прискорень точок плоского тіла, складний рух точки

Кінематика твердого тіла

Щоб однозначно визначити положення твердого тіла, потрібно вказати три координати (x A, y A, z A)однією з точок A тіла та три кути повороту. Таким чином, положення твердого тіла визначається шістьма координатами. Тобто тверде тіло має шість ступенів волі.

Загалом, залежність координат точок твердого тіла щодо нерухомої системи координат визначається досить громіздкими формулами. Однак швидкості та прискорення точок визначаються досить просто. Для цього потрібно знати залежність координат від часу однієї, обраної довільним чином, точки A і вектора кутової швидкості . Диференціюючи за часом, знаходимо швидкість та прискорення точки A та кутове прискорення тіла:
; ; .
Тоді швидкість та прискорення точки тіла з радіус вектором визначається за формулами:
(1) ;
(2) .
Тут і далі твори векторів у квадратних дужках означають векторні твори.

Відмітимо, що вектор кутовий швидкості однаковий для всіх точок тіла. Він залежить від координат точок тіла. Також вектор кутового прискорення однаковий для всіх точок тіла.

Див. висновок формул (1) і (2) на сторінці: Швидкість та прискорення точок твердого тіла > > >

Поступальний рух твердого тіла

При поступальному русі кутова швидкість дорівнює нулю. Швидкості всіх точок тіла дорівнюють. Будь-яка пряма, проведена в тілі, переміщається, залишаючись паралельною до свого початкового напрямку. Таким чином, для вивчення руху твердого тіла при поступальному русі достатньо вивчити рух однієї будь-якої точки цього тіла. розділ .

Рівноприскорений рух

Розглянемо випадок рівноприскореного руху. Нехай проекція прискорення точки тіла на вісь x постійна і дорівнює a x. Тоді проекція швидкості v x і x - координати цієї точки залежать від часу t за законом:
v x = v x 0 + a x t;
,
де v x 0 і x 0 - Швидкість і координата точки в початковий момент часу t = 0 .

Обертальний рух твердого тіла

Розглянемо тіло, що обертається навколо нерухомої осі. Виберемо нерухому систему координат Oxyz із центром у точці O . Направимо вісь z вздовж осі обертання. Вважаємо, що z – координати всіх точок тіла залишаються постійними. Тоді рух відбувається у площині xy. Кутова швидкість ω і кутове прискорення ε спрямовані вздовж осі z:
; .
Нехай φ – кут повороту тіла, який залежить від часу t. Диференціюючи за часом, знаходимо проекції кутової швидкості та кутового прискоренняна вісь z:
;
.

Розглянемо рух точки M, що знаходиться на відстані r від осі обертання. Траєкторією руху є коло (або дуга кола) радіуса r .
Швидкість точки:
v = r .
Вектор швидкості спрямований по траєкторії.
Дотичне прискорення:
a τ = ε r .
Дотичне прискорення також спрямоване по дотичній до траєкторії.
Нормальне прискорення:
.
Воно спрямоване до осі обертання O.
Повне прискорення:
.
Оскільки вектори перпендикулярні один одному, то модуль прискорення:
.

Рівноприскорений рух

У разі рівноприскореного руху, при якому кутове прискорення постійно і ε дорівнює кутова швидкість ω і кут повороту φ змінюються з часом t за законом:
ω = ω 0 + ε t;
,
де ω 0 та φ 0 - Кутова швидкість і кут повороту в початковий момент часу t = 0 .

Плоскопаралельний рух твердого тіла

Плоскопаралельний або плоскийназивається такий рух твердого тіла, при якому всі його точки переміщаються паралельно до деякої фіксованої площини. Виберемо прямокутну систему координат Oxyz. Осі x та y розташуємо в площині, в якій відбувається переміщення точок тіла. Тоді всі z – координати точок тіла залишаються постійними, z – компоненти швидкостей та прискорень дорівнюють нулю. Вектори кутової швидкості та кутового прискорення навпаки, спрямовані вздовж осі z . Їхні x та y компоненти дорівнюють нулю.

Проекції швидкостей двох точок твердого тіла на вісь, що проходить через ці точки, дорівнюють одна одній.
v A cos α = v B cos β.

Миттєвий центр швидкостей

Миттєвим центром швидкостейназивається точка плоскої фігури, швидкість якої на даний момент дорівнює нулю.

Щоб визначити положення миттєвого центру швидкостей P плоскої фігури, потрібно знати лише напрямки швидкостей та двох його точок A та B . Для цього через точку A проводимо пряму, перпендикулярну до напрямку швидкості . Через точку B проводимо пряму, перпендикулярну до напрямку швидкості . Точка перетину цих прямих є миттєвим центром швидкостей P . Кутова швидкість обертання тіла:
.

Якщо швидкості двох точок паралельні одна одній, то ω = 0 . Швидкості всіх точок тіла дорівнюють один одному (в даний момент часу).

Якщо відома швидкість якоїсь точки A плоского тіла та його кутова швидкість ω , то швидкість довільної точки M визначається за формулою (1) , яку можна подати у вигляді суми поступального та обертального руху:
,
де - швидкість обертального руху точки M щодо точки A. Тобто швидкість, яку б точка M при обертанні по колу радіуса |AM| з кутовою швидкістю ω якщо б точка A була нерухомою.
Модуль відносної швидкості:
v MA = ω | AM | .
Вектор спрямований щодо кола радіуса |AM| з центром у точці A .

Визначення прискорень точок плоского тіла виконується із застосуванням формули (2) . Прискорення будь-якої точки M дорівнює векторній сумі прискорення деякої точки A та прискорення точки M при обертанні навколо точки A , вважаючи точку A нерухомою:
.
можна розкласти на дотичне та нормальне прискорення:
.
Дотичне прискорення спрямоване по дотичній до траєкторії. Нормальне прискорення спрямовано точки M до точки A . Тут ω і ε - кутова швидкість та кутове прискорення тіла.

Складний рух точки

Нехай O 1 x 1 y 1 z 1- Нерухома прямокутна система координат. Швидкість та прискорення точки M у цій системі координат називатимемо абсолютною швидкістю та абсолютним прискоренням.

Нехай Oxyz – рухлива прямокутна система координат, скажімо, жорстко пов'язана з якимось твердим тілом, що рухається щодо системи O 1 x 1 y 1 z 1. Швидкість і прискорення точки M в системі координат Oxyz називатимемо відносною швидкістю і відносним прискоренням. Нехай - кутова швидкість обертання системи Oxyz щодо O 1 x 1 y 1 z 1.

Розглянемо точку, що збігається, в даний момент часу, з точкою M і нерухомою щодо системи Oxyz (точка, жорстко пов'язана з твердим тілом). Швидкість та прискорення такої точки в системі координат O 1 x 1 y 1 z 1будемо називати переносною швидкістю та переносним прискоренням.

Теорема про складання швидкостей

Абсолютна швидкість точки дорівнює векторній сумі відносної та переносної швидкостей:
.

Теорема про складання прискорень (теорема Коріоліса)

Абсолютне прискорення точки дорівнює векторній сумі відносного, переносного та коріолісового прискорень:
,
де
- коріолісове прискорення.

Використана література:
С. М. Тарг, Короткий курс теоретичної механіки, "Вища школа", 2010.

У цій темі ми розглянемо надзвичайно особливий вид нерівномірного руху. Виходячи з протиставлення рівномірному руху, нерівномірний рух - це рух з неоднаковою швидкістю, за будь-якою траєкторією. У чому особливість рівноприскореного руху? Це нерівномірний рух, але який "рівно прискорюється". Прискорення у нас асоціюється зі збільшенням швидкості. Згадаймо про слово "рівно", отримаємо рівне збільшення швидкості. А як розуміти "рівне збільшення швидкості", як оцінити швидкість і збільшується чи ні? Для цього нам потрібно засічити час, оцінити швидкість через один і той самий інтервал часу. Наприклад, машина починає рухатися, за перші дві секунди вона розвиває швидкість до 10 м/с, за наступні дві секунди 20 м/с, ще за дві секунди вона вже рухається зі швидкістю 30 м/с. Кожні дві секунди швидкість збільшується і щоразу на 10 м/с. Це і є рівноприскорений рух.

Фізична величина, що характеризує те, наскільки щоразу збільшується швидкість, називається прискоренням.

Чи можна рух велосипедиста вважати рівноприскореним, якщо після зупинки в першу хвилину його швидкість 7 км/год, в другу - 9 км/год, в третю 12 км/год? Не можна! Велосипедист прискорюється, але однаково, спочатку прискорився на 7км/ч (7-0), потім 2 км/ч (9-7), потім 3 км/ч (12-9).

Зазвичай рух із зростаючою по модулю швидкістю називають прискореним рухом. Рух же з спадною швидкістю - сповільненим рухом. Але фізики будь-який рух із швидкістю, що змінюється, називають прискореним рухом. Чи рушає автомобіль з місця (швидкість зростає!), або гальмує (швидкість зменшується!), у будь-якому випадку він рухається з прискоренням.

Рівноприскорений рух- це такий рух тіла, за якого його швидкість за будь-які рівні проміжки часу змінюється(може збільшуватися або зменшуватися) однаково

Прискорення тіла

Прискорення характеризує швидкість зміни швидкості. Це число, яке змінюється швидкість за кожну секунду. Якщо прискорення тіла за модулем велике, це означає, що тіло швидко набирає швидкість (коли воно розганяється) або швидко втрачає її (при гальмуванні). Прискорення- це фізична векторна величина, чисельно рівна відношенню зміни швидкості до проміжку часу, протягом якого ця зміна відбулася.

Визначимо прискорення у наступному завданні. У початковий момент часу швидкість теплохода була 3 м/с, наприкінці першої секунди швидкість теплохода стала 5 м/с, наприкінці другої - 7 м/с, наприкінці третьої 9 м/с і т.д. Вочевидь, . Але як ми визначили? Ми розглядаємо різницю швидкостей за секунду. У першу секунду 5-3 = 2, у другу секунду 7-5 = 2, в третю 9-7 = 2. А як бути, якщо швидкості дані не за кожну секунду? Таке завдання: початкова швидкість теплохода 3 м/с, наприкінці другої секунди - 7 м/с, наприкінці четвертої 11 м/с. У цьому випадку необхідно 11-7=4, потім 4/2=2. Різницю швидкостей ми ділимо на проміжок часу.

Цю формулу найчастіше при вирішенні завдань застосовують у видозміненому вигляді:

Формула записана над векторному вигляді, тому знак "+" пишемо, коли тіло прискорюється, знак "-" - коли сповільнюється.

Напрямок вектору прискорення

Напрямок вектора прискорення зображено на малюнках

На цьому малюнку машина рухається у позитивному напрямку вздовж осі Ox, вектор швидкості завжди збігається з напрямком руху (направлений праворуч). Коли вектор прискорення збігається із напрямом швидкості, це означає, що машина розганяється. Прискорення позитивне.

При розгоні напрямок прискорення збігається із напрямом швидкості. Прискорення позитивне.

На цьому малюнку машина рухається в позитивному напрямку по осі Ox, вектор швидкості збігається з напрямком руху (направлений праворуч), прискорення не збігається з напрямом швидкості, це означає, що машина гальмує. Прискорення негативне.

При гальмуванні напрям прискорення протилежний напрямку швидкості. Прискорення негативне.

Розберемося, чому при гальмуванні прискорення негативне. Наприклад, теплохід за першу секунду скинув швидкість із 9м/с до 7м/с, за другу секунду до 5м/с, за третю до 3м/с. Швидкість змінюється на "-2м/с". 3-5=-2; 5-7=-2; 7-9=-2м/с. Ось звідки виникає негативне значення прискорення.

При вирішенні завдань, якщо тіло сповільнюється, прискорення формули підставляється зі знаком "мінус"!!!

Переміщення при рівноприскореному русі

Додаткова формула, яку називають тимчасової

Формула в координатах

Зв'язок із середньою швидкістю

При рівноприскореному русі середню швидкість можна розраховувати як середньоарифметичну початкову та кінцеву швидкість

З цього правила випливає формула, яку дуже зручно використовувати при вирішенні багатьох завдань

Співвідношення шляхів

Якщо тіло рухається рівноприскорено, початкова швидкість нульова, то шляхи, що проходять у послідовні рівні проміжки часу, відносяться як послідовний ряд непарних чисел.

Головне запам'ятати

1) Що таке рівноприскорений рух;
2) Що характеризує прискорення;
3) Прискорення – вектор. Якщо тіло розганяється позитивне прискорення, якщо сповільнюється - прискорення негативне;
3) Напрямок вектора прискорення;
4) Формули, одиниці виміру в СІ

Вправи

Два поїзди йдуть назустріч один одному: один – прискорено на північ, інший – уповільнено на південь. Як спрямовано прискорення поїздів?

Так само на північ. Тому що у першого поїзда прискорення збігається у напрямку з рухом, а у другого – протилежне руху (він уповільнюється).

> Середня векторна швидкість: графічна інтерпретація

Середня швидкістьза векторною величиною: визначення, як знайти середню швидкість руху тіла, одиниця виміру векторної швидкості, формула та обчислення.

Середня векторна швидкість- Зміна положення під час руху.

Завдання навчання

• Розібратися у постійній швидкості та фізичній.

Основні пункти

• Середня швидкість обчислюється через визначення загального переміщення, поділеного тимчасово руху.
• Середня швидкість нічого не говорить про те, що відбувається з об'єктом між двома точками.
• Середня векторна швидкість відрізняється від скалярної тим, що враховує напрямок руху та загальну зміну положення.

Термін

Векторна швидкість - величина, що позначає швидкість зміни положення за часом або напрямом.

Якщо говорити про побут, то векторну і скалярну швидкість називають просто швидкістю і не роблять жодних відмінностей. Але у фізиці вони явно помітні. Скалярна швидкість має лише величиною, а векторна середня швидкість додає до величини напрямок.

Середня скалярна швидкість обчислюється як дистанція, пройдена за час руху. А векторна – зміна становища протягом усього часу переміщення.

Vсередня = Δx/t

Одиницею СІ швидкості є м/с, але можуть бути і км/год, миль/год, см/с. Допустимо, що пасажир у поїзді витратив 5 с, щоб зміститися на -4м (негативний знак вказує на рух назад). Тоді середня векторна швидкість:

V = x/t = -4м/5с = -0.8 м/с.

Однак ці дані нічого не говорять про те, що сталося з об'єктом між двома точками. У нас не вдасться з'ясувати, зупинився він чи повернувся назад. Щоб дізнатися деталі, доведеться вникати у менші часові проміжки.

Давайте розглянемо ще один приклад, щоб провести чітку межу між векторною та скалярною швидкостями. Допустимо ви опинилися в маленькому прямокутнику. Ви рухаєтеся на 3 м на північ, 4 м на схід, 3 м на південь і на 4 м на захід. На все це пішло півхвилини. Обчислення скалярної розпочнеться з охоплення повної дистанції (3+4+3+4=14 м), а звідси – 14/30=0.47 м/с.

Проте векторна реагує на зміщення з часом. Ви повернулися на стартову точку, тому усунення = 0. Тому середня векторна швидкість – 0 м/с.

(1 оцінок, середнє: 5,00 із 5)