Як визначити коефіцієнт пружності пружини Формула визначення жорсткості

Визначення

Силу, яка виникає в результаті деформації тіла і намагається повернути його у вихідний стан, називають силою пружності.

Найчастіше її позначають $(\overline(F))_(upr)$. Сила пружності виникає лише при деформації тіла і зникає, якщо пропадає деформація. Якщо після зняття зовнішнього навантаження тіло відновлює свої розміри та форму повністю, то така деформація називається пружною.

Сучасник І. Ньютона Р. Гук встановив залежність сили пружності від величини деформації. Гук довго сумнівався у справедливості своїх висновків. В одній зі своїх книг він навів зашифроване формулювання свого закону. Яка означала: "Ut tensio, sic vis" у перекладі з латини: яке розтягнення, така сила.

Розглянемо пружину, на яку діє сила, що розтягує ($\overline(F)$), яка спрямована вертикально вниз (рис.1).

Силу $\overline(F\ )$ назвемо деформуючою силою. Від впливу сили, що деформує, довжина пружини збільшується. В результаті в пружині з'являється сила пружності ($(\overline(F))_u$), що врівноважує силу $\overline(F\ )$. Якщо деформація є невеликою та пружною, то подовження пружини ($\Delta l$) прямо пропорційно деформуючій силі:

\[\overline(F)=k\Delta l\left(1\right),\]

де коефіцієнт пропорційності називається жорсткістю пружини (коефіцієнтом пружності) $k$.

Жорсткість (як властивість) – це характеристика пружних властивостей тіла, що деформують. Жорсткість вважають можливістю тіла протидіяти зовнішній силі, здатність зберігати свої геометричні параметри. Чим більша жорсткість пружини, тим менше вона змінює свою довжину під впливом заданої сили. Коефіцієнт жорсткості – це основна характеристика жорсткості (як властивості тіла).

Коефіцієнт жорсткості пружини залежить від матеріалу, з якого зроблена пружина та її геометричних характеристик. Наприклад, коефіцієнт жорсткості кручений циліндричної пружини, яка намотана з дроту круглого перерізу, що піддається пружній деформації вздовж своєї осі може бути обчислена як:

де $G$ - модуль зсуву (величина, що залежить від матеріалу); $d$ - діаметр дроту; $d_p$ - діаметр витка пружини; $n$ - кількість витків пружини.

Одиницею вимірювання коефіцієнта жорсткості у Міжнародній системі одиниць (Сі) є ньютон, поділений на метр:

\[\left=\left[\frac(F_(upr\ ))(x)\right]=\frac(\left)(\left)=\frac(Н)(м).\]

p align="justify"> Коефіцієнт жорсткості дорівнює величині сили, яку слід прикласти до пружини для зміни її довжини на одиницю відстані.

Формула жорсткості з'єднань пружин

Нехай $N$ пружин з'єднані послідовно. Тоді жорсткість всього з'єднання дорівнює:

\[\frac(1)(k)=\frac(1)(k_1)+\frac(1)(k_2)+\dots =\sum\limits^N_(\ i=1)(\frac(1) (k_i)\left(3\right),)\]

де $k_i$ - жорсткість $i-ої пружини.

При послідовному з'єднанні пружин жорсткість системи визначають як:

Приклади завдань із розв'язанням

Приклад 1

Завдання.Пружина без навантаження має довжину $l=0,01$ м і жорсткість рівну 10 $\frac(Н)(м).\ $Чому дорівнюватиме жорсткість пружини та її довжина, якщо на пружину діяти силою $F$= 2 Н ? Вважайте деформацію пружини малою та пружною.

Рішення.Жорсткість пружини при пружних деформаціях є постійною величиною, отже, у нашому завданні:

За пружних деформацій виконується закон Гука:

З (1.2) знайдемо подовження пружини:

\[\Delta l=\frac(F)(k)\left(1.3\right).\]

Довжина розтягнутої пружини дорівнює:

Обчислимо нову довжину пружини:

Відповідь. 1) $ k "= 10 \ \ frac (Н) (м) $; 2) $ l" = 0,21 $ м

Приклад 2

Завдання.Дві пружини, що мають жорсткість $k_1$ і $k_2$ з'єднали послідовно. Яким буде подовження першої пружини (рис.3), якщо довжина другої пружини збільшилася на величину $ Delta l_2 $?

Рішення.Якщо пружини з'єднані послідовно, то деформуюча сила ($\overline(F)$), що діє на кожну з пружин однакова, тобто можна записати для першої пружини:

Для другої пружини запишемо:

Якщо рівні ліві частини виразів (2.1) і (2.2), можна прирівняти і праві частини:

З рівності (2.3) отримаємо подовження першої пружини:

\[\Delta l_1=\frac(k_2\Delta l_2)(k_1).\]

Відповідь.$\Delta l_1=\frac(k_2\Delta l_2)(k_1)$

Чим більшої деформації піддається тіло, тим значніше у ньому з'являється сила пружності. Це означає, що деформація і сила пружності взаємопов'язані, і зміни однієї величини можна будувати висновки про зміну інший. Так, знаючи деформацію тіла, можна обчислити силу пружності, що виникає в ньому. Або знаючи силу пружності визначити ступінь деформації тіла.

Якщо до пружини підвішувати різну кількість гирек однакової маси, то чим більше їх буде підвішено, тим більше пружина розтягнеться, тобто деформується. Чим більше розтягнута пружина, тим більша у ній виникає сили пружності. Причому досвід показує, що кожна наступна підвішена гирка збільшує довжину пружини на ту саму величину.

Так, наприклад, якщо вихідна довжина пружини була 5 см, а підвішування на ній однієї гирки збільшило її на 1 см (тобто пружина стала довжиною 6 см), то підвішування двох гирек збільшить її на 2 см (загальна довжина становитиме 7 см ), а трьох – на 3 см (довжина пружини буде 8 см).

Ще до досвіду відомо, що вага і сила пружності, що виникає під його дією, знаходяться один з одним у прямопропорційній залежності. Кратне збільшення ваги в стільки разів збільшить силу пружності. Досвід показує, що деформація точно також залежить від ваги: ​​кратне збільшення ваги в стільки ж разів збільшує зміни в довжині. Це означає, що, виключивши вагу, можна встановити прямопропорційну залежність між силою пружності та деформацією.

Якщо позначити подовження пружини в результаті її розтягування як x або як ∆l (l 1 – l 0 де l 0 - початкова довжина, l 1 - довжина розтягнутої пружини), то залежність сили пружності від розтягування можна виразити такою формулою:

F упр = kx або F упр = k∆l, (∆l = l 1 – l 0 = x)

У формулі використовується коефіцієнт k. Він показує, в якій саме залежності знаходяться сила пружності та подовження. Адже подовження на кожен сантиметр може збільшувати силу пружності однієї пружини на 0,5 Н, другої на 1 Н, а третьої на 2 Н. Для першої пружини формула виглядатиме як F упр = 0,5 x, для другої - F упр = x, для третьої – F упр = 2x.

Коефіцієнт k називають жорсткістюпружини. Чим жорсткіша пружина, тим важче її розтягнути, і тим більше значення матиме k. А чим більше k, тим більше буде сила пружності (F упр) за рівних подовження (x) різних пружин.

Жорсткість залежить від матеріалу, з якого виготовлена ​​пружина, її форми та розмірів.

Одиницею виміру жорсткості є Н/м (ньютон на метр). Жорсткість показує, скільки ньютонів (скільки сил) треба прикласти до пружини, щоб розтягнути її на 1 м. Або наскільки метрів розтягнеться пружина, якщо прикласти для її розтягнення силу в 1 Н. Наприклад, до пружини доклали силу в 1 Н, і вона розтяглася на 1 см (0,01 м). Це означає, що її жорсткість дорівнює 1 Н/0,01 м = 100 Н/м.

Також, якщо звернути увагу на одиниці виміру, стане зрозуміло, чому жорсткість вимірюється в Н/м. Сила пружності, як і будь-яка сила, вимірюється у ньютонах, а відстань – у метрах. Щоб вирівняти за одиницями виміру ліву та праву частини рівняння F упр = kx, треба у правій частині скоротити метри (тобто поділити на них) та додати ньютони (тобто помножити на них).

Співвідношення між силою пружності та деформацією пружного тіла, що описується формулою F упр = kx, відкрив англійський вчений Роберт Гук у 1660 році, тому це співвідношення носить його ім'я та називається законом Гука.

Пружною деформацією є така, коли після припинення дії сил тіло повертається у свій вихідний стан. Бувають тіла, які майже не можна піддати пружній деформації, а в інших вона може бути досить великою. Наприклад, поставивши важкий предмет на шматок м'якої глини, ви зміните його форму, і цей шматок сам не повернеться у вихідний стан. Однак якщо ви розтягнете гумовий джгут, то після того, як відпустите його, він поверне свої вихідні розміри. Слід пам'ятати, що закон Гука застосовується лише для пружних деформацій.

Формула F упр = kx дає можливість за відомими двома величинами обчислювати третю. Так, знаючи прикладену силу та подовження, можна дізнатися про жорсткість тіла. Знаючи, жорсткість та подовження, знайти силу пружності. А знаючи силу пружності та жорсткість, обчислити зміну довжини.

Формула жорсткості пружини - чи не найважливіший момент у темі про ці пружні елементи. Адже саме жорсткість відіграє важливу роль у тому, завдяки чому ці комплектуючі використовуються так широко.

Сьогодні без пружин не обходиться практично жодна галузь промисловості, вони використовуються у приладо- та станкобудуванні, сільському господарстві, виробництві гірничо-шахтного та залізничного обладнання, енергетиці, інших галузях. Вони вірою і правдою служать у найвідповідальніших і критичних місцях різних агрегатів, де потрібні властиві їм характеристики, насамперед жорсткість пружини, формула якої у вигляді дуже проста і знайома дітям ще зі школи.

Особливості роботи

Будь-яка пружина є пружним виріб, який в процесі експлуатації піддається статичним, динамічним і циклічним навантаженням. Основна особливість цієї деталі – вона деформується під докладеним ззовні зусиллям, а коли дія припиняється – відновлює свою первісну форму та геометричні розміри. У період деформації відбувається накопичення енергії, при відновленні – її передача.

Саме ця властивість повертатися до вихідного вигляду і принесла широке поширення цим деталям: вони відмінні амортизатори, елементи клапанів, що запобігають перевищенню тиску, комплектуючі для вимірювальних приладів. У цих та інших ситуаціях, завдяки вмінню пружно деформуватися, вони виконують важливу роботу, тому від них потрібна висока якість та надійність.

Види пружин

Видів цих деталей існує багато, найпоширенішими є пружини розтягування та стискування.

• Перші з них без навантаження мають нульовий крок, тобто виток стикається з витком. У процесі деформації вони розтягуються, їхня довжина збільшується. Припинення навантаження супроводжується поверненням до початкової форми - знову витком до витка.
• Другі – навпаки, спочатку навиваються з певним кроком між витками, під навантаженням стискаються. Дотик витків є природним обмежувачем продовження впливу.

Спочатку саме для пружини розтягування було знайдено співвідношення маси підвішеного на ній вантажу та зміни її геометричного розміру, яке стало основою для формули жорсткості пружини через масу і довжину.

Які ще бувають види пружин

Залежність деформації від зовнішньої сили, що додається, справедлива і для інших видів пружних деталей: кручення, вигину, тарілчастих, інших. Не важливо, в якій площині до них докладаються зусилля: у тій, де розташована осьова лінія, або перпендикулярна до неї, деформація, що виробляється, пропорційна зусиллю, під впливом якого вона відбулася.

Основні характеристики

Незалежно від виду пружин, особливості їх роботи, пов'язані з постійною деформацією, вимагають наявності таких параметрів:

• Здібності зберігати постійне значення пружності протягом заданого терміну.
• Пластичність.
• Релаксаційна стійкість, завдяки якій деформації не стають незворотними.
• Міцності, тобто можливості витримувати різні види навантажень: статичні, динамічні, ударні.

Кожна з цих характеристик важлива, проте при виборі пружної комплектуючої для конкретної роботи насамперед цікавляться її жорсткістю як важливим показником того, чи підійде вона для цієї справи і наскільки довго працюватиме.

Що таке жорсткість

Жорсткість - це характеристика деталі, яка показує, просто чи легко її стиснути, наскільки велику силу потрібно для цього докласти. Виявляється, що деформація, що виникає під навантаженням, тим більше, чим більше сила, що додається (адже виникає на противагу їй сила пружності по модулю має те ж значення). Тому визначити ступінь деформації можна, знаючи силу пружності (зусилля, що додається) і навпаки, знаючи необхідну деформацію, можна обчислити, яке потрібне зусилля.

Фізичні основи поняття: жорсткість/пружність

Сила, впливаючи на пружину, змінює її форму. Наприклад, пружини розтягування/стискання під впливом зовнішнього впливу коротшають або подовжуються. Відповідно до закону Гука (так називається що дозволяє розрахувати коефіцієнт жорсткості пружини формула), сила та деформація між собою пропорційні в межах пружності конкретної речовини. На противагу прикладеному ззовні навантаженню виникає сила, така ж за величиною і протилежна за знаком, яка спрямована на відновлення вихідних розмірів деталі та її форму.

Природа цієї сили пружності - електромагнітна, виникає вона як наслідок особливої ​​взаємодії між структурними елементами (молекулами та атомами) матеріалу, з якого виготовлена ​​ця деталь. Таким чином, чим жорсткість більша, тобто чим важче пружну деталь розтягнути/стиснути, тим більше коефіцієнт пружності. Цей показник використовується, зокрема, для вибору певного матеріалу для виготовлення пружин для використання в різних ситуаціях.

Як з'явився перший варіант формули

Формулу для розрахунку жорсткості пружини, яка отримала назву закону Гука, було встановлено експериментально. У процесі дослідів з підвішеними на пружному елементі вантажами різної маси вимірювалася величина його розтягування. Так і з'ясувалося, що та сама випробувана деталь під різними навантаженнями зазнає різних деформацій. Причому підвішування певної кількості гирек, однакових по масі, показало, що кожна додана/знята гирка збільшує/зменшує довжину пружного елемента однакову величину.

Через війну цих експериментів виникла така формула: kx=mg, де k - якийсь постійний для цієї пружини коефіцієнт, x - зміна довжини пружини, m - її маса, а g - прискорення вільного падіння (приблизне значення - 9,8 м/с²) .

Так було відкрито властивість жорсткості, яке, як і формула визначення коефіцієнта пружності, знаходить найширше застосування у галузі промисловості.

Формула визначення жорсткості

Форма, що вивчається сучасними школярами, як знайти коефіцієнт жорсткості пружини, являє собою співвідношення сили і величини, що показує зміну довжини пружини в залежності від величини даного впливу (або

рівною йому за модулем сили пружності). Виглядає ця формула так: F = -kx. З цієї формули коефіцієнт жорсткості пружного елемента дорівнює відношенню сили пружності зміну його довжини. У міжнародній системі одиниць фізичних величин СІ він вимірюється у ньютонах на метр (Н/м).

Інший варіант запису формули: коефіцієнт Юнга

Деформація розтягування/стиснення у фізиці також може описуватися дещо зміненим законом Гука. Формула включає значення відносної деформації (відносини зміни довжини до її початкового значення) та напруги (відносини сили до площі поперечного перерізу деталі). Відносна деформація та напруга за цією формулою пропорційні, а коефіцієнт пропорційності - величина, обернена до модуля Юнга.

Модуль Юнга цікавий тим, що визначається виключно властивостями матеріалу, і ніяк не залежить від форми деталі, ні від її розмірів.

Наприклад, модуль Юнга для ста

чи приблизно дорівнює одиниці з одинадцятьма нулями (одиниця виміру - Н/кв. м).

Сенс поняття коефіцієнт жорсткості

Коефіцієнт жорсткості – коефіцієнт пропорційності із закону Гука. Ще з повним правом називається коефіцієнтом пружності.

Фактично він показує величину сили, яка повинна бути прикладена до пружного елемента, щоб змінити його довжину на одиницю (у системі вимірювань, що використовується).

Значення цього параметра залежить від кількох факторів, якими характеризується пружина:

• Матеріалу, що використовується під час її виготовлення.
• Форми та конструктивних особливостей.
• Геометричні розміри.

За цим показником можна сд

робити висновок, наскільки виріб стійкий до впливу навантажень, тобто яким буде його опір при застосуванні зовнішнього впливу.

Особливості розрахунку пружин

Показує, як знайти жорсткість пружини, формула, напевно, одна з найбільш використовуваних сучасних конструкторів. Адже застосування ці пружні деталі знаходять практично скрізь, тобто потрібно прораховувати їхню поведінку та вибирати ті з них, які ідеально справлятимуться з покладеними обов'язками.

Закон Гука дуже спрощено показує залежність деформації пружної деталі від прикладеного зусилля, інженерами використовуються більш точні формули розрахунку коефіцієнта жорсткості, що враховують всі особливості процесу, що відбувається.

Наприклад:

• Циліндричну кручену пружину сучасна інженерія розглядає як спіраль із дроту з круглим перетином, а її деформація під впливом існуючих у системі сил представляється сукупністю елементарних зрушень.
• При деформації вигину як деформацію розглядається прогин стрижня, розташованого кінцями на опорах.

Особливості розрахунку жорсткості з'єднань пружин

Важливим моментом є розрахунок кількох пружних елементів, з'єднаних послідовно чи паралельно.

При паралельному розташуванні кількох деталей загальна жорсткість цієї системи визначається простою сумою коефіцієнтів окремих комплектуючих. Як неважко помітити, жорсткість системи більша, ніж окремої деталі.

При послідовному розташуванні формула складніша: величина, обернена до сумарної жорсткості, дорівнює сумі величин, обернених до жорсткості кожної комплектуючої. У цьому варіанті сума менша за доданки.

Використовуючи ці залежності, легко визначитися із правильним вибором пружних комплектуючих для конкретного випадку.

Ви добре вчили фізику у школі? Знаєте основні фізичні закони і змогли б так просто взяти і розрахувати, наприклад, жорсткість пружини? Почнемо з теоретичних знань. Жорсткість пружини - це коефіцієнт, що зв'язує подовження пружного тіла і силу пружності, що виникає внаслідок цього подовження. Жорсткість пружини ще називають коефіцієнтом пружності або коефіцієнтом Гука, оскільки відноситься жорсткість пружини саме до закону Гука. Що ж таке сила пружності, що згадується у цьому законі? Сила пружності – це сила, що виникає при деформації тіла та протидіє цій деформації.

Математичний метод

Як визначити жорсткість пружини чи, за термінологією такої науки, як фізика, коефіцієнт жорсткості пружини? Для цього потрібно знати просту формулу, за якою вираховується жорсткість пружини. Ця формула, а точніше закон Гука, виглядає так: F = | kx |, де k - це коефіцієнт пружності пружини, x - це подовження пружини або, як її ще називають, величина деформації пружини. А величина, позначена літерою F, відповідно, сила пружності, яку ми вираховуємо. Щоб дізнатися, яка жорсткість пружини необхідно виміряти дві інші величини, зазначені у формулі, використовуючи стандартні математичні закони. Далі слід просто розв'язати рівняння з одним невідомим.

Досвідчений метод

Щоб зрозуміти, як знайти жорсткість пружини, а точніше визначити коефіцієнт жорсткості пружини досвідченим шляхом, слід зробити наступні маніпуляції. Вам необхідно деформувати тіло, додаючи до нього сили. Найпростіший вид деформації – це стиск чи розтяг. Коефіцієнт жорсткості показує саме те, яку силу необхідно додати до тіла, щоб пружно деформувати його на одиницю довжини. Ми зараз говоримо про пружну деформацію, коли тіло набуває своєї первісної форми після здійснення впливу на нього. Для того щоб провести цей наочний експеримент вам знадобляться такі речі:

• калькулятор,
• ручка,
• зошит,
• пружина,
• лінійка,
• вантаж.

Отже, один кінець пружини закріпіть вертикально, а другий залиште вільним. Виміряйте довжину пружини та запишіть результат у зошит (це буде значення x1). Підвісьте до вільного кінця пружини вантаж вагою сто грамів і знову виміряйте довжину пружини, запишіть значення (x2). Розрахуйте абсолютне подовження пружини (різниця значень x1 та x2). При невеликих стисканнях та розтягуваннях сила пружності пропорційна деформації. Тут застосовуємо Закон Гука, за яким Fупр = |kx|, де k і є коефіцієнтом жорсткості. Щоб знайти потрібний нам коефіцієнт жорсткості треба силу розтягування розділити на подовження пружини. Силу розтягування знаходимо так: Fпр = - N = -mg. Звідси випливає, що mg = kx. Отже, k = mg/x. Далі все просто: підставте відомі вам значення у формулу і знайдіть, чому дорівнює жорсткість пружини.

Не знаючи, чому дорівнює сила розтягування пружини, неможливо обчислити коефіцієнт її жорсткості, тому знайдіть силу розтягування. Тобто, Fпр = kx , де k і є коефіцієнтом жорсткості. У цьому випадку вага вантажу дорівнюватиме силі пружності, що діє на тіло, коефіцієнт жорсткості якого потрібно знайти, наприклад, пружини.

При паралельному з'єднанні жорсткість збільшується, при послідовному зменшується. Фізика 7 клас, тема 03. Сили навколо нас (13+2 год) Сила та динамометр. Види сил. Врівноважені сили та рівнодіюча. Фізика 7 клас, тема 06. Введення в термодинаміку (15+2 год) Температура та термометри.

Це співвідношення виражає суть закону Гука. Отже, щоб знайти коефіцієнт жорсткості пружини, слід силу розтягування тіла розділити на подовження даної пружини

При деформації тіла виникає сила, яка прагне відновити колишні розміри та форму тіла. Ця сила виникає внаслідок електромагнітної взаємодії між атомами та молекулами речовини.

Закон Гука може бути узагальнено і на випадок складніших деформацій. У техніці часто використовуються спіралеподібні пружини (рис. 1.12.3). Слід пам'ятати, що з розтягуванні чи стиску пружини у її витках виникають складні деформації кручення і вигину.

На відміну від пружин та деяких еластичних матеріалів (гума), деформація розтягування або стиснення пружних стрижнів (або дротів) підпорядковуються лінійному закону Гука в дуже вузьких межах. Закріпіть вертикально один кінець пружини, другий її кінець залиште вільним. Жорсткість – це здатність деталі чи конструкції протидіяти доданої щодо нього зовнішній силі, наскільки можна зберігаючи свої геометричні параметри.

Різні пружини призначені для роботи на стиск, розтяг, кручення або вигин. У школі під час уроків фізики дітей вчать визначати коефіцієнтжорсткості пружини, що працює на розтяг. Для цього на штативі вертикально підвішується пружина у вільному стані.

Обчислення сили Архімеда. Кількість теплоти та калориметр. Теплота плавлення/кристалізації та пароутворення/конденсації. Теплота згоряння палива та ККД теплових двигунів. Наприклад, при деформації вигину пружна сила пропорційна прогину стрижня, кінці якого лежать на двох опорах (рис. 1.12.2).

Тому її часто називають силою нормального тиску. Деформація розтягування пружини. Для металів відносна деформація ε = x / l має перевищувати 1 %. При великих деформаціях виникають незворотні явища (плинність) та руйнування матеріалу. З погляду класичної фізики пружину можна назвати пристроєм, що накопичує потенційну енергію шляхом зміни відстані між атомами матеріалу, з якого ця пружина виготовлена.

Основна характеристика жорсткості - коефіцієнт жорсткості

Для сталі, наприклад, E 2 1011 Н/м2, а для гуми E 2 106 Н/м2, тобто на п'ять порядків менше. Пружну силу, що діє на тіло з боку опори (або підвісу), називають силою реакції опори. При зіткненні тіл сила реакції опори спрямована перпендикулярно дотику поверхні.

Щоб досвідченим шляхом визначити коефіцієнт пружності заготовленого вами для візка пружини, його треба буде стискати. Спочатку знайдіть подовження пружини за метри. Найпростіший вид – деформація розтягування та стискування. Розрахуйте коефіцієнт жорсткості, поділивши добуток маси m та прискорення вільного падіння g≈9,81 м/с² на подовження тіла x, k=m g/x. При з'єднанні кількох пружно деформованих тіл (далі для стислості - пружин) загальна жорсткість системи змінюватиметься.