Як визначити середнє арифметичне значення. Середнє арифметичне - Гіпермаркет знань

Ознаки одиниць статистичних сукупностей різні за своїм значенням, наприклад, заробітна плата робітників однієї професії якого-небудь підприємства не однакова за той самий період часу, різні ціни на ринку на однакову продукцію, врожайність сільськогосподарських культур у господарствах району і т.д. Тому, щоб визначити значення ознаки, характерне для всієї сукупності одиниць, що вивчається, розраховують середні величини.
Середня величина – це узагальнююча характеристика множини індивідуальних значень деякої кількісної ознаки.

Сукупність, що вивчається за кількісною ознакою, складається з індивідуальних значень; на них впливають як загальні причини, так і індивідуальні умови. У середньому відхилення, характерні для індивідуальних значень, погашаються. Середня, будучи функцією безлічі індивідуальних значень, представляє одним значенням всю сукупність і відбиває те загальне, що притаманне її одиницям.

Середня, яка розраховується для сукупностей, що складаються з якісно однорідних одиниць, називається типової середньої. Наприклад, можна розрахувати середньомісячну заробітну плату працівника тієї чи іншої професійної групи (шахтаря, лікаря бібліотекаря). Зрозуміло, рівні місячної заробітної плати шахтарів через різницю їх кваліфікації, стажу роботи, відпрацьованого за місяць часу та багатьох інших факторів відрізняються один від одного, так і від рівня середньої заробітної плати. Однак у середньому рівні відображено основні чинники, які впливають рівень заробітної плати, і взаємно погашаються відмінності, що виникають внаслідок індивідуальних особливостей працівника. Середня вести відбиває типовий рівень оплати праці даного виду працівників. Одержання типової середньої має передувати аналіз того, наскільки дана сукупність якісно однорідна. Якщо сукупність складається з окремих частин, слід розбити її на типові групи (середня температура по лікарні).

Середні величини, що використовуються як характеристики для неоднорідних сукупностей, називаються системними середніми. Наприклад, середня величина валового внутрішнього продукту (ВВП) на душу населення, середня величина споживання різних груп товарів на людину та інші подібні величини, що становлять узагальнюючі характеристики держави як єдиної економічної системи.

Середня має обчислюватися для сукупностей, які з досить великої кількості одиниць. Дотримання цієї умови необхідно для того, щоб набув чинності закон великих чисел, внаслідок дії якого випадкові відхилення індивідуальних величин від загальної тенденції взаємно погашаються.

Види середніх та способи їх обчислення

Вибір виду середньої визначається економічним змістом певного показника та вихідних даних. Однак будь-яка середня величина повинна обчислюватися так, щоб при заміні нею кожної варіанти ознаки, що осредняется, не змінився підсумковий, узагальнюючий, або, як його прийнято називати, визначальний показник, який пов'язаний з показником, що середнюється. Наприклад, при заміні фактичних швидкостей на окремих відрізках шляху їх середньою швидкістю не повинна змінитися загальна відстань, пройдена транспортним засобом за один і той же час; при заміні фактичних заробітних плат окремих працівників підприємства середньою заробітною платою не має змінитись фонд заробітної плати. Отже, у кожному даному випадку залежно від характеру наявних даних, існує лише одне справжнє середнє значення показника, адекватне властивостям і сутності соціально-економічного явища, що вивчається.
Найчастіше застосовуються середня арифметична, середня гармонійна, середня геометрична, середня квадратична та середня кубічна.
Перераховані середні відносяться до класу статечнихсередніх та об'єднуються загальною формулою:
,
де - Середнє значення досліджуваного ознаки;
m – показник ступеня середнього;
– поточне значення (варіанту) ознаки;
n - Число ознак.
Залежно від значення показника ступеня m розрізняють такі види статечних середніх:
при m = -1 - середня гармонійна;
при m = 0 - середня геометрична;
при m = 1 - середня арифметична;
при m = 2 - середня квадратична;
при m = 3 - середня кубічна.
При використанні одних і тих же вихідних даних, чим більший показник ступеня m у наведеній вище формулі, тим більше значення середньої величини:
.
Ця властивість статечних середніх зростати з підвищенням показника ступеня визначальної функції називається правилом мажорантності середніх.
Кожна із зазначених середніх може набувати двох форм: простуі зважену.
Проста форма середньоїзастосовується, коли середня обчислюється за первинними (несгрупованими) даними. Зважена форма- При розрахунку середньої за вторинними (згрупованими) даними.

Середня арифметична

Середня арифметична застосовується, коли обсяг сукупності є сумою всіх індивідуальних значень варіює ознаки. Слід зазначити, що й вид середньої величини не вказується, мається на увазі середня арифметична. Її логічна формула має вигляд:

Середня арифметична простарозраховується за несгрупованими даними за формулою:
або ,
де – окремі значення ознаки;
j – порядковий номер одиниці спостереження, що характеризується значенням;
N - Число одиниць спостереження (обсяг сукупності).
приклад.У лекції «Зведення та угруповання статистичних даних» розглядалися результати спостереження стажу роботи бригади із 10 осіб. Розрахуємо середній стаж роботи робітників бригади. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

За формулою середньої арифметичної простий обчислюються також середні у хронологічному ряду, якщо інтервали часу, протягом якого представлені значення ознаки, рівні.
приклад.Обсяг реалізованої продукції за перший квартал становив 47 ден. од., за другий 54, за третій 65 та за четвертий 58 ден. од. Середньоквартальний оборот становить (47+54+65+58)/4 = 56 грош. од.
Якщо в хронологічному ряду наведено моментні показники, то при обчисленні середньої вони замінюються на півсуми значень на початок і кінець періоду.
Якщо моментів більше двох та інтервали між ними рівні, то середня обчислюється за формулою середньої хронологічної

,
де n-число моментів часу
У разі коли дані згруповані за значеннями ознаки (т. е. побудовано дискретний варіаційний ряд розподілу) з середня арифметична зваженарозраховується з використанням або частот, або частостей спостереження конкретних значень ознаки, число яких (k) значно менше числа спостережень (N).
,
,
де k – кількість груп варіаційного ряду,
i – номер групи варіаційного ряду.
Оскільки , а , отримуємо формули, які використовуються для практичних розрахунків:
і
приклад.Розрахуємо середній стаж робочих бригад по згрупованому ряду.
а) з використанням частот:

б) з використанням частостей:

У разі коли дані згруповані за інтервалами , тобто. представлені у вигляді інтервальних рядів розподілу, при розрахунку середньої арифметичної як значення ознаки приймають середину інтервалу, виходячи з припущення про рівномірний розподіл одиниць сукупності на даному інтервалі. Розрахунок ведеться за формулами:
і
де - середина інтервалу: ,
де і – нижня та верхня межі інтервалів (за умови, що верхня межа цього інтервалу збігається з нижньою межею наступного інтервалу).

приклад.Розрахуємо середню арифметичну інтервального варіаційного ряду, побудованого за результатами дослідження річної заробітної плати 30 робітників (див. лекцію «Зведення та угруповання статистичних даних»).
Таблиця 1 - Інтервальний варіаційний ряд розподілу.

грн. або грн.
Середні арифметичні, обчислені на основі вихідних даних та інтервальних варіаційних рядів, можуть не збігатися через нерівномірність розподілу значень ознаки всередині інтервалів. У цьому випадку для більш точного обчислення середньої арифметичної виваженої слід використовувати не середини інтервалів, а середні арифметичні прості, розраховані для кожної групи ( групові середні). Середня, обчислена за груповим середнім з використанням виваженої формули розрахунку, називається загальної середньої.
Середня арифметична має низку властивостей.
1. Сума відхилень варіант від середньої дорівнює нулю:
.
2. Якщо всі значення варіант збільшуються або зменшуються на величину А, то середня величина збільшується або зменшується на ту ж величину А:

3. Якщо кожну варіанту збільшити або зменшити в раз, то середня величина також збільшиться або зменшаться в ту ж кількість разів:
або
4. Сума творів варіант на частоти дорівнює добутку середньої величини на суму частот:

5. Якщо всі частоти розділити чи помножити на якесь число, то середня арифметична не зміниться:

6) якщо у всіх інтервалах частоти рівні один одному, то середня арифметична зважена дорівнює простій середній арифметичній:
,
де k – кількість груп варіаційного ряду.

Використання властивостей середньої дозволяє спростити її обчислення.
Припустимо, що всі варіанти (х) спочатку зменшені на те саме число А, а потім зменшені в раз. Найбільше спрощення досягається, коли як А вибирається значення середини інтервалу, що володіє найбільшою частотою, а як В – величина інтервалу (для рядів з однаковими інтервалами). Величина А називається початком відліку, тому цей метод обчислення середньої називається способ ом відліку від умовного нуляабо способом моментів.
Після цього перетворення отримаємо новий варіаційний ряд розподілу, варіанти якого рівні . Їхня середня арифметична, звана моментом першого порядку,виражається формулою і відповідно до другого і третього властивостей середньої арифметичної дорівнює середній з первісних варіант, зменшеної спочатку на А, а потім у раз, тобто .
Для отримання дійсної середньої(Середньої початкового ряду) потрібно момент першого порядку помножити на В і додати А:

Розрахунок середньої арифметичної за способом моментів ілюструється даними табл. 2.
Таблиця 2 - Розподіл працівників цеху підприємства за стажем роботи

Знаходимо момент першого порядку . Потім, знаючи, що А=17,5, а=5, обчислюємо середній стаж роботи працівників цеху:
років

Середня гармонійна
Як було показано вище, середня арифметична застосовується для розрахунку середнього значення ознаки у тих випадках, коли відомі його варіанти x та їх частоти f.
Якщо статистична інформація не містить частот f за окремими варіантами x сукупності, а представлена ​​як їх добуток, застосовується формула середньої гармонійної зваженої. Щоб обчислити середню, позначимо, звідки . Підставивши ці вирази у формулу середньої арифметичної зваженої, отримаємо формулу середньої гармонійної зваженої:
,
де - обсяг (вага) значень ознаки показника в інтервалі з номером i (i = 1,2, ..., k).

Таким чином, середня гармонічна застосовується в тих випадках, коли підсумовування підлягають не самі варіанти, а обернені їм величини: .
Тоді, коли вага кожної варіанти дорівнює одиниці, тобто. індивідуальні значення зворотної ознаки зустрічаються по одному разу, застосовується середня гармонійна проста:
,
де - окремі варіанти зворотної ознаки, що зустрічаються по одному разу;
N - Число варіант.
Якщо по двох частинах сукупності чисельністю і є середні гармонійні, то загальна середня по всій сукупності розраховується за такою формулою:

і називається зваженої гармонійної середньої з групових середніх.

приклад.У ході торгів на валютній біржі за першу годину роботи укладено три правочини. Дані про суму продажу гривні та курс гривні по відношенню до долара США наведено у табл. 3 (графи 2 та 3). Визначити середній курс гривні по відношенню до долара США за першу годину торгів.
Таблиця 3 - Дані про хід торгів на валютній біржі

Середній курс долара визначається ставленням суми проданих у ході всіх операцій гривень до суми придбаних у результаті цих угод доларів. Підсумкова сума продажу гривні відома з графи 2 таблиці, а кількість куплених у кожній угоді доларів визначається розподілом суми продажу гривні до її курсу (графа 4). Загалом у ході трьох угод куплено 22 млн. дол. Отже, середній курс гривні за долар склав
.
Отримане значення є дійсним, т.к. заміна ним фактичних курсів гривні в угодах не змінить підсумкової суми продажів гривні, яка виступає як визначального показника: млн. грн.
Якби розрахунку було використано середня арифметична, тобто. гривні, то за обмінним курсом на купівлю 22 млн. дол. треба було б витратити 110,66 млн. грн., що не відповідає дійсності.

Середня геометрична
Середня геометрична використовується для аналізу динаміки явищ та дозволяє визначити середній коефіцієнт зростання. При розрахунку середньої геометричної індивідуальні значення ознаки є відносними показниками динаміки, побудованими у вигляді ланцюгових величин, як відношення кожного рівня до попереднього.
Середня геометрична проста розраховується за формулою:
,
де – знак твору,
N - Число середніх величин.
приклад.Кількість зареєстрованих злочинів за 4 роки зросла в 1,57 раза, у т. ч. за 1-й – у 1,08 раза, за 2-й – у 1,1 раза, за 3-й – у 1,18 та за 4-й – у 1,12 рази. Тоді середньорічний темпи зростання кількості злочинів становить: , тобто. кількість зареєстрованих злочинів щорічно зростала у середньому на 12%.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Для розрахунку середньої зваженої квадратичної визначаємо і заносимо в таблицю і . Тоді середня величина відхилень довжини виробів від заданої норми дорівнює:

Середня арифметична у разі була б непридатна, т.к. в результаті ми отримали б нульове відхилення.
Застосування середньої квадратичної буде розглянуто далі у показниках варіації.

Кожна людина в сучасному світі, плануючи взяти кредит або роблячи запаси овочів на зиму, періодично стикається з таким поняттям, як середня величина. Давайте дізнаємося: що це таке, які її види та класи існують і навіщо вона застосовується у статистиці та інших дисциплінах.

Середня величина – це що таке?

Подібна назва (СВ) носить узагальнена характеристика сукупності однорідних явищ, що визначається за якоюсь однією кількісною ознакою, що варіюється.

Однак люди далекі, від настільки хитромудрих визначень, розуміють це поняття, як середня кількість чогось. Наприклад, перш ніж узяти кредит, співробітник банку обов'язково попросить потенційного клієнта надати дані про середній дохід за рік, тобто загальну суму коштів, що заробляються людиною. Вона обчислюється шляхом підсумовування заробленого за весь рік та поділу на кількість місяців. Таким чином, банк зможе визначити, чи зможе його клієнт віддати борг у строк.

Для чого вона використовується?

Як правило, середні величини широко застосовуються для того, щоб дати підсумкову характеристику певних суспільних явищ, що мають масовий характер. Також вони можуть бути використані для менш масштабних розрахунків, як у випадку з кредитом, у наведеному вище прикладі.

Однак найчастіше середні величини все ж таки застосовуються для глобальних цілей. Як приклад одного з них можна навести обчислення кількості споживаної громадянами електроенергії протягом одного календарного місяця. На основі отриманих даних надалі встановлюються максимальні норми для категорій населення, які мають пільги від держави.

Також за допомогою середніх величин розробляється гарантійний термін служби тих чи інших побутових приладів, автомобілів, будівель тощо. На основі зібраних у такий спосіб даних колись були розроблені сучасні норми праці та відпочинку.

Фактично будь-яке явище сучасного життя, що носить масовий характер, тим чи іншим чином обов'язково пов'язане з поняттям, що розглядається.

Сфера застосування

Дане явище широко застосовується практично у всіх точних науках, що особливо носять експериментальний характер.

Пошук середнього має значення у медицині, інженерних дисциплінах, кулінарії, економіці, політиці тощо.

Грунтуючись на даних, отриманих від подібних узагальнень, розробляють лікувальні препарати, навчальні програми, встановлюють мінімальні прожиткові мінімуми та зарплати, будують навчальні графіки, виробляють меблі, одяг та взуття, предмети гігієни та багато іншого.

У математиці цей термін називається «середнім значенням» і застосовується реалізації рішень різних прикладів і завдань. Найбільш простими з них є додавання та віднімання зі звичайними дробами. Адже, як відомо, для вирішення подібних прикладів необхідно привести обидва дроби до спільного знаменника.

Також у цариці точних наук часто застосовується близький за змістом термін «значення середньої випадкової величини». Більшості він більш знайомий як «математичне очікування», що частіше розглядається в теорії ймовірності. Варто зазначити, що таке явище також застосовується і під час проведення статистичних обчислень.

Середня величина у статистиці

Однак найчастіше досліджуване поняття використовується у статистиці. Як відомо, ця наука сама по собі спеціалізується на обчисленні та аналізі кількісної характеристики масових суспільних явищ. Тому середня величина в статистиці використовується як спеціалізований метод досягнення її основних завдань - збору та аналізу інформації.

Суть даного статистичного методу полягає в заміні індивідуальних унікальних значень ознаки, що розглядається, певною врівноваженою середньою величиною.

Як приклад можна навести знаменитий жарт про їжу. Отже, на одному заводі по вівторках на обід його начальство зазвичай їсть м'ясну запіканку, а прості робітники - тушковану капусту. На основі цих даних можна дійти невтішного висновку, що у середньому колектив заводу по вівторках обідає голубцями.

Хоча цей приклад трохи перебільшений, проте він ілюструє головний недолік методу пошуку середньої величини - нівелювання індивідуальних особливостей предметів або особистостей.

У середніх величин застосовуються не тільки для аналізу зібраної інформації, але й для планування та прогнозування подальших дій.

Також за його допомогою проводиться оцінка досягнутих результатів (наприклад, виконання плану вирощування та збирання врожаю пшениці за весняно-літній сезон).

Як правильно розрахувати

Хоча залежно від виду СВ існують різні формули її обчислення, у загальній теорії статистики, як правило, застосовується лише один спосіб розрахунку середньої величини ознаки. Для цього потрібно спочатку скласти разом значення всіх явищ, а потім розділити суму, що вийшла, на їх кількість.

При добутку подібних обчислень варто пам'ятати, що середня величина завжди має ту ж розмірність (або одиниці виміру), що й окрема одиниця сукупності.

Умови правильного обчислення

Розглянута вище формула дуже проста і універсальна, тому помилитися в ній практично неможливо. Однак завжди варто враховувати два аспекти, інакше отримані дані не відображатимуть реальної ситуації.

Класи СВ

Знайшовши відповіді основні питання: " Середня величина - це що таке? " , " Де застосовується вона?" і "Як можна обчислити її?", варто дізнатися, які класи та види СВ існують.

Насамперед це явище ділиться на 2 класи. Це структурні та статечні середні величини.

Види статечних СВ

Кожен із вищезгаданих класів, у свою чергу, ділиться на види. У статечного класу їх чотири.

• Середня арифметична величина – це найпоширеніший вид СВ. Вона являє собою середній доданок, при визначенні якого загальний обсяг аналізованої ознаки в сукупності даних порівну розподіляється між усіма одиницями цієї сукупності.

  Цей вид поділяється на підвиди: проста та зважена арифметична СВ.

• Середня гармонійна величина - це показник, обернений середньої арифметичної простий, що обчислюється зі зворотних значень розглянутої ознаки.

  Вона застосовується у тих випадках, коли відомі індивідуальні значення ознаки та добуток, а дані частоти – ні.

• Середня геометрична величина найчастіше застосовується під час аналізу темпів зростання економічних явищ. Вона дає можливість зберігати у незмінному вигляді добуток індивідуальних значень даної величини, а не суму.

  Також буває простою та зваженою.

• Середня квадратична величина використовується при розрахунку окремих показників показників, таких як коефіцієнт варіації, що характеризує ритмічність випуску продукції тощо.

  Також з її допомогою обчислюються середні діаметри труб, коліс, середні сторони квадрата та подібних фігур.

  Як і всі інші види середніх СВ, середньоквадратична буває простою та виваженою.

Види структурних величин

Крім середніх СВ, у статистиці часто використовуються структурні види. Вони краще підходять для розрахунку відносних характеристик величин ознаки, що варіює, і внутрішньої будови рядів розподілу.

Таких видів є два.

Що таке середнє арифметичне

Середнім арифметичним кількох величин є відношення суми цих величин до їхньої кількості.

Середнє арифметичне певного ряду чисел називається сума всіх цих чисел, поділена на кількість доданків. Таким чином, середнє арифметичне є середнім значенням числового ряду.

Чому дорівнює середнє арифметичне кількох чисел? А одно вони сумі цих чисел, яка поділена на кількість доданків у цій сумі.

Як знайти середнє арифметичне число

У обчисленні чи знаходженні середнього арифметичного кількох чисел немає нічого складного, достатньо скласти всі представлені числа, а отриману суму розділити на кількість доданків. Отриманий результат і буде середнім арифметичним цих чисел.

Розглянемо цей процес докладніше. Що ж нам потрібно зробити для обчислення середнього арифметичного та отримання кінцевого результату цього числа?

По-перше, для його обчислення потрібно визначити набір чисел чи їх кількість. У цей набір можуть входити великі і невеликі числа, і їх кількість може бути будь-яким.

По-друге, всі ці числа потрібно скласти та отримати їхню суму. Звичайно, якщо числа нескладні та їх невелика кількість, то обчислення можна зробити, записавши від руки. А якщо набір чисел вражаючий, то краще скористатися калькулятором або електронною таблицею.

І, по-четверте, отриману від складання суму необхідно поділити на кількість чисел. У результаті ми отримаємо результат, який буде середнім арифметичним числом цього ряду.

Для чого потрібне середнє арифметичне

Середнє арифметичне може стати в нагоді не тільки для вирішення прикладів і завдань на уроках математики, але для інших цілей, необхідних у повсякденному житті людини. Такими цілями може бути підрахунок середнього арифметичного для розрахунку середньої витрати фінансів на місяць, або для підрахунку часу, який ви витрачаєте на дорогу, також для того, щоб дізнатися відвідуваність, продуктивність, швидкість руху, врожайність та багато іншого.

Так, наприклад, спробуємо розрахувати, скільки часу ви витрачаєте на дорогу до школи. Йдучи до школи або повертаючись, додому ви щоразу витрачаєте на дорогу різний час, тому що коли ви поспішаєте, ви йдете швидше, і тому дорога займає менше часу. А ось, повертаючись, додому ви можете йти поспішаючи, спілкуючись із однокласниками, милуючись природою і тому часу на дорогу займе більше.

Тому точно визначити час, витрачений на дорогу у вас не вийти, але завдяки середньому арифметичному ви зможете приблизно дізнатися час, який ви витрачаєте на дорогу.

Припустимо, що в перший день після вихідних, ви витратили на шлях від дому до школи п'ятнадцять хвилин, на другий день ваш шлях зайняв двадцять хвилин, у середу ви пройшли відстань за двадцять п'ять хвилин, за такий же час склав ваш шлях і в четвер, а в п'ятницю ви нікуди не поспішали і поверталися цілу півгодини.

Давайте знайдемо середнє арифметичне, додавши час, за п'ять днів. Отже,

15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

Тепер розділимо цю суму на кількість днів

Завдяки такому способу ви дізналися, що шлях від дому до школи приблизно витрачаєте двадцять три хвилини свого часу.

Домашнє завдання

1.Шляхом нехитрих обчислень знайдіть середню арифметичну кількість відвідуваності учнів вашого класу протягом тижня.

2. Знайдіть середнє арифметичне:

3. Розв'яжіть задачу:

Середнє арифметичне – статистичний показник, що демонструє середнє значення заданого масиву даних. Такий показник розраховується як дріб, у чисельнику якого коштує сума всіх значень масиву, а знаменнику - їх кількість. Середнє арифметичне – важливий коефіцієнт, який знаходить застосування у побутових розрахунках.

Сенс коефіцієнта

Середнє арифметичне - елементарний показник для порівняння даних та підрахунку прийнятного значення. Наприклад, у різних магазинах продається банку пива конкретного виробника. Але в одному магазині вона коштує 67 рублів, в іншому – 70 рублів, у третьому – 65 рублів, а в останньому – 62 рублі. Досить великий розбіг цін, тому покупцеві буде цікава середня вартість банки, щоб при купівлі товару міг порівняти свої витрати. У середньому банки пива по місту мають ціну:

Середня вартість = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 рублів.

Знаючи середню ціну, легко визначити, де вигідно купувати товар, а де доведеться переплатити.

Середнє арифметичні постійно використовується у статистичних розрахунках у випадках, коли аналізується однорідний набір даних. У прикладі вище – це ціна банки пива однієї марки. Однак ми не можемо порівняти ціну на пиво різних виробників або ціни на пиво та лимонад, тому що в цьому випадку розкид значень буде більшим, середня ціна буде змащена і недостовірна, а сам сенс розрахунків спотвориться до карикатурного «середня температура по лікарні». Для розрахунку різнорідних масивів даних використовується середнє арифметичне зважене, коли кожне значення набуває свого вагового коефіцієнта.

Підрахунок середнього арифметичного

Формула для обчислень гранично проста:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

де an - значення величини, n - загальна кількість значень.

Навіщо може використовуватися цей показник? Перше та очевидне його застосування – це статистика. Майже у кожному статистичному дослідженні використовується показник середнього арифметичного. Це може бути середній вік одруження в Росії, середня оцінка по предмету у школяра або середні витрати на продукти на день. Як говорилося вище, без урахування ваг підрахунок середніх значень може давати дивні чи абсурдні значення.

Наприклад, президент Російської Федерації заявив, що за статистикою, середня зарплата росіянина становить 27 000 рублів. Для більшості жителів Росії такий рівень зарплати видався абсурдним. Не дивно, якщо при розрахунку враховувати розмір доходів олігархів, керівників промислових підприємств, великих банкірів з одного боку та зарплати вчителів, прибиральників та продавців з іншого. Навіть середні зарплати за однією спеціальністю, наприклад, бухгалтера, матимуть серйозні відмінності у Москві, Костромі та Єкатеринбурзі.

Як рахувати середні для різнорідних даних

У ситуаціях із підрахунком заробітної плати важливо враховувати вагу кожного значення. Це означає, що зарплати олігархів та банкірів отримали б вагу, наприклад, 0,00001, а зарплати продавців – 0,12. Це цифри зі стелі, але вони приблизно ілюструють поширеність олігархів та продавців у суспільстві.

Таким чином, для підрахунку середнього або середнього значення в різнорідному масиві даних, потрібно використовувати середнє арифметичне зважене. Інакше ви отримаєте середню зарплату по Росії на рівні 27000 рублів. Якщо ж ви хочете дізнатися про свою середню оцінку з математики або середню кількість забитих шайб обраного хокеїста, то вам підійде калькулятор середнього арифметичного.

Наша програма є простий і зручний калькулятор для розрахунку середнього арифметичного. Для виконання розрахунків вам знадобиться ввести лише значення параметрів.

Розглянемо кілька прикладів

Розрахунок середньої оцінки

Багато вчителів використовують метод середнього арифметичного визначення річний оцінки по предмету. Давайте уявімо, що дитина отримала наступні четвертні позначки з математики: 3, 3, 5, 4. Яку річну оцінку йому поставить вчитель? Скористаємося калькулятором та порахуємо середнє арифметичне. Для початку оберіть відповідну кількість полів і введіть значення оцінок у комірки, що з'явилися:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Вчитель округлить значення на користь учня, і школяр отримає за рік тверду четвірку.

Розрахунок з'їдених цукерок

Давайте проілюструємо деяку абсурдність середнього арифметичного. Уявімо, що Маша і Вови мали 10 цукерок. Маша з'їла 8 цукерок, а Вова – всього 2. Скільки цукерок у середньому з'їла кожна дитина? За допомогою калькулятора легко визначити, що в середньому діти з'їли по 5 цукерок, що зовсім не відповідає дійсності та здоровому глузду. Цей приклад показує, що показник середнього арифметичного важливо вважати для осмислених наборів даних.

Висновок

Розрахунок середнього арифметичного широко використовується у багатьох наукових сферах. Цей показник популярний у статистичних розрахунках, а й у фізиці, механіці, економіці, медицині чи фінансах. Використовуйте наші калькулятори як помічник для вирішення завдань на обчислення середнього арифметичного.

В математиці та статистиці середняарифметичне (або легко середня) Комплекту чисел - це сума всіх чисел у цьому комплекті, поділена на їх число. Середнє арифметичне є особливо загальним та найпоширенішим уявленням середньої величини.

Вам знадобиться

• Знання з математики.

Інструкція

1. Нехай дано комплект із чотирьох чисел. Потрібно знайти середня значенняцього комплекту. Для цього спочатку виявимо суму всіх цих чисел. Можливі ці числа 1, 3, 8, 7. Їх сума дорівнює S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. Комплект чисел повинен складатися з чисел одного знака, інакше толк у обчисленні середнього значення втрачається.

2. Середнє значеннякомплекту чисел дорівнює сумі чисел S, поділеної число цих чисел. Тобто виходить, що середня значенняодно: 19/4 = 4.75.

3. Для комплекту числа також можна знайти не тільки середняарифметичне, а й середнягеометричне. Середнім геометричним кількох правильних речових чисел називається таке число, яким можна замінити будь-яке з цих чисел так, щоб їх твір не змінилося. Середнє геометричне G шукається за формулою: корінь N-го ступеня з добутку комплекту чисел, де N – число в комплекті. Розглянемо той самий комплект чисел: 1, 3, 8, 7. Виявимо їх середнягеометричне. Для цього порахуємо твір: 1 * 3 * 8 * 7 = 168. Тепер з числа 168 необхідно отримати корінь четвертого ступеня: G = (168) ^ 1/4 = 3.61. Таким чином середнягеометричний комплект чисел дорівнює 3.61.

Середнєгеометричне в сукупності застосовується рідше, ніж арифметичне середнє, проте воно може бути придатним при обчисленні середнього значення показників, що змінюються з часом (заробітна плата окремого працівника, динаміка показників успішності тощо).

Вам знадобиться

• Інженерний калькулятор

Інструкція

1. Для того щоб виявити середнє геометричне ряду чисел, спочатку потрібно перемножити всі ці числа. Скажімо, вам дано комплект із п'яти показників: 12, 3, 6, 9 та 4. Перемножимо всі ці числа: 12х3х6х9х4=7776.

2. Тепер з отриманого числа необхідно отримати корінь ступеня, що дорівнює числу елементів ряду. У нашому випадку з числа 7776 необхідно буде витягти корінь п'ятого ступеня за допомогою інженерного калькулятора. Отримане пізніше цієї операції число – у разі число 6 – буде середнім геометричним для початкової групи чисел.

3. Якщо у вас під рукою немає інженерного калькулятора, то обчислити середнє геометричне ряду чисел можна за допомогою функції СРГЕОМ в програмі Excel або за допомогою одного з онлайн-калькуляторів, навмисно призначених для обчислення середніх геометричних значень.

Зверніть увагу!
Якщо знадобиться виявити середнє геометричне кожного для 2-х чисел, то інженерний калькулятор вам не потрібно: витягти корінь 2-го ступеня (квадратний корінь) з усякого числа можна за допомогою звичайного калькулятора.

Корисна порада
На відміну середнього арифметичного, на геометричне середнє негаразд сильно впливають великі відхилення і коливання між окремими значеннями в досліджуваному комплекті показників.

СереднєЗначення – це одна з коляцій комплекту чисел. Це число, яке не може виходити за межі діапазону, що визначається найбільшим і найменшим значеннями в цьому комплекті чисел. Середнєарифметичне значення - особливо часто застосовується різновид середніх.

Інструкція

1. Складіть усі числа множини і поділіть їх на кількість доданків, щоб отримати середнє арифметичне значення. Залежно від певних умов обчислення зрідка буває простіше розділяти будь-яке з чисел число значень множини і підсумовувати результат.

2. Використовуйте, скажімо, калькулятор, що входить до складу Windows, якщо обчислити середнє арифметичне значення в розумі не представляється допустимим. Відкрити його можна за допомогою діалогу запуску програм. Для цього натисніть "палячі клавіші" WIN + R або клацніть кнопку "Пуск" і виберіть в основному меню команду "Виконати". Після цього надрукуйте в полі введення calc та натисніть на клавіатурі Enter або натисніть кнопку «OK». Це ж можна зробити через головне меню - розкрийте його, перейдіть в розділ "Всі програми" і в сегменти "Типові" і виберіть рядок "Калькулятор".

3. Введіть ступінчасто всі числа множини, натискаючи на клавіатурі найчастіше з них (крім останнього) клавішу «Плюс» або клацаючи відповідну кнопку в інтерфейсі калькулятора. Вводити числа теж можна як з клавіатури, так і клацаючи відповідні кнопки інтерфейсу.

4. Натисніть клавішу з косою межею (слеш) або клацніть цей значок в інтерфейсі калькулятора після введення останнього значення множини і надрукуйте число в послідовності. Після цього натисніть знак рівності, і калькулятор розрахує та покаже середнє арифметичне значення.

5. Дозволено для цієї ж мети застосовувати табличний редактор Microsoft Excel. У цьому випадку запустіть редактор і введіть у сусідні осередки всі значення послідовності чисел. Якщо після введення всього числа ви натискатимете Enter або клавішу зі стрілкою вниз або вправо, то редактор сам переміщатиме фокус введення в сусідню комірку.

6. Виділіть усі введені значення та у лівому нижньому куті вікна редактора (у рядку стану) побачите середньоарифметичне значення для виділених осередків.

7. Клацніть наступну за останнім введеним числом комірку, якщо вам не достатньо лише побачити середнє арифметичне значення. Розкрийте список із зображенням грецької літери сигма (Σ) у групі команд «Редагування» на вкладці «Основна». Виберіть у ньому рядок « Середнєі редактор вставить необхідну формулу для обчислення середньоарифметичного значення у виділений осередок. Натисніть клавішу Enter, і значення буде розраховано.

Середнє арифметичне – одне із заходів центральної схильності, широко застосовується у математиці та статистичних розрахунках. Виявити середнє арифметичне число для кількох значень дуже легко, але у будь-якої задачі є свої нюанси, знати які для виконання правильних розрахунків примітивно потрібно.

Що таке середнє арифметичне число

Середнє арифметичне число визначає усереднене значення кожного початкового масиву чисел. Інакше кажучи, з деякої множини чисел вибирається загальне всім елементів значення, математичне зіставлення якого з усіма елементами носить приблизно рівний характер. Середнє арифметичне число застосовується, переважно, під час складання фінансових і статистичних звітів чи розрахунків кількісних результатів проведених подібних навичок.

Як виявити середнє арифметичне число

Пошук середнього арифметичного числа для масиву чисел слід починати з визначення суми алгебри цих значень. Наприклад, якщо в масиві присутні числа 23, 43, 10, 74 і 34, то їх алгебраїчна сума дорівнюватиме 184. При записі середнє арифметичне позначається буквою? (Мю) чи x (ікс із характеристикою). Далі суму алгебри слід поділити на число чисел в масиві. У аналізованому прикладі чисел було п'ять, тому середнє арифметичне дорівнюватиме 184/5 і становитиме 36,8.

Особливості роботи з негативними числами

Якщо в масиві присутні негативні числа, то знаходження середнього арифметичного значення відбувається за аналогічним алгоритмом. Різниця є лише за розрахунках серед програмування, або якщо завдання є додаткові дані. У цих випадках знаходження середнього арифметичного чисел із різними знаками зводиться до трьох дій:1. Знаходження загального середнього арифметичного числа стандартним способом; Знаходження середнього арифметичного негативного чисел.3. Обчислення середнього арифметичного позитивних чисел. Результати будь-якої з дій записуються через кому.

Натуральні та десяткові дроби

Якщо масив чисел представлений десятковими дробами, рішення відбувається у способу обчислення середнього арифметичного цілих чисел, але скорочення результату проводиться у разі вимоги завдання до точності результата.При роботі з природними дробами їх слід призвести до загального знаменника, який множиться число чисел в масиві. У чисельнику результату буде сума наведених чисельників початкових дробових елементів.

Середнє геометричне чисел залежить тільки від безумовної величини самих чисел, а й від їх числа. Неможливо плутати середнє геометричне та середнє арифметичне чисел, тому що вони знаходяться за різними методологіями. У цьому середнє геометричне постійно менше чи дорівнює середньому арифметичному.

Вам знадобиться

• Інженерний калькулятор.

Інструкція

1. Розглядайте, що в загальному випадку середнє геометричне чисел знаходиться шляхом перемноження цих чисел та вилучення з них кореня ступеня, що відповідає числу чисел. Скажімо, якщо потрібно виявити середнє геометричне п'яти чисел, то з добутку потрібно буде витягувати корінь п'ятого ступеня.

2. Для знаходження середнього геометричного 2-х чисел використовуйте основне правило. Виявіть їх добуток, після чого витягніть з нього квадратний корінь, тому що числа два, що відповідає ступеню кореня. Скажімо, щоб виявити середнє геометричне чисел 16 і 4, виявіть їх добуток 16 4=64. З числа, що вийшло, витягніть квадратний корінь?64=8. Це буде бажана величина. Середнє арифметичне цих двох чисел більше і одно 10. Якщо корінь не витягується націло, зробіть округлення результату до необхідного порядку.

3. Щоб виявити середнє геометричне більше ніж 2-х чисел, також використовуйте основне правило. Для цього виявіть добуток всіх чисел, для яких потрібно виявити середнє геометричне. З отриманого твору витягніть корінь ступеня, що дорівнює числу чисел. Скажімо, щоб виявити середнє геометричне чисел 2, 4 і 64, виявіть їх добуток. 2 4 64 = 512. Від того що потрібно виявити результат середнього геометричного 3 чисел, що з твору вийміть корінь третього ступеня. Зробити це усно важко, тому скористайтеся інженерним калькулятором. Для цього в ньому є кнопка x^y. Наберіть число 512, натисніть кнопку “x^y”, потім наберіть число 3 і натисніть кнопку “1/х”, щоб знайти значення 1/3, натисніть кнопку “=”. Отримаємо результат зведення 512 у ступінь 1/3, що відповідає кореню третього ступеня. Отримайте 512^1/3=8. Це і є середнє геометричне чисел 2,4 та 64.

4. За допомогою інженерного калькулятора можна виявити середнє геометричне іншим способом. Виявіть кнопку log на клавіатурі. Після цього візьміть логарифм для всього з чисел, виявіть їх суму та поділіть її на число чисел. З отриманої кількості візьміть антилогарифм. Це і буде середнє геометричне чисел. Скажімо, щоб виявити середнє геометричне тих же чисел 2, 4 і 64, зробіть на калькуляторі комплект операцій. Наберіть число 2, потім натисніть кнопку log, натисніть кнопку “+”, наберіть число 4 і знову натисніть log і “+”, наберіть 64, натисніть log і “=”. Підсумком буде число, що дорівнює сумі десяткових логарифмів чисел 2, 4 і 64. Отримане число поділіть на 3, тому що це число чисел, якими шукається середнє геометричне. З підсумку візьміть антилогарифм, перемкнувши кнопку регістру, та використовуйте ту ж клавішу log. У результаті вийде число 8, і є бажане середнє геометричне.

Зверніть увагу!
Середнє значення не може бути більшим за найбільше в комплекті і менше найменшого.

Корисна порада
У математичної статистики середнє значення величини називається математичним очікуванням.