Як визначити значення тригонометричної функції. Значення тригонометричних функцій для деяких кутів

Співвідношення між основними тригонометричними функціями – синусом, косінусом, тангенсом та котангенсом – задаються тригонометричними формулами. Оскільки зв'язків між тригонометричними функціями досить багато, цим пояснюється і розмаїття тригонометричних формул. Одні формули пов'язують тригонометричні функції однакового кута, інші функції кратного кута, треті дозволяють знизити ступінь, четверті виразити всі функції через тангенс половинного кута, і т.д.

У цій статті ми по порядку перерахуємо всі основні тригонометричні формули, яких достатньо для вирішення більшості задач тригонометрії. Для зручності запам'ятовування та використання групуватимемо їх за призначенням і заноситимемо в таблиці.

Навігація на сторінці.

Основні тригонометричні тотожності

Основні тригонометричні тотожностізадають зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом та котангенсом одного кута. Вони випливають із визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, а також поняття одиничного кола. Вони дозволяють виразити одну тригонометричну функцію через будь-яку іншу.

Детальний опис цих формул тригонометрії, їх висновок та приклади застосування дивіться у статті .

Формули наведення

Формули наведеннявипливають із властивостей синуса, косинуса, тангенсу і котангенсу, тобто, вони відображають властивість періодичності тригонометричних функцій, властивість симетричності, а також властивість зсуву на даний кут. Ці тригонометричні формули дозволяють від роботи з довільними кутами переходити до роботи з кутами в межах від нуля до 90 градусів.

Обгрунтування цих формул, мнемонічне правило їх запам'ятовування і приклади їх застосування можна вивчити у статті .

Формули додавання

Тригонометричні формули складанняпоказують, як тригонометричні функції суми чи різниці двох кутів виражаються через тригонометричні функції цих кутів. Ці формули є базою для виведення наступних нижче тригонометричних формул.

Формули подвійного, потрійного тощо. кута

Формули подвійного, потрійного тощо. кута (їх ще називають формулами кратного кута) показують, як тригонометричні функції подвійних, потрійних і т.д. кутів () виражаються через тригонометричні функції одинарного кута. Їх висновок виходить з формулах складання.

Більш детальна інформація зібрана у статті формули подвійного, потрійного тощо. кута.

Формули половинного кута

Формули половинного кутапоказують, як тригонометричні функції половинного кута виражаються через косинус цілого кута. Ці тригонометричні формули випливають із формул подвійного кута.

Їх висновок та приклади застосування можна переглянути у статті.

Формули зниження ступеня

Тригонометричні формули зниження ступеняпокликані сприяти переходу від натуральних ступенів тригонометричних функцій до синусів і косинусів у першому ступені, але кратних кутів. Іншими словами, вони дозволяють знижувати ступеня тригонометричних функцій до першої.

Формули суми та різниці тригонометричних функцій

Основне призначення формул суми та різниці тригонометричних функційполягає у переході до твору функцій, що дуже корисно при спрощенні тригонометричних виразів. Зазначені формули також широко використовуються при вирішенні тригонометричних рівнянь, оскільки дозволяють розкладати на множники суму та різницю синусів і косінусів.

Формули твору синусів, косінусів та синуса на косинус

Перехід від твору тригонометричних функцій до суми чи різниці здійснюється за допомогою формул твору синусів, косінусів та синусу на косинус.

Copyright by cleverstudents

Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати в будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.

Визначення

Визначення тригонометричним функцій даються за допомогою тригонометричного кола, під яким розуміється коло одиничного радіусу з центром на початку координат.

Розглянемо два радіуси цього кола: нерухомий (де точка) і рухливий (де точка). Нехай рухомий радіус утворює з нерухомим кутом.

Число, що дорівнює ординаті кінця одиничного радіусу, що утворює кут з нерухомим радіусом, називається синусом кута : .

Число, що дорівнює абсцисі кінця одиничного радіусу, що утворює кут з нерухомим радіусом, називається косинус кута : .

Таким чином, точка, що є кінцем рухомого радіусу, що утворює кут, має координати.

Тангенсом кутаназивається ставлення синуса цього кута для його косинусу: , .

Котангенсом кутаназивається ставлення косинуса цього кута для його синусу: , .

Геометричний зміст тригонометричних функцій

Геометричний сенс синуса і косинуса на тригонометричному колі зрозумілий з визначення: це абсциса і ординат точки перетину рухомого радіусу, що становить кут з нерухомим радіусом, і тригонометричного кола. Тобто, .

Розглянемо тепер геометричний зміст тангенсу та котангенсу. Трикутники подібні до трьох кутів (,), тоді має місце відношення. З іншого боку, в, отже.

Також подібний до трьох кутів (,), тоді має місце відношення. З іншого боку, в, отже.

З урахуванням геометричного сенсу тангенсу та котангенсу вводять поняття осі тангенсів та осі котангенсів.

Осями тангенсів називаються осі, одна з яких стосується тригонометричного кола в точці і спрямована вгору, друга стосується кола в точці і спрямована вниз.

Осями котангенсів називаються осі, одна з яких стосується тригонометричного кола в точці і спрямована вправо, друга стосується кола в точці і спрямована вліво.

Властивості тригонометричних функцій

Розглянемо деякі основні властивості тригонометричних функцій. Інші властивості будуть розглянуті у розділі, присвяченому графікам тригонометричних функцій.

Область визначення та область значень

Як було зазначено раніше, синус і косинус існують будь-яких кутів, тобто. областю визначення цих функцій є безліч дійсних чисел. За визначенням тангенс немає для кутів , а котангенс для кутів, .

Оскільки синус і косинус є ординатою та абсцисою точки на тригонометричному колі, їх значення лежать у проміжку. Область значення тангенса і котангенса є безліч дійсних чисел (у цьому неважко переконатися, дивлячись на осі тангенсів і котангенсів).

Парність/непарність

Розглянемо тригонометричні функції двох кутів (що відповідає рухомому радіусу) і (що відповідає рухомому радіусу). Оскільки, отже, точка має координати. Тому, тобто. синус – функція непарна; , тобто. косинус – функція парна; , тобто. тангенс непарний; , тобто. котангенс також непарний.

Проміжки знакостійності

Знаки тригонометричних функцій для різних координатних чвертей випливають із визначення цих функцій. Слід зазначити, що оскільки тангенс та котангенс є відносинами синуса та косинуса, вони позитивні, коли синус та косинус кута мають однакові знаки та негативні коли різні.

Періодичність

Періодичність синуса і косинуса заснована на тому факті, що кути, що відрізняються на цілу кількість повних оборотів, відповідають тому самому взаємному розташуванню рухомого і нерухомого променів. Відповідно і координати точки перетину рухомого променя та тригонометричного кола будуть однакові для кутів, що відрізняються на цілу кількість повних оборотів. Таким чином, періодом синуса та косинуса є і де.

Очевидно, що також є періодом для тангенсу та котангенсу. Але чи існує менший період цих функцій? Доведемо, що найменшим періодом для тангенсу та котангенсу є.

Розглянемо два кути в. Оп геометричному змісту тангенсу та котангенсу, . По стороні та прилеглих до неї кутах рівні трикутники і, отже, рівні та їхні сторони, значить і. Аналогічним чином можна довести те, де. Таким чином, періодом тангенсу та котангенсу є.

Тригонометричні функції основних кутів

Формули тригонометрії

Для успішного вирішення тригонометричних завдань необхідно мати численні тригонометричні формули. Тим не менш, немає необхідності заучувати всі формули. Знати напам'ять потрібно лише основні, інші формули треба вміти за необхідності вивести.

Основне тригонометричне тотожність і наслідки з нього

Усі тригонометричні функції довільного кута пов'язані між собою, тобто. знаючи одну функцію завжди можна знайти інші. Цей зв'язок дають формули, що розглядаються в цьому розділі.

Теорема 1 (Основна тригонометрична тотожність). Для будь-якого справедливо тотожність

Доказ полягає у застосуванні теореми Піфагора для прямокутного трикутника з катетами та гіпотенузою.

Справедливіша і загальніша теорема.

Теорема 2. Для того, щоб два числа можна було прийняти за косинус і синус одного і того ж речового кута, необхідно і достатньо, щоб сума їх квадратів дорівнювала одиниці:

Розглянемо наслідки з основної тригонометричної тотожності.

Виразимо синус через косинус і косинус через синус:

У формулах знак плюс чи мінус перед коренем вибирається залежно від чверті, у якій лежить кут.

Підставляючи отримані вище формули формули, що визначають тангенс і котангенс, отримуємо:

Розділивши основне тригонометричне тотожність почленно або одержимо відповідно:

Ці співвідношення можна переписати у вигляді:

Наступні формули дають зв'язок між тангенсом та котангенсом. Оскільки при, а при, то має місце рівність:

Формули наведення

За допомогою формул приведення можна виразити значення тригонометричних функцій довільних кутів через значення функцій гострого кута. Усі формули наведення можуть бути узагальнені за допомогою наступного правила.

Будь-яка тригонометрична функція кута, по абсолютній величині дорівнює тій же функції кута, якщо число - парне, і ко-функции кута, якщо число - непарне. У цьому якщо функція кута, позитивна, коли - гострий позитивний кут, знаки обох функцій однакові, якщо негативна, то різні.

Формули суми та різниця кутів

Теорема 3 . Для будь-яких речових і справедливі такі формули:

Доказ інших формул ґрунтується на формулах приведення та парності/непарності тригонометричних функцій.

Що й потрібно було довести.

Теорема 4. Для будь-яких речових і, таких, що

1. , справедливі такі формули

2. , справедливі такі формули

Доведення. За визначенням тангенсу

Останнє перетворення отримано розподілом чисельника та знаменника цього дробу.

Аналогічно для котангенса (числитель і знаменник у цьому випадку поділяються на):

Що й потрібно було довести.

Слід звернути увагу, що праві і ліві частини останніх рівностей мають різні області допустимих значень. Тому застосування цих формул без обмежень на можливі значення кутів може призвести до неправильних результатів.

Формули подвійного та половинного кута

Формули подвійного кута дозволяють виразити тригонометричні функції довільного кута через функції кута вдвічі менше вихідного. Ці формули є наслідками формул суми двох кутів, якщо в них покласти кути рівними одна одній.

Останню формулу можна перетворити за допомогою основного тригонометричного тотожності:

Таким чином, для косинуса подвійного кута існує три формули:

Слід зазначити, що дана формула справедлива лише за

Остання формула справедлива при .

Аналогічно до функцій подвійного кута можуть бути отримані функції потрійного кута. Тут ці формули наводяться без доказу:

Формули половинного кута є наслідками формул подвійного кута і дозволяють виразити тригонометричні функції деякого кута через функції кута вдвічі більше вихідного.

ЄДІ на 4? А чи не луснеш від щастя?

Питання, як кажуть, цікаве... Можна, можна здати на 4! І при цьому не луснути... Головна умова – займатися регулярно. Тут – основна підготовка до ЄДІ з математики. З усіма секретами та таємницями ЄДІ, про які Ви не прочитаєте у підручниках... Вивчайте цей розділ, вирішуйте більше завдань із різних джерел – і все вийде! Передбачається, що базовий розділ "З тебе і трійки вистачить!" у вас труднощів не викликає. Але якщо раптом... За посиланнями ходіть, не лінуйтеся!

І почнемо ми з великої та жахливої ​​теми.

Тригонометрія

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Ця тема завдає безліч проблем учням. Вважається однією з найсуворіших. Що таке синус та косинус? Що таке тангенс та котангенс? Що таке числове коло?Варто поставити ці невинні питання, як людина блідне і намагається відвести розмову убік… А даремно. Це прості поняття. І нічим ця тема не складніша за інші. Просто потрібно з самого початку чітко усвідомити відповіді на ці питання. Це дуже важливо. Якщо зрозуміли – тригонометрія вам сподобається. Отже,

Що таке синус та косинус? Що таке тангенс та котангенс?

Почнемо з глибокої давнини. Не хвилюйтеся, всі 20 століть тригонометрії ми пройдемо хвилин за 15. І непомітно для себе, повторимо шматочок геометрії з 8 класу.

Намалюємо прямокутний трикутник зі сторонами а, в, зта кутом х. Ось такий.

Нагадаю, що сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами. а і в- Катети. Їх два. Сторона, що залишилася, називається гіпотенузою. з- Гіпотенуза.

Трикутник та трикутник, подумаєш! Що з нею робити? А ось давні люди знали, що робити! Повторимо їх дії. Виміряємо бік в. На малюнку спеціально клітини намальовані, як у завданнях ЄДІ буває. Сторона вдорівнює чотирьом клітинам. Гаразд. Виміряємо бік а.Три клітини.

А тепер поділимо довжину сторони ана довжину сторони в. Або, як ще кажуть, візьмемо відношення адо в. а/в= 3/4.

Можна навпаки, поділити вна а.Отримаємо 4/3. Можна, можливо вподілити на с.Гіпотенузу зпо клітинах не порахувати, але вона дорівнює 5. Отримаємо в/с= 4/5. Коротше, можна ділити довжини сторін один на одного та отримувати якісь числа.

Ну і що? Який сенс у цьому цікавому занятті? Поки що ніякого. Безглузде заняття, прямо скажемо.)

А тепер зробимо ось що. Збільшимо трикутник. Продовжимо сторони в і зале так, щоб трикутник залишився прямокутним. Кут х, Звісно, ​​не змінюється. Щоб це побачити, наведіть курсор мишки на картинку, або торкніться її (якщо у вас планшет). Сторони а, в і зперетворяться на m, n, k, і, ясна річ, довжини сторін зміняться.

А ось їхні стосунки – ні!

Ставлення а/вбуло: а/в= 3/4, стало m/n= 6/8 = 3/4. Відносини інших відповідних сторін також не зміняться . Можна як завгодно змінювати довжини сторін у прямокутному трикутнику, збільшувати, зменшувати, не змінюючи кута х – відносини відповідних сторін не зміняться . Можна перевірити, а можна повірити давнім людям на слово.

А це вже дуже важливо! Відносини сторін у прямокутному трикутнику ніяк не залежать від довжин сторін (при тому самому вугіллі). Це настільки важливо, що відносини сторін заслужили свої спеціальні назви. Свої імена, так би мовити.) Знайомтеся.

Що таке синус кута х ? Це ставлення протилежного катета до гіпотенузи:

sinx = а/с

Що таке косинус кута х ? Це ставлення прилеглого катета до гіпотенузи:

зosx= в/с

Що таке тангенс кута х ? Це ставлення протилежного катета до прилеглого:

tgx =а/в

Що таке котангенс кута х ? Це ставлення прилеглого катета до протилежного:

ctgx = в/а

Все дуже просто. Синус, косинус, тангенс та котангенс – це деякі числа. Безрозмірні. Просто числа. Для кожного кута – свої.

Навіщо я так занудно все повторюю? Тому, що це потрібно запам `ятати. Залізно запам'ятати. Запам'ятовування можна полегшити. Фраза «Почнемо здалеку…» знайома? Ось і починайте здалеку.

Сінускута – це відношення далекоговід кута катета до гіпотенузи. Косінус- Відношення ближнього до гіпотенузи.

Тангенскута – це відношення далекоговід кута катета до ближнього. Котангенс- Навпаки.

Вже простіше, правда?

Ну а якщо запам'ятати, що в тангенсі та котангенсі сидять тільки катети, а в синусі та косинусі гіпотенуза з'являється, то все стане зовсім просто.

Всю цю славну родину – синус, косинус, тангенс та котангенс називають ще тригонометричними функціями.

А зараз питання на міркування.

Чому ми говоримо синус, косинус, тангенс та котангенс кута?Йдеться про відносини сторін, начебто... При чому тут кут?

Дивимося на другу картинку. Таку саму, як і перша.

Наведіть мишку на картинку. Я змінив кут х. Збільшив його з х до Х.Усі стосунки змінилися! Ставлення а/вбуло 3/4, а відповідне відношення t/встало 6/4.

І всі інші стосунки стали іншими!

Отже, відносини сторін ніяк не залежать від їх довжин (при одному вугіллі х), але різко залежать від цього самого кута! І лише від нього.Тому терміни синус, косинус, тангенс та котангенс відносяться до кутку.Кут тут – головний.

Потрібно залізно усвідомити, що кут нерозривно пов'язаний зі своїми тригонометричними функціями. Кожен кут має свій синус і косинус. І майже у кожного – свій тангенс та котангенс.Це важливо. Вважається, що якщо нам дано кут, то його синус, косинус, тангенс та котангенс нам відомі ! І навпаки. Даний синус, або будь-яка інша тригонометрична функція – це означає, що ми знаємо кут.

Існують спеціальні таблиці, де для кожного кута розписано його тригонометричні функції. Таблиці Брадіса називаються. Вони дуже давно складені. Коли ще не було ні калькуляторів, ні комп'ютерів.

Звісно, ​​тригонометричні функції всіх кутів запам'ятати не можна. Ви повинні знати їх лише для кількох кутів, про це далі буде. Але заклинання « знаю кут – отже, знаю його тригонометричні функції» -працює завжди!

Ось ми й повторили шматочок геометрії із 8-го класу. Воно нам потрібне для ЄДІ? Потрібно. Ось вам своєрідне завдання з ЄДІ. Для вирішення якої достатньо 8-го класу. Дана картинка:

Всі. Більше жодних даних немає. Потрібно знайти довжину катета ВС.

Клітини слабо допомагають, трикутник якось неправильно розташований .... Спеціально, мабуть ... З інформації є довжина гіпотенузи. 8 клітин. Ще навіщось дано кут.

Ось тут треба одразу згадувати про тригонометрію. Є кут, отже, ми знаємо всі його тригонометричні функції. Яку функцію із чотирьох у справу пустити? А подивимося, що нам відомо? Нам відомі гіпотенуза, кут, а знайти треба прилеглийдо цього кута катет! Зрозуміло, косинус треба в справу запускати! Ось і запускаємо. Просто пишемо, за визначенням косинуса (ставлення прилеглогокатета до гіпотенузи):

cosC = ВС/8

Кут С у нас 60 градусів, його косинус дорівнює 1/2. Це знати треба, без жодних таблиць! Стало бути:

1/2 = НД/8

Елементарне лінійне рівняння. Невідоме – НД. Хто призабув, як вирішувати рівняння, прогуляйтеся за посиланням, решта вирішує:

НД = 4

Коли давні люди зрозуміли, що у кожного кута є свій комплект тригонометричних функцій, у них виникло резонне питання. А чи не пов'язані якось синус, косинус, тангенс і котангенс між собою?Тож знаючи одну функцію кута, можна було знайти інші? Чи не обчислюючи сам кут?

Ось такі вони були невгамовні...)

Зв'язок між тригонометричними функціями одного кута.

Звичайно, синус, косинус, тангенс і котангенс одного й того самого кута пов'язані між собою. Будь-який зв'язок між виразами задається в математиці формулами. У тригонометрії формул – колосальна кількість. Але тут ми розглянемо найголовніші. Ці формули так і називаються: основні тригонометричні тотожності.Ось вони:

Ці формули треба знати залізно. Без них взагалі в тригонометрії робити нема чого. З цих основних тотожностей випливають ще три допоміжні тотожності:

Відразу попереджаю, що останні три формули швидко випадають з пам'яті. Чомусь.) Можна, звичайно, вивести ці формули з перших трьох. Але, у скрутну хвилину... Самі розумієте.)

У стандартних завданнях, типу тих, що наведені нижче, є спосіб обійтися без цих формул, що незапам'ятовуються. І різко зменшити помилкипо забудькуватості, та й у обчисленнях теж. Цей практичний прийом - у Розділі 555, урок "Зв'язок між тригонометричними функціями одного кута."

У яких завданнях та як використовуються основні тригонометричні тотожності? Найпопулярніше завдання - знайти якусь функцію кута, якщо дана інша. У ЄДІ таке завдання рік у рік присутнє.) Наприклад:

Знайти значення sinx, якщо х – гострий кут, а cosx = 0,8.

Завдання майже елементарне. Шукаємо формулу, де є синус та косинус. Ось вона ця формула:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Підставляємо сюди відому величину, а саме, 0,8 замість косинуса:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Ну і вважаємо, як завжди:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x = 1 - 0,64

Ось практично і все. Ми вирахували квадрат синуса, залишилося витягти квадратний корінь і відповідь готова! Корінь із 0,36 буде 0,6.

Завдання майже елементарне. Але слово "майже" тут не дарма стоїть ... Справа в тому, що відповідь sinx = - 0,6 теж підходить ... (-0,6) 2 теж 0,36 буде.

Дві різні відповіді виходять. А потрібний один. Другий – неправильний. Як бути!? Та як завжди.) Уважно прочитати завдання. Там навіщось написано: ... якщо х – гострий кут...А в завданнях кожне слово має сенс, так... Ця фраза - і є додаткова інформація до вирішення.

Гострий кут – це кут менше 90°. А у таких кутів Усетригонометричні функції - і синус, і косинус, і тангенс з котангенсом - позитивні.Тобто. негативну відповідь ми тут просто відкидаємо. Маємо право.

Власне, восьмикласникам такі тонкощі не потрібні. Вони працюють лише з прямокутними трикутниками, де кути можуть бути лише гострими. І не знають, щасливі, що бувають і негативні кути, і кути в 1000°... І всі ці кошмарні кути мають свої тригонометричні функції і з плюсом, і з мінусом...

А ось старшокласникам без урахування знаку – ніяк. Багато знань множать печалі, так...) І для правильного вирішення завдання обов'язково присутня додаткова інформація (якщо вона необхідна). Наприклад, вона може бути дана таким записом:

Або якось інакше. У прикладах нижче побачите.) Для вирішення таких прикладів потрібно знати, в яку чверть потрапляє заданий кут х і який знак має необхідна тригонометрична функція цієї чверті.

Ці ази тригонометрії розглянуті в уроках що таке тригонометричний круг, відлік кутів на цьому колі, радіальна міра кута. Іноді потрібно знати і таблицю синусів косінусів тангенсів та котангенсів.

Отже, відзначимо найголовніше:

Практичні поради:

1. Запам'ятайте визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Дуже знадобиться.

2. Чітко засвоюємо: синус, косинус, тангенс та котангенс міцно пов'язані з кутами. Знаємо одне – значить, знаємо й інше.

3. Чітко засвоюємо: синус, косинус, тангенс і котангенс одного кута пов'язані між собою основними тригонометричними тотожностями. Знаємо одну функцію - отже, можемо (за наявності необхідної додаткової інформації) обчислити решту.

А тепер вирішуємо, як водиться. Спочатку завдання обсягом 8-го класу. Але й старшокласникам теж можна...)

1. Обчислити значення tgА, якщо ctgА = 0,4.

2. β - кут у прямокутному трикутнику. Знайти значення tgβ, якщо sinβ = 12/13.

3. Визначити синус гострого кута х, якщо tgх = 4/3.

4. Знайти значення виразу:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Знайти значення виразу:

(1-cosx)(1+cosx), якщо sinx = 0,3

Відповіді (через точку з комою, безладно):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Вийшло? Чудово! Восьмикласники можуть вже пройти за своїми п'ятірками.)

Чи не все вийшло? Завдання 2 та 3 якось не дуже...? Не біда! Є один гарний прийом для таких завдань. Все вирішується практично взагалі без формул! Ну і, отже, без помилок. Цей прийом в уроці: "Зв'язок між тригонометричними функціями одного кута" у Розділі 555 описаний. Там же розібрано й решту завдань.

Це були завдання типу ЄДІ, але у урізаному варіанті. ЄДІ – лайт). А зараз майже такі ж завдання, але у повноцінному єгешному вигляді. Для обтяжених знаннями старшокласників.)

6. Знайти значення tgβ, якщо sinβ = 12/13, а

7. Визначити sinх, якщо tgх = 4/3, а х належить інтервалу (-540 °; - 450 °).

8. Знайти значення виразу sinβ·cosβ, якщо ctgβ = 1.

Відповіді (безладно):

0,8; 0,5; -2,4.

Тут у задачі 6 кут заданий якось не дуже однозначно... А в задачі 8 взагалі не заданий! Це спеціально). Додаткова інформація не тільки із завдання береться, а й із голови.) Зате вже якщо вирішили – одне вірне завдання гарантоване!

А як не вирішили? Гм... Ну, тут Розділ 555 допоможе. Там розв'язання всіх цих завдань докладно розписано, важко не розібратися.

У цьому вся уроці дано дуже обмежене поняття тригонометричних функцій. У межах 8 класу. А у старших залишаються питання...

Наприклад, якщо кут х(Дивіться другу картинку на цій сторінці) - зробити тупим!? Трикутник взагалі розвалиться! І як бути? Ні катета не буде, ні гіпотенузи... Зник синус...

Якби давні люди не знайшли вихід із цього становища, не було б у нас зараз ні мобільних телефонів, ні TV, ні електрики. Так Так! Теоретична основа всіх цих речей без тригонометричних функцій – нуль без палички. Але давні люди не підвели. Як вони викрутилися – у наступному уроці.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Якщо побудувати одиничне коло з центром на початку координат, і задати довільне значення аргументу x 0і відрахувати від осі Oxкут x 0, то цьому кутку на одиничному колі відповідає деяка точка A(Рис. 1) а її проекцією на вісь Охбуде точка М. Довжина відрізка ОМдорівнює абсолютній величині абсциси точки A. Даному значенню аргументу x 0зіставлено значення функції y= cos x 0 як абсциси точки А. Відповідно точка У(x 0 ;у 0) належить графіку функції у= cos х(Рис. 2). Якщо точка Азнаходиться праворуч від осі Оу, токосинус буде позитивним, якщо ж лівіше – негативний. Але в будь-якому випадку крапка Ане може залишити коло. Тому косинус лежить у межах від -1 до 1:

-1 = cos x = 1.

Додатковий поворот на будь-який кут. p, повертає точку Aте саме місце. Тому функція у = cos xp:

cos ( x+ 2p) = cos x.

Якщо взяти два значення аргументу, рівні за абсолютною величиною, але протилежні за знаком, xі – x, знайти на колі відповідні точки A xі А -x. Як бачимо на рис. 3 їхньою проекцією на вісь Охє одна й та сама точка М. Тому

cos (– x) = cos ( x),

тобто. косинус – парна функція, f(–x) = f(x).

Отже, можна досліджувати властивості функції y= cos хна відрізку , а потім врахувати її парність та періодичність.

При х= 0 точка Алежить на осі Ох, її абсцис дорівнює 1, а тому cos 0 = 1. Зі збільшенням хкрапка Апересувається по колу вгору і вліво, її проекція, природно, тільки вліво, і за х = p/2 косинус стає рівним 0. Точка Aв цей момент піднімається на максимальну висоту, а потім продовжує рухатись вліво, але вже знижуючись. Її абсцисса все зменшується, поки досягне найменшого значення, рівного –1 при х= p. Таким чином, на відрізку функція у= cos хмонотонно зменшується від 1 до –1 (рис. 4, 5).

З парності косинуса слід, що у відрізку [– p, 0] функція монотонно зростає від -1 до 1, приймаючи нульове значення при х =–p/2. Якщо взяти кілька періодів, вийде хвилеподібна крива (рис. 6).

Отже, функція y= cos xнабуває нульових значень у точках х= p/2 + kp, де k –будь-яке ціле число. Максимуми, рівні 1, досягаються в точках х= 2kp, тобто. з кроком 2 p, а мінімуми, рівні –1, у точках х= p + 2kp.

Функція y = sin x.

На одиничному колі кутку x 0 відповідає точка А(рис. 7), а її проекцією на вісь Оубуде точка N.Знавчання функції у 0 = sin x 0визначається як ордината точки А. Крапка У(кут x 0 ,у 0) належить графіку функції y= sin x(Рис. 8). Зрозуміло, що функція y = sin xперіодична, її період дорівнює 2 p:

sin ( x+ 2p) = sin ( x).

Для двох значень аргументу, хі – , проекції відповідних їм точок А xі А -xна вісь Оурозташовані симетрично щодо точки Про. Тому

sin (– x) = -sin ( x),

тобто. синус - функція непарна, f(- x) = -f ( x) (Рис. 9).

Якщо точку Aповернути щодо точки Прона кут p/2 проти годинникової стрілки (іншими словами, якщо кут хзбільшити на p/2), то її ордината в новому становищі дорівнюватиме абсцисі в старому. А значить,

sin ( x+ p/2) = cos x.

Інакше, синус – це косинус, що «запізнився» на p/2, оскільки будь-яке значення косинуса «повториться» у синусі, коли аргумент зросте на p/2. І щоб побудувати графік синуса, достатньо зрушити графік косинуса на p/2 праворуч (рис. 10). Надзвичайно важлива властивість синуса виражається рівністю

Геометричний сенс рівності видно з рис. 11. Тут х –це половина дуги АВ, а sin х –половина відповідної хорди. Очевидно, що зі зближенням точок Аі УДовжина хорди дедалі точніше наближається до довжини дуги. З того ж малюнку нескладно отримати нерівність

|sin x| x|, вірне за будь-якого х.

Формулу (*) математики називають чудовою межею. З неї, зокрема, випливає, що sin х» хпри малих х.

Функції у= tg х, у= ctg х. Дві інші тригонометричні функції - тангенс і котангенс найпростіше визначити як відносини вже відомих нам синуса та косинуса:

Як синус та косинус, тангенс та котангенс – функції періодичні, але їх періоди рівні p, тобто. вони вдвічі менше, ніж у синуса та косинуса. Причина цього зрозуміла: якщо синус і косинус обоє змінять знаки, їх відношення не зміниться.

Оскільки в знаменнику тангенсу знаходиться косинус, то тангенс не визначений у тих точках, де косинус дорівнює 0, коли х= p/2 + kp. В усіх інших точках він монотонно зростає. Прямі х= p/2 + kpдля тангенсу є вертикальними асимптотами. У точках kpтангенс та кутовий коефіцієнт становлять 0 і 1 відповідно (рис. 12).

Котангенс не визначено там, де синус дорівнює 0 (коли х = kp). В інших точках він монотонно зменшується, а прямі х = kp – його вертикальні асимптоти. У точках х = p/2 + kpкотангенс звертається до 0, а кутовий коефіцієнт у цих точках дорівнює –1 (рис. 13).

Парність та періодичність.

Функція називається парною, якщо f(–x) = f(x). Функції косинус та секанс – парні, а синус, тангенс, котангенс та косеканс – функції непарні:

Властивості парності випливають із симетричності точок P a і Р- a (рис. 14) щодо осі х. За такої симетрії ордината точки змінює знак (( х;у) переходить у ( х; -У)). Усі функції – періодичні, синус, косинус, секанс та косеканс мають період 2 p, а тангенс та котангенс – p:

Періодичність синуса та косинуса випливає з того, що всі точки P a + 2 kp, де k= 0, ±1, ±2,…, збігаються, а періодичність тангенсу та котангенсу – з того, що точки P a + kpпо черзі потрапляють у дві діаметрально протилежні точки кола, що дають ту саму точку на осі тангенсів.

Основні властивості тригонометричних функцій можуть бути зведені до таблиці:

Формули наведення.

За цими формулами значення тригонометричної функції аргументу a де p/2 a p можна привести до значення функції аргументу a , де 0 a p /2, як тієї ж, так і додаткової до неї.

Аргумент b	- a	+ a	p- a	p+ a	+ a	+ a	2p- a
sin b	cos a	cos a	sin a	-sin a	-cos a	-cos a	-sin a
cos b	sin a	-sin a	-cos a	-cos a	-sin a	sin a	cos a

Тому в таблицях тригонометричних функцій даються значення лише для гострих кутів, причому достатньо обмежитися, наприклад, синусом та тангенсом. У таблиці дано лише найбільш уживані формули для синуса та косинуса. З них легко отримати формули для тангенсу та котангенсу. При наведенні функції від аргументу виду kp/2 ± a де k– ціле число, до функції аргументу a :

1) назва функції зберігається, якщо kпарне і змінюється на «додаткове», якщо kнепарне;

2) знак у правій частині збігається зі знаком наведеної функції у точці kp/2 ± a якщо кут a гострий.

Наприклад, при наведенні ctg (a – p/2) переконуємося, що a – p/2 при 0 a p /2 лежить у четвертому квадранті, де котангенс негативний, і, за правилом 1, змінюємо назву функції: ctg (a – p/2) = -tg a.

Формули додавання.

Формули кратних кутів.

Ці формули виводяться прямо з формул додавання:

sin 2a = 2 sin a cos a;

cos 2a = cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a;

sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a;

cos 3a = 4 cos 3 a - 3 cos a;

Формулу для cos 3a використовував Франсуа Вієт при вирішенні кубічного рівняння. Він же вперше знайшов вираз для cos n a і sin n a , які пізніше були отримані більш простим шляхом формули Муавра.

Якщо формулах подвійного аргументу замінити a на a /2, їх можна перетворити на формули половинних кутів:

Формули універсальної підстановки.

Використовуючи ці формули, вираз, що включає різні тригонометричні функції від одного і того ж аргументу, можна переписати як раціональний вираз від однієї функції tg (a /2), це корисно при вирішенні деяких рівнянь:

Формули перетворення сум на твори та творів на суми.

До появи комп'ютерів ці формули використовувалися спрощення обчислень. Розрахунки проводилися з допомогою логарифмічних таблиць, і потім – логарифмічної лінійки, т.к. логарифми найкраще пристосовані для множення чисел, тому всі вихідні вирази призводили до вигляду, зручному логарифмування, тобто. до творів, наприклад:

2 sin a sin b = cos ( a – b) - cos ( a + b);

2 cos a cos b= cos ( a – b) + cos ( a + b);

2 sin a cos b= sin ( a – b) + sin ( a + b).

Формули для функцій тангенсу та котангенсу можна отримати з вищенаведених.

Формули зниження ступеня.

З формул кратного аргументу виводяться формули:

За допомогою цих формул тригонометричні рівняння можна приводити до рівнянь нижчих ступенів. Так само можна вивести і формули зниження для вищих ступенів синуса і косинуса.

Кожна тригонометрична функція у кожній точці своєї області визначення безперервна і нескінченно диференційована. Причому і похідні тригонометричних функцій є тригонометричними функціями, а при інтегруванні виходять також тригонометричні функції або їх логарифми. Інтеграли від раціональних комбінацій тригонометричних функцій є елементарними функціями.

Подання тригонометричних функцій у вигляді статечних рядів та нескінченних творів.

Всі тригонометричні функції допускають розкладання в статечні ряди. При цьому функції sin x b cos xвидаються рядами. що сходяться для всіх значень x:

Ці ряди можна використовувати для отримання наближених виразів sin xта cos xпри малих значеннях x:

за | x| p/2;

за 0 x| p

(B n – числа Бернуллі).

Функції sin xта cos xможуть бути представлені у вигляді нескінченних творів:

Тригонометрична система 1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, ¼, cos nx, sin nx, ¼, утворює на відрізку [– p, p] Ортогональну систему функцій, що дає можливість представлення функцій у вигляді тригонометричних рядів.

визначаються як аналітичні продовження відповідних тригонометричних функцій дійсного аргументу комплексну площину. Так, sin zта cos zможуть бути визначені за допомогою рядів для sin xта cos x, якщо замість xпоставити z:

Ці ряди сходяться по всій площині, тому sin zта cos z- Цілі функції.

Тангенс та котангенс визначаються формулами:

Функції tg zта ctg z- Мероморфні функції. Полюси tg zта sec z- Прості (1-го порядку) і знаходяться в точках z = p/2 + p n,полюси ctg zта cosec z– також прості та знаходяться у точках z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Усі формули, справедливі для тригонометричних функцій дійсного аргументу, справедливі й у комплексного. Зокрема,

sin (– z) = -sin z,

cos (– z) = cos z,

tg (- z) = -tg z,

ctg (- z) = -ctg z,

тобто. парність та непарність зберігаються. Зберігаються і формули

sin ( z + 2p) = sin z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

тобто. періодичність також зберігається, причому періоди такі самі, як і для функцій дійсного аргументу.

Тригонометричні функції можуть бути виражені через показову функцію від суто уявного аргументу:

Назад, e izвиражається через cos zі sin zза формулою:

e iz= cos z + i sin z

Ці формули звуться формул Ейлера. Леонард Ейлер вивів їх у 1743 році.

Тригонометричні функції також можна виразити через гіперболічні функції:

z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = -i th iz.

де sh, ch та th – гіперболічні синус, косинус та тангенс.

Тригонометричні функції комплексного аргументу z = x + iy, де xі y– дійсні числа, можна виразити через тригонометричні та гіперболічні функції дійсних аргументів, наприклад:

sin ( x + iy) = sin x ch y + i cos x sh y;

cos ( x + iy) = cos x ch y + i sin x sh y.

Синус і косинус комплексного аргументу можуть набувати дійсних значень, що перевищують 1 за абсолютною величиною. Наприклад:

Якщо невідомий кут входить у рівняння як аргумент тригонометричних функцій, то рівняння називається тригонометричним. Такі рівняння настільки часто зустрічаються, що їх методи рішення дуже докладно та ретельно розроблені. Здопомогою різних прийомів і формул тригонометричні рівняння зводять до рівнянь виду f(x)= a, де f- Якась із найпростіших тригонометричних функцій: синус, косинус, тангенс або котангенс. Потім виражають аргумент xцієї функції через її відоме значення а.

Оскільки тригонометричні функції періодичні, тому самому аз області значень відповідає нескінченно багато значень аргументу, і рішення рівняння не можна записати у вигляді однієї функції від а. Тому в області визначення кожної з основних тригонометричних функцій виділяють ділянку, на якій вона набуває всіх своїх значень, причому кожне тільки один раз, і знаходять функцію, зворотну їй на цій ділянці. Такі функції позначають, приписуючи приставку АГС (дуга) до назви вихідної функції, і називають зворотними тригонометричними функціями чи просто аркфункціями.

Зворотні тригонометричні функції.

Для sin х, cos х, tg хта ctg хможна визначити обернені функції. Вони позначаються відповідно arcsin х(читається «арксинус x»), arcos x, arctg xта arcctg x. За визначенням, arcsin хє така кількість у,що

sin у = х.

Аналогічно для інших зворотних тригонометричних функцій. Але таке визначення страждає на деяку неточність.

Якщо відобразити sin х, cos х, tg хта ctg хщодо бісектриси першого і третього квадрантів координатної площини, то функції через їх періодичність стають неоднозначними: одному й тому синусу (косинусу, тангенсу, котангенсу) відповідає нескінченна кількість кутів.

Щоб позбутися неоднозначності, з графіка кожної тригонометричної функції виділяється ділянка кривої шириною p, при цьому потрібно, щоб між аргументом та значенням функції дотримувалося взаємно однозначне відповідність. Вибираються ділянки біля початку координат. Для синуса в як «інтервал взаємної однозначності» береться відрізок [– p/2, p/2], на якому синус монотонно зростає від –1 до 1, для косинуса – відрізок , для тангенсу та котангенсу відповідно інтервали (– p/2, p/2) та (0, p). Кожна крива на інтервалі відбивається щодо бісектриси і тепер можна визначити зворотні тригонометричні функції. Наприклад, нехай задано значення аргументу x 0таке, що 0 Ј x 0 Ј 1. Тоді значенням функції y 0 = arcsin x 0 буде єдине значення у 0 , таке, що – p/2 Ј у 0 Ј p/2 і x 0 = sin y 0 .

Таким чином, арксинус – це функція агсsin а, визначена на відрізку [–1, 1] і дорівнює кожному атакому значенню a , – p/2 a p /2, що sin a = а.Її дуже зручно представляти за допомогою одиничного кола (рис. 15). При | а| 1 на колі є дві точки з ординатою a, симетричні щодо осі у.Однією з них відповідає кут a= arcsin а, а інший – кут p – а. Зврахуванням періодичності синуса рішення рівняння sin x= азаписується наступним чином:

х =(–1)n arcsin a + 2p n,

де n= 0, ±1, ±2,...

Також вирішуються інші найпростіші тригонометричні рівняння:

cos x = a, –1 =a= 1;

x =±arcos a + 2p n,

де п= 0, ±1, ±2,... (рис. 16);

tg х = a;

x= arctg a + p n,

де п = 0, ±1, ±2,... (рис. 17);

ctg х= а;

х= arcctg a + p n,

де п = 0, ±1, ±2,... (рис. 18).

Основні властивості зворотних тригонометричних функцій:

arcsin х(Рис. 19): область визначення - відрізок [-1, 1]; область значень – [– p/2, p/2], монотонно зростаюча функція;

arccos х(рис. 20): область визначення - відрізок [-1, 1]; область значень -; монотонно спадаюча функція;

arctg х(Рис. 21): область визначення - всі дійсні числа; область значень – інтервал (– p/2, p/2); монотонно зростаюча функція; прямі у= –p/2 і у = p /2 -горизонтальні асимптоти;

arcctg х(Мал. 22): область визначення - всі дійсні числа; область значень – інтервал (0, p); монотонно спадаюча функція; прямі y= 0 і у = p- Горизонтальні асимптоти.

Для будь-кого z = x + iy, де xі y– дійсні числа, що мають місце нерівності

½| e\e y–e -y| ≤|sin z|≤½( e y +e-y),

½| e y–e -y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

з яких при y® Ґ витікають асимптотичні формули (рівномірно відносно x)

|sin z| » 1/2 e |y| ,

|cos z| » 1/2 e |y| .

Тригонометричні функції виникли вперше у зв'язку з дослідженнями в астрономії та геометрії. Співвідношення відрізків у трикутнику та кола, що є по суті тригонометричними функціями, зустрічаються вже у 3 ст. до зв. е. у роботах математиків Стародавньої Греції – Евкліда , Архімеда , Аполлонія Пергського та інших, проте ці співвідношення були самостійним об'єктом дослідження, отже тригонометричні функції як такі ними не вивчалися. Вони розглядалися спочатку як відрізки і в такій формі застосовувалися Аристархом (кінець 4 – 2-а половина 3 ст. до н. е.), Гіппархом (2 ст. до н. е.), Менелаєм (1 ст. н. е.). ) і Птолемеєм (2 ст н. е.) при вирішенні сферичних трикутників. Птолемей склав першу таблицю хорд для гострих кутів через 30" з точністю до 10 -6. Це була перша таблиця синусів. Як відношення функція sin a зустрічається вже у Аріабхати (кінець 5 ст.). Функції tg a і ctg a зустрічаються у аль- Баттані (2-я половина 9 – початок 10 ст.) та Абуль-Вефа (10 ст.), який вживає також sec a та cosec a. Аріабхата знав уже формулу (sin 2 a + cos 2 a ) = 1, а також формули sin та cos половинного кута, за допомогою яких побудував таблиці синусів для кутів через 3°45"; виходячи з відомих значень тригонометричних функцій найпростіших аргументів. Бхаскара (12 ст) дав спосіб побудови таблиць через 1 за допомогою формул додавання. Формули перетворення суми та різниці тригонометричних функцій різних аргументів у твір виводилися Регіомонтаном (15 ст.) та Дж. Непером у зв'язку з винаходом останнім логарифмом (1614). Регіомонтан дав таблицю значень синуса через 1". Розкладання тригонометричних функцій у статечні ряди отримано І.Ньютоном (1669). У сучасну форму теорію тригонометричних функцій навів Л.Ейлер (18 ст.). Йому належать їх визначення для дійсного та комплексного аргументів, прийнята нині символіка, встановлення зв'язку з показовою функцією та ортогональністю системи синусів та косинусів.

Тригонометричні функції є елементарними функціями, аргументом яких є кут. За допомогою тригонометричних функцій описуються співвідношення між сторонами та гострими кутами в прямокутному трикутнику. Області застосування тригонометричних функцій надзвичайно різноманітні. Так, наприклад, будь-які періодичні процеси можна подати у вигляді суми тригонометричних функцій (). Дані функції часто з'являються під час вирішення та функціональних рівнянь.

До тригонометричних функцій відносяться такі 6 функцій: синус , косинус , тангенс , котангенс , секансі косеканс. Для кожної із зазначених функцій існує зворотна тригонометрична функція .

Геометричне визначення тригонометричних функцій зручно ввести за допомогою одиничного кола . На наведеному нижче малюнку зображено коло радіусом (r = 1). На колі позначено точку \(M\left((x,y) \right)\). Кут між радіус-вектором \(OM\) і позитивним напрямом осі \(Ox\) дорівнює \(\alpha\).

Синусомкута \(\alpha\) називається відношення ординати \(y\) точки \(M\left((x,y) \right)\) до радіусу \(r\):
\(\sin \alpha = y/r\).
Оскільки \(r = 1\), то синус дорівнює ординаті точки \(M\left((x,y) \right)\).

Косинусомкута \(\alpha\) називається відношення абсциси \(x\) точки \(M\left((x,y) \right)\) до радіусу \(r\):
\(\cos \alpha = x/r\)


Тангенсомкута \(\alpha\) називається відношення ординати \(y\) точки \(M\left((x,y) \right)\) до ee абсцисі \(x\):
\(\tan \alpha = y/x,\;\;x \ne 0\)


Котангенсом кута \(\alpha\) називається відношення абсциси \(x\) точки \(M\left((x,y) \right)\) до її ординати \(y\):
\(\cot \alpha = x/y,\;\;y \ne 0\)


Секанскута \(\alpha\) − це відношення радіусу \(r\) до абсциси \(x\) точки \(M\left((x,y) \right)\):
\(\sec \alpha = r/x = 1/x,\;\;x \ne 0\)


Косеканскута \(\alpha\) − це відношення радіусу \(r\) до ординати \(y\) точки \(M\left((x,y) \right)\):
\(\csc \alpha = r/y = 1/y,\;\;y \ne 0\)


У одиничному колі проекції \(x\), \(y\) точки \(M\left((x,y) \right)\) і радіус \(r\) утворюють прямокутний трикутник, у якому \(x,y \) є катетами, а \(r\) - гіпотенузою. Тому наведені вище визначення тригонометричних функцій у додатку до прямокутного трикутника формулюються таким чином:
Синусомкута (alpha) називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.
Косинусомкута (alpha) називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
Тангенсомкута \(\alpha\) називається протилежного катета до прилеглого.
Котангенсом кута \(\alpha\) називається прилеглого катета до протилежного.
Секанскута (alpha) являє собою відношення гіпотенузи до прилеглого катету.
Косеканскута (alpha) являє собою відношення гіпотенузи до протилежного катету.


Графік функції синус
\(y = \sin x\), область визначення: \(x \in \mathbb(R)\), область значень: \(-1 \le \sin x \le 1\)




Графік функції косинус
\(y = \cos x\), область визначення: \(x \in \mathbb(R)\), область значень: \(-1 \le \cos x \le 1\)