Як підрахувати середнє. Середньозважене значення - що це і як його обчислити

Середня величина- це узагальнюючий показник, який характеризує якісно однорідну сукупність за певною кількісною ознакою. Наприклад, середній вік осіб, засуджених за крадіжку.

У судовій статистиці середні величини використовують для характеристики:

Середніх термінів розгляду справ цієї категорії;

Середній розмір позову;

Середньої кількості відповідачів, що припадають одну справу;

Середній розмір шкоди;

Середнє навантаження суддів, та ін.

Середня величина завжди іменована і має ту ж розмірність, що і ознака в окремої одиниці сукупності. Кожна середня величина характеризує досліджувану сукупність за якою-небудь однією ознакою, що варіює, тому за всякою середньою ховається ряд розподілу одиниць цієї сукупності за досліджуваною ознакою. Вибір виду середньої визначається змістом показника та вихідних даних для розрахунку середньої величини.

Усі види середніх величин, які у статистичних дослідженнях, поділяються на дві категорії:

1) статечні середні;

2) структурні середні.

Перша категорія середніх величин включає: середню арифметичну, середню гармонійну, середню геометричну і середню квадратичну . Друга категорія – це модаі медіана. При цьому кожен із перерахованих видів статечних середніх величин може мати дві форми: просту і зважену . Проста форма середньої величини використовується для отримання середнього значення ознаки, що вивчається, коли розрахунок здійснюється за несгрупованими статистичними даними, або коли кожна варіанта в сукупності зустрічається тільки один раз. Зваженими середніми називають величини, які враховують, що варіанти значень ознаки можуть мати різну чисельність, у зв'язку з чим кожен варіант доводиться множити на відповідну частоту. Іншими словами, кожен варіант зважують за своєю частотою. Частоту називають статистичною вагою.

Середня арифметична проста- Найпоширеніший вид середньої. Вона дорівнює сумі окремих значень ознаки, поділеної на загальну кількість цих значень:

де x 1, x 2, …, x N- Індивідуальні значення варіює ознаки (варіанти), а N - число одиниць сукупності.

Середня арифметична зваженазастосовується у тих випадках, коли дані представлені у вигляді рядів розподілу чи угруповань. Вона обчислюється як сума творів варіантів відповідні їм частоти, поділена у сумі частот всіх варіантів:

де x i- значення i-і варіанти ознаки; f i- Частота i-й варіанти.

Таким чином, кожне значення варіанти зважується за частотою, тому частоти іноді називають статистичними вагами.

Зауваження.Коли йдеться про середню арифметичну величину без зазначення її виду, мається на увазі середня арифметична проста.

Таблиця 12

Рішення.Для розрахунку використовуємо формулу середньої арифметичної зваженої:

Таким чином, у середньому на одну кримінальну справу припадає двоє обвинувачених.

Якщо обчислення середньої величини проводять за даними, згрупованими у вигляді інтервальних рядів розподілу, то спочатку треба визначити серединні значення кожного інтервалу х" i , після чого розрахувати середню величину за формулою середньої арифметичної зваженої, яку замість x i підставляють х" i .

приклад.Дані про вік злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, наведено в таблиці:

Таблиця 13

Визначити середній вік злочинців, засуджених за вчинення крадіжки.

Рішення.Щоб визначити середній вік злочинців з урахуванням інтервального варіаційного ряду необхідно спочатку знайти серединні значення інтервалів. Так як дано інтервальний ряд з відкритими першим та останнім інтервалами, то величини цих інтервалів приймаються рівними величинам суміжних закритих інтервалів. У разі величина першого і останнього інтервалів дорівнюють 10.

Тепер знаходимо середній вік злочинців за формулою середньої арифметичної зваженої:

Таким чином, середній вік злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, приблизно дорівнює 27 років.

Середня гармонійна проста являє собою величину, обернену до середньої арифметичної зі зворотних значень ознаки:

де 1/ x i- Зворотні значення варіантів, а N - число одиниць сукупності.

приклад.Для визначення середнього річного навантаження на суддів районного суду під час розгляду справ провели обстеження навантаження 5 суддів цього суду. Середні витрати часу на одну кримінальну справу для кожного з обстежених суддів виявились рівними (у днях): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Знайти середні витрати на одну кримінальну справу та середнє річне навантаження на суддів цього районного суду під час розгляду кримінальних справ.

Рішення.Для визначення середніх витрат часу на одну кримінальну справу, скористаємося формулою середньої гармонійної простий:

Для спрощення розрахунків у прикладі візьмемо число днів у році рівним 365, включаючи вихідні (це не впливає на методику розрахунку, а при обчисленні аналогічного показника на практиці необхідно замість 365 днів підставити кількість робочих днів у конкретному році). Тоді середнє річне навантаження на суддів даного районного суду при розгляді кримінальних справ становитиме: 365(днів): 5,56 ≈ 65,6 (справ).

Якби ми для визначення середніх витрат часу на одну кримінальну справу, скористалися б формулою середньої арифметичної простої, то отримали б:

365 (днів): 5,64 ≈ 64,7 (справи), тобто. середнє навантаження на суддів виявилося меншим.

Перевіримо обґрунтованість такого підходу. Для цього скористаємося даними про витрати часу на одну кримінальну справу для кожного судді та розрахуємо кількість кримінальних, розглянутих кожним із них за рік.

Отримаємо відповідно:

365(днів) : 6 ≈ 61 (справа), 365(днів) : 5,6 ≈ 65,2 (справ), 365(днів) : 6,3 ≈ 58 (справ),

365(днів) : 4,9 ≈ 74,5 (справи), 365(днів) : 5,4 ≈ 68 (справ).

Наразі обчислимо середнє річне навантаження на суддів даного районного суду при розгляді кримінальних справ:

Тобто. середнє річне навантаження таке ж, як і при використанні середньої гармонійної.

Отже, використання середньої арифметичної у разі неправомірно.

У тих випадках, коли відомі варіанти ознаки, їх об'ємні значення (твір варіанти на частоту), але невідомі самі частоти, застосовується формула середньої зваженої гармонійної:

де x i- значення варіантів ознаки, а w i - об'ємні значення варіантів ( w i = x i · f i).

приклад.Дані про ціну одиниці однотипного товару, виробленого різними установами кримінально-виконавчої системи, та обсяги його реалізації наведено у таблиці 14.

Таблиця 14

Знайти середню ціну реалізації товару.

Рішення.При розрахунку середньої ціни ми маємо користуватися ставленням суми реалізації до кількості реалізованих одиниць. Нам невідомо кількість реалізованих одиниць, але відомі суми реалізації товарів. Тому для знаходження середньої ціни реалізованих товарів скористаємося формулою середньої гармонійної виваженої. Отримуємо

Якщо тут використовувати формулу середньої арифметичної, можна отримати середню ціну, яка буде нереальна:

Середня геометричнаобчислюється вилученням кореня ступеня N з добутку всіх значень варіантів ознаки:

де x 1, x 2, …, x N- індивідуальні значення варіюючої ознаки (варіанти), а

N- Число одиниць сукупності.

Цей вид середньої використовується обчислення середніх показників зростання рядів динаміки.

Середня квадратичназастосовується для розрахунку середньоквадратичного відхилення, що є показником варіації, та буде розглянуто нижче.

Для визначення структури сукупності використовують спеціальні середні показники, до яких належать медіана і мода , або звані структурні середні. Якщо середня арифметична розраховується з урахуванням використання всіх варіантів значень ознаки, то медіана і мода характеризують величину того варіанта, який займає певне середнє становище ранжированном (упорядкованому) ряду. Упорядкування одиниць статистичної сукупності може бути проведено за зростанням або зменшенням варіантів досліджуваної ознаки.

Медіана (Ме)- це величина, яка відповідає варіанту, що знаходиться в середині ранжованого ряду. Таким чином, медіана - це той варіант ранжованого ряду, по обидва боки від якого в цьому ряду має бути однакова кількість одиниць сукупності.

Для знаходження медіани спочатку необхідно визначити її порядковий номер у ранжованому ряду за формулою:

де N - обсяг ряду (кількість одиниць сукупності).

Якщо ряд складається з непарного числа членів, то медіана дорівнює варіанті номером N Me . Якщо ряд складається з парного числа членів, то медіана визначається як середнє арифметичне двох суміжних варіант, розташованих у середині.

приклад.Даний ранжований ряд 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Обсяг ряду N = 9, отже N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Отже, Ме = 6, тобто . п'ятий варіант. Якщо дано ряд 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, тобто. ряд з парною кількістю членів (N = 8), то N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Отже медіана дорівнює напівсумі четвертої і п'ятої варіант, тобто. Ме = (9 + 11)/2 = 10.

У дискретному варіаційному ряду медіану визначають за накопиченими частотами. Частоти варіант, починаючи з першої, підсумовуються до тих пір, поки не буде перевищено номер медіани. Значення останньої підсумованої варіанти буде медіаною.

приклад.Знайти медіану числа обвинувачених, які припадають однією кримінальну справу, використовуючи дані таблиці 12.

Рішення.У разі обсяг варіаційного ряду N = 154, отже, N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Підсумувавши частоти першої та другої варіанти, отримаємо: 75 + 43 = 118, тобто. ми перевершили номер медіани. Значить Ме = 2.

В інтервальному варіаційному ряду розподілу спочатку вказують інтервал, у якому буде медіана. Його називають медіанним . Це перший інтервал, накопичена частота якого перевищує половину обсягу інтервального варіаційного ряду. Потім чисельне значення медіани визначається за такою формулою:

де x Ме- нижня межа медіанного інтервалу; i – величина медіанного інтервалу; S Ме-1- накопичена частота інтервалу, що передує медіанному; f Ме- Частота медіанного інтервалу.

приклад.Знайти медіану віку злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, з урахуванням статистичних даних, поданих у таблиці 13.

Рішення.Статистичні дані представлені інтервальним варіаційним рядом, отже спочатку визначимо медіанний інтервал. Обсяг сукупності N = 162, отже, медіанним інтервалом є 18-28, т.к. це перший інтервал, накопичена частота якого (15 + 90 = 105) перевищує половину обсягу (162: 2 = 81) інтервального варіаційного ряду. Тепер чисельне значення медіани визначаємо за наведеною вище формулою:

Таким чином, половина засуджених за скоєння крадіжки молодше 25 років.

Модою (Мо)називають значення ознаки, що найчастіше зустрічається в одиниць сукупності. До моди вдаються виявлення величини ознаки, що має найбільшого поширення. Для дискретного ряду модою буде варіант із найбільшою частотою. Наприклад, для дискретного ряду, поданого в таблиці 3 Мо= 1, оскільки цього значення варіанти відповідає найбільша частота - 75. Для визначення моди інтервального ряду спочатку визначають модальний інтервал (інтервал, що має найбільшу частоту). Потім у межах цього інтервалу знаходять значення ознаки, яке може бути модою.

Його значення знаходять за такою формулою:

де x Mo- нижня межа модального інтервалу; i – величина модального інтервалу; f Мо- Частота модального інтервалу; f Мо-1- частота інтервалу, що передує модальному; f Мо+1- Частота інтервалу, наступного за модальним.

приклад.Знайти моду віку злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, дані про які представлені в таблиці 13.

Рішення.Найбільша частота відповідає інтервалу 18-28, отже, мода повинна бути в цьому іртервалі. Її величину визначаємо за наведеною вище формулою:

Таким чином, найбільше злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, має вік 24 роки.

Середня величина дає узагальнюючу характеристику всієї сукупності явища, що вивчається. Однак дві сукупності, що мають однакові середні значення, можуть значно відрізнятися один від одного за рівнем коливання (варіації) величини ознаки, що вивчається. Наприклад, в одному суді були призначені такі строки позбавлення волі: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 років, а в іншому – 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7 8, 8, 8 років. В обох випадках середня арифметична дорівнює 67 років. Однак ці сукупності суттєво різняться між собою розкидом індивідуальних значень призначеного терміну позбавлення волі щодо середнього значення.

І першого суду, де цей розкид досить великий, середня величина терміну позбавлення волі погано відбиває всю сукупність. Таким чином, якщо індивідуальні значення ознаки мало відрізняються один від одного, то середня арифметична буде досить показовою характеристикою властивостей цієї сукупності. В іншому випадку середня арифметична буде ненадійною характеристикою цієї сукупності та застосування її на практиці малоефективне. Тому необхідно враховувати варіацію значень ознаки, що вивчається.

Варіація- це відмінності в значеннях будь-якої ознаки у різних одиниць даної сукупності в той самий період або момент часу. Термін «варіація» має латинське походження – variatio, що означає відмінність, зміну, коливання. Вона виникає внаслідок того, що індивідуальні значення ознаки складаються під сукупним впливом різноманітних факторів (умов), які по-різному поєднуються у кожному окремому випадку. Для вимірювання варіації ознаки застосовуються різні абсолютні та відносні показники.

До основних показників варіації належать такі:

1) розмах варіації;

2) середнє лінійне відхилення;

3) дисперсія;

4) середнє квадратичне відхилення;

5) коефіцієнт варіації.

Стисло зупинимося на кожному з них.

Розмах варіації R найдоступніший за простотою розрахунку абсолютний показник, який визначається як різницю між найбільшим і найменшим значеннями ознаки у одиниць даної сукупності:

Розмах варіації (розмах коливань) - важливий показник коливання ознаки, але він дає можливість побачити лише крайні відхилення, що обмежує сферу його застосування. Для більш точної характеристики варіації ознаки з урахуванням урахування його коливання використовуються інші показники.

Середнє лінійне відхиленняє середнім арифметичним з абсолютних значень відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої і визначається за формулами:

1) для несгрупованих даних

2) для варіаційного ряду

Однак найбільш широко застосовуваним показником варіації є дисперсія . Вона характеризує міру розкиду значень досліджуваного ознаки щодо його середнього значення. Дисперсія визначається як середня із відхилень, зведених у квадрат.

Проста дисперсіядля не згрупованих даних:

Зважена дисперсіядля варіаційного ряду:

Зауваження.Насправді для обчислення дисперсії краще використовувати такі формулы:

Для простої дисперсії

Для зваженої дисперсії

Середнє квадратичне відхилення- це корінь квадратний із дисперсії:

Середнє квадратичне відхилення є мірилом середньої надійності. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим, однорідніше сукупність і краще середня арифметична відбиває собою всю сукупність.

Розглянуті вище заходи розсіювання (розмах варіації, дисперсія, середнє квадратичне відхилення) є абсолютними показниками, судити з яких ступінь коливання ознаки який завжди можливо. У деяких завданнях необхідно використовувати відносні показники розсіювання, одним із яких є коефіцієнт варіації.

Коефіцієнт варіації- Виражене у відсотках відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної:

Коефіцієнт варіації використовують як порівняльної оцінки варіації різних ознак чи однієї й тієї ж ознаки у різних сукупностях, але й характеристики однорідності сукупності. Статистична сукупність вважається кількісно однорідною, якщо коефіцієнт варіації вбирається у 33 % (для розподілів, близьких до нормального розподілу).

приклад.Є такі дані про терміни позбавлення волі 50 засуджених, доставлених для відбування призначеного судом покарання до виправної установи кримінально-виконавчої системи: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2, 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6, 4, 4, 3, 1 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Побудувати низку розподілу за строками позбавлення волі.

2. Знайти середнє значення, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

3. Обчислити коефіцієнт варіації та зробити висновок про однорідність чи неоднорідність досліджуваної сукупності.

Рішення.Для побудови дискретного ряду розподілу необхідно визначити варіанти та частоти. Варіанта у цій задачі - це термін позбавлення волі, а частоти - чисельність окремих варіантів. Розрахувавши частоти, отримаємо наступний дискретний ряд розподілу:

Знайдемо середнє значення та дисперсію. Оскільки статистичні дані представлені дискретним варіаційним рядом, то їх обчислення будемо використовувати формули середнього арифметичного зваженого і дисперсії. Отримаємо:

= = 4,1;

= 5,21.

Тепер обчислюємо середнє квадратичне відхилення:

Знаходимо коефіцієнт варіації:

Отже, статистична сукупність кількісно неоднорідна.

Середня величина – це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища. Він виражає величину ознаки, віднесену до одиниці сукупності.

Середня величина це:

1) найбільш типове для сукупності значення ознаки;

2) обсяг ознаки сукупності, розподілений нарівно між одиницями сукупності.

Ознака, котрій розраховується середня величина, у статистиці називається «осредняемый».

Середня завжди узагальнює кількісну варіацію ознаки, тобто. у середніх величинах погашаються індивідуальні відмінності одиниць сукупності, зумовлені випадковими обставинами. На відміну від середньої абсолютна величина, що характеризує рівень ознаки окремої одиниці сукупності, не дозволяє порівнювати значення ознаки одиниць, що відносяться до різних сукупностей. Так, якщо потрібно зіставити рівні оплати праці працівників на двох підприємствах, то не можна порівнювати за цією ознакою двох працівників різних підприємств. Оплата праці обраних порівняння працівників може бути типовою цих підприємств. Якщо ж порівнювати розміри фондів оплати праці на підприємствах, то не враховується чисельність працюючих і, отже, не можна визначити, де рівень оплати праці вищий. Зрештою порівняти можна лише середні показники, тобто. скільки загалом отримує один працівник кожному підприємстві. Таким чином, виникає необхідність розрахунку середньої величини як узагальнюючої характеристики сукупності.

Важливо, що у процесі опосередкування сукупне значення рівнів ознаки чи кінцеве його значення (у разі розрахунку середніх рівнів у ряді динаміки) має залишатися незмінним. Іншими словами, при розрахунку середньої величини обсяг досліджуваного ознаки не повинен бути спотворений, і вирази, що складаються при розрахунках середньої, обов'язково повинні мати сенс.

Обчислення середнього – один із поширених прийомів узагальнення; середній показник заперечує те загальне, що характерно (типово) всім одиниць сукупності, що вивчається, в той же час він ігнорує відмінності окремих одиниць. У кожному явищі та його розвитку має місце поєднання випадковості та необхідності. При обчисленні середніх через дію закону великих чисел випадковості взаємопогашуються, врівноважуються, тому можна абстрагуватися від несуттєвих особливостей явища, від кількісних значень ознаки у кожному даному випадку. У здатності абстрагуватися від випадковості окремих значень, коливань і полягає наукова цінність середніх як узагальнюючих показників сукупностей.

Для того, щоб середній показник був дійсно типовим, він повинен розраховуватися з урахуванням певних принципів.

Зупинимося деяких загальних принципах застосування середніх величин.

1. Середня має визначатися для сукупностей, які з якісно однорідних одиниць.

2. Середня має обчислюватися для сукупності, що складається з досить великої кількості одиниць.

3. Середня має розраховуватися для сукупності, одиниці якої перебувають у нормальному, природному стані.

4. Середня має обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника.

5.2. Види середніх та способи їх обчислення

Розглянемо тепер види середніх величин, особливості їх обчислення та сфери застосування. Середні величини поділяються на два великі класи: статечні середні, структурні середні.

До статечним середнім відносяться такі найвідоміші і найчастіше застосовувані види, як середня геометрична, середня арифметична і середня квадратична.

Як структурні середні розглядаються мода і медіана.

Зупинимося на статечних середніх. Ступінні середні в залежності від подання вихідних даних можуть бути простими та зваженими. Проста середнявважається за не згрупованими даними і має такий загальний вигляд:

де X i - варіанти (значення) ознаки, що осредняется;

n – число варіантів.

Зважена середнявважається за згрупованими даними та має загальний вигляд

де X i - варіанта (значення) ознаки, що осредняется, або серединне значення інтервалу, в якому вимірюється варіанта;

m – показник ступеня середнього;

f i - Частота, що показує, скільки разів зустрічається i-e значення ознаки, що осредняется.

Якщо розрахувати всі види середніх для тих самих вихідних даних, то значення їх виявляться неоднаковими. Тут діє правило мажорантності середніх: зі збільшенням показника ступеня m збільшується та відповідна середня величина:

У статистичній практиці частіше, ніж інші види середніх зважених, використовуються середні арифметичні та середні гармонійні зважені.

Види статечних середніх

Вигляд статечної середньої	Показник ступеня (m)	Формула розрахунку
Вигляд статечної середньої	Показник ступеня (m)	Проста	Зважена
Гармонійна
Геометрична
Арифметична
Квадратична
Кубічна

Середня гармонійна має складнішу конструкцію, ніж середня арифметична. Середню гармонійну застосовують для розрахунків тоді, коли як ваги використовуються не одиниці сукупності – носії ознаки, а твори цих одиниць на значення ознаки (тобто m = Xf). До середньої гармонійної простий слід вдаватися у випадках визначення, наприклад, середніх витрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь по двох (трьох, чотирьох і т.д.) підприємствам, робітникам, зайнятим виготовленням одного й того ж виду продукції , однієї і тієї ж деталі вироби.

Головна вимога до формули розрахунку середнього значення у тому, щоб всі етапи розрахунку мали реальне змістовне обгрунтування; отримане середнє значення має замінити індивідуальні значення ознаки кожного об'єкта без порушення зв'язку індивідуальних і зведених показників. Інакше висловлюючись, середня величина повинна обчислюватися те щоб заміні кожного індивідуального значення осредняемого показника його середньої величиною залишався без зміни деякий підсумковий зведений показник, пов'язаний у тому чи іншим чином з осредняемым. Цей підсумковий показник називається визначальним,оскільки його взаємозв'язку з індивідуальними значеннями визначає конкретну формулу розрахунку середньої величини. Покажемо це правило на прикладі середньої геометричної.

Формула середньої геометричної

використовується найчастіше при розрахунку середнього значення за індивідуальними відносними величинами динаміки.

Середня геометрична застосовується, якщо задана послідовність ланцюгових відносних величин динаміки, що вказують, наприклад, на зростання обсягу виробництва порівняно з рівнем попереднього року: i 1 i 2 i 3 ... i n . Очевидно, що обсяг виробництва в останньому році визначається початковим його рівнем (q 0) та наступним нарощуванням за роками:

q n = q 0 × i 1 × i 2 × ... × i n .

Прийнявши q n як визначальний показник і замінюючи індивідуальні значення показників динаміки середніми, приходимо до співвідношення

Звідси

Особливий вид середніх величин - структурні середні - застосовується для вивчення внутрішньої будови рядів розподілу значень ознаки, а також для оцінки середньої величини (статечного типу), якщо за наявними статистичними даними її розрахунок не може бути виконаний (наприклад, якби в розглянутому прикладі були відсутні дані і про обсяги виробництва, і про суму витрат за групами підприємств).

Як структурні середні найчастіше використовують показники моди –найбільш часто повторюваного значення ознаки - і медіани –величини ознаки, яка поділяє впорядковану послідовність його значень на дві рівні за чисельністю частини. У результаті однієї половини одиниць сукупності значення ознаки вбирається у медіанного рівня, а в інший – не менше його.

Якщо ознака, що вивчається, має дискретні значення, то особливих складнощів при розрахунку моди і медіани не буває. Якщо ж дані про значення ознаки Х представлені у вигляді впорядкованих інтервалів його зміни (інтервальних рядів), розрахунок моди та медіани дещо ускладнюється. Оскільки медіанне значення ділить всю сукупність на дві рівні за чисельністю частини, воно виявляється в одному з інтервалів ознаки X. За допомогою інтерполяції в цьому медіанному інтервалі знаходять значення медіани:

де X Me – нижня межа медіанного інтервалу;

h Me – його величина;

(Sum m)/2 – половина від загального числа спостережень або половина обсягу того показника, який використовується як зважуючий у формулах розрахунку середньої величини (в абсолютному або відносному вираженні);

S Me-1 – сума спостережень (або обсягу зважуючої ознаки), накопичена на початок медіанного інтервалу;

m Me – кількість спостережень чи обсяг зважуючого ознаки в медіанному інтервалі (також у абсолютному чи відносному вираженні).

При розрахунку модального значення ознаки за даними інтервального ряду треба звертати увагу, щоб інтервали були однаковими, оскільки від цього залежить показник повторюваності значень ознаки X. Для інтервального ряду з рівними інтервалами величина моди визначається як

де Х Mo – нижнє значення модального інтервалу;

m Mo - число спостережень або обсяг зважуючого ознаки в модальному інтервалі (в абсолютному або відносному вираженні);

m Mo-1 – те саме для інтервалу, що передує модальному;

m Mo+1 – те саме для інтервалу, наступного за модальним;

h – величина інтервалу зміни ознаки у групах.

ЗАВДАННЯ 1

Є такі дані щодо групи промислових підприємств за звітний рік

№ підприємства	Обсяг продукції, млн. руб.		Середньооблікова кількість працівників, чол.	Прибуток, тис. руб.
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Потрібно виконати угруповання підприємств з обміну продукції, прийнявши такі інтервали:

до 200 млн. руб.

від 200 до 400 млн. руб.

від 400 до 600 млн. руб.

По кожній групі та по всіх разом визначити кількість підприємств, обсяг продукції, середньооблікова кількість працівників, середній виробіток продукції на одного працівника. Результати угруповання подати у вигляді статистичної таблиці. Сформулювати висновок.

РІШЕННЯ

Зробимо угруповання підприємств з обміну продукції, розрахунок числа підприємств, обсягу продукції, середньооблікового числа працівників за формулою простої середньої. Результати угруповання та розрахунків зводимо до таблиці.

Групи за обсягом продукції	№ підприємства	Обсяг продукції, млн. руб.	Середньорічна вартість основних засобів, млн. руб.	Середньоспі соковита кількість працівників, чол.	Прибуток, тис. руб.	Середнє вироблення продукції одного працівника
1 група до 200 млн. руб.	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
			28,2	2567	74,8	0,23
Середній рівень		198,3			24,9
2 група від 200 до 400 млн. руб.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
Середній рівень		282,3	37,6	1530	64,0
3 група від 400 до 600 млн.	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
		3590	240,8	9974	846,5	0,36
Середній рівень		512,9	34,4	1421	120,9
Усього за сукупністю		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
У середньому за сукупністю		379,6	59,9	1223,6	79,5

Висновок. Таким чином, у аналізованій сукупності найбільша кількість підприємств за обсягом продукції потрапила до третьої групи – сім, або половина підприємств. Величина середньорічної вартості основних засобів також у цій групі, як і велика величина середньооблікового числа працівників - 9974 осіб, найменш прибуткові підприємства першої групи.

ЗАВДАННЯ 2

Є такі дані на підприємствах фірми

Номер підприємства, що входить у фірму	I квартал	II квартал
	Випуск продукції, тис. руб.	Відпрацьовано робітниками людино-днів	Середнє вироблення однієї робочого щодня, крб.
	59390,13

Метод середніх величин

3.1 Сутність та значення середніх величин у статистиці. Види середніх величин

Середньою величиноюу статистиці називається узагальнена характеристика якісно однорідних явищ і процесів за якою-небудь ознакою, що варіює, яка показує рівень ознаки, віднесений до одиниці сукупності. Середня величина абстрактна, т.к. характеризує значення ознаки у деякої знеособленої одиниці сукупності.Сутністьсередньої величини полягає в тому, що через одиничне та випадкове виявляється загальне та необхідне, тобто тенденція та закономірність у розвитку масових явищ. Ознаки, які узагальнюють у середніх величинах, притаманні всім одиницям сукупності. Завдяки цьому середня величина має значення для виявлення закономірностей, властивих масовим явищам і не помітних в окремих одиницях сукупності

Загальні засади застосування середніх величин:

необхідний обґрунтований вибір одиниці сукупності, на яку розраховується середня величина;

щодо середньої величини треба виходити з якісного змісту осредняемого ознаки, враховувати взаємозв'язок досліджуваних ознак, і навіть наявні до розрахунку дані;

середні величини повинні розраховуватися за якісно однорідними сукупностями, які отримують методом угруповань, що передбачає розрахунок системи узагальнюючих показників;

загальні середні мають підкріплюватися груповими середніми.

Залежно від характеру первинних даних, галузі застосування та способу розрахунку у статистиці розрізняють такі основні види середніх:

1) статечні середні(середня арифметична, гармонійна, геометрична, середня квадратична та кубічна);

2) структурні (непараметричні) середні(мода та медіана).

У статистиці правильну характеристику досліджуваної сукупності за ознакою, що варіює, в кожному окремому випадку дає тільки цілком певний вид середньої. Питання про те, який вид середньої необхідно застосувати в окремому випадку, вирішується шляхом конкретного аналізу сукупності, що вивчається, а також виходячи з принципу свідомості результатів при підсумовуванні або при зважуванні. Ці та інші принципи у статистиці виражаються теорією середніх.

Наприклад, середня арифметична і середня гармонійна використовуються для характеристики середнього значення ознаки, що варіює, у досліджуваній сукупності. Середня геометрична застосовується лише за обчисленні середніх темпів динаміки, а середня квадратична лише за обчисленні показників варіації.

Формули розрахунку середніх величин представлені у таблиці 3.1.

Таблиця 3.1 - Формули розрахунку середніх величин

Види середніх величин	Формули розрахунку
Види середніх величин	проста	зважена
1. Середня арифметична
2. Середня гармонійна
3. Середня геометрична
4. Середня квадратична

Позначення:- величини, котрим обчислюється середня; - середня, де риса зверху свідчить у тому, що має місце опосередкування індивідуальних значень; - Частота (повторюваність індивідуальних значень ознаки).

Очевидно, що різні середні виводяться з загальної формули статечної середньої (3.1) :

, (3.1)

при k = + 1 – середня арифметична; k = -1 – середня гармонійна; k = 0 – середня геометрична; k = +2 – середня квадратична.

Середні величини бувають прості та зважені. Виваженими середніми називаються величини, які враховують, деякі варіанти значень ознаки може мати різну чисельність; у зв'язку з цим кожен варіант доводиться множити з цього чисельність. «Весами» у своїй виступають числа одиниць сукупності у різних групах, тобто. кожен варіант "зважують" за своєю частотою. Частоту f називають статистичною вагоюабо вагою середньою.

В підсумку правильний вибір середньої величинипередбачає таку послідовність:

а) встановлення узагальнюючого показника сукупності;

б) визначення даного узагальнюючого показника математичного співвідношення величин;

в) заміна індивідуальних значень середніми величинами;

г) розрахунок середньої за допомогою відповідного рівняння.

3.2 Середня арифметична та її властивості та техніка обчислення. Середня гармонійна

Середня арифметична- Найпоширеніший вид середньої величини; вона обчислюється в тих випадках, коли обсяг усредняемого ознаки утворюється як сума його значень в окремих одиниць статистичної сукупності, що вивчається.

Найважливіші властивості середньої арифметичної:

1. Добуток середньої у сумі частот завжди дорівнює сумі творів варіант (окремих значень) на частоти.

2. Якщо від кожної варіанти відібрати (додати) якесь довільне число, то нова середня зменшиться (збільшиться) на те ж число.

3. Якщо кожну версію помножити (розділити) на якесь довільне число, то нова середня збільшиться (зменшиться) у стільки ж разів.

4. Якщо всі частоти (ваги) розділити або помножити на якесь число, то середня арифметична від цього не зміниться.

5. Сума відхилень окремих варіантів від середньої арифметичної завжди дорівнює нулю.

Можна з усіх значень ознаки відняти довільну постійну величину (краще значення серединної варіанти або варіанти з найбільшою частотою), отримані різниці скоротити на загальний множник (краще на величину інтервалу), а частоти виразити частками (у відсотках) і обчислену середню помножити на загальний множник додати довільну постійну величину. Цей спосіб розрахунку середньої арифметичної називається способом розрахунку від умовного нуля .

Середня геометричназнаходить своє застосування щодо середніх темпів зростання (середніх коефіцієнтів зростання), коли індивідуальні значення ознаки представлені як відносних величин. Вона використовується також, якщо необхідно знайти середню між мінімальним та максимальним значеннями ознаки (наприклад, між 100 та 1000000).

Середня квадратичназастосовується для виміру варіації ознаки в сукупності (розрахунки середнього квадратичного відхилення).

У статистиці діє правило мажорантності середніх:

Х гарм.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 Структурні середні величини (мода та медіана)

Для визначення структури сукупності використовують спеціальні середні показники, до яких належать медіана та мода або так звані структурні середні. Якщо середня арифметична розраховується на основі використання всіх варіантів значень ознаки, то медіана та мода характеризують величину того варіанту, який займає певне середнє положення у ранжованому варіаційному ряду

Мода- Найбільш типове, найчастіше зустрічається значення ознаки. Для дискретного рядумодою буде варіант з найбільшою частотою. Для визначення моди інтервального рядуспочатку визначають модальний інтервал (інтервал, що має найбільшу частоту). Потім у межах цього інтервалу знаходять значення ознаки, яке може бути модою.

Щоб знайти конкретне значення моди інтервального ряду необхідно використовувати формулу (3.2)

(3.2)

де Х Мо - нижня межа модального інтервалу; i Мо - величина модального інтервалу; f Мо - частота модального інтервалу; f Мо-1 - частота інтервалу, що передує модальному; f Мо+1 - частота інтервалу, наступного за модальним.

Мода має стала вельми поширеною у маркетингової діяльності щодо купівельного попиту, особливо щодо користуються найбільшим попитом розмірів одягу та взуття, під час регулювання цінової політики.

Медіана - Значення варіює ознаки, що припадає на середину ранжованої сукупності. Для ранжованого ряду з непарним числоміндивідуальних величин (наприклад, 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) медіаною буде величина, розташована в центрі ряду, тобто. четверта величина – 6. Для ранжованого ряду з парним числоміндивідуальних величин (наприклад, 1, 5, 7, 10, 11, 14) медіаною буде середня арифметична величина, яка розраховується із двох суміжних величин. Для нашого випадку медіана дорівнює (7+10)/2=8,5.

Т. о., для знаходження медіани спочатку необхідно визначити її порядковий номер (її положення в ранжованому ряду) за формулами (3.3):

(якщо частот немає)

N Me =
(якщо частоти є) (3.3)

де n – число одиниць у сукупності.

Чисельне значення медіани інтервального рядувизначають за накопиченими частотами дискретному варіаційному ряду. Для цього спочатку слід зазначити інтервал знаходження медіани в інтервальному ряду розподілу. Медіанним називають перший інтервал, де сума накопичених частот перевищує половину спостережень від загальної кількості всіх спостережень.

Чисельне значення медіани зазвичай визначають за формулою (3.4)

(3.4)

де x Ме – нижня межа медіанного інтервалу; iМе – величина інтервалу; SМе -1 - накопичена частота інтервалу, яка передує медіанному; fМе – частота медіанного інтервалу.

Усередині знайденого інтервалу розрахунок медіани проводиться також за формулою Ме = xlе, де другий множник у правій частині рівності показує розташування медіани всередині медіанного інтервалу, а x - довжина цього інтервалу. Медіана ділить варіаційний ряд навпіл за частотами. Визначають ще квартували , які ділять варіаційний ряд на 4 рівновеликі за ймовірністю частини, і децилі , Що ділять ряд на 10 рівновеликих частин.

Велике поширення у статистиці мають середні величини. Середні величини характеризують якісні показники комерційної діяльності: витрати звернення, прибуток, рентабельність та інших.

Середня - це один із поширених прийомів узагальнень. Правильне розуміння сутності середньої визначає її особливу значущість в умовах ринкової економіки, коли середня через одиничне та випадкове дозволяє виявити загальне та необхідне, виявити тенденцію закономірностей економічного розвитку.

Середня величина - це узагальнюючі показники, у яких знаходять вираз дії загальних умов, закономірностей досліджуваного явища.

Статистичні середні розраховуються на основі масових даних правильно статистично організованого масового спостереження (суцільного та вибіркового). Однак статистична середня буде об'єктивною і типовою, якщо вона розраховується за масовими даними для якісно однорідної сукупності (масових явищ). Наприклад, якщо розраховувати середню заробітну плату в кооперативах і на держпідприємствах, а результат поширити на всю сукупність, то середня фіктивна, оскільки розрахована за неоднорідною сукупністю, і така середня втрачає будь-який сенс.

За допомогою середньої відбувається як би згладжування відмінностей у величині ознаки, що виникають з тих чи інших причин в окремих одиниць спостереження.

Наприклад, середнє вироблення продавця залежить багатьох причин: кваліфікації, стажу, віку, форми обслуговування, здоров'я тощо.

Середнє вироблення відбиває загальне властивість всієї сукупності.

Середня величина є відображенням значень досліджуваного ознаки, отже, вимірюється у тому розмірності, як і це ознака.

Кожна середня величина характеризує досліджувану сукупність за якоюсь однією ознакою. Щоб отримати повне і всебічне уявлення про сукупність, що вивчається, по ряду істотних ознак, в цілому необхідно розташовувати системою середніх величин, які можуть описати явище з різних сторін.

Існують різні середні:

середня арифметична;

середня геометрична;

середня гармонійна;

середня квадратична;

середня хронологічна.

Розглянемо деякі види середніх, які найчастіше використовуються у статистиці.

Середня арифметична

Середня арифметична проста (невиважена) дорівнює сумі окремих значень ознаки, поділеної на число цих значень.

Окремі значення ознаки називають варіантами та позначають через х(); число одиниць сукупності позначають через n, середнє значення ознаки через . Отже, середня арифметична проста дорівнює:

За даними дискретного ряду розподілу видно, що одні й самі значення ознаки (варіанти) повторюються кілька разів. Так, варіанти х зустрічається в сукупності 2 рази, а варіанти х-16 разів і т.д.

Число однакових значень ознаки в рядах розподілу називається частотою або вагою та позначається символом n.

Обчислимо середню заробітну плату одного робітника у руб.:

Фонд заробітної плати за кожною групою робітників дорівнює добутку варіанти на частоту, а сума цих творів дає загальний фонд заробітної плати всіх робітників.

Відповідно до цього, розрахунки можна подати у загальному вигляді:

Отримана формула називається середньою арифметичною завислою.

Статистичний матеріал у результаті обробки може бути представлений у вигляді дискретних рядів розподілу, а й у вигляді інтервальних варіаційних рядів із закритими чи відкритими інтервалами.

Обчислення середньої за згрупованими даними проводиться за формулою середньої арифметичної зваженої:

У практиці економічної статистики іноді доводиться обчислювати середню за груповим середнім або середнім окремих частин сукупності (приватним середнім). У разі за варіанти (х) приймаються групові чи приватні середні, виходячи з яких обчислюється загальна середня як звичайна середня арифметична зважена.

Основні властивості середньої арифметичної .

Середня арифметична має ряд властивостей:

1. Від зменшення або збільшення частот кожного значення ознаки х у п раз величина середньої арифметичної не зміниться.

Якщо всі частоти розділити або помножити на якесь число, то величина середньої не зміниться.

2. Загальний множник індивідуальних значень ознаки може бути винесений за знак середньої:

3. Середня суми (різниці) двох або кількох величин дорівнює сумі (різниці) їх середніх:

4. Якщо х = с, де с – постійна величина, то
.

5. Сума відхилень значень ознаки Х від середньої арифметичної х дорівнює нулю:

Середня гармонійна.

Поряд із середньою арифметичною, у статистиці застосовується середня гармонійна величина, обернена середньою арифметичною зі зворотних значень ознаки. Як і середня арифметична, вона може бути простою та зваженою.

Характеристиками варіаційних рядів, поряд із середніми, є мода та медіана.

Мода - це величина ознаки (варіанту), що найчастіше повторюється в досліджуваній сукупності. Для дискретних рядів розподілу модою буде значення варіанта із найбільшою частотою.

Для інтервальних рядів розподілу з рівними інтервалами мода визначається за такою формулою:

де
- Початкове значення інтервалу, що містить моду;

- Величина модального інтервалу;

- Частота модального інтервалу;

- частота інтервалу, що передує модальному;

- Частота інтервалу, наступного за модальним.

Медіана - Це варіанта, розташована в середині варіаційного ряду. Якщо ряд розподілу дискретний і має непарне число членів, то медіаною буде варіанта, що знаходиться в середині впорядкованого ряду (упорядкований ряд - це розташування одиниць сукупності у порядку, що зростає або спадає).

Цей термін має й інші значення, див. середнє значення.

Середнє арифметичне(В математиці та статистиці) безлічі чисел - сума всіх чисел, поділена на їх кількість. Є одним із найпоширеніших заходів центральної тенденції.

Запропонована (поряд із середнім геометричним та середнім гармонійним) ще піфагорійцями.

Приватними випадками середнього арифметичного є середнє (генеральної сукупності) та вибіркове середнє (вибірки).

Вступ

Позначимо безліч даних X = (x 1 , x 2 , …, x n), тоді вибіркове середнє зазвичай позначається горизонтальною межею над змінною (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) ), вимовляється « xз межею»).

Для позначення середнього арифметичного усієї сукупності використовується грецька буква μ. Для випадкової величини, на яку визначено середнє значення, μ є імовірнісне середнєчи математичне очікування випадкової величини. Якщо безліч Xє сукупністю випадкових чисел з імовірнісним середнім μ, тоді для будь-якої вибірки x iіз цієї сукупності μ = E( x i) є математичне очікування цієї вибірки.

На практиці різниця між μ і x ¯ (\displaystyle (\bar(x))) у тому, що μ є типовою змінною, тому що бачити можна швидше вибірку, а не всю генеральну сукупність. Тому, якщо вибірку представляти випадковим чином (у термінах теорії ймовірностей), тоді x (\displaystyle (bar (x))) (але не μ) можна трактувати як випадкову змінну, що має розподіл ймовірностей на вибірці (імовірнісний розподіл середнього).

Обидві ці величини обчислюються тим самим способом:

X = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+cdots +x_(n)).)

Якщо X- Випадкова змінна, тоді математичне очікування Xможна розглядати як середнє арифметичне значень у вимірах величини, що повторюються X. Це є виявом закону великих чисел. Тому вибіркове середнє використовується з метою оцінки невідомого математичного очікування.

В елементарній алгебрі доведено, що середня n+ 1 чисел більше середнього nчисел тоді і тільки тоді, коли нове число більше ніж старе середнє, менше тоді і тільки тоді, коли нове число менше середнього, і не змінюється тоді і лише тоді, коли нове число дорівнює середньому. Чим більше n, тим менше різницю між новим і старим середніми значеннями.

Зауважимо, що є кілька інших «середніх» значень, у тому числі середнє статечне, середнє Колмогорова, гармонійне середнє, арифметико-геометричне середнє та різні середньо-зважені величини (наприклад, середнє арифметичне зважене, середнє геометричне зважене, середнє гармонійне зважене).

Приклади

Для трьох чисел необхідно скласти їх і поділити на 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

Для чотирьох чисел необхідно скласти їх і поділити на 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Або простіше 5+5=10, 10:2. Тому що ми складали 2 числа, отже, скільки чисел складаємо, на стільки й ділимо.

Безперервна випадкова величина

Для безперервно розподіленої величини f(x) (displaystyle f(x)) середнє арифметичне на відрізку [ a ; b] (\displaystyle) визначається через певний інтеграл:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Деякі проблеми застосування середнього

Відсутність боязкості

Основна стаття: Робастність у статистиці

Хоча середнє арифметичне часто використовується як середні значення або центральні тенденції, це поняття не відноситься до робастної статистики, що означає, що середнє арифметичне піддається сильному впливу «великих відхилень». Примітно, що для розподілів з великим коефіцієнтом асиметрії середнє арифметичне може не відповідати поняттю «середнього», а значення середнього з робастної статистики (наприклад, медіана) може краще описувати центральну тенденцію.

Класичним прикладом є підрахунок середнього прибутку. Арифметичне середнє може бути неправильно витлумачено як медіану, через що може бути зроблено висновок, що людей з більшим доходом більше, ніж насправді. "Середній" дохід тлумачиться таким чином, що доходи більшості людей знаходяться поблизу цього числа. Цей «середній» (себто середнього арифметичного) дохід є вищим, ніж доходи більшості людей, оскільки високий дохід з великим відхиленням від середнього робить сильний перекіс середнього арифметичного (на відміну від цього, середній дохід за медіаною «опирається» такому перекосу). Проте цей «середній» дохід нічого не говорить про кількість людей поблизу медіанного доходу (і не говорить нічого про кількість людей поблизу модального доходу). Проте, якщо легковажно поставитися до понять «середнього» і «більшість народу», можна зробити невірний висновок про те, що більшість людей мають доходи вищі, ніж вони є насправді. Наприклад, звіт про «середній» чистий доход у Медіні, штат Вашингтон, підрахований як середнє арифметичне всіх щорічних чистих доходів жителів, на подив велике число через Білла Гейтса. Розглянемо вибірку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Середнє арифметичне дорівнює 3.17, але п'ять значень із шести нижче цього середнього.

Складний відсоток

Основна стаття: Окупність інвестицій

Якщо числа перемножувати, а не складатипотрібно використовувати середнє геометричне, а не середнє арифметичне. Найчастіше цей казус трапляється з розрахунку окупності інвестицій у фінансах.

Наприклад, якщо акції першого року впали на 10 %, а другий рік зросли на 30 %, тоді некоректно обчислювати «середнє» збільшення ці два роки як середнє арифметичне (−10 % + 30 %) / 2 = 10 %; правильне середнє значення у разі дають сукупні щорічні темпи зростання, якими річне зростання виходить лише близько 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

Причина цього в тому, що відсотки мають щоразу нову стартову точку: 30% – це 30% від меншого, ніж ціна на початку першого року, числа:якщо акції спочатку коштували $30 і впали на 10 %, вони на початку другого року коштують $27. Якщо акції зросли на 30%, вони наприкінці другого року коштують $35.1. Арифметичне середнє цього зростання 10%, але оскільки акції зросли за 2 роки лише на $5.1, середнє зростання у 8,2% дає кінцевий результат $35.1:

[$30 (1 – 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. Якщо ж використовувати так само середнє арифметичне значення 10 %, ми отримаємо фактичне значення: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

Складний відсоток наприкінці 2 року: 90% * 130% = 117%, тобто загальний приріст 17%, а середньорічний складний відсоток 117% ≈ 108.2% (displaystyle (sqrt (117%)) approx 108.2%) тобто середньорічний приріст 8,2 %.

Напрями

Основна стаття: Статистика напрямків

При розрахунку середнього арифметичного значень певної змінної, що змінюється циклічно (наприклад, фаза або кут), слід виявляти особливу обережність. Наприклад, середнє чисел 1° і 359° дорівнюватиме 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Це число неправильне з двох причин.

По-перше, кутові заходи визначені лише для діапазону від 0° до 360° (або від 0 до 2π при вимірі радіанах). Таким чином, ту ж пару чисел можна було б записати як (1 і -1) або як (1 і 719). Середні значення кожної з пар відрізнятимуться: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ ))))(2))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
По-друге, в даному випадку, значення 0° (еквівалентне 360°) буде геометрично кращим середнім значенням, оскільки числа відхиляються від 0° менше, ніж від будь-якого іншого значення (у значення 0° найменша дисперсія). Порівняйте:
- число 1° відхиляється від 0° лише на 1°;
- число 1° відхиляється від обчисленого середнього, що дорівнює 180°, на 179°.

Середнє значення для циклічної змінної, розраховане за наведеною формулою, буде штучно зрушено щодо справжнього середнього до середини числового діапазону. Через це середнє розраховується іншим способом, а саме, як середнє значення вибирається число з найменшою дисперсією (центральна точка). Також замість віднімання використовується модульна відстань (тобто відстань по колу). Наприклад, модульна відстань між 1° і 359° дорівнює 2°, а не 358° (на колі між 359° і 360°==0° - один градус, між 0° та 1° - теж 1°, у сумі - 2° °).

Види середніх величин та методи їх розрахунку

На етапі статистичної обробки можуть бути поставлені різні завдання дослідження, для вирішення яких потрібно вибрати відповідну середню. При цьому необхідно керуватися наступним правилом: величини, які є чисельником і знаменником середньої, повинні бути логічно пов'язані між собою.

статечні середні;
структурні середні.

Введемо такі умовні позначення:

Величини, котрим обчислюється середня;

Середня, де риса зверху свідчить у тому, що має місце опосередкування індивідуальних значень;

Частота (повторність індивідуальних значень ознаки).

Різні середні виводяться із загальної формули статечної середньої:

(5.1)

при k = 1 – середня арифметична; k = -1 – середня гармонійна; k = 0 – середня геометрична; k = -2 – середня квадратична.

Середні величини бувають прості та зважені. Виваженими середніминазивають величини, які враховують, деякі варіанти значень ознаки може мати різну чисельність, у зв'язку з чим кожен варіант доводиться множити з цього чисельність. Інакше кажучи, «вагами» виступають числа одиниць сукупності у різних групах, тобто. кожен варіант "зважують" за своєю частотою. Частоту f називають статистичною вагоюабо вагою середньою.

Середня арифметична- Найпоширеніший вид середньої. Вона використовується, коли розрахунок здійснюється за несгрупованими статистичними даними, де потрібно отримати середній доданок. Середня арифметична - це середнє значення ознаки, при отриманні якого зберігається незмінним загальний обсяг ознаки в сукупності.

Формула середньої арифметичної ( простий) має вигляд

де n – чисельність сукупності.

Наприклад, середня заробітна плата працівників підприємства обчислюється як середня арифметична:

Визначальними показниками тут є заробітна плата кожного працівника та кількість працівників підприємства. При обчисленні середньої загальна сума заробітної плати залишилася колишньою, але розподіленою між усіма працівниками порівну. Наприклад, необхідно обчислити середню заробітну плату працівників невеликої фірми, де зайнято 8 осіб:

При розрахунку середніх величин окремі значення ознаки, що середня, можуть повторюватися, тому розрахунок середньої величини проводиться за згрупованими даними. У цьому випадку йдеться про використання середньої арифметичної зваженої, яка має вигляд

(5.3)

Так нам необхідно розрахувати середній курс акцій якогось акціонерного товариства на торгах фондової біржі. Відомо, що угоди здійснювалися протягом 5 днів (5 угод), кількість проданих акцій за курсом продажів розподілилася так:

1 – 800 ак. - 1010 руб.

2 - 650 ак. - 990 руб.

3 – 700 ак. - 1015 руб.

4 – 550 ак. - 900 руб.

5 – 850 ак. - 1150 руб.

Вихідним співвідношенням визначення середнього курсу вартості акцій є ставлення загальної суми угод (ОСС) до кількості проданих акцій (КПА):

ОСС = 1010 · 800 +990 · 650 +1015 · 700 +900 · 550 +1150 · 850 = 3634500;

КПА = 800 +650 +700 +550 +850 = 3550.

У цьому випадку середній курс вартості акцій дорівнював

Необхідно знати властивості арифметичної середньої, що дуже важливо як щодо її використання, так і при її розрахунку. Можна виділити три основні властивості, які найбільше зумовили широке застосування арифметичної середньої статистико-економічних розрахунків.

Властивість перша (нульове): сума позитивних відхилень індивідуальних значень ознаки від його середнього значення дорівнює сумі негативних відхилень. Це дуже важлива властивість, оскільки вона показує, що будь-які відхилення (як з +, так і з -), спричинені випадковими причинами, будуть взаємно погашені.

Доведення:

Властивість друга (мінімальне): сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної менше, ніж будь-якого іншого числа (а), тобто. є мінімальне число.

Доведення.

Складемо суму квадратів відхилень від змінної а:

(5.4)

Щоб знайти екстремум цієї функції, необхідно її похідну а прирівняти нулю:

Звідси отримуємо:

(5.5)

Отже, екстремум суми квадратів відхилень досягається при . Цей екстремум – мінімум, тому що функція не може мати максимуму.

Властивість третя: середня арифметична постійної величини дорівнює цій постійній: при а = const.

Крім цих трьох найважливіших властивостей середньої арифметичної є так звані розрахункові властивості, які поступово втрачають свою значущість у зв'язку з використанням електронно-обчислювальної техніки:

якщо індивідуальне значення ознаки кожної одиниці помножити або розділити на постійне число, то середня арифметична збільшиться або зменшиться у стільки разів;
середня арифметична не зміниться, якщо вага (частоту) кожного значення ознаки поділити на постійне число;
якщо індивідуальні значення ознаки кожної одиниці зменшити або збільшити на ту саму величину, то середня арифметична зменшиться або збільшиться на ту саму величину.

Середня гармонійна. Цю середню називають зворотною середньою арифметичною, оскільки ця величина використовується при k = -1.

Проста середня гармонійнавикористовується тоді, коли ваги значень ознаки однакові. Її формулу можна вивести із базової формули, підставивши k = -1:

Наприклад, нам необхідно обчислити середню швидкість двох машин, що пройшли той самий шлях, але з різною швидкістю: перша - зі швидкістю 100 км/год, друга - 90 км/год. Застосовуючи метод середньої гармонійної, ми обчислюємо середню швидкість:

У статистичній практиці найчастіше використовується гармонійна зважена, формула якої має вигляд

Ця формула використовується у випадках, коли ваги (чи обсяги явищ) за кожним ознакою не рівні. У вихідному співвідношенні до розрахунку середньої відомий чисельник, але невідомий знаменник.

Наприклад, при розрахунку середньої ціни ми маємо користуватися ставленням суми реалізації до кількості реалізованих одиниць. Нам не відомо кількість реалізованих одиниць (йдеться про різні товари), але відомі суми реалізацій цих різних товарів. Допустимо, необхідно дізнатися середню ціну реалізованих товарів:

Отримуємо

Середня геометрична. Найчастіше середня геометрична знаходить своє застосування щодо середніх темпів зростання (середніх коефіцієнтів зростання), коли індивідуальні значення ознаки представлені як відносних величин. Вона використовується також, якщо необхідно знайти середню між мінімальним та максимальним значеннями ознаки (наприклад, між 100 та 1000000). Існують формули для простої та виваженої середньої геометричної.

Для простої середньої геометричної

Для виваженої середньої геометричної

Середня квадратична величина. Основною сферою її застосування є вимірювання варіації ознаки в сукупності (розрахунок середнього відхилення квадратичного).

Формула простої середньої квадратичної

Формула виваженої середньої квадратичної

(5.11)

У результаті можна сказати, що від правильного вибору виду середньої величини у кожному конкретному випадку залежить успішне вирішення завдань статистичного дослідження. Вибір середньої передбачає таку послідовність:

а) встановлення узагальнюючого показника сукупності;

б) визначення даного узагальнюючого показника математичного співвідношення величин;

в) заміна індивідуальних значень середніми величинами;

г) розрахунок середньої за допомогою відповідного рівняння.

Середні величини та варіація

У судовій статистиці середні величини використовують для характеристики:

Середніх термінів розгляду справ цієї категорії;

Середній розмір позову;

Середньої кількості відповідачів, що припадають одну справу;

Середній розмір шкоди;

Середнє навантаження суддів, та ін.

Усі види середніх величин, які у статистичних дослідженнях, поділяються на дві категорії:

1) статечні середні;

2) структурні середні.

де x 1, x 2, …, x N- Індивідуальні значення варіює ознаки (варіанти), а N - число одиниць сукупності.

де x i– значення i-і варіанти ознаки; f i- Частота i-і варіанти.

Таблиця 12

Рішення.Для розрахунку використовуємо формулу середньої арифметичної зваженої:

Таким чином, у середньому на одну кримінальну справу припадає двоє обвинувачених.

приклад.Дані про вік злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, наведено в таблиці:

Таблиця 13

Визначити середній вік злочинців, засуджених за вчинення крадіжки.

Тепер знаходимо середній вік злочинців за формулою середньої арифметичної зваженої:

Таким чином, середній вік злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, приблизно дорівнює 27 років.

де 1/ x i– обернені значення варіантів, а N – число одиниць сукупності.

365 (днів): 5,64 ≈ 64,7 (справи), тобто. середнє навантаження на суддів виявилося меншим.

Отримаємо відповідно:

365(днів) : 6 ≈ 61 (справа), 365(днів) : 5,6 ≈ 65,2 (справ), 365(днів) : 6,3 ≈ 58 (справ),

365(днів) : 4,9 ≈ 74,5 (справи), 365(днів) : 5,4 ≈ 68 (справ).

Тобто. середнє річне навантаження таке ж, як і при використанні середньої гармонійної.

Отже, використання середньої арифметичної у разі неправомірно.

де x i– значення варіантів ознаки, а w i – об'ємні значення варіантів ( w i = x i · f i).

Таблиця 14

Знайти середню ціну реалізації товару.

Якщо тут використовувати формулу середньої арифметичної, можна отримати середню ціну, яка буде нереальна:

Середня геометричнаобчислюється вилученням кореня ступеня N з добутку всіх значень варіантів ознаки:

де x 1, x 2, …, x N- індивідуальні значення варіюючої ознаки (варіанти), а

N- Число одиниць сукупності.

Цей вид середньої використовується обчислення середніх показників зростання рядів динаміки.

Медіана (Ме)- Це величина, яка відповідає варіанту, що знаходиться в середині ранжованого ряду. Таким чином, медіана - це той варіант ранжованого ряду, по обидва боки від якого в цьому ряду має знаходитися однакова кількість одиниць сукупності.

Для знаходження медіани спочатку необхідно визначити її порядковий номер у ранжованому ряду за формулою:

де N – обсяг низки (кількість одиниць сукупності).

де x Ме– нижня межа медіанного інтервалу; i – величина медіанного інтервалу; S Ме-1– накопичена частота інтервалу, що передує медіанному; f Ме- Частота медіанного інтервалу.

Таким чином, половина засуджених за скоєння крадіжки молодше 25 років.

Його значення знаходять за такою формулою:

де x Mo- нижня межа модального інтервалу; i – величина модального інтервалу; f Мо- Частота модального інтервалу; f Мо-1– частота інтервалу, що передує модальному; f Мо+1- Частота інтервалу, наступного за модальним.

приклад.Знайти моду віку злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, дані про які представлені в таблиці 13.

Таким чином, найбільше злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, має вік 24 роки.

Середня величина дає узагальнюючу характеристику всієї сукупності явища, що вивчається. Однак дві сукупності, що мають однакові середні значення, можуть значно відрізнятися один від одного за рівнем коливання (варіації) величини ознаки, що вивчається. Наприклад, в одному суді було призначено такі строки позбавлення волі: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 років, а в іншому – 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7 8, 8, 8 років. В обох випадках середня арифметична дорівнює 67 років. Однак ці сукупності суттєво різняться між собою розкидом індивідуальних значень призначеного терміну позбавлення волі щодо середнього значення.

Варіація- Це відмінності в значеннях будь-якої ознаки у різних одиниць даної сукупності в той самий період або момент часу. Термін «варіація» має латинське походження – variatio, що означає різницю, зміну, коливання. Вона виникає внаслідок того, що індивідуальні значення ознаки складаються під сукупним впливом різноманітних факторів (умов), які по-різному поєднуються у кожному окремому випадку. Для вимірювання варіації ознаки застосовуються різні абсолютні та відносні показники.

До основних показників варіації належать такі:

1) розмах варіації;

2) середнє лінійне відхилення;

3) дисперсія;

4) середнє квадратичне відхилення;

5) коефіцієнт варіації.

Стисло зупинимося на кожному з них.

Розмах варіації (розмах коливань) – важливий показник коливання ознаки, але він дає можливість побачити лише крайні відхилення, що обмежує сферу його застосування. Для більш точної характеристики варіації ознаки з урахуванням урахування його коливання використовуються інші показники.

1) для несгрупованих даних

2) для варіаційного ряду

Проста дисперсіядля не згрупованих даних:

Зважена дисперсіядля варіаційного ряду:

Зауваження.Насправді для обчислення дисперсії краще використовувати такі формулы:

Для простої дисперсії

Для зваженої дисперсії

Середнє квадратичне відхилення- це корінь квадратний із дисперсії:

1. Побудувати низку розподілу за строками позбавлення волі.

2. Знайти середнє значення, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

Рішення.Для побудови дискретного ряду розподілу необхідно визначити варіанти та частоти. Варіанта у цьому – це термін позбавлення волі, а частоти – чисельність окремих варіант. Розрахувавши частоти, отримаємо наступний дискретний ряд розподілу:

= = 4,1;

= 5,21.

Тепер обчислюємо середнє квадратичне відхилення:

Знаходимо коефіцієнт варіації:

Отже, статистична сукупність кількісно неоднорідна.

Середня арифметична проста

Середні величини

Велике поширення у статистиці мають середні величини.

Середня величина- це узагальнюючий показник, у якому виражаються дії загальних умов, закономірностей розвитку досліджуваного явища.

Статистичні середні розраховуються на основі масових даних правильно статистично організованого спостереження (суцільного та вибіркового). Однак статистична середня буде об'єктивною і типовою, якщо вона розраховується за масовими даними для якісно однорідної сукупності (масових явищ). Наприклад, якщо розраховувати середню заробітну плату в акціонерних товариствах і на держпідприємствах, а результат поширити на всю сукупність, то середня фіктивна, оскільки розрахована за неоднорідною сукупністю, і така середня втрачає будь-який сенс.

Наприклад, середнє вироблення окремого продавця залежить багатьох причин: кваліфікації, стажу, віку, форми обслуговування, здоров'я тощо. Середнє вироблення відбиває загальну характеристику всієї сукупності.

Середня величина вимірюється у тих самих одиницях, як і сама ознака.

Кожна середня величина характеризує досліджувану сукупність за якоюсь однією ознакою. Щоб отримати повне і всебічне уявлення про сукупність, що вивчається, по ряду істотних ознак, необхідно розташовувати системою середніх величин, які можуть описати явище з різних сторін.

Існують різні види середніх:

середня арифметична;

середня гармонійна;

середня геометрична;

середня квадратична;

середня кубічна.

Середні перелічених вище видів, своєю чергою, діляться на прості (невиважені) і зважені.

Розглянемо види середніх, які у статистиці.

Окремі значення ознаки називають варіантами та позначають через х i (
); число одиниць сукупності позначають через n, середнє значення ознаки через . Отже, середня арифметична проста дорівнює:

або

приклад 1.Таблиця 1

Дані про виробництво робітниками продукції А за зміну

У цьому прикладі ознака, що варіює, - випуск виробів за зміну.

Чисельні значення ознаки (16, 17 і т. д.) називають варіантами. Визначимо середнє вироблення продукції робітниками цієї групи:

шт.

Проста середня арифметична застосовується у разі, коли є окремі значення ознаки, тобто. дані не згруповані. Якщо дані представлені у вигляді рядів розподілу чи угруповань, то середня обчислюється інакше.

Середня арифметична зважена

Середня арифметична зважена дорівнює сумі творів кожного окремого значення ознаки (варіанту) на відповідну частоту, поділену на суму всіх частот.

Число однакових значень ознаки в рядах розподілу називається частотою або вагою і позначається через f i.

Відповідно, середня арифметична зважена виглядає так:

або

З формули видно, що середня залежить лише від значень ознаки, а й їх частот, тобто. від складу сукупності, з її структури.

приклад 2.Таблиця 2

Дані про заробітну плату робітників

За даними дискретного ряду розподілу видно, що одні й самі значення ознаки (варіанти) повторюються кілька разів. Так, варіанти х 1 зустрічається в сукупності 2 рази, а варіанти х 2 - 6 разів і т.д.

Обчислимо середню заробітну плату одного робітника:

Фонд заробітної плати з кожної групи робочих дорівнює добутку варіанти на частоту (
), а сума цих творів дає загальний фонд заробітної плати всіх робітників (
).

Якби розрахунок був виконаний за формулою простої середньої арифметичної, середній заробіток дорівнював 3 000 руб. (). Порівнюючи отриманий результат з вихідними даними, очевидно, що середня заробітна плата має бути істотно вищою (більше половини робітників отримують заробітну плату вище 3000 руб.). Тому розрахунок за простою середньою арифметичною в таких випадках буде помилковим.

Розглянемо розрахунок середньої арифметичної для таких рядів.

Середнє значення це:

Середнє значення

Середнє значення- Чисельна характеристика безлічі чисел або функцій; - деяке число, укладене між найменшим та найбільшим із їх значень.

1 Основні відомості
2 Ієрархія середніх значень у математиці
3 У теорії ймовірностей та статистики
4 Див.
5 Примітки

Основні відомості

Вихідним пунктом становлення теорії середніх величин стало дослідження пропорцій школою Піфагора. При цьому не проводилося суворої різниці між поняттями середньої величини та пропорції. Значний поштовх розвитку теорії пропорцій з арифметичної точки зору було надано грецькими математиками - Нікомахом Гераським (кінець I - початок II ст. н. е.) і Паппом Олександрійським (III ст. н. е.). Першим етапом розвитку поняття середньої є етап, коли середня стала вважатися центральним членом безперервної пропорції. Але поняття середньої як центрального значення прогресії не дає можливості вивести поняття середньої по відношенню до послідовності n членів, незалежно від того, в якому порядку вони йдуть один за одним. Для цієї мети необхідно вдатися до формального узагальнення середніх. Наступний етап – перехід від безперервних пропорцій до прогресій – арифметичної, геометричної та гармонійної.

У історії статистики вперше широке вживання середніх величин пов'язані з ім'ям англійського вченого У. Петті. У. Петті одне із перших намагався надати середній величині статистичний сенс, пов'язавши її з економічними категоріями. Але опис поняття середньої величини, його виділення Петті не зробив. Родоначальником теорії середніх величин заведено вважати А. Кетле. Він одним із перших почав послідовно розробляти теорію середніх величин, намагаючись підвести під неї математичну базу. А. Кетле виділяв два види середніх величин - власне середні та середні арифметичні. Власне, середні представляють річ, число, що дійсно існують. Власне, середні або середні статистичні повинні виводитися з явищ одноякісних, однакових за своїм внутрішнім значенням. Середні арифметичні - числа, що дають можливо близьке уявлення про багато чисел, різних, хоча і однорідних.

Кожен із видів середньої може виступати або у формі простої, або у формі виваженої середньої. Правильність вибору форми середньої випливає із матеріальної природи об'єкта дослідження. Формули простих середніх застосовуються у разі, якщо індивідуальні значення ознаки, що усереднюється, не повторюються. Коли в практичних дослідженнях окремі значення ознаки, що вивчається, зустрічаються кілька разів у одиниць досліджуваної сукупності, тоді частота повторень індивідуальних значень ознаки присутня в розрахункових формулах статечних середніх. І тут вони називаються формулами зважених середніх.

Wikimedia Foundation. 2010 року.