Як порахувати кількість можливих комбінацій із цифр. Розміщення з повтореннями

На першому місці в ряді може стояти будь-який з елементів N, отже, виходить N варіантів. На другому місці – будь-який, крім того, який уже був використаний для першого місця. Отже, кожному з N вже знайдених варіантів є (N - 1) варіантів другого місця, і кількість комбінацій стає N*(N - 1).
Це можна повторити інших елементів ряду. Для самого останнього місця залишається тільки один варіант - останній елемент, що залишився. Для передостаннього – два варіанти, і так далі.
Отже, для низки з N неповторних елементів можливих перестановок дорівнює добутку всіх від 1 до N. Цей твір називається N і N! (Читається «ен факторіал»).

У попередньому випадку кількість можливих елементів і кількість місць ряду збігалися, і їх число дорівнювало N. Але можлива ситуація, коли в ряду менше місць, ніж можливих елементів. Іншими словами, кількість елементів у вибірці дорівнює деякому числу M, причому M< N. В этом случае задача определения возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
По-перше, може знадобитися порахувати загальну кількість можливих способів, якими можна побудувати ряд M елементів з N. Такі способи розміщеннями.
По-друге, дослідника може цікавити кількість способів, якими можна вибрати M елементів з N. При цьому порядок розташування елементів вже не важливий, але будь-які два варіанти повинні відрізнятися між собою хоча б одним елементом. Такі методи називаються поєднаннями.

Щоб знайти кількість розміщень M елементів з N, можна вдатися до такого ж способу міркувань, як і у випадку з перестановками. На першому місці тут, як і раніше, може стояти N елементів, на другому (N - 1), і так далі. Але для останнього місця кількість можливих варіантів дорівнює не одиниці, а (N - M + 1), оскільки коли розміщення буде закінчено, залишиться ще (N - M) невикористаних елементів.
Таким чином, число розміщень M елементів з N дорівнює добутку всіх цілих чисел від (N - M + 1) до N, або, що те ж саме, приватному N!/(N - M)!.

Очевидно, що кількість поєднань M елементів з N буде менше кількості розміщень. Для кожного можливого поєднання є M! можливих розміщень, які від порядку елементів цього поєднання. Отже, щоб знайти цю кількість, потрібно розділити число розміщень M елементів з N на N!. Іншими словами, кількість поєднань по M елементів N дорівнює N!/(M!*(N - M)!).

Джерела:

• кількість поєднань

Факторіалнатурального числа – це добуток усіх попередніх натуральних чисел, включаючи саме число. Факторіалнуля дорівнює одиниці. Здається, що порахувати факторіал числа дуже просто – достатньо перемножити всі натуральні числа, що не перевищують задане. Однак значення факторіалу настільки швидко зростає, що деякі калькулятори не справляються з цим завданням.

Вам знадобиться

• калькулятор, комп'ютер

Інструкція

Щоб порахувати факторіал натурального числа, перемножте все, що не перевершують дане. Кожне число враховується лише один раз. У вигляді формули це можна записати так: n! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * ... * (n-2) * (n-1) * n, де n - натуральне число, факторіал якого потрібно порахувати.
0! приймається рівним одиниці (0! = 1). При зростанні аргументу значення факторіалу дуже швидко збільшується, тому звичайний (бухгалтерський) вже для факторіалу 15 замість результату може видати про помилку.

Щоб порахувати факторіал великої натуральної кількості, візьміть інженерний калькулятор. Тобто такий калькулятор на клавіатурі якого є позначення математичних функцій (cos, sin, √). Наберіть на калькуляторі вихідне число, а потім натисніть кнопку обчислення факторіалу. Зазвичай, така кнопка як «n!» або аналогічно (замість «n» може стояти «N» або «х», але знак оклику «!» у позначенні факторіалу повинен бути присутнім у будь-якому випадку).
При більших значеннях аргументу результати обчислень починають відображатися в експоненційному (показовому) вигляді. Так, наприклад, факторіал 50 буде представлений у формі: 3,0414093201713378043612608166065e+64 (або схожому). Щоб отримати результат обчислень у звичайному вигляді, припишіть до цифри, показаної до символу «е», стільки нулів, скільки вказано після «е+» (якщо, звичайно, вистачить місця).

У комбінаториці вивчають питання, скільки комбінацій певного типу можна скласти з даних предметів (елементів).

Народження комбінаторики як розділу пов'язане з працями Б. Паскаля та П. Ферма з теорії азартних ігор. Великий внесок у розвиток комбінаторних методів зробили Г.В. Лейбніц, Я. Бернуллі та Л. Ейлер.

Французький філософ, письменник, математик та фізик Блез Паскаль (1623–1662) рано виявив свої видатні математичні здібності. Коло математичних інтересів Паскаля було дуже різноманітне. Паскаль довів одну
з основних теорем проективної геометрії (теорема Паскаля), сконструював підсумовуючу машину (арифмометр Паскаля), дав спосіб обчислення біноміальних коефіцієнтів (трикутник Паскаля), вперше точно визначив і застосував для доказу метод математичної індукції, зробив суттєвий крок у розвитку аналізу. що у зародженні теорії ймовірності. У гідростатиці Паскаль встановив її основний закон (закон Паскаля). "Листи до провінціалу" Паскаля з'явилися шедевром французької класичної прози.

Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716) - німецький філософ, математик, фізик та винахідник, юрист, історик, мовознавець. У математиці поруч із І. Ньютоном розробив диференціальне та інтегральне числення. Важливий внесок у комбінаторику. З його ім'ям, зокрема, пов'язані теоретико-числові задачі.

Готфрід Вільгельм Лейбніц мав мало значну зовнішність і тому справляв враження досить непоказної людини. Одного разу в Парижі він зайшов у книжкову крамницю, сподіваючись придбати книгу свого знайомого філософа. На запитання відвідувача про цю книгу книготорговець, оглянувши його з голови до ніг, насмішкувато кинув: “Навіщо вона вам? Невже ви здатні читати такі книги? Не встиг вчений відповісти, як до крамниці увійшов сам автор книги зі словами: "Великому Лейбницю привіт та повага!" Продавець ніяк не міг зрозуміти, що перед ним справді знаменитий Лейбніц, книги якого мали великий попит серед учених.

Надалі важливу роль гратиме наступна

Лемма.Нехай у множині елементів, а у множині — елементів. Тоді число всіх різних пар, де буде рівним.

Доведення.Дійсно, з одним елементом з множини ми можемо скласти таких різних пар, а всього в безлічі елементів.

Розміщення, перестановки, поєднання

Нехай у нас є безліч із трьох елементів. Якими способами ми можемо вибрати із цих елементів два? .

Визначення.Розміщеннями безлічі з різних елементів щодо елементів називаються комбінації, які складені з даних елементів > елементів і відрізняються або самими елементами, або порядком елементів.

Число всіх розміщень множини з елементів за елементами позначається через (від початкової літери французького слова “arrangement”, що означає розміщення), де і .

Теорема.Число розміщень безлічі з елементів до елементів дорівнює

Доведення.Нехай у нас є елементи. Нехай – можливі розміщення. Будуватимемо ці розміщення послідовно. Спочатку визначимо перший елемент розміщення. З цієї сукупності елементів його можна вибрати у різний спосіб. Після вибору першого елемента другого елемента залишається способів вибору і т.д. Оскільки кожен такий вибір дає нове розміщення, всі ці вибори можна вільно комбінувати між собою. Тому маємо:

приклад.Скільки способами можна скласти прапор, що складається з трьох горизонтальних смуг різних кольорів, якщо є матеріал п'яти кольорів?

Рішення.Потрібна кількість трисмугових прапорів:

Визначення.Перестановкою множини з елементів називається розташування елементів у певному порядку.

Так, всі різні перестановки множини з трьох елементів — це

Число всіх перестановок з елементів позначається (від початкової літери французького слова “permutation”, що означає “перестановка”, “переміщення”). Отже, число всіх різних перестановок обчислюється за формулою

приклад.Скільки способами можна розставити тур на шахівниці так, щоб вони не били один одного?

Рішення.Потрібна кількість розміщення турів

За визначенням!

Визначення.Поєднаннями з різних елементів щодо елементів називаються комбінації, які складені з даних елементів щодо елементів і відрізняються хоча б одним елементом (інакше кажучи, -елементні підмножини даної множини з елементів).

Як бачимо, у поєднаннях на відміну розміщень не враховується порядок елементів. Число всіх поєднань з елементів за елементами у кожному позначається (від початкової літери французького слова “combinasion”, що означає “поєднання”).

Числа

Усі поєднання з множини по два — .

Властивості чисел (\sf C)_n^k

Дійсно, кожному -елементному підмножині даної -елементної множини відповідає одна і тільки одна -елементна підмножина тієї ж множини.

Справді, ми можемо вибирати підмножини з елементів так: фіксуємо один елемент; число -елементних підмножин, що містять цей елемент, дорівнює; число -елементних підмножин, які містять цей елемент, дорівнює .

Трикутник Паскаля

У цьому трикутнику крайні числа в кожному рядку дорівнюють 1, а кожне не крайнє число дорівнює сумі двох чисел попереднього рядка, що стоять над ним. Таким чином, цей трикутник дозволяє обчислювати числа .

Теорема.

Доведення.Розглянемо безліч з елементів і розв'яжемо двома способами наступне завдання: скільки можна скласти послідовностей з елементів даного
множини, у кожній з яких ніякий елемент не зустрічається двічі?

1 спосіб. Вибираємо перший член послідовності, потім другий, третій тощо. член

2 спосіб. Виберемо спочатку елементів з цієї множини, а потім розташуємо їх у деякому порядку

Домножимо чисельник і знаменник цього дробу на:

приклад.Скільки способів можна у грі "Спортлото" вибрати 5 номерів з 36?

Шукана кількість способів

Завдання.

1. Номери машин складаються з 3 літер російського алфавіту (33 літери) та 4 цифр. Скільки існує різних номерів машин?
2. На роялі 88 кнопок. Скільки способів можна отримати послідовно 6 звуків?
3. Скільки є шестицифрових чисел, що діляться на 5?
4. Скільки способами можна розкласти 7 різних монет у три кишені?
5. Скільки можна скласти п'ятизначних чисел, у десятковому записі яких хоча б один раз зустрічається цифра 5?
6. Скільки способами можна посадити 20 чоловік за круглим столом, вважаючи способи однаковими, якщо їх можна отримати один з одного рухом по колу?
7. Скільки є п'ятицифрових чисел, що діляться на 5, у запису яких немає однакових цифр?
8. На папері з картатою зі стороною клітини 1 см намальована коло радіуса 100 см, що не проходить через вершини клітин і не стосується сторін клітин. Скільки клітин може перетинати це коло?
9. Скільки способами можна розставити в ряд числа так, щоб числа стояли поруч і до того ж йшли в порядку зростання?
10. Скільки п'ятизначних чисел можна становити з цифр, якщо кожну цифру можна використати лише один раз?
11. Зі слова РОТ перестановкою букв можна отримати такі слова: ТОР, ОРТ, ОТР, ТРО, РТО. Їх називають анаграм. Скільки анаграм можна становити зі слова ЛОГАРИФМ?
12. Назвемо розбиттямнатурального числа подання його як суми натуральних чисел. Ось, наприклад, всі розбиття числа:

Розбиття вважаються різними, якщо вони відрізняються чиселами, чи порядком доданків.

Скільки існує різних розбиття числа на доданків?
13. Скільки існує трицифрових чисел з зростаючим порядком цифр?
14. Скільки існує чотирицифрових чисел з зростаючим порядком цифр?
15. Скільки способами можна розсадити до ряду 17 осіб, щоб і опинилися поруч?
16. дівчаток і хлопчиків розсаджуються довільним чином у ряді місць. Скільки способами можна їх розсадити так, щоб жодні дві дівчинки не сиділи поруч?
17. дівчаток і хлопчиків розсаджуються довільним чином у ряді місць. Скільки способами можна їх розсадити так, щоб всі дівчатка сиділи поряд?

КОМБІНАТОРИКА

Комбінаторика - розділ математики, який вивчає завдання вибору та розташування елементів з деякої основної множини відповідно до заданих правил. Формули та принципи комбінаторики використовуються в теорії ймовірностей для підрахунку ймовірності випадкових подій та, відповідно, отримання законів розподілу випадкових величин. Це, своєю чергою, дозволяє досліджувати закономірності масових випадкових явищ, що дуже важливим для правильного розуміння статистичних закономірностей, які у природі і техніці.

Правила складання та множення у комбінаториці

Правило суми. Якщо дві дії А і В взаємно виключають один одного, причому дію А можна виконати m способами, а В - n способами, то виконати одну з цих дій (або А або В) можна n + m способами.

приклад 1.

У класі навчається 16 хлопчиків та 10 дівчаток. Скільки способами можна призначити одного чергового?

Рішення

Черговим можна призначити чи хлопчика, чи дівчинку, тобто. черговим може бути будь-хто з 16 хлопчиків або будь-яка з 10 дівчаток.

За правилом суми отримуємо, що одного чергового можна призначити 16+10=26 способами.

Правило твору. Нехай потрібно виконати послідовно дій. Якщо перше дію можна виконати n 1 способами, друге дію n 2 способами, третє - n 3 способами і так до k-го дії, яке можна виконати n k способами, то всі k дій можуть бути виконані:

методами.

приклад 2.

У класі навчається 16 хлопчиків та 10 дівчаток. Скільки способами можна призначити двох чергових?

Рішення

Першим черговим можна призначити або хлопчика або дівчинку. Т.к. у класі навчається 16 хлопчиків та 10 дівчаток, то призначити першого чергового можна 16+10=26 способами.

Після того, як ми вибрали першого чергового, другого ми можемо вибрати з 25 осіб, що залишилися, тобто. 25 способами.

По теоремі множення двоє чергових можна вибрати 26*25=650 способами.

Поєднання без повторень. Поєднання з повтореннями

Класичним завданням комбінаторики є завдання про кількість поєднань без повторень, зміст якої можна висловити: скільки способами можна, можливо вибрати m з n різних предметів?

приклад 3.

Необхідно вибрати в подарунок 4 з 10 різних книг. Скільки можна це зробити?

Рішення

Нам із 10 книг потрібно вибрати 4, причому порядок вибору не має значення. Таким чином, потрібно знайти число поєднань з 10 елементів по 4:

.

Розглянемо завдання про кількість поєднань із повтореннями: є по r однакових предметів кожного з різних типів; скільки способами можна, можливо вибрати m () з цих (n * r) предметів?

.

приклад 4.

У кондитерському магазині продавалися 4 сорти тістечок: наполеони, еклери, пісочні та листкові. Скільки можна купити 7 тістечок?

Рішення

Т.к. серед 7 тістечок можуть бути тістечка одного сорту, число способів, якими можна купити 7 тістечок, визначається числом поєднань з повтореннями з 7 по 4.

.

Розміщення без повторень. Розміщення з повтореннями

Класичним завданням комбінаторики є завдання про кількість розміщень без повторень, зміст якої можна висловити: скільки способами можна, можливо вибрати і розмістити по m різним місцям m з n різних предметів?

Приклад 5.

У деякій газеті 12 сторінок. Необхідно на сторінках цієї газети розмістити чотири фотографії. Скільки можна це зробити, якщо жодна сторінка газети не повинна містити більше однієї фотографії?

Рішення.

У цьому ми не просто вибираємо фотографії, а розміщуємо їх у певних сторінках газети, причому кожна сторінка газети має містити трохи більше однієї фотографії. Таким чином, завдання зводиться до класичної задачі про визначення числа розміщень без повторень із 12 елементів по 4 елементи:

Таким чином, 4 фотографії на 12 сторінках можна розташувати 11 880 способами.

Також класичним завданням комбінаторики є завдання про кількість розміщень із повтореннями, зміст якої можна висловити питанням: скільки способами можна, можливо вибрать і розмістити по m різним місцям m з n предметів,зреді яких є однакові?

Приклад 6.

У хлопчика залишилися від набору для настільної гри штампи з цифрами 1, 3 та 7. Він вирішив за допомогою цих штампів нанести на всі книги п'ятизначні номери-скласти каталог. Скільки різних п'ятизначних номерів може становити хлопчик?

Перестановки без повторень. Перестановки із повтореннями

Класичним завданням комбінаторики є завдання про кількість перестановок без повторення, зміст якої можна висловити: скільки способами можна, можливо розмістити n різних предметів на n різних місцях?

Приклад 7.

Скільки можна скласти чотирилітерних «слів» із літер слова «шлюб»?

Рішення

Генеральною сукупністю є 4 літери слова «шлюб» (б, р, а, к). Число «слів» визначається перестановками цих 4 літер, тобто.

Для випадку, коли серед n елементів, що вибираються, є однакові (вибірка з поверненням), задачу про кількість перестановок з повтореннями можна висловити питанням: Скільки способами можна переставити n предметів, розташованих на n різних місцях, якщо серед n предметів є k різних типів (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.

Приклад 8.

Скільки різних буквможна зробити з літер слова «Міссісіпі»?

Рішення

Тут 1 буква "м", 4 букви "і", 3 букви "c" і 1 буква "п", всього 9 букв. Отже, кількість перестановок з повтореннями дорівнює

ОПОРНИЙ КОНСПЕКТ З РОЗДІЛУ "КОМБІНАТОРИКА"

Ми іноді робимо вибір із безлічі без урахування порядку. Такий вибір називається комбінацією . Якщо ви граєте в карти, наприклад, ви знаєте, що в більшості ситуацій порядок, у якому ви тримаєте карти, не має значення.

Приклад 1Знайдіть усі комбінації 3-х букв, взятих із набору в 5 букв (A, B, C, D, E).

РішенняЦі комбінації такі:
(A, B, C), (A, B, D),
(A, B, E), (A, C, D),
(A, C, E), (A, D, E),
(B, C, D), (B, C, E),
(B, D, E), (C, D, E).
Існує 10 комбінацій із трьох букв, вибраних із п'яти букв.

Коли ми знаходимо всі комбінації з набору з 5 об'єктами, якщо ми беремо 3 об'єкти за один раз, ми знаходимо всі 3-елементні підмножини. У разі порядок об'єктів не розглядається. Тоді,
(A, C, B) називається одним і тим же набором як і (A, B, C).

Підмножина
Множина A є підмножиною B, і означає, що A це підмножина та/або збігається з B якщо кожен елемент A є елементом B.

Елементи підмножини не впорядковані. Коли розглядаються комбінації, розглядається порядок!

Комбінація
Комбінація, що містить k об'єктів є підмножиною, що складається з k об'єктів.

Ми хочемо записати формулу для обчислення число поєднань із n об'єктів, якщо взято до об'єктів одночасно.

Позначення комбінації
Число поєднань з n об'єктів, якщо взято до об'єктів одночасно, позначається n C k .

Ми називаємо n C k кількість поєднань . Ми хочемо записати загальну формулу для n C k для будь-якого k ≤ n. По-перше, це вірно, що n C n = 1, тому що безліч з n елементами має тільки одне підмножина з n елементами, є сама безліч. По-друге, n C 1 = n, тому що множина з n елементами має тільки n підмножин з 1 елементом у кожному. Нарешті, n C 0 = 1, тому що множина з n елементами має тільки одну підмножину з 0 елементами, тобто пусту множину ∅. Щоб розглянути інші поєднання, повернімося до прикладу 1 і порівняємо кількість комбінацій з кількістю перестановок.

Зауважте, що кожна комбінація з 3-х елементів має 6, або 3!, перестановок.
3! . 5 C 3 = 60 = 5 P 3 = 5. 4 . 3,
so
.
Загалом, число поєднань з k елементів, вибраних з n об'єктів, n C k разів перестановок цих елементів k!, Повинне дорівнювати числу перестановок n елементів по k елементів:
k! n C k = n P k
n C k = n P k /k!
n C k = (1/k!). n P k
n C k =

Комбінації k об'єктів з n об'єктів
Загальна кількість комбінацій до елементів з об'єктів n позначається n C k , визначається
(1) n C k = ,
або
(2) n C k =

Інший тип позначення для n C k це біномінальний коефіцієнт . Причина для такої термінології буде зрозумілою нижче.

Біномінальний коефіцієнт

Приклад 2Обчисліть , використовуючи формули (1) та (2).

Рішення
a) Відповідно до (1),
.
b) Відповідно до (2),

Майте на увазі, що не означає n/k.

Приклад 3Обчисліть та .

РішенняМи використовуємо формулу (1) для першого виразу та формулу (2) для другого. Тоді
,
використовуючи (1), та
,
використовуючи формулу (2).

Зверніть увагу, що
,
та використовуючи результат прикладу 2 дає нам
.
Звідси випливає, що число 5-ти елементного підмножини з множини 7 елементів те саме, що і число 2-елементного підмножини множини з 7 елементів. Коли 5 елементів вибираються з набору, вони не включають 2 елементи. Щоб побачити це, розглянемо безліч (A, B, C, D, E, F, G):


Загалом, ми маємо таке. Цей результат дає альтернативний спосіб обчислення комбінації.

Підмножини розміру k та розміру
і n C k = n C n-k
Число підмножин розміру до множини з n об'єктами таке ж, як і число підмножин розміру n - до.

Тепер ми вирішуватимемо завдання з комбінаціями.

Приклад 4 Мічиганська лотерея. Лотерея WINFALL, що проводиться в штаті Мічиган двічі на тиждень, має джек-пот, який, принаймні, дорівнює 2 млн. доларів США. За один долар гравець може закреслити будь-які 6 чисел від 1 до 49. Якщо ці числа збігаються з тими, що випадають під час проведення лотереї, гравець виграє. (

Число поєднань

Поєднаннямз nпо kназивається набір kелементів, вибраних із даних nелементів. Набори, що відрізняються тільки порядком проходження елементів (але не складом), вважаються однаковими, цим поєднання відрізняються від розміщень.

Явні формули

Число поєднань з nпо k дорівнює біноміальному коефіцієнту

При фіксованому значенні nвиконує функцією чисел поєднань з повтореннями з nпо kє:

Двовимірною функцією чисел поєднань з повтореннями є:

Посилання

• Р. СтенліПеречислювальна комбінаторика. - М: Мир, 1990.
• Обчислення числа поєднань онлайн

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитися що таке "Кількість поєднань" в інших словниках:

70 сімдесят 67 · 68 · 69 · 70 · 71 · 72 · 73 40 · 50 · 60 · 70 · 80 · 90 · 100 Факторизація: 2×5×7 Римський запис: LXX Двійковий: 100 0110 … Вікіпедія

Світлове число, умовне число, що однозначно виражає зовніш. умови при зйомці (зазвичай яскравість об'єкта зйомки і світлочутливість застосовуваного фотоматеріалу). Будь-якому значенню Е. ч. можна підібрати дек. поєднань діафрагмове число. Великий енциклопедичний політехнічний словник

Форма числа, що виділяє два предмети як по відношенню до одиничного предмета, так і по відношенню до безлічі предметів. У сучасній російській мові ця форма не існує, але залишки її впливу збереглися. Так, поєднання два столи (пор. мн. ч.… … Словник лінгвістичних термінів

Комбінаторна математика, комбінаторика, розділ математики, присвячений вирішенню завдань вибору та розташування елементів деякої, зазвичай кінцевої, множини відповідно до заданих правил. Кожне таке правило визначає спосіб побудови. Математична енциклопедія

У комбінаториці поєднанням з називається набір елементів, вибраних з даної множини, що містить різних елементів. Набори, що відрізняються тільки порядком прямування елементів (але не складом), вважаються однаковими, цим поєднанням.

Займається вивченням подій, настання яких достовірно невідоме. Вона дозволяє судити про розумність очікування настання одних подій порівняно з іншими, хоча приписування чисельних значень ймовірностей подій часто буває зайвим. Енциклопедія Кольєра

1) те саме, що математичний комбінаторний аналіз. 2) Розділ елементарної математики, пов'язаний з вивченням кількості комбінацій, підпорядкованих тим чи іншим умовам, які можна скласти із заданої кінцевої множини об'єктів. Велика Радянська Енциклопедія

- (грец. paradoxos несподіваний, дивний) у широкому сенсі: твердження, що різко розходиться із загальноприйнятою, усталеною думкою, заперечення того, що видається «безумовно правильним»; у вужчому сенсі два протилежні твердження, для… Філософська енциклопедія

- (або принцип включень винятків) комбінаторна формула, що дозволяє визначити потужність об'єднання кінцевої кількості кінцевих множин, які в загальному випадку можуть перетинатися один з одним.

Математична теорія, що займається визначенням кількості різних способів розподілу даних предметів у порядку; має особливо важливе значення в теорії рівнянь та теорії ймовірностей. Найпростіші завдання цього роду полягають у… Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

Книги

• Число долі. Гороскоп сумісності. Бажання. Пристрасті. Фантазії (кількість томів: 3), Майєр Максим. Число долі. Як скласти індивідуальний нумерологічний прогноз Нумерологія - одна з найдавніших езотеричних систем. Неможливо точно встановити час її виникнення. Однак у…