Як порахувати пропорцію формула. Як вирахувати відсоток із суми за допомогою пропорції? Використання сторонніх програм

(від латів. ргороrtio- "сумірність").

Якщо співвідношення а: bодно співвідношенню з:d, то тотожність а:b= с:dназивають пропорцією.

Якщо , то рівність збережеться і в таких випадках:

(Збільшення пропорції),

(Зменшення пропорції).

(Складання пропорції додаванням),

(Складання пропорції відніманням).

Зауважимо, що складання пропорцій — ще один спосіб розв'язання задач на відсотки.

Наприклад:

Олово виробляють із мінералу, який називають каситеритом. Скільки тонн олова отримають із 25 т каситериту, якщо він містить 78 % олова?

Рішення. Нехай отримають хт олова. Взявши масу мінералу за 100%, запишемо:

Вирішивши 25.78 = 100х ми бачимо, що х = 19,5т.

Концепція пропорції тісно взаємопов'язана із пропорційністю. Пропорційність- це постійне співвідношення двох величин друг до друга. Наприклад, чим більше ми тиснемо на педаль "газ" у машині, тим швидше вона поїде.

Пропорційність може бути прямою та зворотною.

Пряма пропорційність - зростання однієї величини тягне у себе зростання інший.

Зворотна пропорційність існує тоді, коли зростання однієї величини у кілька разів, у стільки ж разів зменшує іншу. Продовжуючи попередній приклад- зворотна пропорційність між натисканням на педаль "гальмо" та швидкістю автомобіля - чим більше ми давимо на гальмо, тим менша швидкість.

Сьогодні ми продовжуємо серію відеоуроків, присвячених завданням на відсотки з ЄДІ з математики. Зокрема, розберемо два цілком реальні завдання з ЄДІ і ще раз переконаємося, наскільки важливо уважно читати умову завдання та правильно його інтерпретувати.

Отже, перше завдання:

Завдання. Лише 95% та 37 500 випускників міста правильно вирішили завдання B1. Скільки людей правильно вирішили задачу B1?

На перший погляд, здається, що це якесь завдання для кепів. На кшталт:

Завдання. На дереві сиділо 7 пташок. 3 з них полетіло. Скільки пташок полетіло?

Проте, давай таки порахуємо. Вирішуватимемо методом пропорцій. Отже, ми маємо 37 500 учнів — це 100%. А також є кілька учнів, яке становить 95% тих самих щасливчиків, які правильно вирішили завдання B1. Записуємо це:

37 500 — 100%
X - 95%

Потрібно скласти пропорцію і знайти x. Отримуємо:

Перед нами класична пропорція, але перш ніж скористатися основною властивістю та перемножити її хрест-навхрест, пропоную розділити обидві частини рівняння на 100. Іншими словами, закреслимо в чисельнику кожного дробу по два нулі. Перепишемо отримане рівняння:

За основною якістю пропорції, добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів. Іншими словами:

x = 375 · 95

Це досить великі числа, тому доведеться множити їх стовпчиком. Нагадую, що користуватися калькулятором на ЄДІ з математики категорично заборонено. Отримаємо:

x = 35625

Разом відповідь: 35625. Саме стільки людей з вихідних 37500 вирішили завдання B1 правильно. Як бачите, ці числа досить близькі, що цілком логічно, тому що 95% теж дуже близькі до 100%. Загалом, перше завдання вирішено. Переходимо до другої.

Завдання на відсотки №2

Завдання. Лише 80% із 45 000 випускників міста правильно вирішили завдання B9. Скільки людей вирішили задачу B9 неправильно?

Вирішуємо за тією самою схемою. Спочатку було 45 000 випускників – це 100%. Потім із цієї кількості треба вибрати x випускників, які мають становити 80% від вихідної кількості. Складаємо пропорцію та вирішуємо:

45 000 — 100%
x - 80%

Давайте скоротимо по одному нулю в чисельнику та знаменнику 2-го дробу. Ще раз перепишемо отриману конструкцію:

Основна властивість пропорції: добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх. Отримуємо:

45 000 · 8 = x · 10

Це найпростіше лінійне рівняння. Виразимо з нього змінну x:

x = 45 000 · 8: 10

Скорочуємо по одному нулю у 45 000 і 10, у знаменнику залишається одиниця, тому все, що нам потрібно — це знайти значення виразу:

x = 4500 · 8

Можна, звичайно, вчинити так само, як минулого разу, і перемножити ці числа стовпчиком. Але давайте не будемо самі собі ускладнювати життя, і замість множення стовпчиком розкладемо вісімку на множники:

x = 4500 · 2 · 2 · 2 = 9000 · 2 · 2 = 36 000

А тепер найголовніше, про що я говорив на самому початку уроку. Потрібно уважно читати умову завдання!

Що від нас потрібно дізнатися? Скільки людей вирішили завдання B9 неправильно. А ми щойно знайшли тих людей, які вирішили правильно. Таких виявилося 80% вихідного числа, тобто. 36 000. Це означає, що з отримання остаточної відповіді треба відняти з вихідної чисельності учнів наші 80%. Отримаємо:

45 000 − 36 000 = 9000

Отримане число 9000 це і є відповідь до завдання. У цьому місті з 45 000 випускників 9000 чоловік вирішили завдання B9 неправильно. Все, завдання вирішено.

§ 125. Поняття про пропорцію.

Пропорцією називається рівність двох відносин. Ось приклади рівностей, які називають пропорціями:

Примітка. Найменування величин у пропорціях не вказано.

Пропорції прийнято читати так: 2 так відноситься до 1 (одиниці), як 10 відноситься до 5 (перша пропорція). Можна читати інакше, наприклад: 2 у стільки разів більше 1, скільки разів 10 більше 5. Третю пропорцію можна прочитати так: - 0,5 стільки разів менше 2, у скільки разів 0,75 менше 3.

Числа, що входять до пропорції, називаються членами пропорції. Отже, пропорція складається із чотирьох членів. Перший і останній члени, тобто члени, що стоять по краях, називаються крайніми, А члени пропорції, що знаходяться в середині, називаються середнімичленами. Значить, у першій пропорції числа 2 та 5 будуть крайніми членами, а числа 1 та 10 – середніми членами пропорції.

§ 126. Основна властивість пропорції.

Розглянемо пропорцію:

Перемножимо окремо її крайні та середні члени. Добуток крайніх 6 4 = 24, добуток середніх 3 8 = 24.

Розглянемо іншу пропорцію: 10: 5 = 12: 6. Перемножимо і тут окремо крайні та середні члени.

Добуток крайніх 10 6 = 60, добуток середніх 5 12 = 60.

Основна властивість пропорції: Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх її членів.

У загальному вигляді основна властивість пропорції записується так: ad = bc .

Перевіримо його на кількох пропорціях:

1) 12: 4 = 30: 10.

Пропорція ця вірна, оскільки рівні відносини, у тому числі вона складена. Разом про те, взявши твір крайніх членів пропорції (12 10) і середніх її членів (4 30), побачимо, що вони рівні між собою, тобто.

12 10 = 4 30.

2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6

Пропорція вірна, що легко переконатися, спростивши перше і друге відносини. Основна властивість пропорції набуде вигляду:

1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20

Неважко переконатися в тому, що якщо ми напишемо таку рівність, у якої в лівій частині стоїть твір двох чисел, а в правій частині твір двох інших чисел, то з цих чотирьох чисел можна скласти пропорцію.

Нехай у нас є рівність, до якої входять чотири числа, попарно перемножені:

ці чотири числа можуть бути членами пропорції, яку неважко написати, якщо прийняти перший твір за твір крайніх членів, а другий - за твір середніх. Виданої рівності можна скласти, наприклад, таку пропорцію:

Взагалі, з рівності ad = bc можна отримати такі пропорції:

Виконайте самостійно таку вправу. Маючи добуток двох пар чисел, напишіть пропорцію, яка відповідає кожній рівності:

а) 16 = 23;

б) 215 = б 5.

§ 127. Обчислення невідомих членів пропорції.

Основна властивість пропорції дозволяє обчислити будь-який із членів пропорції, якщо він невідомий. Візьмемо пропорцію:

х : 4 = 15: 3.

У цій пропорції невідомий один крайній член. Ми знаємо, що у будь-якій пропорції твір крайніх членів дорівнює добутку середніх членів. На цій підставі ми можемо написати:

x 3 = 4 15.

Після множення 4 на 15 ми можемо переписати цю рівність так:

х 3 = 60.

Розглянемо цю рівність. У ньому перший співмножник невідомий, другий співмножник відомий і твір відомий. Ми знаємо, що знаходження невідомого співмножника досить твір розділити інший (відомий) сомножитель. Тоді вийде:

х = 60: 3, або х = 20.

Перевіримо знайдений результат підстановкою числа 20 замість х у цю пропорцію:

Пропорція вірна.

Подумаємо, які дії довелося виконати для обчислення невідомого крайнього члена пропорції. З чотирьох членів пропорції нам був невідомий лише один крайній; два середніх і другий крайній були відомі. Для знаходження крайнього члена пропорції ми спочатку перемножили середні члени (4 і 15), а потім знайдений твір поділили відомий крайній член. Зараз ми покажемо, що дії не змінилися б, якби крайній член пропорції, що шукається, стояв не на першому місці, а на останньому. Візьмемо пропорцію:

70: 10 = 21: х .

Запишемо основну властивість пропорції: 70 х = 10 21.

Перемноживши числа 10 і 21, перепишемо рівність у такому вигляді:

70 х = 210.

Тут невідомий один співмножник, для його обчислення достатньо твір (210) розділити на інший співмножник (70),

х = 210: 70; х = 3.

Таким чином, ми можемо сказати, що кожен крайній член пропорції дорівнює добутку середніх, поділеному на інший крайній.

Тепер перейдемо до обчислення невідомого середнього члена. Візьмемо пропорцію:

30: х = 27: 9.

Напишемо основну властивість пропорції:

30 9 = х 27.

Обчислимо добуток 30 на 9 і переставимо частини останньої рівності:

х 27 = 270.

Знайдемо невідомий співмножник:

х = 270: 27, або х = 10.

Перевіримо підстановкою:

30: 10 = 27: 9. Пропорція вірна.

Візьмемо ще одну пропорцію:

12: б = х : 8. Напишемо основну властивість пропорції:

12 . 8 = 6 х . Перемножуючи 12 і 8 і переставляючи частини рівності, отримаємо:

6 х = 96. Знаходимо невідомий співмножник:

х = 96: 6, або х = 16.

Таким чином, кожен середній член пропорції дорівнює добутку крайніх, поділеному на інший середній.

Знайдіть невідомі члени таких пропорцій:

1) а : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;

2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: х .

Два останні правила загалом можна записати так:

1) Якщо пропорція має вигляд:

х: а = b: с , то

2) Якщо пропорція має вигляд:

а: х = b: с , то

§ 128. Спрощення пропорції та перестановка її членів.

У цьому параграфі ми виведемо правила, що дозволяють спрощувати пропорцію у тому випадку, коли до неї входять великі числа чи дробові члени. До числа перетворень, що не порушують пропорцію, належать такі:

1. Одночасне збільшення або зменшення обох членів будь-якого відношення в однакове число разів.

П р і м е р. 40: 10 = 60: 15.

Збільшивши в 3 рази обидва члени першого відношення, отримаємо:

120:30 = 60: 15.

Пропорція не порушилась.

Зменшивши в 5 разів обидва члени другого відношення, отримаємо:

Здобули знову правильну пропорцію.

2. Одночасне збільшення або зменшення обох попередніх або обох наступних членів у однакове число разів.

приклад. 16:8 = 40:20.

Збільшимо вдвічі попередні члени обох відносин:

Отримали правильну пропорцію.

Зменшимо у 4 рази наступні члени обох відносин:

Пропорція не порушилась.

Два отримані висновки можна коротко висловити так: Пропорція не порушиться, якщо ми одночасно збільшимо або зменшимо в однакове число разів будь-який крайній член пропорції і середній.

Наприклад, зменшивши в 4 рази 1-й крайній та 2-й середній члени пропорції 16:8 = 40:20, отримаємо:

3. Одночасне збільшення чи зменшення всіх членів пропорції в однакове число разів. приклад. 36:12 = 60:20. Збільшимо всі чотири числа у 2 рази:

Пропорція не порушилась. Зменшимо всі чотири числа у 4 рази:

Пропорція вірна.

Перелічені перетворення дозволяють, по-перше, спрощувати пропорції, а по-друге, звільняти їхню відмінність від дробових членів. Наведемо приклади.

1) Нехай є пропорція:

200: 25 = 56: x .

У ній членами першого відносини є порівняно великі числа, і якби ми побажали знайти значення х нам довелося б виконувати обчислення над цими числами; але ми знаємо, що пропорція не порушиться, якщо обидва члени відносини розділити одне й те число. Розділимо кожен із них на 25. Пропорція набуде вигляду:

8:1 = 56: x .

Таким чином, ми отримали більш зручну пропорцію, з якої х можна знайти в розумі:

2) Візьмемо пропорцію:

2: 1 / 2 = 20: 5.

У цій пропорції є дрібний член (1/2), від якого можна звільнитися. Для цього доведеться помножити цей член, наприклад, на 2. Але один середній член пропорції ми не маємо права збільшувати; потрібно разом з ним збільшити якийсь із крайніх членів; тоді пропорція не порушиться (на підставі перших двох пунктів). Збільшимо перший із крайніх членів

(2 2): (2 1 / 2) = 20: 5, або 4: 1 = 20:5.

Збільшимо другий крайній член:

2: (2 1 / 2) = 20: (2 5), або 2: 1 = 20: 10.

Розглянемо ще три приклади звільнення пропорції від дробових членів.

Приклад 1. 1/4: 3/8 = 20:30.

Наведемо дроби до спільного знаменника:

2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.

Помноживши на 8 обидва члени першого відношення, отримаємо:

Приклад 2. 12: 15/14 = 16: 10/7. Наведемо дроби до спільного знаменника:

12: 15 / 14 = 16: 20 / 14

Помножимо обидва наступні члени на 14, отримаємо: 12:15 = 16:20.

Приклад 3. 1/2: 1/48 = 20: 5/6.

Помножимо всі члени пропорції на 48:

24: 1 = 960: 40.

При вирішенні завдань, у яких зустрічаються якісь пропорції, часто доводиться для різних цілей переставляти члени пропорції. Розглянемо, які перестановки є законними, т. е. пропорції, що не порушують. Візьмемо пропорцію:

3: 5 = 12: 20. (1)

Переставивши в ній крайні члени, отримаємо:

20: 5 = 12:3. (2)

Переставимо тепер середні члени:

3:12 = 5: 20. (3)

Переставимо одночасно і крайні, і середні члени:

20: 12 = 5: 3. (4)

Усі ці пропорції вірні. Тепер поставимо перше ставлення місце другого, а друге - місце першого. Вийде пропорція:

12: 20 = 3: 5. (5)

У цій пропорції ми зробимо ті ж самі перестановки, які робили раніше, тобто переставимо спочатку крайні члени, потім середні і, нарешті, одночасно і крайні, і середні. Вийдуть ще три пропорції, які теж будуть справедливими:

5: 20 = 3: 12. (6)

12: 3 = 20: 5. (7)

5: 3 = 20: 12. (8)

Отже, з однієї пропорції шляхом перестановки можна отримати ще 7 пропорцій, що разом з даною становить 8 пропорцій.

Особливо легко можна знайти справедливість всіх цих пропорцій при буквеному записі. Отримані вище 8 пропорцій набувають вигляду:

а: b = с: d; c: d = a: b;

d: b = с: a; b: d = a: c;

a: c = b: d; c: a = d: b;

d: c = b: a; b: a = d: c.

Легко бачити, що в кожній з цих пропорцій основна властивість набуває вигляду:

ad = bc.

Таким чином, зазначені перестановки не порушують справедливості пропорції та ними можна користуватися у разі потреби.

У розділі на питання Нагадайте, як за допомогою пропорції вираховувати відсотки? заданий автором силосуватинайкраща відповідь це На папірці перемножуючи хрестиком відомі дані і поділяючи на 3-е число. Приблизно так:
500=100%
200=??? %
Разом 200 * 100 / 500 = 40%
Ну ось якось так...))

Відповідь від Єрґей Орлов[майстер]
Складні завдання з математики % слабким учням краще знаходити з допомогою пропорцій.
Відсотки від числа можуть знаходити без пропорцій.
Помножуєш на калькуляторі саме число на кількість %, поділених на 100.
Щоб визначити 13% від 70 необхідно 70 * 0,13
Існують ще 2 типи завдань на %.
Щоб визначити ск-ко% становить частину від цілого. Хоча тут без пропорцій легко можна обійтись.
А ось коли відомі % від числа. Тут уже багато складнощів.
Якщо трапляється завдання на %, за "х" приймаєш те, що потрібно знайти.
Ставиш рисочку і пишеш, чому вона відповідає.
Унизу пишеш такі дані.
Наприклад, за останнім типом завдання.
Багатьом 4-шникам її важко вирішити.
5% деякого числа дорівнює, допустимо 12.
Знайти саме число. Застосуємо це до хімії. Дано 5%-й розчин кислоти. Маса самої к-ти (чистого в-ва, концентрованої) у р-рі становить 12 р. Знайти масу всього р-ра.
Пишемо пропорцію.
х ------100%
12 г -------5%
Помножуємо хрест-навхрест.
х * 5 = 12 * 100
Вирішуємо ур-е, що вийшло.
х = (12 * 100) 5 = 240 (р.)

Відповідь від Agatakristi[гуру]
Взагалі-то відсотки в п'ятому класі вивчають, і вчать їх обчислювати без допомоги пропорцій. Я викладаю у ВНЗ, на економічному факультеті, і більше половини моїх студентів відчувають труднощі в операціях із відсотками, що мене щиро дивує. Адже це прості речі! Що ж за студенти пішли! Якщо у виші їм доводиться пояснювати програму 5-го класу!

Відповідь від тростина[гуру]
5% від 68
68 - 100%
Х – 5%
Х = (5 * 68) / 100 = 3,4
або
68 * 0,05 = 3,4 т. к. відсоток - це 1/100 числа

Квадратне рівняння на Вікіпедії
Квадратне рівняння

Пропорція математика на Вікіпедії
Подивіться статтю на вікіпедії про Пропорція математика

Але не все так складно та незрозуміло, як здається на перший погляд. Навіщо взагалі все це потрібно? Ось найпоширеніший приклад.

Припустимо, у нас на сайті є завантаження зображень, і ми хочемо, щоб після завантаження у нас створювалася мініатюрна копія, превьюшка какртинки. Часто це потрібно для анонсу новин, наприклад. А скрипт вимагає, щоб ви задали хоча б зразкові розміри мініатюрного зображення – його ширину та висоту.

Припустимо, що ви вже намітили його ширину, але як бути з висотою? Як вирахувати її та, щоб картинка здавалася більш-менш пропорційною по відношенню до вихідної.

Формула розрахунку

Все робиться у два етапи:

• 1 - Ділимо вихідну ширину на необхідну ширину;
• 2 - Отримуємо необхідну висоту, поділивши вихідну висоту на результат поділу двох ширин (п.1).

приклад. Візьмемо вже всім відомі розміри зображень: 1024x768 та 800x600. Уявімо, що ми не знаємо висоту другої картинки. За формулою виходить таке: 768/(1024/800) = 600 . Це і потрібна нам висота.

Якщо ж ми знаємо висоту, а нам потрібно отримати ширину, то необхідно зробити все, як у першій формулі, тільки навпаки.

Щоб отримати необхідну ширину, потрібно:

• 1 - Ділимо вихідну висоту на необхідну висоту;
• 2 - Отримуємо необхідну ширину, поділивши вихідну ширину на результат поділу двох висот (п.1).

Тобто, 1024/(768/600) = 800 .