Як розкласти квадратний тричлен на множники Розкладання квадратних тричленів на множники: приклади та формули

Розробка відкритого уроку

з алгебри у 8 класі

на тему: «Квадратний тричлен. Розкладання квадратного тричлена на множники.»

Вчитель математики КДУ ЗОШ №16 м.Караганди

Бекенова Г.М.

Караганда 2015

"Математику не можна вивчати спостерігаючи".

Ларрі Нівен – професор математики

Тема урока:

Квадратний тричлен.

Розкладання квадратного тричлена на множники.

Цілі уроку:

1. Домогтися від усіх учнів класу успішного відпрацювання та застосування знань під час розкладання квадратного тричлена на множники.

2. Сприяти: а) розвитку самоконтролю та самонавчання,

б) вміння користуватися інтерактивною дошкою,

в) розвитку математичної письменності, акуратності.

3. Виховувати вміння грамотно, лаконічно висловлювати свою думку, толерантно ставитися до погляду однокласників, отримувати задоволення від досягнутих результатів.

Тип уроку:комбінований урок з диференційованим та індивідуальним підходом, з елементами навчання, що розвиває та випереджає.

Місце уроку:Третій урок з цієї теми (основний), на перших двох учні дізналися визначення квадратного тричлена, навчилися знаходити його коріння, познайомилися з алгоритмом розкладання квадратного тричлена на множники, а це надалі допоможе у вирішенні рівнянь, скороченні дробів, перетворенні алгебраїчних виразів.

Структура уроку:

1 Актуалізація знань із диференційованим підходом до учнів.

2 Контроль-самоперевірка раніше засвоєних знань.

3 Виклад нового матеріалу-частково пошуковий метод.

4 Первинне закріплення вивченого, індивідуально-диференційований підхід.

5 Осмислення, узагальнення знань.

6 Постановка домашнього завдання шляхом проблемного навчання.

Обладнання: інтерактивна дошка, звичайна дошка, картки із завданнями, підручник «Алгебра 8», копіювальний папір та чисті листочки, символи фізіогностики.

Хід уроку

Організаційний момент(1 хвилина).

1. Привітання учнів; перевірка їхньої готовності до уроку.

2. Повідомлення мети уроку.

І етап.

“Повторення мати навчання."

1. Перевірка домашнього завдання. № 476 (б, г), №474, №475

2. Індивідуальна робота за картками (4 особи) (під час перевірки домашнього завдання) (5 хвилин)

ІІ етап.

"Довіряй але перевіряй"

Перевірна робота із самоконтролем.

Перевірна робота (через копіювальний папір) із самоперевіркою.

І варіант m ІІ варіант т

1) 2)

2. Розкласти на множники квадратний тричлен:

Відповіді

до перевірочної роботи

"Довіряй але перевіряй."

1. Знайти коріння квадратного тричлена:

І варіант ІІ варіа нт

2. Розкласти квадратний тричлен на множники:

1) (X-3) (X+5); 1) (X+9) (X-7)

2) 9X (X-14); 2) 8X(X-16);

3) 4 (X-6) (X+6). 3) 7 (X-3) (X+3).

Декілька яскравих відповідей відзначити.

Питання учням:

Як ви вважаєте, де можна застосувати розкладання квадратного тричлена на множники?

Правильно: при вирішенні рівнянь,

при скороченні дробів,

у перетворенні алгебраїчних виразів.

ІІІ етап

” Вміння та праця все перетруть ”(10 хвилин)

1. Розглянемо застосування розкладання квадратного тричлена на множники при скороченні дробів. Робота учнів біля дошки.

Скоротити дріб:

2. А тепер розглянемо застосування розкладання квадратного тричлена на множники у перетвореннях виразів алгебри.

Підручник Алгебра 8. стор. 126 № 570 (б)

А тепер покажіть, як ви використовуєте розкладання квадратного тричлена на множники.

IV етап

"Куй залізо поки гаряче!"

Самостійна робота (13 хвилин)

І варіант І І варіант

Скоротити дріб:

5. Я зрозумів що…….

6. Тепер я можу…….

7. Я відчув що…..

8. Я придбав….

9. Я навчився…….

10.У мене вийшло………

11.Я зміг….

12. Я спробую……

13. Мене здивувало….

14. Урок дав мені життя….

15. Мені захотілося.

Інформація про домашнє завдання: наступного уроку принести домашню самостійну роботу, яку отримали тиждень тому.

Домашня самостійна робота.

І варіант І І варіант

№ 560 (а, в) № 560 (б, г)

№ 564 (а, в) № 564 (б, г)

№ 566(а) № 566(б)

№ 569(а) № 569(б)

№ 571 (а, в) № 571 (б, г)

Урок закінчено.

Розкладання квадратних тричленів на множники відноситься до шкільних завдань, з якими рано чи пізно стикається кожен. Як його виконати? Яка формула розкладання квадратного тричлена на множники? Розберемося покроково за допомогою прикладів.

Загальна формула

Розкладання квадратних тричленів на множники здійснюється розв'язком квадратного рівняння. Це нескладне завдання, яке можна вирішити кількома методами – знаходженням дискримінанта, за допомогою теореми Вієта, існує і графічний спосіб розв'язання. Перші два способи вивчаються у середній школі.

Загальна формула виглядає так:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Алгоритм виконання завдання

Щоб виконати розкладання квадратних тричленів на множники, потрібно знати теорему Віта, мати під рукою програму на вирішення, вміти знаходити рішення графічно чи шукати коріння рівняння другого ступеня через формулу дискримінанта. Якщо даний квадратний тричлен і його треба розкласти на множники, алгоритм дій такий:

1) Зрівняти вихідний вираз до нуля, щоб отримати рівняння.

2) Навести подібні доданки (якщо є така необхідність).

3) Знайти коріння будь-яким відомим способом. Графічний метод краще застосовувати у разі, якщо наперед відомо, що коріння - цілі та невеликі числа. Потрібно пам'ятати, що кількість коренів дорівнює максимальному ступеню рівняння, тобто квадратного рівняння коренів два.

4) Підставити значення ху вираз (1).

5) Записати розкладання квадратних тричленів на множники.

Приклади

Остаточно зрозуміти, як виконується це завдання, дозволяє практика. Ілюструють розкладання на множники квадратного тричлена приклади:

необхідно розкласти вираз:

Вдамося до нашого алгоритму:

1) х 2 -17х +32 = 0

2) подібні доданки зведені

3) за формулою Вієта знайти коріння для цього прикладу складно, тому краще скористатися виразом для дискримінанта:

D = 289-128 = 161 = (12,69) 2

4) Підставимо знайдене нами коріння в основну формулу для розкладання:

(Х-2,155) * (Х-14,845)

5) Тоді відповідь буде такою:

х 2 -17х +32 = (х-2,155) (х-14,845)

Перевіримо, чи відповідають знайдені дискримінантом рішення формулам Вієта:

14,845 . 2,155=32

Для цих коренів застосовується теорема Вієта, вони знайшли правильно, отже отримане нами розкладання на множники теж правильно.

Аналогічно розкладемо 12х2+7х-6.

х 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337) 1/2

У попередньому випадку рішення були нецілими, але дійсними числами, які легко знайти, маючи перед собою калькулятор. Тепер розглянемо складніший приклад, у якому коріння буде комплексним: розкласти на множники х 2+4х+9. За формулою Вієта коріння знайти не вийде, і дискримінант негативний. Коріння буде на комплексній площині.

D=-20

Виходячи з цього, отримуємо корені, що нас цікавлять, -4+2i*5 1/2 і -4-2i * 5 1/2, оскільки (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Отримуємо розкладання, підставивши коріння в загальну формулу.

Ще один приклад: потрібно розкласти на множники вираз 23х2-14х+7.

Маємо рівняння 23х2 -14х+7 =0

D=-448

Значить, коріння 14+21,166i та 14-21,166i. Відповідь буде такою:

23х2 -14х+7 = 23 (х- 14-21,166i )*(х- 14+21,166i ).

Наведемо приклад, який можна вирішити без допомоги дискримінанта.

Нехай потрібно розкласти квадратне рівняння х2-32х+255. Очевидно, його можна вирішити і дискримінантом, проте швидше в цьому випадку підібрати коріння.

x 1 = 15

x 2 = 17

Значить х 2 -32х +255 = (Х-15) (Х-17).

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Квадратним тричленомназивають тричлену виду a*x 2 +b*x+c, де a,b,c деякі довільні речові (дійсні) числа, а x – змінна. Причому число а не повинно дорівнювати нулю.

Числа a, b, c називаються коефіцієнтами. Число а – називається старшим коефіцієнтом, число b коефіцієнтом при х, а число називають вільним членом.

Коренем квадратного тричлена a*x 2 +b*x+c називають будь-яке значення змінної х, таке, що квадратний тричлен a*x 2 +b*x+c перетворюється на нуль.

Щоб знайти коріння квадратного тричлена необхідно вирішити квадратне рівняння виду a*x 2 +b*x+c=0.

Як знайти коріння квадратного тричлена

Для вирішення можна використовувати один із відомих способів.

• 1 спосіб.

Знаходження коріння квадратного тричлена за формулою.

1. Знайти значення дискримінанта за формулою D = b 2 -4 * a * c.

2. Залежно від значення дискримінанта обчислити коріння за формулами:

Якщо D > 0,то квадратний тричлен має два корені.

x = -b±√D / 2*a

Якщо D< 0, то квадратний тричлен має один корінь.

Якщо дискримінант негативний, то квадратний тричлен немає коренів.

• 2 спосіб.

Знаходження коріння квадратного тричлена виділенням повного квадрата. Розглянемо з прикладу наведеного квадратного тричлена. Наведене квадратне рівняння, рівняння якого на старший коефіцієнт дорівнює одиниці.

Знайдемо коріння квадратного тричлена x2+2*x-3. Для цього розв'яжемо наступне квадратне рівняння: x 2 +2*x-3=0;

Перетворимо це рівняння:

У лівій частині рівняння стоїть многочлен x 2 +2*x, щоб представити його у вигляді квадрата суми нам необхідно щоб там був ще один коефіцієнт рівний 1. Додамо і віднімемо з цього виразу 1, отримаємо:

(x 2 +2 * x +1) -1 = 3

Те, що в дужках можна подати у вигляді квадрата двочлена

Це рівняння розпадається на два випадки або x+1=2 , або х+1=-2.

У першому випадку одержуємо відповідь х=1, тоді як у другому, х=-3.

Відповідь: х = 1, х = -3.

В результаті перетворень нам необхідно отримати в лівій частині квадрат двочлена, а в правій частині деяке число. У правій частині не повинна бути змінна.

Знайдемо суму та добуток коренів квадратного рівняння. Використовуючи формули (59.8) для коренів наведеного рівняння, отримаємо

(перша рівність очевидно, друга виходить після нескладного обчислення, яке читач проведе самостійно; зручно використати формулу добутку суми двох чисел з їхньої різницю).

Доведено наступне

Теорема Вієта. Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, які твір дорівнює вільному члену.

У разі ненаведеного квадратного рівняння слід у формули (60.1) підставити вирази формули (60.1) набудуть вигляду

Приклад 1. Скласти квадратне рівняння з його коріння:

Рішення, а) Знаходимо рівняння має вигляд

Приклад 2. Знайти суму квадратів коренів рівняння, не вирішуючи самого рівняння.

Рішення. Відомі сума та добуток коренів. Представимо суму квадратів коріння у вигляді

і отримаємо

З формул Вієта легко отримати формулу

що виражає правило розкладання квадратного тричлена на множники.

Насправді напишемо формули (60.2) у вигляді

Тепер маємо

що й потрібно було отримати.

Вищевказаний висновок формул Вієта знайомий читачеві з курсу алгебри середньої школи. Можна дати інший висновок, який використовує теорему Безу та розкладання багаточлена на множники (пп. 51, 52).

Нехай коріння рівняння тоді за загальним правилом (52.2) тричлен у лівій частині рівняння розкладається на множники:

Розкриваючи дужки у правій частині цієї тотожної рівності, отримаємо

і порівняння коефіцієнтів за однакових ступенів дасть нам формули Вієта (60.1).

Перевага цього висновку полягає в тому, що його можна застосувати і до рівнянь вищих ступенів для того, щоб отримати вирази коефіцієнтів рівняння через його коріння (не знаходячи самого коріння!). Наприклад, якщо коріння наведеного кубічного рівняння

суть то відповідно до рівності (52.2) знаходимо

(У нашому випадку Розкривши дужки в правій частині рівності і зібравши коефіцієнти при різних ступенях отримаємо