Як розрізати фігуру на 2 рівні частини. Де торговець має встановити

Кружок 7 класу

Керівник Варвара Олексіївна Косоротова
2009/2010 навчальний рік

Заняття 8. Розрізання на аркуші паперу

При вирішенні завдань такого типу корисно застосовувати такі міркування:

1. Площа.Якщо потрібно розбити фігуру на кілька рівних частин, варто спочатку знайти площу фігури, що розрізається, а потім — кожної з частин. Подібним чином, якщо вихідну фігуру потрібно розбити на кілька фігур заданого виду, варто заздалегідь порахувати, скільки їх має бути. Такі самі міркування можуть допомогти і при вирішенні інших завдань на розрізання. Для ілюстрації цієї ідеї автор цих рядків додав до списку завдання 13, якого було серед завдань, пропонованих на занятті.
2. Симетрія.Властивості симетрії слід приділяти увагу, наприклад, у разі, коли потрібно розрізати одну фігуру на частини і з них зібрати іншу фігуру.

Рішення.Площа вихідної фігури дорівнює 22 (за одиницю площі приймаємо одну клітину). Нехай при розрізанні використано n чотириклітинних та k триклітинних куточків. Тоді виразимо площу великої фігури як суму площ куточків: 22=3 k + 4 n . Перепишемо цю рівність у такому вигляді: 22 − 4 n =3 k . У лівій частині цієї рівності стоїть парне число, яке, однак, не ділиться на 4. Значить, 3 k — теж парне число, яке не ділиться на 4, а отже, таким є саме число k . Крім того, у правій частині рівності стоїть число, кратне 3, тому 22 − 4 n теж кратно 3. Таким чином, 22 − 4 n кратно 6. Перебираючи значення n від 0 до 5 (при n ≥6 22 − 4 n<0<3 k , чего быть не может), получаем, что такое возможно лишь при n =1 и при n =4. В каждом из этих случаев несложно найти k . При n =1 имеем k =6, а при n =4 имеем k =2.
Зауважимо, що ми поки що не довели, що обидва ці випадки реалізуються. Адже рівність площ є лише необхідна умова для існування способу розрізання, але не достатньо (наприклад, прямокутник розміру 1×6, очевидно, не можна розрізати на два триклітинних куточка, хоча 3·2=6). Для завершення доказу слід навести приклади розрізу кожного типу. Це можна зробити багатьма різними способами. На малюнку наведено лише один з них, а ви спробуйте придумати щось своє. До речі, цікаво було б відповісти на таке запитання: скільки всього розрізань кожного типу існує? (Автор цих рядків, наприклад, відповіді це питання поки що не знає).


На закінчення ще раз підкреслимо, що повне вирішення цього завдання включає два кроки: знаходження можливих випадків і перевірка того, що всі вони реалізуються. Кожен із цих кроків окремо не є рішенням завдання!

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Досвід показує, що з використанні практичних методів навчання вдається сформувати в учнів ряд розумових прийомів, необхідні правильного вичленування істотних і несуттєвих ознак при ознайомленні з геометричними фігурами. розвивається математична інтуїція, логічне та абстрактне мислення, формується культура математичної мови, розвиваються математичні та конструкторські здібності, підвищується пізнавальна активність, формується пізнавальний інтерес, розвивається інтелектуальний та творчий потенціал. У статті наводиться ряд практичних завдань на розрізання геометричних фігур на частини цих частин нова фігура. Учні працюють над завданнями у групах. Далі кожна група захищає свій проект.

Дві фігури називаються рівноскладеними, якщо, певним чином розрізавши одну з них на кінцеве число частин, можна (розташовуючи ці частини інакше) скласти з них другу фігуру. Отже, метод розбиття заснований на тому, що всякі два рівноскладені багатокутники рівновеликі. Природно поставити зворотне питання: чи два багатокутники, що мають однакову площу, рівноскладені? Відповідь це питання було дано (майже одночасно) угорським математиком Фаркашем Бойяї (1832г.) і німецьким офіцером і любителем математики Гервіном (1833г.): два багатокутники, мають рівні площі, рівноскладені.

Теорема Бойяї-Гервіна говорить: будь-який багатокутник можна так розрізати на частини, що з цих частин вдасться скласти квадрат.

Завдання 1.

Розріжте прямокутник aх 2aна такі частини, щоб їх можна було скласти квадрат.

Прямокутник ABCD розріжемо на три частини лініями MD і MC (М – середина АВ)

Малюнок 1

Трикутник АMD перемістимо так, щоб вершина М поєдналася з вершиною С, катет АМ переміститься на відрізок DС. Трикутник МВС перемістимо ліворуч і донизу так, що катет МВ накладеться на половину відрізка DС. (Малюнок 1)

Завдання 2.

Розрізати рівносторонній трикутник на частини так, щоб їх можна було скласти квадрат.

Позначимо цей правильний трикутник АВС. Необхідно розрізати трикутник АВС на багатокутники так, щоб їх можна було скласти квадрат. Тоді ці багатокутники повинні мати, принаймні, по одному прямому куту.

Нехай До – середина СВ, Т – середина АВ, точки М і Е виберемо за АС так, що МЕ=АТ=ТВ=ВК=СК= аАМ = ЄС = а/2.

Малюнок 2

Проведемо відрізок МК та перпендикулярні до нього відрізки ЕР та ТН. Розріжемо трикутник на частини вздовж збудованих ліній. Чотирикутник КРЕС повернемо за годинниковою стрілкою щодо вершини К так, що СК поєднається з відрізком КВ. Чотирикутник АМНТ повернемо за годинниковою стрілкою щодо вершини Т так, що АТ поєднається з ТБ. Трикутник МЕР перемістимо так, що в результаті вийде квадрат. (Малюнок 2)

Завдання 3.

Розрізати квадрат на частини так, щоб із них можна було скласти два квадрати.

Позначимо вихідний квадрат ABCD. Зазначимо середини сторін квадрата – точки M, N, K, H. Проведемо відрізки МТ, НЕ, КF та NР – частини відрізків МС, НВ, КА та ND відповідно.

Розрізавши квадрат ABCD за проведеними лініями, отримаємо квадрат PTEF і чотири чотирикутники MDHT, HCKE, KBNF та NAMP.

Малюнок 3

PTEF – вже готовий квадрат. З чотирикутників, що залишилися, складемо другий квадрат. Вершини A, B, C і D сумісний в одну точку, відрізки АМ та ВК, MD та КС, BN та СН, DH та АN суміщаться. Точки Р, Т, Е та F стануть вершинами нового квадрата. (Малюнок 3)

Завдання 4.

Зі щільного паперу вирізані рівносторонній трикутник і квадрат. Розрізати ці фігури на багатокутники так, щоб з них можна було скласти один квадрат, причому частини повинні повністю його заповнювати і не повинні перетинатися.

Трикутник розріжемо на частини і складемо з них квадрат так, як показано в завданні 2. Довжина сторони трикутника - 2а. Тепер слід розділити на багатокутники квадрат так, щоб із цих частин і того квадрата, що вийшов із трикутника, скласти новий квадрат. Візьмемо квадрат зі стороною 2 а, Позначимо його LRSD. Проведемо взаємно перпендикулярні відрізки UG та VF так, що DU=SF=RG=LV. Розріжемо квадрат на чотирикутники.

Малюнок 4

Візьмемо квадрат, складений із частин трикутника. Викладемо чотирикутники – частини квадрата, як показано малюнку 4.

Завдання 5.

Хрест складається з п'яти квадратів: один квадрат у центрі, інші чотири прилежать до його сторонам. Розрізати його на такі частини, щоб із них можна було скласти квадрат.

З'єднаємо вершини квадратів так, як показано на малюнку 5. Відріжемо "зовнішні" трикутники і перемістимо їх на вільні місця всередині квадрата АВСК.

Малюнок 5

Завдання 6.

Перекроїти два довільні квадрати в один.

На малюнку 6 показано, як потрібно розрізати та перемістити частини квадратів.

З листом картатого паперу за допомогою ножиць можна вирішити безліч найрізноманітніших і найцікавіших завдань. Ці завдання не лише цікаві чи кумедні. Вони часто практичне дозвіл і доказ іноді дуже складних геометричних питань.

Почнемо з головного правила розрізання та складання: Два багатокутники називаються рівноскладеними, якщо один з них можна розбити (розрізати) на деякі інші багатокутники, з яких можна скласти другий багатокутник.

Рівноскладені багатокутники, звичайно, мають однакову площу (рівновеликі), і тому властивість рівноскладеності дозволяє іноді отримати формули для обчислення площ або порівнювати площі фігур (як кажуть, методом розбиття або розкладання). Прикладом є порівняння (обчислення) площ паралелограма та прямокутника.

Загальне питання про рівноскладання двох багатокутників далеко не просте. Існує дивовижна теорема, в якій стверджується, що з будь-якого багатокутника, за допомогою розрізання його на частини, може бути сконструйований будь-який інший багатокутник тієї ж площі.

У цій теоремі йдеться про так звані прості багатокутники. Простий багатокутник – це такий багатокутник, у якого межа складається з однієї замкнутої лінії без самоперетинів, і в кожній вершині цієї ламаної сходиться рівно дві її ланки. Важливою властивістю простого багатокутника є той факт, що він має принаймні одну внутрішню діагональ.

Зауважимо, що для допустимого перетворення прямокутника на квадрат нам (рисунок 3) знадобилося розбити його на три частини. Однак це розбиття не є єдиним. Можна, наприклад, навести приклад розбиття прямокутника на чотири частини (рисунок 4).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif" width="356" height="391 src=">

Питання про те, яке найменше розрізів достатньо, щоб сконструювати з однієї фігури іншу, залишається відкритим і до сьогодні.

Завдання для самостійного вирішення командами «молодшої» вікової групи

Завдання 1

Равлик повзе вгору стовпом заввишки 10 м. За день він піднімається на 5 м, а за ніч - опускається на 4 м. За який час равлик добереться від підніжжя до вершини стовпа?

Завдання 2

Чи можна в зошитовому листку вирізати таку дірку, через яку б пролізла людина?

Завдання 3

Зайці пиляють колоду. Вони зробили 10 розпилів. Скільки вийшло чурбачків?

Завдання 4

Бублік ріжуть на сектори. Зробили 10 розрізів. Скільки вийшло шматків?

Завдання 5

На великому круглому торті зробили 10 розрізів так, що кожен розріз йде від краю до краю і проходить через центр торта. Скільки вийшло шматків?

Завдання 6

У двох людей було два квадратні торти. Кожен зробив на своєму торті по 2 прямолінійні розрізи від краю до краю. При цьому в одного вийшло три шматки, а в іншого – чотири. Як це могло бути?

Завдання 7

Зайці знову пиляють колоду, але тепер уже обидва кінці колоди закріплені. Десять середніх чурбачків упали, а два крайні так і залишилися закріпленими. Скільки розпилів зробили зайці?

Завдання 8

Як поділити млинець трьома прямолінійними розрізами на 4,5, 6, 7 частин?

Завдання 9

На прямокутному торті лежить кругла шоколадка. Як розрізати торт на дві рівні частини так, щоб і шоколадка теж розділилася рівно навпіл?

Завдання 10

Чи можна спекти такий торт, який можна розділити одним прямолінійним розрізом на 4 частини?

Завдання 11

На яку максимальну кількість шматків можна поділити круглий млинець за допомогою трьох прямолінійних розрізів?

Завдання 12

У скільки разів сходи на четвертий поверх будинку довші за сходи на другий поверх цього ж будинку?

Завдання 13

У Джузеппе є лист фанери, розміром 22 × 15. Джузеппе хоче з нього вирізати якнайбільше прямокутних заготовок розміром 3 × 5. Як це зробити?

Завдання 14

У Чарівній Країні свої чарівні закони природи, один з яких говорить: «Килим-літач літатиме лише тоді, коли він має прямокутну форму».

Іван-царевич мав килим-літак розміром 9 × 12. Якось Змій Горинич підкрався і відрізав від цього килима маленький килимок розміром 1 × 8. Іван-царевич дуже засмутився, і хотів було відрізати ще шматочок. × 4, щоб вийшов прямокутник 8 × 12, але Василиса Премудра запропонувала вчинити по-іншому. Вона розрізала килим на три частини, з яких чарівними нитками пошила квадратний килим-літак розміром 10 × 10.

Чи зможете ви здогадатися, як Василиса Премудра переробила зіпсований килим?

Завдання 15

Коли Гулівер потрапив до Ліліпутії, він виявив, що там усі речі рівно в 12 разів коротші, ніж на його батьківщині. Чи зможете ви сказати, скільки ліліпутських сірникових коробок поміститься в сірникову коробку Гулівера?

Завдання 16

На щоглі піратського корабля майорить двоколірний прямокутний прапор, що складається з чорних і білих вертикальних смуг, що чергуються однаковою шириною. Загальна кількість смуг дорівнює числу полонених, що знаходяться в даний момент на кораблі. Спочатку на кораблі було 12 полонених, а на прапорі – 12 смуг; потім двоє полонених втекли. Як розрізати прапор на дві частини, а потім пошити їх, щоб площа прапора та ширина смуг не змінилися, а число смуг стало рівним 10?

Завдання 17

У колі відзначили крапку. Чи можна так розрізати це коло на три частини, щоб із них можна було б скласти нове коло, у якого зазначена точка стояла б у центрі?

Завдання 18

Чи можна розрізати квадрат на чотири частини так, щоб кожна частина торкалася (тобто мала спільні ділянки кордону) із трьома іншими?

DIV_ADBLOCK245">

Завдання 24

На лінійці довжиною 9 см немає поділів. Нанесіть на неї три проміжні поділки так, щоб нею можна було вимірювати відстань від 1 до 9 см з точністю до 1 см.

Завдання 25

Біля кожної вершини трикутника напишіть якісь числа, біля кожної сторони трикутника напишіть суму чисел, що стоять на кінцях цієї сторони. Тепер кожне число, що стоїть біля вершини, складіть із числом, що стоїть біля протилежної сторони. Як ви вважаєте, чому вийшли однакові суми?

Завдання 26

Чому дорівнює площа трикутника із сторонами 18, 17, 35?

Завдання 27

Розріжте квадрат на п'ять трикутників так, щоб площа одного з цих трикутників дорівнювала сумі площ, що залишилися.

Завдання 28

Квадратний аркуш паперу розрізали на шість шматків у формі опуклих багатокутників; п'ять шматків загубилися, залишився один шматок у формі правильного восьмикутника (див. рисунок). Чи можна по одному цьому восьмикутнику відновити вихідний квадрат?

Завдання 29

Легко можна розрізати квадрат на два рівні трикутники або два рівні чотирикутники. А як розрізати квадрат на два рівні п'ятикутники або два рівні шестикутники?

Завдання 30

Пішов Іван-царевич шукати викрадену Кощієм Василису Прекрасну. Назустріч йому Лісовик.

Знаю, – каже, – я дорогу в Кощеєве Царство, траплялося, ходив туди. Ішов я чотири дні та чотири ночі. За першу добу я пройшов третину шляху прямою дорогою на північ. Потім повернув на захід, добу продирався лісом і пройшов удвічі менше. Третю добу я йшов лісом, уже на південь, і вийшов на пряму дорогу, що веде на схід. Пройшов я по ній за добу 100 верст і потрапив у Кощеєве царство. Ти ходок такий же жвавий, як і я. Іди, Іване-царевичу, дивишся, на п'ятий день будеш у гостях у Кощія.

Ні,- відповів Іван-царевич,- якщо все так, як ти кажеш, то вже завтра я побачу мою Василину Прекрасну.

Чи правий він? Скільки верст пройшов Лісовик і скільки думає пройти Іван-царевич?

Завдання 31

Придумайте розмальовку граней кубика, щоб у трьох різних положеннях виглядав, як показано малюнку. (Вкажіть, як розфарбувати невидимі грані, або намалюйте розгортку.)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif" align="left" width="205" height="205 src="> Завдання 32

У нумізмату Феді всі монети мають діаметр не більше 10 см. Він зберігає їх у плоскій коробці розміром 30 см*70 см (в один шар). Йому подарували монету діаметром 25 см. Доведіть, що всі монети можна укласти в одну плоску коробку розміром 55 см*55 см.

Завдання 33

З квадрата 5×5 вирізали центральну клітину. Розріжте фігуру на дві частини, в які можна загорнути куб 2×2×2.

Завдання 34

Розріжте цей квадрат по сторонах клітин на чотири частини так, щоб усі частини були однакового розміру та однакової форми і щоб кожна частина містила по одному кухлі та по одній зірочці.

Завдання 35

Автостоянка в Квітковому місті є квадратом 7x 7 клітинок, у кожній з яких можна поставити машину. Стоянка обнесена парканом, одна зі сторін кутової клітки видалена (це ворота). Машина їздить по доріжці завширшки у клітку. Незнайка попросили розмістити якнайбільше машин на стоянці таким чином, щоб будь-яка могла виїхати, коли інші стоять. Незнайко розставив 24 машини так, як показано на рис. Спробуйте розставити машини по-іншому, щоб їх вмістилося більше.

Завдання 36

Петя та Вася живуть у сусідніх будинках (див. план на малюнку). Вася мешкає у четвертому під'їзді. Відомо, що Пете, щоб добігти до Васі найкоротшим шляхом (не обов'язково йдуть по сторонах клітин), байдуже, з якого боку оббігати свій дім. Визначте, у якому під'їзді мешкає Петя.

Завдання 37

Запропонуйте спосіб вимірювання діагоналі звичайної цегли, який легко реалізується на практиці (без теореми Піфагора).

Завдання 38

Розріжте хрест, складений із п'яти однакових квадратів, на три багатокутники, рівних за площею та периметром.

Завдання 39

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_35.gif" width="411" height="111">

Завдання 46

а) Тетраедр б) куб розрізали по ребрах, виділених жирними лініями (див. малюнки) і розгорнули. Намалюйте розгортки, що вийшли.

Завдання 47

Розгортки яких тіл зображені на малюнках? Виконайте креслення за малюнками, склейте їх так, щоб вийшло геометричне тіло.

1)2) 3) 4)https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_30.gif" width="182" height="146 src=">.gif" width="212" height="139">8 )

Вступне слово вчителя:

Невелика історична довідка: Завданнями на розрізання захоплювалися багато вчених із найдавніших часів. Вирішення багатьох простих завдань на розрізання було знайдено ще давніми греками, китайцями, але перший систематичний трактат на цю тему належить перу Абуль-Вефа. Геометри всерйоз зайнялися розв'язанням завдань на розрізання фігур на найменшу кількість елементів і подальшу побудову іншої фігури на початку 20 століття. Одним із засновників цього розділу був знаменитий засновник головоломок Генрі Е.Дьюдені.

У наші дні любителі головоломок захоплюються розв'язанням задач на розрізання насамперед тому, що універсального методу вирішення таких завдань не існує, і кожен, хто береться їх вирішувати, може повною мірою виявити свою кмітливість, інтуїцію та здатність до творчого мислення. (На занятті ми будемо вказувати лише один із можливих прикладів розрізання. Можна припустити, що у учнів може вийти якась інша правильна комбінація - не треба цього боятися).

Дане заняття передбачається провести як практичного заняття. Розбити учасників гуртка на групи по 2-3 особи. Кожній із груп надати заздалегідь підготовлені вчителем фігури. Учні мають у своєму розпорядженні лінійку (з поділками), олівцем, ножицями. Дозволяється проводити за допомогою ножиць лише прямолінійні розрізи. Розрізавши якусь фігуру на частини, необхідно скласти іншу фігуру з тих самих частин.

Завдання на розрізання:

1). Спробуйте розрізати зображену на малюнку фігуру на 3 рівні форми частини:

Підказка: Маленькі постаті дуже схожі на букву Т.

2). Розріжте тепер цю фігуру на 4 рівні форми частини:

Підказка: Легко здогадатися, що дрібні фігурки будуть складатися з трьох клітин, а фігур з трьох клітин не так багато. Їх лише два види: куточок та прямокутник.

3). Розділіть фігуру на дві однакові частини, і з отриманих частин складіть шахівницю.

Підказка: Запропонувати почати виконувати завдання з другої частини, як отримати шахівницю. Згадати, яку форму має шахівниця (квадрат). Порахувати наявну кількість клітин у довжину, завширшки. (нагадати, що клітин має бути 8).

4). Спробуйте трьома рухами ножа розрізати сир на вісім рівних шматків.

Підказка: спробувати розрізати вздовж сир.

Завдання для самостійного вирішення:

1). Виріжте квадрат із паперу та виконайте наступне:

· Розріжте на такі 4 частини, з яких можна скласти два рівних менших квадрата.

· Розріжте на п'ять частин - чотири рівнобедрених трикутника і один квадрат - і складіть їх так, щоб вийшло три квадрати.

Розрізання на дві рівні частини, частина перша

• Математика

Завдання на розрізання - це область математики, де, як кажуть, мамонт не валявся. Безліч окремих проблем, але насправді немає загальної теорії. Крім усім відомої теореми Бойяї-Гервіна, інших фундаментальних результатів у цій галузі практично немає. Невизначеність – вічний супутник завдань на розрізання. Ми можемо, наприклад, розрізати правильний п'ятикутник на шість частин, з яких можна скласти квадрат; однак ми не можемо довести, що п'яти частин для цього було б недостатньо.

За допомогою хитрої евристики, уяви та півлітри нам часом вдається знайти конкретне рішення, але, як правило, ми не маємо відповідного інструментарію, щоб довести мінімність цього рішення або його неіснування (останнє, зрозуміло, відноситься до випадку, коли ми рішення не знайшли) . Це сумно та несправедливо. І якось я взяв чистий зошит і вирішив відновити справедливість у масштабах одного конкретного завдання: розрізання плоскої фігури на дві рівні (конгруентні) частини. У рамках цього циклу статей (їх, до речі, буде три) ми з вами, камради, розглянемо ось цей кумедний багатокутник, зображений нижче, і спробуємо неупереджено розібратися, чи можна розрізати його на дві рівні фігури, чи таки ні.

Вступ

Дві фігури на площині називаються рівними, якщо існує рух, що взаємно однозначно переводить одну фігуру в іншу.

• Ковзна симетрія (сюди я зручності заради і користі для включаю дзеркальну симетрію , як вироджений випадок, де паралельне перенесення виробляється на нульовий вектор)

Введемо деякі позначення. Розрізати фігуру ми будемо називати фігурою A, а дві гіпотетичних рівних фігури, на які ми нібито можемо її розрізати, обзовемо B і C відповідно. Частину площини, не зайняту фігурою A, ми назвемо областю D. У тих випадках, коли як фігура, що розрізається, розглядається конкретний багатокутник з картинки, ми називатимемо його A 0 .

Так ось, якщо фігуру A можна розрізати на дві рівні частини B і C, то існує рух, що переводить B в C. Цей рух може бути або паралельним перенесенням, або поворотом, або ковзною симетрією (починаючи з цього моменту, я більше не обмовляю, що дзеркальна симетрія також вважається ковзною). На цьому нехитрому і, я навіть сказав би, очевидному, базисі і будуватиметься наше рішення. У цій частині ми розглянемо найпростіший випадок – паралельне перенесення. Поворот і ковзна симетрія потраплять до другої та третьої частини відповідно.

Випадок 1: паралельне перенесення

Лемма 1.Перетин кордоном має містити більше однієї точки.

Доказ: очевидно. Ну чи більше розгорнуто: доведемо від неприємного. Якщо ця точка належить фігурі B, її образ(Тобто точка, в яку вона перейде при паралельному перенесенні) належить фігурі C => образ належить фігурі A => образ належить перерізу. Протиріччя. Якщо ця точка належить фігурі C, її прообраз(Точка, яка при паралельному перенесенні перейде в неї) належить фігурі B, і далі аналогічно. Виходить, у перерізі має бути хоча б дві точки.

Керуючись цією нехитрою лемою, неважко зрозуміти, що шукане паралельне перенесення може відбуватися лише вздовж вертикальної осі (у поточній орієнтації картинки) Якби він був у будь-якому іншому напрямку, хоча б один з граничних перерізів складався б з єдиної точки. Це можна зрозуміти, подумки повертавши вектор зсуву та подивившись, що при цьому відбувається з межами. Щоб виключити випадок вертикального паралельного перенесення, нам знадобиться хитріший інструмент.

Лемма 2.Прообраз точки, яка знаходиться на межі фігури C, знаходиться або на межі фігур B і C, або на межі фігури B та області D.

Доказ: неочевидний, але зараз ми це виправимо. Нагадаю, граничною точкою фігури називається така точка, що скільки завгодно близько від неї знайдуться як точки, що належать фігурі, так і точки, що не належать їй. Відповідно, поблизу граничної точки (назвемо її O") фігури C знайдуться як точки фігури C, так і інші точки, що належать або фігурі B, або області D. Прообразами точок фігури C можуть бути тільки точки фігури B. Отже, скільки завгодно близько до прообразу точки O" (буде логічно назвати його точкою O) знайдуться точки фігури B. Прообразами точок фігури B можуть бути будь-які точки, що не належать B (тобто точки фігури С, або точки області D). Аналогічно для точок області D. Отже, як завгодно близько до точки O знайдуться або точки фігури C (і тоді точка O буде на межі B і C), або точки області D (і тоді прообраз на кордоні B і D). Якщо ви зумієте продертися через ці літери, то погодьтеся, що лема доведена.

Теорема 1.Якщо перетин фігури A є відрізком, то його довжина кратна довжині вектора зсуву.

Доказ: розглянемо далекий кінець цього відрізка (тобто той кінець, прообраз якого також належить відрізку). Цей кінець, очевидно, належить фігурі C і є її граничною точкою. Отже, його прообраз (до речі кажучи, що також лежить на відрізку і віддалений від образу на довжину вектора зсуву) буде або на кордоні B і C, або на кордоні B і D. Якщо він на кордоні B і C, то візьмемо також його прообраз . Будемо повторювати цю операцію, поки черговий прообраз не перестане бути на межі C і не виявиться на межі D - а це станеться саме на іншому кінці перерізу. В результаті ми отримаємо ланцюжок прообразів, які розбивають перетин на кілька маленьких відрізків, довжина кожного з яких дорівнює довжині зсуву вектора. Отже, довжина перерізу кратна довжині зсуву вектора, ч.т.д.

Наслідок з теореми 1.Будь-які два перерізи, що є відрізками, повинні бути порівнянними.

Використовуючи це слідство, неважко показати, що вертикальне паралельне перенесення теж відпадає.

Дійсно, перетин разів має довжину три клітини, а перетин два - три мінус корінь із двох навпіл. Очевидно, ці величини непорівнянні.

Висновок