Як розв'язувати довгі рівняння. Загальний вигляд нерівності з однією змінною

Системи рівнянь набули широкого застосування в економічній галузі при математичному моделюванні різних процесів. Наприклад, під час вирішення завдань управління та планування виробництва, логістичних маршрутів (транспортне завдання) чи розміщення устаткування.

Системи рівняння використовуються у галузі математики, а й фізики, хімії та біології, під час вирішення завдань з знаходження чисельності популяції.

Системою лінійних рівнянь називають два і більше рівняння з кількома змінними, котрим необхідно знайти загальне рішення. Таку послідовність чисел, коли всі рівняння стануть вірними рівностями чи довести, що послідовності немає.

Лінійне рівняння

Рівняння виду ax+by=c називають лінійними. Позначення x, y – це невідомі, значення яких треба знайти, b, a – коефіцієнти при змінних, c – вільний член рівняння.
Рішення рівняння шляхом побудови його графіка матиме вигляд прямої, всі точки якої є рішенням багаточлена.

Види систем лінійних рівнянь

Найбільш простими вважаються приклади систем лінійних рівнянь із двома змінними X та Y.

F1(x, y) = 0 і F2(x, y) = 0, де F1,2 – функції, а (x, y) – змінні функцій.

Розв'язати систему рівнянь - це означає знайти такі значення (x, y), у яких система перетворюється на правильну рівність чи встановити, що відповідних значень x і y немає.

Пара значень (x, y), записана як координат точки, називається рішенням системи лінійних рівнянь.

Якщо системи мають одне загальне рішення чи рішення немає їх називають рівносильними.

Однорідними системами лінійних рівнянь є системи права частина яких дорівнює нулю. Якщо права після знака " рівність " частина має значення чи виражена функцією, така система неоднорідна.

Кількість змінних може бути набагато більше двох, тоді слід говорити про приклад системи лінійних рівнянь із трьома змінними або більше.

Зіткнувшись із системами школярі припускають, що кількість рівнянь обов'язково має збігатися з кількістю невідомих, але це не так. Кількість рівнянь у системі залежить від змінних, їх може бути скільки завгодно багато.

Прості та складні методи вирішення систем рівнянь

Немає загального аналітичного способу вирішення подібних систем, всі методи засновані на чисельних рішеннях. У шкільному курсі математики докладно описані такі методи як перестановка, складення алгебри, підстановка, а так само графічний і матричний спосіб, рішення методом Гауса.

Основне завдання під час навчання способам рішення - це навчити правильно аналізувати систему та знаходити оптимальний алгоритм рішення кожному за прикладу. Головне не визубрити систему правил та дій для кожного способу, а зрозуміти принципи застосування того чи іншого методу

Рішення прикладів систем лінійних рівнянь 7 класу програми загальноосвітньої школи досить просте і дуже докладно. У будь-якому підручнику математики цьому розділу приділяється достатньо уваги. Рішення прикладів систем лінійних рівнянь методом Гаусса і Крамера докладніше вивчають перших курсах вищих навчальних закладів.

Рішення систем методом підстановки

Дії методу підстановки спрямовані вираз значення однієї змінної через другу. Вираз підставляється в рівняння, що залишилося, потім його приводять до вигляду з однією змінною. Дія повторюється в залежності від кількості невідомих у системі

Наведемо рішення прикладу системи лінійних рівнянь 7 класу методом підстановки:

Як видно з прикладу, змінна x була виражена через F(X) = 7 + Y. Отриманий вираз, підставлений у 2-е рівняння системи на місце X, допоміг отримати одну змінну Y у 2-му рівнянні. Рішення цього прикладу не викликає труднощів і дозволяє отримати значення Y. Останній крок - це перевірка отриманих значень.

Вирішити приклад системи лінійних рівнянь підстановкою не завжди можливо. Рівняння можуть бути складними і вираз змінної через другу невідому виявиться надто громіздким для подальших обчислень. Коли невідомих у системі більше трьох рішень підстановкою також недоцільно.

Розв'язання прикладу системи лінійних неоднорідних рівнянь:

Рішення за допомогою алгебраїчної складання

При пошуку рішенні систем шляхом додавання роблять почленное складання і множення рівнянь різні числа. Кінцевою метою математичних процесів є рівняння з однією змінною.

Для застосування даного методу необхідна практика та спостережливість. Вирішити систему лінійних рівнянь шляхом додавання при кількості змінних 3 і більше складно. Алгебраїчне додавання зручно застосовувати коли в рівняннях присутні дроби та десяткові числа.

Алгоритм дій рішення:

Помножити обидві частини рівняння деяке число. В результаті арифметичної дії один із коефіцієнтів при змінній повинен стати рівним 1.
Почленно скласти отриманий вираз і знайти один із невідомих.
Підставити отримане значення у 2-е рівняння системи для пошуку змінної, що залишилася.

Спосіб вирішення запровадженням нової змінної

Нову змінну можна вводити, якщо в системі потрібно знайти рішення не більше ніж для двох рівнянь, кількість невідомих теж має бути не більшою за два.

Спосіб використовується, щоб спростити одне із рівнянь, введенням нової змінної. Нове рівняння вирішується щодо введеної невідомої, а отримане значення використовується визначення початкової змінної.

З прикладу видно, що ввівши нову змінну t вдалося звести 1 рівняння системи до стандартного квадратного тричлену. Вирішити многочлен можна знайшовши дискримінант.

Необхідно знайти значення дискримінанта за відомою формулою: D = b2 - 4*a*c, де D - дискримінант, що шукається, b, a, c - множники многочлена. У заданому прикладі a=1, b=16, c=39, отже, D=100. Якщо дискримінант більший за нуль, то рішень два: t = -b±√D / 2*a, якщо дискримінант менший за нуль, то рішення одне: x= -b / 2*a.

Рішення для отриманих у результаті системи знаходять шляхом складання.

Наочний метод вирішення систем

Підходить для систем з трьома рівняннями. Метод полягає у побудові на координатній осі графіків кожного рівняння, що входить до системи. Координати точок перетину кривих і будуть загальним рішенням системи.

Графічний метод має низку аспектів. Розглянемо кілька прикладів розв'язання систем лінійних рівнянь наочним способом.

Як видно з прикладу, для кожної прямої було побудовано дві точки, значення змінної x були обрані довільно: 0 і 3. Виходячи із значень x, знайдені значення для y: 3 і 0. Точки з координатами (0, 3) та (3, 0) були відзначені на графіку та з'єднані лінією.

Події необхідно повторити для другого рівняння. Точка перетину прямих є розв'язком системи.

У наступному прикладі потрібно знайти графічне рішення системи лінійних рівнянь: 0,5x-y+2=0 та 0,5x-y-1=0.

Як видно з прикладу, система не має рішення, тому що графіки паралельні і не перетинаються по всьому своєму протязі.

Системи з прикладів 2 і 3 схожі, але при побудові стає очевидним, що їх рішення різні. Слід пам'ятати, що не завжди можна сказати, чи має система рішення чи ні, завжди необхідно побудувати графік.

Матриця та її різновиди

Матриці використовують для короткого запису системи лінійних рівнянь. Матрицею називають таблицю спеціального виду, заповнену числами. n*m має n - рядків та m - стовпців.

Матриця є квадратною, коли кількість стовпців і рядків дорівнює між собою. Матрицею - вектором називається матриця з одного стовпця з нескінченно можливою кількістю рядків. Матриця з одиницями по одній із діагоналей та іншими нульовими елементами називається одиничною.

Зворотна матриця - це така матриця при множенні на яку вихідна перетворюється на одиничну, така матриця існує тільки для вихідної квадратної.

Правила перетворення системи рівнянь на матрицю

Стосовно систем рівнянь як чисел матриці записують коефіцієнти і вільні члени рівнянь, одне рівняння - один рядок матриці.

Рядок матриці називається ненульовим, якщо хоча б один елемент рядка не дорівнює нулю. Тому якщо в якомусь із рівнянь кількість змінних відрізняється, то необхідно на місці відсутньої невідомої вписати нуль.

Стовпці матриці повинні суворо відповідати змінним. Це означає, що коефіцієнти змінної x можуть бути записані тільки в один стовпець, наприклад перший, коефіцієнт невідомої y - тільки в другий.

При множенні матриці всі елементи матриці послідовно множаться число.

Варіанти знаходження зворотної матриці

Формула знаходження зворотної матриці досить проста: K -1 = 1 / | K |, де K -1 - Зворотна матриця, а | K | - Визначник матриці. |K| не повинен дорівнювати нулю, тоді система має рішення.

Визначник легко обчислюється для матриці два на два, необхідно лише помножити один на одного елементи по діагоналі. Для варіанта "три на три" існує формула | K | b 2 c 1 . Можна скористатися формулою, а можна запам'ятати що необхідно взяти по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця так, щоб у творі не повторювалися номери стовпців та рядків елементів.

Розв'язання прикладів систем лінійних рівнянь матричним методом

Матричний спосіб пошуку рішення дозволяє скоротити громіздкі записи під час вирішення систем із великою кількістю змінних і рівнянь.

У прикладі a nm – коефіцієнти рівнянь, матриця – вектор x n – змінні, а b n – вільні члени.

Рішення систем методом Гауса

У вищій математиці метод Гаусса вивчають разом із методом Крамера, а процес пошуку рішення систем і називається метод рішення Гаусса - Крамера. Дані методи застосовують при знаходженні змінних систем з великою кількістю лінійних рівнянь.

Метод Гауса дуже схожий на рішення за допомогою підстановок та алгебраїчної складання, але більш систематичний. У шкільному курсі рішення способом Гаусса застосовується для систем із 3 та 4 рівнянь. Мета методу полягає у приведенні системи до виду перевернутої трапеції. Шляхом перетворень алгебри і підстановок знаходиться значення однієї змінної в одному з рівнянні системи. Друге рівняння є виразом з двома невідомими, а 3 і 4 - відповідно з трьома і чотирма змінними.

Після приведення системи до описаного виду, подальше рішення зводиться до послідовної підстановки відомих змінних рівняння системи.

У шкільних підручниках для 7 класу приклад рішення методом Гаусса описаний таким чином:

Як видно з прикладу, на кроці (3) було отримано два рівняння 3x3 -2x4 = 11 і 3x3 +2x4 =7. Рішення будь-якого рівняння дозволить дізнатися одну зі змінних x n .

Теорема 5, про яку згадується в тексті, свідчить, що якщо одне з рівнянь системи замінити рівносильним, то отримана система буде також рівносильна вихідній.

Метод Гаусса важкий для сприйняття учнів середньої школи, але є одним із найцікавіших способів для розвитку кмітливості дітей, які навчаються за програмою поглибленого вивчення в математичних та фізичних класах.

Для простоти запису обчислень прийнято робити так:

Коефіцієнти рівнянь та вільні члени записуються у вигляді матриці, де кожен рядок матриці співвідноситься з одним із рівнянь системи. відокремлює ліву частину рівняння від правої. Римськими цифрами позначаються номери рівнянь у системі.

Спочатку записують матрицю, з якою належить працювати, потім усі дії, що проводяться з одного з рядків. Отриману матрицю записують після знака "стрілка" і продовжують виконувати необхідні дії алгебри до досягнення результату.

У результаті повинна вийти матриця в якій по одній з діагоналей стоять 1, а всі інші коефіцієнти дорівнюють нулю, тобто матрицю призводять до поодинокого вигляду. Не можна забувати робити обчислення з цифрами обох частин рівняння.

Цей спосіб запису менш громіздкий і дозволяє не відволікатися на перелік численних невідомих.

Вільне застосування будь-якого способу вирішення потребує уважності та певного досвіду. Не всі методи мають прикладний характер. Якісь способи пошуку рішень більш переважні в тій іншій галузі діяльності людей, інші існують з метою навчання.

Навчитися вирішувати рівняння - це одне з головних завдань, які ставить алгебра перед учнями. Починаючи з найпростішого, коли воно складається з однієї невідомої, і переходячи до складніших. Якщо не засвоєно дій, які потрібно виконати з рівняннями з першої групи, буде важко розібратися з іншими.

Для продовження розмови потрібно домовитись про позначення.

Загальний вид лінійного рівняння з однією невідомою та принцип його вирішення

Будь-яке рівняння, яке може призвести до запису такого виду:

а * х = в,

називається лінійним. Це загальна формула. Але часто у завданнях лінійні рівняння записані у неявному вигляді. Тоді потрібно виконати тотожні перетворення, щоб отримати загальноприйнятий запис. До цих дій належать:

розкриття дужок;
переміщення всіх доданків зі змінною величиною в ліву частину рівності, а інших - у праву;
приведення подібних доданків.

Якщо невідома величина стоїть у знаменнику дробу, потрібно визначити її значення, у яких вираз нічого очікувати мати сенсу. Інакше кажучи, потрібно дізнатися область визначення рівняння.

Принцип, яким вирішуються все лінійні рівняння, зводиться до того що, щоб розділити значення правої частини рівності на коефіцієнт перед змінної. Тобто «х» дорівнюватиме в/а.

Приватні випадки лінійного рівняння та їх вирішення

Під час міркувань можуть бути такі моменти, коли лінійні рівняння приймають одне із особливих видів. Кожен із них має конкретне рішення.

У першій ситуації:

а * х = 0, причому а ≠ 0.

Вирішенням такого рівняння завжди буде х = 0.

У другому випадку «а» набуває значення дорівнює нулю:

0 * х = 0.

Відповіддю такого рівняння буде будь-яке число. Тобто має нескінченну кількість коренів.

Третя ситуація виглядає так:

0 * х = в, де у ≠ 0.

Це рівняння немає сенсу. Тому що коріння, яке задовольняє йому, не існує.

Загальний вигляд лінійного рівняння із двома змінними

З його назви стає зрозумілим, що невідомих величин у ньому вже дві. Лінійні рівняння із двома зміннимивиглядають так:

а * х + в * у = с.

Оскільки в записі зустрічаються дві невідомі, то відповідь буде виглядати як пара чисел. Тобто недостатньо вказати лише одне значення. Це буде неповна відповідь. Пара величин, у яких рівняння перетворюється на тотожність, є рішенням рівняння. Причому у відповіді завжди першою записують ту змінну, яка йде раніше за абеткою. Іноді кажуть, що ці числа йому задовольняють. Причому таких пар може бути безліч.

Як вирішити лінійне рівняння із двома невідомими?

Для цього потрібно просто підібрати будь-яку пару чисел, яка виявиться правильною. Для простоти можна прийняти одну з невідомих рівною якомусь простому числу, а потім знайти другу.

При вирішенні часто доводиться виконувати дії спрощення рівняння. Вони називаються тотожними перетвореннями. Причому для рівнянь завжди справедливі такі властивості:

кожне доданок можна перенести на протилежну частину рівності, замінивши в нього знак на протилежний;
ліву та праву частини будь-якого рівняння дозволено ділити на одне й те саме число, якщо воно не дорівнює нулю.

Приклади завдань із лінійними рівняннями

Перше завдання.Розв'язати лінійні рівняння: 4х = 20, 8 (х - 1) + 2х = 2 (4 - 2х); (5х + 15) / (х + 4) = 4; (5х + 15)/(х + 3) = 4.

У рівнянні, яке йде в цьому списку першим, досить просто виконати поділ 20 на 4. Результат дорівнюватиме 5. Це і є відповідь: х=5.

Третє рівняння вимагає, щоб було виконано тотожне перетворення. Воно полягатиме у розкритті дужок та приведенні подібних доданків. Після першої дії рівняння набуде вигляду: 8х - 8 + 2х = 8 - 4х. Потім треба перенести всі невідомі до лівої частини рівності, а решта — до правої. Рівняння виглядатиме так: 8х + 2х + 4х = 8 + 8. Після приведення подібних доданків: 14х = 16. Тепер воно виглядає так само, як і перше, і рішення його легко. Відповіддю буде х = 8/7. Але в математиці потрібно виділяти цілу частину з неправильного дробу. Тоді результат перетвориться, і «х» дорівнюватиме одній цілій і одній сьомій.

У решті прикладів змінні перебувають у знаменнику. Це означає, що спочатку потрібно дізнатися, за яких значень рівняння визначені. Для цього потрібно виключити числа, за яких знаменники звертаються до нуля. У першому прикладі це «-4», у другому воно «-3». Тобто ці значення слід виключити з відповіді. Після цього потрібно помножити обидві частини рівності на вирази у знаменнику.

Розкривши дужки та навівши подібні доданки, у першому з цих рівнянь вийде: 5х + 15 = 4х + 16, а у другому 5х + 15 = 4х + 12. Після перетворень рішенням першого рівняння буде х = -1. Друге виявляється рівним "-3", це означає, що останнє рішень не має.

Друге завдання.Розв'язати рівняння: -7х + 2у = 5.

Припустимо, що перша невідома х = 1, тоді рівняння набуде вигляду -7 * 1 + 2у = 5. Перенісши в праву частину рівності множник «-7» і змінивши у нього знак на плюс, вийде, що 2у = 12. Значить, у =6. Відповідь: одне з розв'язків рівняння х = 1, у = 6.

Загальний вигляд нерівності з однією змінною

Усі можливі ситуації для нерівностей представлені тут:

а * х > в;
а*х< в;
а * х ≥в;
а * х ≤ ст.

Загалом воно виглядає як найпростіше лінійне рівняння, тільки знак рівності замінений на нерівність.

Правила тотожних перетворень нерівності

Так само як лінійні рівняння та нерівності можна видозмінювати за певними законами. Вони зводяться до наступного:

до лівої та правої частин нерівності можна додати будь-яке буквене або числове вираз, причому знак нерівності залишиться тим самим;
також можна і помножити або розділити на те саме позитивне число, від цього знову знак не змінюється;
при множенні чи розподілі одне і те негативне число рівність залишиться вірним за умови зміни знака нерівності на протилежний.

Загальний вигляд подвійних нерівностей

У завданнях можуть бути такі варіанти нерівностей:

в< а * х < с;
в ≤ а * х< с;
в< а * х ≤ с;
у ≤ а * х ≤ с.

Подвійними воно називається, тому що обмежене знаками нерівності із двох сторін. Воно вирішується з допомогою тих самих правил, як і звичайні нерівності. І знаходження відповіді зводиться до низки тотожних перетворень. Поки що не буде отримано найпростіше.

Особливості вирішення подвійних нерівностей

Першою є його зображення на координатної осі. Використовувати цей спосіб для простих нерівностей немає потреби. А ось у складних випадках він може бути необхідним.

Для зображення нерівності слід зазначити на осі всі точки, які вийшли під час міркувань. Це і неприпустимі значення, що позначаються виколотими точками, і значення з нерівностей, що вийшло після перетворень. Тут також важливо правильно намалювати крапки. Якщо нерівність сувора, тобто< или >, то ці значення виколоті. У несуворих нерівностях точки потрібно зафарбовувати.

Потім слід позначити сенс нерівностей. Це можна зробити за допомогою штрихування або дуг. Їхнє перетинання вкаже відповідь.

Друга особливість пов'язані з його записом. Тут пропонується два варіанти. Перший – це остаточна нерівність. Другий – у вигляді проміжків. Ось із ним буває, що виникають труднощі. Відповідь проміжками завжди виглядає як змінна зі знаком приналежності та дужок із числами. Іноді проміжків виходить кілька, тоді між дужками потрібно написати символ "і". Ці знаки виглядають так: ∈ та ∩. Дужки проміжків теж грають свою роль. Кругла ставиться тоді, коли точку виключено із відповіді, а прямокутна включає це значення. Знак нескінченності завжди стоїть у круглій дужці.

Приклади розв'язання нерівностей

1. Вирішити нерівність 7 - 5х ≥ 37.

Після нескладних перетворень виходить: -5х ≥ 30. Розділивши на «-5» можна отримати такий вираз: х ≤ -6. Це вже відповідь, але її можна записати і по-іншому: х∈(-∞;-6).

2. Розв'яжіть подвійну нерівність -4< 2x + 6 ≤ 8.

Спочатку потрібно скрізь відняти 6. Вийде: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Лінійне рівняння - це рівняння алгебри, повна ступінь багаточленів якого дорівнює одиниці. Рішення лінійних рівнянь - частина шкільної програми, причому не найскладніша. Однак деякі все ж таки відчувають труднощі при проходженні цієї теми. Сподіваємося, прочитавши цей матеріал, всі труднощі вам залишаться в минулому. Отже, розбираймося. як розв'язувати лінійні рівняння.

Загальний вигляд

Лінійне рівняння подається у вигляді:

ax + b = 0, де a і b – будь-які числа.

Незважаючи на те, що a та b можуть бути будь-якими числами, їх значення впливають на кількість рішень рівняння. Виділяють кілька окремих випадків рішення:

Якщо a = b = 0, рівняння має безліч рішень;
Якщо a=0, b≠0, рівняння немає рішення;
Якщо a≠0, b=0, рівняння має розв'язок: x = 0.

У тому випадку, якщо обидва числа мають не нульові значення, рівняння має бути вирішене, щоб вивести кінцевий вираз для змінної.

Як вирішувати?

Вирішити лінійне рівняння - отже, знайти, чому дорівнює змінна. Як це зробити? Так дуже просто - використовуючи прості алгебраїчні операції і дотримуючись правил перенесення. Якщо рівняння постало перед вами у загальному вигляді, вам пощастило все, що необхідно зробити:

Перенести b у праву сторону рівняння, не забувши змінити знак (правило перенесення!), таким чином, з виразу виду ax + b = 0 має вийти вираз виду: ax = -b.
Застосувати правило: щоб знайти один із множників (x – у нашому випадку), потрібно твір (-b у нашому випадку) поділити на інший множник (a – у нашому випадку). Таким чином, має бути вираз виду: x = -b/а.

Ось і все – рішення знайдено!

Тепер давайте розберемо на конкретному прикладі:

2x + 4 = 0 - переносимо b, рівне в даному випадку 4, праворуч
2x = -4 - ділимо b на a (не забуваємо про знак мінус)
x = -4/2 = -2

От і все! Наше рішення: x = -2.

Як бачите, рішення лінійного рівняння з однією змінною знайти досить просто, проте так просто все, якщо нам пощастило зустріти рівняння у загальному вигляді. У більшості випадків, перш ніж вирішувати рівняння в описані вище два ступені, потрібно ще привести існуючий вираз до загального вигляду. Втім, це теж не складне завдання. Давайте розберемо деякі окремі випадки на прикладах.

Рішення окремих випадків

По-перше, давайте розберемо випадки, які ми описали на початку статті, і пояснимо, що ж означає безліч рішень і відсутність рішення.

Якщо a = b = 0, рівняння матиме вигляд: 0x + 0 = 0. Виконуючи перший крок, отримуємо: 0x = 0. Що означає це безглуздя, вигукніть ви! Адже яке число на нуль не помножуй, завжди вийде нуль! Правильно! Тому і кажуть, що рівняння має безліч рішень - яке число не візьми, рівність буде вірною, 0x = 0 або 0 = 0.
Якщо a=0, b≠0, рівняння матиме вигляд: 0x + 3 = 0. Виконуємо перший крок, отримуємо 0x = -3. Знову нісенітниця! Очевидно ж, що ця рівність ніколи не буде вірною! Тому й кажуть – рівняння не має рішень.
Якщо a≠0, b=0, рівняння матиме вигляд: 3x + 0 = 0. Виконуючи перший крок, отримуємо: 3x = 0. Яке рішення? Це просто, x = 0.

Складнощі перекладу

Описані окремі випадки - це не все, чим нас можуть здивувати лінійні рівняння. Іноді рівняння взагалі з першого погляду важко ідентифікувати. Розберемо приклад:

12x - 14 = 2x + 6

Хіба це лінійне рівняння? А як же нуль у правій частині? Поспішати з висновками не будемо, діятимемо - перенесемо всі складові нашого рівняння в ліву сторону. Отримаємо:

12x - 2x - 14 - 6 = 0

Тепер віднімемо подібне з подібного, отримаємо:

10x - 20 = 0

Впізнали? Найкраще лінійне рівняння! Рішення якого: x = 20/10 = 2.

А якщо перед нами такий приклад:

12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Так, це теж лінійне рівняння, тільки перетворень потрібно провести якомога більше. Спочатку розкриємо дужки:

(12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
4x + 8 + 12x = 12 - 9x - тепер виконуємо перенесення:
25x – 4 = 0 – залишилося знайти рішення за вже відомою схемою:
25x = 4,
x = 4/25 = 0.16

Як бачите, все вирішуване, головне – не переживати, а діяти. Запам'ятайте, якщо у вашому рівнянні тільки змінні першого ступеня та числа, перед вами лінійне рівняння, яке, хоч би як воно виглядало спочатку, можна привести до загального вигляду і вирішити. Сподіваємось, у вас все вийде! Успіхів!

Для продовження розмови потрібно домовитись про позначення.

Загальний вид лінійного рівняння з однією невідомою та принцип його вирішення

Будь-яке рівняння, яке може призвести до запису такого виду:

а * х = в,

розкриття дужок;
переміщення всіх доданків зі змінною величиною в ліву частину рівності, а інших - у праву;
приведення подібних доданків.

Приватні випадки лінійного рівняння та їх вирішення

У першій ситуації:

а * х = 0, причому а ≠ 0.

Вирішенням такого рівняння завжди буде х = 0.

У другому випадку «а» набуває значення дорівнює нулю:

0 * х = 0.

Відповіддю такого рівняння буде будь-яке число. Тобто має нескінченну кількість коренів.

Третя ситуація виглядає так:

0 * х = в, де у ≠ 0.

Це рівняння немає сенсу. Тому що коріння, яке задовольняє йому, не існує.

Загальний вигляд лінійного рівняння із двома змінними

а * х + в * у = с.

Як вирішити лінійне рівняння із двома невідомими?

кожне доданок можна перенести на протилежну частину рівності, замінивши в нього знак на протилежний;
ліву та праву частини будь-якого рівняння дозволено ділити на одне й те саме число, якщо воно не дорівнює нулю.

Приклади завдань із лінійними рівняннями

Перше завдання.Розв'язати лінійні рівняння: 4х = 20, 8 (х - 1) + 2х = 2 (4 - 2х); (5х + 15) / (х + 4) = 4; (5х + 15)/(х + 3) = 4.

Друге завдання.Розв'язати рівняння: -7х + 2у = 5.

Загальний вигляд нерівності з однією змінною

Усі можливі ситуації для нерівностей представлені тут:

а * х > в;
а*х< в;
а * х ≥в;
а * х ≤ ст.

Загалом воно виглядає як найпростіше лінійне рівняння, тільки знак рівності замінений на нерівність.

Правила тотожних перетворень нерівності

до лівої та правої частин нерівності можна додати будь-яке буквене або числове вираз, причому знак нерівності залишиться тим самим;
також можна і помножити або розділити на те саме позитивне число, від цього знову знак не змінюється;
при множенні чи розподілі одне і те негативне число рівність залишиться вірним за умови зміни знака нерівності на протилежний.

Загальний вигляд подвійних нерівностей

У завданнях можуть бути такі варіанти нерівностей:

в< а * х < с;
в ≤ а * х< с;
в< а * х ≤ с;
у ≤ а * х ≤ с.

Особливості вирішення подвійних нерівностей

Приклади розв'язання нерівностей

1. Вирішити нерівність 7 - 5х ≥ 37.

2. Розв'яжіть подвійну нерівність -4< 2x + 6 ≤ 8.

При вирішенні лінійних рівнянь ми прагнемо знайти корінь, тобто таке значення для змінної, яке перетворить рівняння на правильну рівність.

Щоб знайти корінь рівняння потрібно рівносильними перетворення привести дане нам рівняння до виду

\(x=[число]\)

Це і буде корінням.

Тобто, ми перетворюємо рівняння, роблячи його з кожним кроком все простіше, доки не зведемо до примітивного рівняння «ікс = число», де корінь – очевидний. Найчастіше застосовуваними під час вирішення лінійних рівнянь є такі перетворення:

Наприклад: додамо \(5\) до обох частин рівняння \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Зверніть увагу, що той самий результат ми могли б отримати швидше - просто записавши п'ятірку з іншого боку рівняння і змінивши її знак. Власне, саме так і робиться шкільний «перенесення через рівно зі зміною знака на протилежний».

2. Множення або розподіл обох частин рівняння на однакове число або вираз.

НаприкладРозділимо рівняння \(-2x=8\) на мінус два

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Зазвичай цей крок виконується наприкінці, коли рівняння вже наведено до виду \(ax=b\), і ми ділимо на \(a\), щоб прибрати його зліва.

3. Використання властивостей та законів математики: розкриття дужок, приведення подібних доданків, скорочення дробів тощо.

Додаємо (2x) ліворуч і праворуч

Віднімаємо \(24\) з обох частин рівняння

Знову наводимо подібні доданки

Тепер ділимо рівняння на (-3), тим самим прибираючи перед іксом у лівій частині.

Відповідь : \(7\)

Відповідь знайдено. Однак давайте його перевіримо. Якщо сімка дійсно корінь, то при підстановці її замість ікса в початкове рівняння має вийти правильна рівність - однакові числа ліворуч і праворуч. Пробуємо.

Перевірка:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Зійшлося. Значить, сімка і справді є коренем вихідного лінійного рівняння.

Не лінуйтеся перевіряти підстановкою знайдені відповіді, особливо якщо ви вирішуєте рівняння на контрольній або іспиті.

Залишається питання – а як визначити, що робити із рівнянням на черговому кроці? Як саме його перетворювати? Ділити на щось? Або віднімати? І що саме віднімати? На що ділити?

Відповідь проста:

Ваша мета – привести рівняння до виду \(x=[число]\), тобто зліва ікс без коефіцієнтів і чисел, а праворуч – лише число без змінних. Тому дивіться, що вам заважає та робіть дію, зворотне тому, що робить компонент, що заважає.

Щоб краще це зрозуміти, розберемо кроки рішення лінійного рівняння \(x+3=13-4x\).

Давайте подумаємо: чим це рівняння відрізняється від (x = [число])? Що нам заважає? Що не так?

Ну, по-перше, заважає трійка, бо ліворуч має бути лише самотній ікс, без чисел. А що "робить" трійка? Додаєтьсядо ікса. Значить, щоб її прибрати віднімемотаку ж трійку. Але якщо ми віднімаємо трійку зліва, то маємо відняти її і праворуч, щоб рівність не була порушена.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Добре. Тепер що заважає? \(4x\) праворуч, адже там мають бути лише числа. \(4x\) віднімається- прибираємо додатком.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Тепер наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч.

Вже майже готове. Залишилося забрати п'ятірку зліва. Що вона робить"? Помножуєтьсяна ікс. Тому прибираємо її розподілом.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Рішення завершено, корінь рівняння – двійка. Можете перевірити підстановку.

Зауважимо, що найчастіше корінь у лінійних рівняннях лише один. Однак можуть зустрітися два особливі випадки.

Особливий випадок 1 – у лінійному рівнянні немає коріння.

приклад . Розв'язати рівняння \(3x-1=2(x+3)+x\)

Рішення :

Відповідь : немає коренів

Насправді, те, що ми прийдемо до такого результату, було видно раніше, ще коли ми отримали \(3x-1=3x+6\). Вдумайтесь: як можуть бути рівні \(3x\) з яких відняли \(1\), і \(3x\) до яких додали \(6\)? Очевидно, що ніяк, адже з тим самим зробили різні дії! Зрозуміло, що результати відрізнятимуться.

Особливий випадок 2 – у лінійному рівнянні нескінченна кількість коренів.

приклад . Розв'язати лінійне рівняння \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Рішення :

Відповідь : будь-яке число

Це, до речі, було помітно ще раніше, на етапі: (8x + 12 = 8x + 12). Справді, ліворуч і праворуч – однакові вирази. Який ікс не підстав - буде одне і те ж число і там, і там.

Більш складні лінійні рівняння.

Вихідне рівняння не завжди відразу виглядає як лінійне, іноді воно маскується під інші, більш складні рівняння. Однак у процесі перетворень маскування спадає.

приклад . Знайдіть корінь рівняння \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Рішення :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Здавалося б, тут є ікс у квадраті – це не лінійне рівняння! Але не поспішайте. Давайте застосуємо
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Чому результат розкриття \((x-4)^(2)\) стоїть у дужці, а результат \((3+x)^(2)\) немає? Тому що перед першим квадратом стоїть мінус, який змінить усі знаки. І щоб не забути про це – беремо результат у дужки, яку тепер розкриваємо.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Наводимо подібні доданки
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Знову наводимо такі.
		Ось так. Виявляється, вихідне рівняння – цілком лінійне, а ікси в квадраті лише ширма, щоб нас заплутати. :) Дорішуємо, ділячи рівняння на (2), і отримуємо відповідь.

Відповідь : \(x=5\)

приклад . Розв'язати лінійне рівняння \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Рішення :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Рівняння не схоже на лінійне, дроби якісь... Однак позбавимося знаменників, помноживши обидві частини рівняння на загальний знаменник усіх – шістку
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Розкриваємо дужку зліва
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Тепер скорочуємо знаменники
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Ось тепер схоже на звичайне лінійне! Дорішуємо його.
		Переносом через збираємо ікси праворуч, а числа зліва

		Ну і поділивши на \(-4\) праву та ліву частину, отримуємо відповідь

Відповідь : \ (x = -1,25 \)