Як вирішувати дробові вирази з негативними ступенями. Ступінь з ірраціональним показником

У цьому матеріалі ми розберемо, що таке ступінь числа. Крім основних визначень ми сформулюємо, що таке ступеня з натуральними, цілими, раціональними та ірраціональними показниками. Як завжди, всі поняття будуть проілюстровані прикладами завдань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Спочатку сформулюємо базове визначення ступеня із натуральним показником. Для цього нам знадобиться згадати основні правила множення. Заздалегідь уточнимо, що як підстава будемо поки що брати дійсне число (позначимо його буквою a), а як показник – натуральне (позначимо буквою n).

Визначення 1

Ступінь числа a з натуральним показником n - це добуток n-ного числа множників, кожен з яких дорівнює числу а. Записується ступінь так: a n, а як формули її склад можна наступним чином:

Наприклад, якщо показник ступеня дорівнює 1 , а основа – a то перший ступінь числа a записується як a 1. Враховуючи, що a – це значення множника, а 1 – число множників, ми можемо дійти невтішного висновку, що a 1 = a.

Загалом можна сказати, що ступінь – це зручна форма запису великої кількості рівних множників. Так, запис виду 8 · 8 · 8 · 8можна скоротити до 8 4 . Приблизно так само твір допомагає нам уникнути запису великої кількості доданків (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); ми це вже розбирали у статті, присвяченій множенню натуральних чисел.

Як же правильно прочитати запис ступеня? Загальноприйнятий варіант - "a в ступені n". Або можна сказати «n-на ступінь a» або «a-n-ного ступеня». Якщо, скажімо, у прикладі зустрівся запис 8 12 , ми можемо прочитати «8 у 12-му ступені», «8 у ступені 12» або «12-й ступінь 8-ми».

Другий і третій ступеня числа мають усталені назви: квадрат і куб. Якщо бачимо другий ступінь, наприклад, числа 7 (7 2) , ми можемо сказати « 7 у квадраті» чи «квадрат числа 7 ». Аналогічно третій ступінь читається так: 5 3 - Це "куб числа 5" або "5 в кубі". Втім, вживати стандартне формулювання «у другому/третьому ступені» теж можна, це не буде помилкою.

Приклад 1

Розберемо приклад ступеня з натуральним показником: для 5 7 п'ятірка буде основою, а сімка – показником.

В основі не обов'язково має стояти ціле число: для ступеня (4 , 32) 9 основою буде дріб 4, 32, а показником – дев'ятка. Зверніть увагу на дужки: такий запис робиться для всіх ступенів, основи яких відрізняються від натуральних чисел.

Наприклад: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Навіщо потрібні дужки? Вони допомагають уникнути помилок у розрахунках. Скажімо, у нас є два записи: (− 2) 3 і − 2 3 . Перша їх означає негативне число мінус два, зведене у ступінь з натуральним показником три; друга – число, що відповідає протилежному значенню ступеня 2 3 .

Іноді у книгах можна зустріти трохи інше написання ступеня числа – a^n(Де а - основа, а n - показник). Тобто 4^9 – це те саме, що й 4 9 . У разі, якщо n є багатозначним числом, воно береться в дужки. Наприклад, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Але ми будемо використовувати позначення a nяк найбільш уживане.

Про те, як обчислити значення ступеня з натуральним показником, легко здогадатися з її визначення: потрібно просто перемножити a n число разів. Докладніше про це ми писали в іншій статті.

Поняття ступеня є оберненим до іншого математичного поняття – кореня числа. Якщо ми знаємо значення ступеня та показник, ми можемо обчислити її основу. Ступінь має деякі специфічні властивості, корисні для вирішення завдань, які ми розібрали в рамках окремого матеріалу.

У показниках ступеня можуть стояти як натуральні числа, а й взагалі будь-які цілі значення, зокрема негативні і нулі, адже вони теж належать до безлічі цілих чисел.

Визначення 2

Ступінь числа з цілим позитивним показником можна відобразити у вигляді формули: .

У цьому n – будь-яке ціле позитивне число.

Розберемося з поняттям нульового ступеня. Для цього ми використовуємо підхід, що враховує властивість приватного для ступеня з рівними основами. Воно формулюється так:

Визначення 3

Рівність a m: a n = a m − nбуде правильно за умов: m і n – натуральні числа, m< n , a ≠ 0 .

Остання умова важлива, оскільки дозволяє уникнути поділу на нуль. Якщо значення m і n рівні, ми отримаємо наступний результат: a n: a n = a n − n = a 0

Але при цьому a n : a n = 1 – приватне рівних чисел a nта a . Виходить, що нульовий ступінь будь-якого відмінного від нуля числа дорівнює одиниці.

Однак такий доказ не підходить для нуля в нульовому ступені. Для цього нам потрібна інша властивість ступенів – властивість творів ступенів із рівними основами. Воно виглядає так: a m · a n = a m + n .

Якщо n у нас дорівнює 0, то a m · a 0 = a m(така рівність також доводить нам, що a 0 = 1). Але якщо і так само нулю, наша рівність набуває вигляду 0 m · 0 0 = 0 m, Воно буде вірним за будь-якого натурального значення n , і неважливо при цьому, чому саме дорівнює значення ступеня 0 0 , тобто воно може бути рівне будь-якому числу, і на вірність рівності це не вплине. Отже, запис виду 0 0 свого особливого сенсу немає, і ми не будемо йому його приписувати.

За бажання легко перевірити, що a 0 = 1сходиться з властивістю ступеня (a m) n = a m · nза умови, що підстава ступеня не дорівнює нулю. Таким чином, ступінь будь-якого відмінного від нуля числа з нульовим показником дорівнює одиниці.

Приклад 2

Розберемо приклад із конкретними числами: Так, 5 0 - одиниця, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , а значення 0 0 не визначене.

Після нульового ступеня нам залишилося розібратися, що собою являє ступінь негативний. Для цього нам знадобиться та ж властивість добутку ступенів з рівними основами, яку ми вже використовували вище: a m · a n = a m + n .

Введемо умову: m = − n , тоді a не повинно дорівнювати нулю. З цього виходить що a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Виходить, що a n і a − nу нас є взаємно зворотні числа.

Через війну a цілою негативною мірою не що інше, як дріб 1 a n .

Таке формулювання підтверджує, що для ступеня з цілим негативним показником дійсні ті ж властивості, якими володіє ступінь з натуральним показником (за умови, що підстава не дорівнює нулю).

Приклад 3

Ступінь a з цілим негативним показником n можна подати у вигляді дробу 1 a n . Таким чином, a - n = 1 a n за умови a ≠ 0та n – будь-яке натуральне число.

Проілюструємо нашу думку конкретними прикладами:

Приклад 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

В останній частині параграфа спробуємо зобразити все сказане наочно в одній формулі:

Визначення 4

Ступінь числа a з натуральним показником z – це: a z = a z , e с л і z - ц е л е п о л о ж і т е л ь н о е ч і с л о 1 , z = 0 і a ≠ 0 , (п р і z = 0 і a = 0 отримає я 0 0 , зна ч е ня ви р а жен ня 0 0 не о п е д е л е т с я)   1 a z , е с л і z - ц е л о е д ри ц е т е л ь н о е ч і с л о і a ≠ 0 ( е с л і z - ц е л о е о т ри ц я т е л ь н о е ч і с л о і a = 0 отримає я 0 z , е г о з н а ч е н н е н е н о о п р і д е л е т с я)

Що таке ступеня з раціональним показником

Ми розібрали випадки, коли у показнику ступеня стоїть ціле число. Однак звести число в ступінь можна і тоді, коли в показнику стоїть дробове число. Це називається ступенем із раціональним показником. У цьому пункті ми доведемо, що вона має ті ж властивості, що й інші ступені.

Що таке раціональні числа? У їх безліч входять як цілі, і дробові числа, у своїй дробові числа можна у вигляді звичайних дробів (як позитивних, і негативних). Сформулюємо визначення ступеня числа a з дробовим показником m/n, де n – натуральне число, а m – ціле.

Ми маємо певний ступінь з дробовим показником a m n . Для того, щоб властивість ступеня в ступеня виконувалася, рівність a m n n = a m n · n = a m має бути вірною.

Враховуючи визначення кореня n - ного ступеня і що a m n n = a m , ми можемо прийняти умову a m n = a m n , якщо a m n має сенс за даних значень m , n і a .

Наведені вище властивості ступеня з цілим показником будуть вірними за умови amn = amn.

Основний висновок з наших міркувань такий: ступінь деякого числа a з дрібним показником m / n - це корінь n-го ступеня з числа a в ступені m. Це справедливо в тому випадку, якщо при даних значеннях m n і a вираз a m n зберігає сенс.

1. Ми можемо обмежити значення основи ступеня: візьмемо a , яке при позитивних значеннях m буде більше або дорівнює 0 , а для негативних – строго менше (оскільки при m ≤ 0 ми отримуємо 0 m, А такий ступінь не визначено). У такому разі визначення ступеня з дробовим показником виглядатиме так:

Ступінь з дробовим показником m/n для деякого позитивного числа a є корінь n-го ступеня з, зведеного в ступінь m. У вигляді формули це можна зобразити так:

Для ступеня з нульовою основою це положення також підходить, але тільки в тому випадку, якщо показник – позитивне число.

Ступінь з нульовою основою та дробовим позитивним показником m/n можна виразити як

0 m n = 0 m n = 0 за умови цілого позитивного m та натурального n .

При негативному відношенні m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Зазначимо один момент. Оскільки ми запровадили умову, що a більше чи дорівнює нулю, то у нас виявилися відкинуті деякі випадки.

Вираз a m n іноді все ж таки має сенс при деяких негативних значеннях a і деяких m . Так, вірні записи (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , в яких підстава негативна.

2. Другий підхід – це розглянути окремо корінь a m n з парними та непарними показниками. Тоді нам потрібно ввести ще одну умову: ступінь a , у показнику якого стоїть скоротитий звичайний дріб, вважається ступенем a , у показнику якого стоїть відповідний їй нескоротний дріб. Пізніше ми пояснимо, для чого нам ця умова і чому вона така важлива. Таким чином, якщо ми маємо запис a m · k n · k , то ми можемо звести його до a m n і спростити розрахунки.

Якщо n – непарне число, а значення m – позитивно, a – будь-яке невід'ємне число, то a m n має сенс. Умова неотрицательного a потрібна, оскільки корінь парного ступеня з негативного числа не беруть. Якщо значення m позитивно, то a то, можливо і негативним, і нульовим, т.к. корінь непарної міри можна витягти з будь-якого дійсного числа.

Об'єднаємо всі дані вище визначення одного запису:

Тут m/n означає нескоротний дріб, m – будь-яке ціле число, а n – будь-яке натуральне число.

Визначення 5

Для будь-якого звичайного скоротливого дробу m · k n · k ступінь можна замінити на a m n .

Ступінь числа a з нескоротним дробовим показником m / n – можна виразити у вигляді a m n у таких випадках: - для будь-яких дійсних a , цілих позитивних значень m та непарних натуральних значень n . Приклад: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Для будь-яких відмінних від нуля дійсних a цілих негативних значень m і непарних значень n наприклад, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Для будь-яких невід'ємних a цілих позитивних значень m і парних n наприклад, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Для будь-яких позитивних a цілих негативних m і парних n наприклад, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

У разі інших значень ступінь із дробовим показником не визначається. Приклади таких ступенів: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Тепер пояснимо важливість умови, про яку говорили вище: навіщо замінювати дріб із скоротимим показником на дріб із нескоротним. Якби ми цього не зробили, то вийшли б такі ситуації, скажімо, 6/10 = 3/5. Тоді має бути вірним (-1) 6 10 = - 1 3 5 , але - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , а (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Визначення ступеня з дробовим показником, яке ми навели першим, зручніше застосовувати на практиці, ніж друге, тому ми далі користуватимемося саме ним.

Визначення 6

Таким чином, ступінь позитивного числа з дробовим показником m / n визначається як 0 m n = 0 m n = 0 . У разі негативних aзапис a m n немає сенсу. Ступінь нуля для позитивних дробових показників m/nвизначається як 0 m n = 0 m n = 0 для негативних дробових показників ми ступінь нуля не визначаємо.

У висновках зазначимо, що можна записати будь-який дробовий показник як у вигляді змішаного числа, так і у вигляді десяткового дробу: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

При обчисленні краще замінювати показник ступеня звичайним дробом і далі користуватися визначенням ступеня з дробовим показником. Для прикладів вище у нас вийде:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Що таке ступеня з ірраціональним та дійсним показником

Що таке дійсні числа? У них входять як раціональні, і ірраціональні числа. Тому для того, щоб зрозуміти, що таке ступінь із дійсним показником, нам треба визначити ступеня з раціональними та ірраціональними показниками. Про раціональні ми згадували вище. Розберемося з ірраціональними показниками покроково.

Приклад 5

Припустимо, що ми маємо ірраціональне число a і послідовність його десяткових наближень a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Наприклад, візьмемо значення a = 1,67175331. . . тоді

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671,. . . , a 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a 2 = 1, 671753,. . .

Послідовності наближень ми можемо поставити у відповідність послідовність ступенів a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Якщо згадати, що ми розповідали раніше про зведення чисел у раціональний ступінь, ми можемо самі підрахувати значення цих ступенів.

Візьмемо для прикладу a = 3, тоді a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . і т.д.

Послідовність ступенів можна звести до числа, яке і буде значенням ступеня з основою a та ірраціональним показником a . У результаті: ступінь з ірраціональним показником виду 31,67175331. . можна звести до 6 , 27 .

Визначення 7

Ступінь позитивного числа a з ірраціональним показником записується як a a . Його значення - це межа послідовності a a 0, a a 1, a a 2,. . . , де a 0, a 1, a 2,. . . є послідовними десятковими наближеннями ірраціонального числа a. Ступінь з нульовою основою можна визначити і для позитивних ірраціональних показників, при цьому 0 a = 0 Так, 06 = 0, 02133 = 0. А для негативних цього зробити не можна, оскільки, наприклад, значення 0 – 5, 0 – 2 π не визначено. Одиниця, зведена в будь-який ірраціональний ступінь, залишається одиницею, наприклад, і 12, 15 в 2 і 1 - 5 дорівнюють 1 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Формули ступеніввикористовують у процесі скорочення та спрощення складних виразів, у вирішенні рівнянь та нерівностей.

Число cє n-ний ступенем числа aколи:

Операції зі ступенями.

1. Помножуючи ступеня з однаковою основою їх показники складаються:

a m· a n = a m + n.

2. У розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються:

3. Ступінь праці 2-х чи більшої кількості множників дорівнює добутку ступенів цих співмножників:

(abc ...) n = a n · b n · c n ...

4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів діленого та дільника:

(a/b) n = n / b n .

5. Зводячи ступінь у ступінь, показники ступенів перемножують:

(a m) n = a m n .

Кожна вищенаведена формула вірна у напрямах зліва направо та навпаки.

Наприклад. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4.

Операції з корінням.

1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коренів із цих співмножників:

2. Корінь із відношення дорівнює відношенню ділимого та дільника коренів:

3. При зведенні кореня на рівень досить звести на цей рівень підкорене число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в nраз і в той же час звести в n-у ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в nраз і в той же час витягти корінь n-ой ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:

Ступінь із негативним показником.Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині непозитивного показника:

Формулу a m:a n =a m - nможна використовувати не тільки при m> n, але і при m< n.

Наприклад. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Щоб формула a m:a n =a m - nстала справедливою за m=n, потрібна присутність нульового ступеня.

Ступінь із нульовим показником.Ступінь будь-якого числа, що не дорівнює нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці.

Наприклад. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Ступінь із дробовим показником.Щоб звести дійсне число ау ступінь m/nнеобхідно вийняти корінь n-ого ступеня з m-ой ступеня цього числа а.

У цій статті ми розберемося, що таке ступінь числа. Тут ми дамо визначення ступеня числа, у своїй докладно розглянемо все можливі показники ступеня, починаючи з натурального показника, закінчуючи ірраціональним. У матеріалі Ви знайдете масу прикладів ступенів, що покривають всі тонкощі, що виникають.

Навігація на сторінці.

Ступінь з натуральним показником, квадрат числа, куб числа

Для початку дамо. Забігаючи наперед, скажемо, що визначення ступеня числа a з натуральним показником n дається для a , яке називатимемо підставою ступеня, і n , яке називатимемо показником ступеня. Також відзначимо, що ступінь з натуральним показником визначається через добуток, так що для розуміння нижченаведеного матеріалу потрібно мати уявлення про множення чисел.

Визначення.

Ступінь числа a з натуральним показником n- це вираз виду a n, значення якого дорівнює добутку n множників, кожен з яких дорівнює a, тобто.
Зокрема, ступенем числа a з показником 1 називається саме число a тобто, a 1 =a .

Відразу варто сказати про правила читання ступенів. Універсальний спосіб читання запису a n такий: «a ступенем n ». У деяких випадках також допустимі такі варіанти: «a в n-му ступені» і «n-а ступінь числа a». Для прикладу візьмемо ступінь 8 12 , це «вісім за ступенем дванадцять», або «вісім у дванадцятому ступені», або «дванадцятий ступінь восьми».

Другий ступінь числа, а також третій ступінь числа мають свої назви. Другий ступінь числа називають квадратом числанаприклад, 7 2 читається як «сім у квадраті» або «квадрат числа сім». Третій ступінь числа називається кубом числа, Наприклад, 5 3 можна прочитати як «п'ять у кубі» або сказати «куб числа 5».

Настав час привести приклади ступенів із натуральними показниками. Почнемо зі ступеня 5 7 тут 5 - основа ступеня, а 7 - показник ступеня. Наведемо ще приклад: 4,32 є основою, а натуральне число 9 показником ступеня (4,32) 9 .

Зверніть увагу, що в останньому прикладі основа ступеня 4,32 записана в дужках: щоб уникнути різночитань ми братимемо в дужки всі основи ступеня, які відмінні від натуральних чисел. Як приклад наведемо такі ступеня з натуральними показниками , їх підстави є натуральними числами, тому вони записані в дужках. Ну і для повної ясності в цьому моменті покажемо різницю, що міститься в записах виду (-2) 3 і -2 3 . Вираз (−2) 3 – це ступінь −2 з натуральним показником 3, а вираз −2 3 (його можна записати як −(2 3) ) відповідає числу, значенню ступеня 2 3 .

Зауважимо, що є позначення ступеня числа a з показником n виду a^n . У цьому, якщо n – багатозначне натуральне число, то показник ступеня береться у дужки. Наприклад, 4^9 – це інший запис ступеня 49. А ще приклади запису ступенів за допомогою символу «^ »: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Надалі ми будемо переважно користуватися позначенням ступеня виду a n .

Однією із завдань, зворотної зведенню у ступінь з натуральним показником, є завдання знаходження основи ступеня за відомим значенням ступеня та відомим показником. Це завдання призводить до .

Відомо, що безліч раціональних чисел складається з цілих і дробових чисел, причому кожне дробове число може бути представлене у вигляді позитивного або негативного звичайного дробу. Ступінь із цілим показником ми визначили в попередньому пункті, тому, щоб закінчити визначення ступеня з раціональним показником, потрібно надати сенсу ступеня числа a з дробовим показником m/n , де m – ціле число, а n - натуральне. Зробимо це.

Розглянемо ступінь із дробовим показником виду. Щоб зберігати силу властивість ступеня, повинна виконуватися рівність . Якщо зважити на отриману рівність і те, як ми визначили , то логічно прийняти за умови, що при даних m , n і a вираз має сенс.

Неважко перевірити, що при справедливі всі властивості ступеня з цілим показником (це зроблено у розділі якості ступеня з раціональним показником).

Наведені міркування дозволяють зробити наступний висновок: якщо даних m , n і a вираз має сенс, то ступенем числа a з дробовим показником m/n називають корінь n -ого ступеня з a ступенем m .

Це твердження впритул підводить нас до визначення ступеня з дрібним показником. Залишається лише розписати, за яких m, n і a має сенс вираз. Залежно від обмежень, що накладаються на m, n та a існують два основні підходи.

Найпростіше накласти обмеження на a , прийнявши a≥0 для позитивних m і a>0 для негативних m (оскільки при m≤0 ступінь 0 m не визначений). Тоді ми отримуємо наступне визначення ступеня з дрібним показником.

Визначення.

Ступенем позитивного числа a з дробовим показником m/n, де m - ціле, а n - натуральне число, називається корінь n-ї з числа a в ступені m, тобто, .

Також визначається дробовий ступінь нуля з тим лише застереженням, що показник має бути позитивним.

Визначення.

Ступінь нуля із дробовим позитивним показником m/n, де m – ціле позитивне, а n – натуральне число, визначається як .
При ступінь не визначається, тобто ступінь числа нуль з дробовим негативним показником не має сенсу.

Слід зазначити, що за такому визначенні ступеня з дробовим показником існує один нюанс: при деяких негативних a і деяких m і n вираз має сенс, а ми відкинули ці випадки, ввівши умову a≥0 . Наприклад, мають сенс запису або , а дане вище визначення змушує нас говорити, що ступеня з дробовим показником виду немає сенсу, оскільки основа має бути негативним.

Інший підхід до визначення ступеня з дробовим показником m/n полягає в роздільному розгляді парних та непарних показниках кореня. Цей підхід вимагає додаткової умови: ступінь числа a, показником якого є, вважається ступенем числа a, показником якого є відповідний нескоротний дріб (важливість цієї умови пояснимо трохи нижче). Тобто, якщо m/n – нескоротний дріб, то будь-якого натурального числа k ступінь попередньо замінюється на .

При парних n і позитивних m вираз має сенс за будь-якого неотрицательному a (корінь парного ступеня з негативного числа немає сенсу), при негативних m число a має бути ще відмінним від нуля (інакше буде розподіл на нуль). А при непарних n і позитивних m число a може бути будь-яким (корінь непарної міри визначений для будь-якого дійсного числа), а при негативних m число a має бути відмінним від нуля (щоб не було поділу на нуль).

Наведені міркування призводять нас до такого визначення ступеня з дрібним показником.

Визначення.

Нехай m/n – нескоротний дріб, m – ціле, а n – натуральне число. Для будь-якого скоротливого звичайного дробу ступінь замінюється на . Ступінь числа a з нескоротним дробовим показником m/n – це для



Пояснимо, навіщо ступінь із скоротитим дробовим показником попередньо замінюється ступенем із нескоротним показником. Якби ми просто визначили ступінь як , і не обмовилися про нескоротність дробу m/n , то ми зіткнулися б з ситуаціями, подібними до наступної: так як 6/10=3/5 , то повинна виконуватись рівність , але , а .