Як розв'язувати системи раціональних нерівностей. Формули скороченого множення

Тема уроку "Рішення систем раціональних нерівностей"

Клас 10

Тип уроку: пошуковий

Мета: пошук способів вирішення нерівностей із модулем, застосування методу інтервалів у новій ситуації.

Завдання уроку:

Перевірити вміння та навички у вирішенні раціональних нерівностей та їх систем; - показати учням можливості застосування методу інтервалів під час вирішення нерівностей з модулем;

Навчити логічно мислити;

Виробити навичку самооцінки своєї роботи;

Навчити висловлювати свої думки,

Навчити аргументовано відстоювати свою думку;

Сформувати в учнів позитивний мотив вчення;

Розвинути самостійність учнів.

Хід уроку

I. Організаційний момент(1 хв)

Здрастуйте, сьогодні ми з вами продовжимо вивчення теми "Система раціональних нерівностей", будемо застосовувати свої знання та вміння у новій ситуації.

Запишіть число та тему уроку "Рішення систем раціональних нерівностей". Сьогодні я вас запрошую в подорож дорогами математики, де на вас чекають випробування, перевірка на міцність. У вас на партах лежать дорожні карти із завданнями, дорожній лист самооцінки, який наприкінці подорожі здасте мені (диспетчеру).

Девізом подорожі служитиме афоризм "Дорогу здолає той, хто йде, а математику мислить". Візьміть із собою ваш багаж знань. Увімкніть розумовий процес і в дорогу. Дорогою нас супроводжуватиме дорожнє радіо.Звучить фрагмент музики (1 хв). Далі різкий звук сигналу.

ІІ. Етап перевірки знань. Робота у групах.«Догляд багажу»,

Ось і перше випробування «Догляд багажу», перевірка ваших знань на тему

Зараз ви поділіться на групи по 3 або 4 особи. Кожен на парті має листок із завданням. Розподіліть ці завдання між собою, вирішіть їх, на загальному аркуші запишіть готові відповіді. Група, що складається з 3 осіб, вибирає 3 будь-які завдання. Хто виконає всі завдання, повідомить про це вчителя. Я або мої помічники звіримо відповіді, і якщо хоч одна відповідь буде невірною, групі повертається листок на повторну перевірку. (Відповіді діти не бачать, їм тільки повідомляється, в якому завданні неправильна відповідь).Переможе та група, яка першою без помилок упорається з усіма завданнями. Вперед за перемогою.

Звучить дуже тиха музика.

Якщо закінчать роботу дві чи три групи одночасно, то вчителю допоможе перевірити хтось із хлопців іншої групи. Відповіді на аркуші у вчителя (4 екземпляри).

Робота зупиняється, коли з'явиться група-переможець.

Не забудьте заповнити дорожній лист самооцінки. І їдемо далі.

Аркуш із завданням для «Догляду багажу»

1) 3)

2) 4)

ІІІ. Етап актуалізації знань та відкриття нових знань. "Еврика"

Огляд показав, що багаж знань у вас є.

Але в дорозі всякі ситуації бувають, іноді потрібна кмітливість, а чи не забули ви прихопити її з собою, перевіримо.

Ви навчилися вирішувати системи раціональних нерівностей шляхом інтервалів. Сьогодні ми подивимося, під час вирішення яких завдань доцільно застосування цього. Але спочатку згадаємо, що таке модуль.

1. Продовжіть речення «Модуль числа дорівнює самому числу, якщо..."(усно)

«Модуль числа дорівнює протилежному числу, якщо...»

2. Нехай А(Х) - багаточлен від x

Продовжіть запис:

Відповідь:

Запишіть вираз, протилежний виразу А(х)

А(х) = 5 - 4х; А(х) = 6х 2 - 4х + 2

А(х)=-А(х)=

На дошці пише учень, хлопці, записують у зошити.

3. Зараз спробуємо знайти спосіб розв'язання квадратичного нерівності з модулем

Ваші пропозиції щодо вирішення цієї нерівності.

Вислухати пропозиції хлопців та дівчат.

Якщо пропозицій не буде, то запитати: «Чи можна вирішити цю нерівність за допомогою систем нерівностей?»

Виходить учень, вирішує.

IV. Етап первинного закріплення нових знань, складання алгоритму розв'язання. Поповнення багажу.

(Робота у групах по 4 особи).

Зараз я пропоную вам поповнити ваш багаж. Працюватимете в групах.Кожній групі видаються по 2 картки із завданнями.

На першій картці потрібно записати системи для вирішення нерівностей, представлених на дошці та розробити алгоритм розв'язання подібних нерівностей, вирішувати не потрібно.

Перша картка у груп різна, друга однакова

Що вийшло?

Під кожним рівнянням на дошці слід написати сукупність систем.

Виходять 4 учні, і пишуть системи. У цей час із класом обговорюємо алгоритм.

V. Етап закріплення знань."Дорога додому".

Багаж поповнений, тепер настав час у зворотний шлях. Зараз вирішіть самостійно будь-яку із запропонованих нерівностей з модулем відповідно до складеного алгоритму.

З вами у дорозі знову буде дорожнє радіо.

Увімкнути тиху фонову музику. Вчитель перевіряє оформлення та за потреби консультує.

Завдання на дошці.

Роботу закінчили. Звірте відповіді (вони на звороті дошки), заповніть дорожній лист самооцінки.

Постановка домашнього завдання.

Запишіть домашнє завдання (перепишіть у зошит нерівності, які не зробили або зробили з помилками, додатково № 84 (а) на стор. 373 підручника за бажанням)

VI. Етап релаксації.

Чим корисною була для вас ця подорож?

Чого ви навчилися?

Підсумуйте. Підрахуйте, скільки балів кожен із вас заробив.(Хлопці називають підсумковий бал).Листи із самооцінкою здайте диспетчеру, тобто мені.

Закінчити урок я хочу притчею.

«Ішов мудрець, а назустріч йому троє людей, які везли під гарячим сонцем візки з камінням для будівництва. Мудрець зупинився і поставив кожному з питання. У першого спитав: «Що ти робив цілий день?», і той з усмішкою відповів, що цілий день возив прокляте каміння. У другого мудрець запитав: «А що ти робив цілий день?», і той відповів: «А я сумлінно виконував свою роботу», а третій усміхнувся, його обличчя засвітилося радістю та задоволенням: «А я брав участь у будівництві Храму!»

Урок завершено.

Аркуш самооцінки

Прізвище, ім'я, клас

Кількість балів

Робота у групі у вирішенні нерівностей чи систем нерівностей.

2 бали, якщо виконав правильно без сторонньої допомоги;

1 бал, якщо виконав правильно із сторонньою допомогою;

0 балів, якщо не виконав завдання

1 бал додатковий за перемогу групи

Попередні відомості

Визначення 1

Нерівність виду $f(x) >(≥)g(x)$, в якій $f(x)$ і $g(x)$ будуть цілими раціональними виразами, називається цілою раціональною нерівністю.

Прикладами цілих раціональних нерівностей є лінійні, квадратні, кубічні нерівності із двома змінними.

Визначення 2

Значення $x$, у якому виконується нерівність з визначення $1$, називається коренем рівняння.

Приклад розв'язання таких нерівностей:

Приклад 1

Вирішити цілу нерівність $4x+3 >38-x$.

Рішення.

Спростимо цю нерівність:

Здобули лінійну нерівність. Знайдемо його рішення:

Відповідь: $ (7, ∞) $.

У цій статті ми розглянемо такі способи вирішення цілих раціональних нерівностей.

Спосіб розкладання на множники

Цей спосіб полягатиме в следующем: Записується рівняння виду $f(x)=g(x)$. Це рівняння наводиться до виду $φ(x)=0$ (де $φ(x)=f(x)-g(x)$). Потім функція $φ(x)$ розкладається на множники з мінімально можливими ступенями. Застосовується правило:Добуток багаточленів дорівнює нулю, коли один з них дорівнює нулю. Далі знайдене коріння відзначається на числовій прямій і будується крива знаків. Залежно від знака початкової нерівності записується відповідь.

Наведемо приклади рішення в такий спосіб:

Приклад 2

Вирішити розкладанням на множники. $y^2-9

Рішення.

Розв'яжемо рівняння $y^2-9

Використовуючи формулу різниці квадратів, маємо

Використовуючи правило рівності нулю добутку множників, отримаємо наступне коріння: $3$ і $-3$.

Зобразимо криву знаків:

Так як у початковій нерівності знак «менший», то отримуємо

Відповідь: $(-3,3)$.

Приклад 3

Вирішити розкладанням на множники.

$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$

Рішення.

Розв'яжемо наступне рівняння:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

Винесемо за дужки загальні множники з перших двох доданків та з останніх двох

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

Винесемо загальний множник $(x^2+3)$

$(x^2+3)(x+2)=0$

Використовуючи правило рівності нулю добутку множників, отримаємо:

$x+2=0 \ і \ x^2+3=0$

$x=-2$ і "коріння немає"

Зобразимо криву знаків:

Так як у початковій нерівності знак «більше чи одно», то отримуємо

Відповідь: $(-∞,-2]$.

Спосіб введення нової змінної

Такий спосіб полягає в наступному: Записується рівняння виду $ f (x) = g (x) $. Вирішуємо його так: введемо таку нову змінну, щоб отримати рівняння, спосіб розв'язання якого вже відомий. Його, згодом, вирішуємо та повертаємося до заміни. Із неї і знайдемо рішення першого рівняння. Далі знайдене коріння відзначається на числовій прямій і будується крива знаків. Залежно від знака початкової нерівності записується відповідь.

Наведемо приклад застосування цього способу на прикладі нерівності четвертого ступеня:

Приклад 4

Вирішимо нерівність.

$x^4+4x^2-21 >0$

Рішення.

Розв'яжемо рівняння:

Зробимо наступну заміну:

Нехай $x^2=u (де \ u >0)$, отримуємо:

Вирішуватимемо цю систему за допомогою дискримінанта:

$D=16+84=100=10^2$

Рівняння має два корені:

$x=\frac(-4-10)(2)=-7$ і $x=\frac(-4+10)(2)=3$

Повернемося до заміни:

$x^2=-7$ і $x^2=3$

Перше рівняння немає рішень, та якщо з другого $x=\sqrt(3)$ і $x=-\sqrt(3)$

Зобразимо криву знаків:

Так як у початковій нерівності знак «більше», то отримуємо

Відповідь:$(-∞,-\sqrt(3))∪(\sqrt(3),∞)$

Продовжуємо заглиблюватися у тему «вирішення нерівностей з однією змінною». Нам уже знайомі лінійні нерівності та квадратні нерівності. Вони є окремими випадками раціональних нерівностей, Вивченням яких ми зараз і займемося. Почнемо з того, що з'ясуємо, нерівності якогось виду називаються раціональними. Далі розберемося з їхнім підрозділом на цілі раціональні та дробові раціональні нерівності. А вже після цього вивчатимемо, як проводиться розв'язання раціональних нерівностей з однією змінною, запишемо відповідні алгоритми та розглянемо розв'язання характерних прикладів із детальними поясненнями.

Навігація на сторінці.

Що таке раціональні нерівності?

У школі під час уроків алгебри, щойно заходить розмова про розв'язання нерівностей, відразу і відбувається зустріч із раціональними нерівностями. Однак спочатку їх не називають своїм ім'ям, тому що на цьому етапі види нерівностей становлять мало інтересу, а основна мета полягає у отриманні початкових навичок роботи з нерівностями. Сам термін «раціональна нерівність» запроваджується пізніше у 9 класі, коли починається детальне вивчення нерівностей саме цього виду.

Давайте дізнаємось, що таке раціональні нерівності. Ось визначення:

В озвученому визначенні нічого не сказано про кількість змінних, отже, допускається будь-яка їхня кількість. Залежно від цього розрізняють раціональні нерівності з одним, двома тощо. змінними. До речі, у підручнику дається таке визначення, але для раціональних нерівностей із однією змінною. Це і зрозуміло, тому що в школі основна увага приділяється вирішенню нерівностей з однією змінною (нижче ми теж говоритимемо лише про розв'язання раціональних нерівностей з однією змінною). Нерівності з двома зміннимирозглядають мало, а нерівності з трьома і більшою кількістю змінних практично взагалі не приділяють уваги.

Отже, раціональне нерівність можна розпізнати з його записи, при цьому досить поглянути висловлювання у його лівої і правої частини і переконатися, що є раціональними висловлюваннями. Ці міркування дозволяють навести приклади раціональних нерівностей. Наприклад, x>4 , x 3 +2·y≤5·(y−1)·(x 2 +1), - Це раціональні нерівності. А нерівність не є раціональним, тому що його ліва частина містить змінну під знаком кореня, а отже, не є раціональним виразом. Нерівність теж раціональне, оскільки обидві його частини є раціональними висловлюваннями.

Для зручності подальшого опису введемо підрозділ раціональних нерівностей на цілі та дробові.

Визначення.

Раціональну нерівність називатимемо цілим, якщо обидві його частини – цілі раціональні висловлювання.

Визначення.

Дробно раціональна нерівність– це раціональна нерівність, хоча одна частина якої – дробовий вираз.

Так 0,5·x≤3·(2−5·y) , - цілі нерівності, а 1:x+3>0 і - Дробово раціональні.

Тепер ми маємо чітке розуміння, що є раціональними нерівностями, і можна сміливо починати розбиратися з принципами вирішення цілих і дробово раціональних нерівностей з однією змінною.

Розв'язання цілих нерівностей

Поставимо перед собою завдання: нехай нам треба вирішити цілу раціональну нерівність з однією змінною x виду r(x) , ≥), де r(x) та s(x) – деякі цілі раціональні вирази. Для її вирішення будемо використовувати рівносильні перетворення нерівності.

Перенесемо вираз із правої частини до лівої, що нас призведе до рівносильної нерівності виду r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) з нулем праворуч. Очевидно, що вираз r(x)−s(x) , що утворився в лівій частині, теж цілий, а відомо, що можна будь-яке . Перетворивши вираз r(x)−s(x) на тотожно рівний йому багаточлен h(x) (тут зауважимо, що вирази r(x)−s(x) і h(x) мають однакову змінну x ), ми перейдемо до рівносильного нерівності h(x)<0 (≤, >, ≥).

У найпростіших випадках виконаних перетворень буде достатньо, щоб отримати потрібне рішення, оскільки вони приведуть нас від вихідної цілої раціональної нерівності до нерівності, яку ми вміємо вирішувати, наприклад, до лінійної або квадратної. Розглянемо приклади.

приклад.

Знайдіть розв'язання цілої раціональної нерівності x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 .

Рішення.

Спочатку переносимо вираз із правої частини до лівої: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0. Виконавши все в лівій частині, приходимо до лінійної нерівності 3·x−2≤0 , яка дорівнює вихідній цілій нерівності. Його рішення не становить складності:
3·x≤2 ,
x≤2/3.

Відповідь:

x≤2/3.

приклад.

Розв'яжіть нерівність (x 2 +1) 2 −3·x 2 >(x 2 −x)·(x 2 +x).

Рішення.

Починаємо як звичайно з перенесення виразу з правої частини, а далі виконуємо перетворення в лівій частині, використовуючи :
(x 2 +1) 2 −3·x 2 −(x 2 −x)·(x 2 +x)>0,
x 4 +2·x 2 +1−3·x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0 .

Так, виконуючи рівносильні перетворення, ми дійшли нерівності 1>0 , яка вірна за будь-яких значень змінної x . І це означає, що рішенням вихідної цілої нерівності є будь-яке дійсне число.

Відповідь:

x – будь-яке.

приклад.

Виконайте розв'язання нерівності x+6+2·x 3 −2·x·(x 2 +x−5)>0.

Рішення.

У правій частині нуль, тож із неї нічого переносити не потрібно. Перетворимо цілий вираз, що знаходиться в лівій частині, в багаточлен:
x+6+2·x 3 −2·x 3 −2·x 2 +10·x>0,
−2·x 2 +11·x+6>0 .

Отримали квадратну нерівність, яка дорівнює вихідній нерівності. Вирішуємо його будь-яким відомим нам методом. Проведемо розв'язання квадратної нерівності графічним способом.

Знаходимо коріння квадратного тричлена −2·x 2 +11·x+6 :

Робимо схематичне креслення, на якому відзначаємо знайдені нулі, та враховуємо, що гілки параболи спрямовані вниз, оскільки старший коефіцієнт негативний:

Так як ми вирішуємо нерівність зі знаком, то нас цікавлять проміжки, на яких парабола розташовується вище осі абсцис. Це має місце на інтервалі (-0,5, 6), він і є шуканим рішенням.

Відповідь:

(−0,5, 6) .

У більш складних випадках у лівій частині отриманої нерівності h(x)<0 (≤, >, ≥) буде багаточлен третього або вищого ступеня. Для вирішення таких нерівностей підходить спосіб інтервалів , першому етапі якого необхідно знайти все коріння многочлена h(x) , що часто робиться через .

приклад.

Знайдіть розв'язання цілої раціональної нерівності (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .

Рішення.

Перенесемо все в ліву частину, після чого там і :
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0 ,
x 3 +4 · x 2 +2 · x +8-14 +9 · x<0 ,
x 3 +4 · x 2 +11 · x-6<0 .

Зроблені маніпуляції призводять нас до нерівності, яка рівнозначна вихідному. У його лівій частині багаточлен третього ступеня. Вирішити його можна шляхом інтервалів. Для цього в першу чергу треба знайти коріння багаточлена, що впирається в x 3 +4 x 2 +11 x 6 = 0 . З'ясуємо, чи має воно раціональне коріння, яке може бути лише серед дільників вільного члена, тобто, серед чисел ±1, ±2, ±3, ±6. Підставляючи по черзі ці числа замість змінної x рівняння x 3 +4 x 2 +11 x 6 = 0 , з'ясовуємо, що корінням рівняння є числа 1 , 2 і 3 . Це дозволяє уявити многочлен x 3 +4 x 2 +11 x 6 у вигляді твору (x−1)·(x−2)·(x−3) , а нерівність x 3 +4·x 2 +11· x−6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

А далі залишається виконати стандартні кроки методу інтервалів: відзначити на числовій прямій точці з координатами 1 , 2 і 3 , які розбивають цю пряму на чотири проміжки, визначити та розставити знаки, зобразити штрихування над проміжками зі знаком мінус (оскільки ми вирішуємо нерівність зі знаком<) и записать ответ.

Звідки маємо (−∞, 1)∪(2, 3) .

Відповідь:

(−∞, 1)∪(2, 3) .

Слід зазначити, що іноді недоцільно від нерівності r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) переходити до нерівності h(x)<0 (≤, >, ≥), де h(x) – багаточлен ступеня вище за другий. Це стосується тих випадків, коли складніше розкласти многочлен h(x) на множники, ніж уявити вираз r(x)−s(x) у вигляді добутку лінійних двочленів і квадратних тричленів, наприклад, шляхом винесення за дужки загального множника. Пояснимо це з прикладу.

приклад.

Розв'яжіть нерівність (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1).

Рішення.

Це ціла нерівність. Якщо перенести вираз з його правої частини в ліву, після чого розкрити дужки і навести подібні доданки, то вийде нерівність x 4 −4·x 3 −16·x 2 +40·x+19≥0. Вирішити його дуже непросто, оскільки це передбачає пошук коренів багаточлена четвертого ступеня. Нескладно перевірити, що раціонального коріння він не має (ними могли б бути числа 1, -1, 19 або -19), а інші його коріння шукати проблематично. Тому цей шлях тупиковий.

Давайте пошукаємо інші можливості рішення. Неважко помітити, що після перенесення виразу з правої частини вихідної цілої нерівності в ліву, можна винести за дужки загальний множник x 2 −2·x−1 :
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0.

Зроблене перетворення є рівносильним, тому рішення отриманої нерівності буде рішенням та вихідної нерівності.

А тепер ми можемо знайти нулі виразу, що знаходиться в лівій частині отриманої нерівності, для цього треба x 2 −2 x 1 = 0 і x 2 2 x 19 = 0 . Їх корінням є числа . Це дозволяє перейти до рівносильної нерівності , яке ми можемо вирішити методом інтервалів:

За кресленням записуємо відповідь.

Відповідь:

На закінчення цього пункту хочеться лише додати, що не завжди є можливість знайти все коріння многочлена h(x) , як наслідок розкласти їх у твір лінійних двочленів і квадратних тричленів. У цих випадках немає можливості розв'язати нерівність h(x)<0 (≤, >, ≥), отже, немає можливості знайти рішення вихідного цілого раціонального рівняння.

Вирішення дробово раціональних нерівностей

Тепер займемося вирішенням такого завдання: нехай потрібно розв'язати дробову раціональну нерівність з однією змінною x виду r(x) , ≥), де r(x) і s(x) – деякі раціональні вирази, причому хоча б один із них – дробовий. Давайте відразу наведемо алгоритм її розв'язання, після чого внесемо необхідні пояснення.

Алгоритм розв'язання дрібно раціональної нерівностіз однією змінною r(x) , ≥):

Спочатку треба знайти область допустимих значень (ОДЗ) змінної x для вихідної нерівності.
Далі потрібно перенести вираз з правої частини нерівності в ліву, і вираз r(x)−s(x), що там утворився, перетворити до виду дробу p(x)/q(x) , де p(x) і q(x) – цілі вирази, що є творами лінійних двочленів, нерозкладних квадратних тричленів та їх ступенів з натуральним показником.
Далі треба вирішити одержану нерівність методом інтервалів.
Нарешті, з отриманого на попередньому кроці рішення потрібно виключити точки, що не входять до ОДЗ змінної x для вихідної нерівності, яка була знайдена на першому кроці.

Так буде отримано розв'язання дробово раціональної нерівності.

Пояснень потребує другий крок алгоритму. Перенесення виразу з правої частини нерівності до лівої дає нерівність r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), яке дорівнює вихідному. Тут усе зрозуміло. А ось питання викликає подальше його перетворення на вигляд p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).

Перше питання: «Чи завжди його можна провести»? Теоретично, так. Ми знаємо, що можна будь-яке . У чисельнику та знаменнику раціонального дробу знаходяться багаточлени. А з основної теореми алгебри та теореми Безу випливає, що будь-який багаточлен ступеня n з однією змінною можна подати у вигляді твору лінійних двочленів. Це пояснює можливість проведення зазначеного перетворення.

На практиці ж досить складно розкладати багаточлени на множники, а якщо їх ступінь вищий за четвертий, то і не завжди можливо. Якщо розкладання на множники неможливо, то й можливості знайти рішення вихідної нерівності, але у школі такі випадки зазвичай не трапляються.

Друге питання: «Чи буде нерівність p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥) рівнозначно нерівності r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), а отже, і вихідного»? Воно може бути як рівносильним, так і нерівносильним. Воно рівнозначне тоді, коли ОДЗ для виразу p(x)/q(x) збігається з ОДЗ для виразу r(x)-s(x). В цьому випадку останній крок алгоритму буде зайвим. Але ОДЗ для вираження p(x)/q(x) може виявитися ширшим, ніж ОДЗ для вираження r(x)-s(x). Розширення ОДЗ може відбуватися при скороченні дробів, як, наприклад, при переході від до. Також розширенню ОДЗ може сприяти приведення подібних доданків, як, наприклад, при переході від до. Для цього випадку і призначено останній крок алгоритму, на якому виключаються сторонні рішення, що виникають через розширення ОДЗ. Давайте стежимо за цим, коли розбиратимемо нижче рішення прикладів.

Раціональні нерівності та їх системи. Системи раціональних нерівностей
Підсумкове повторення курсу алгебри 9-го класу

За допомогою цього уроку ви дізнаєтеся про раціональні нерівності та їх системи. Вирішується система раціональних нерівностей за допомогою еквівалентних перетворень. Розглядається визначення еквівалентності, спосіб заміни дробово-раціональної нерівності - квадратним, а також розуміється на чому відмінність нерівності від рівняння і як здійснюються рівносильні перетворення.

Алгебра 9 клас

Підсумкове повторення курсу алгебри 9-го класу

Раціональні нерівності та їх системи. Системи раціональних нерівностей.

1.1 Конспект.

1. Еквівалентні перетворення раціональних нерівностей.

Вирішити раціональна нерівністьозначає знайти всі його рішення. На відміну від рівняння, під час вирішення нерівності, зазвичай, виникає безліч рішень. Численна безліч рішень не можна перевірити методом підстановки. Тому потрібно так перетворювати вихідну нерівність, щоб у кожному наступному рядку виходила нерівність з тією ж безліччю рішень.

Раціональні нерівностівирішуються лише за допомогою еквівалентнихчи рівносильних перетворень. Такі перетворення не спотворюють безліч рішень.

Визначення. Раціональні нерівностіназивають еквівалентними, якщо безліч їхніх рішень збігаються.

Для позначення еквівалентностівикористовують знак

2. Розв'язання системи нерівностей

Перша та друга нерівність – це дробово-раціональні нерівності. Методи їх вирішення є природним продовженням методів розв'язання лінійних та квадратних нерівностей.

Перенесемо числа, що стоять у правій частині, до лівої з протилежним знаком.

У результаті правої частини залишиться 0. Це перетворення є еквівалентним. На це вказує знак

Виконаємо дії, які наказує алгебра. Віднімемо «1» у першій нерівності та «2» у другій.

3. Вирішення нерівності методом інтервалів

1) Введемо функцію. Нам потрібно дізнатися, коли ця функція менша за 0.

2) Знайдемо область визначення функції: у знаменнику не повинен стояти 0. «2» - точка розриву. При х = 2 функція невизначена.

3) Знайдемо коріння функції. Функція дорівнює 0, якщо в чисельнику стоїть 0.

Поставлені точки розбивають числову вісь на три інтервали – це інтервали знакопостійності. У кожному інтервалі функція зберігає знак. Визначимо знак першому інтервалі. Підставимо якесь значення. Наприклад, 100. Зрозуміло, як і чисельник, і знаменник більше 0. Значить і весь дріб позитивна.

Визначимо знаки інших проміжках. При переході через точку х=2 лише знаменник змінює знак. Значить, і весь дріб поміняє знак, і буде негативним. Проведемо аналогічне міркування. Під час переходу через точку х=-3 тільки чисельник змінює знак. Значить, дріб поміняє знак і буде позитивним.

Виберемо інтервал, що відповідає умові нерівності. Заштрихуємо його та запишемо у вигляді нерівності

4. Вирішення нерівності за допомогою квадратичної нерівності

Важливий факт.

У порівнянні з 0 (у разі суворої нерівності) дріб можна замінити на твір чисельника на знаменник або поміняти чисельник чи знаменник місцями.

Це так тому, що всі три нерівності виконуються за умови, що u і v різного знака. Ці три нерівності еквівалентні.

Використовуємо цей факт і замінимо дробово-раціональну нерівність квадратною.

Вирішимо квадратну нерівність.

Введемо квадратичну функцію. Знайдемо її коріння та побудуємо ескіз її графіка.

Значить, гілки параболи вгору. Всередині інтервалу коріння функція зберігає знак. Вона негативна.

Поза інтервалом коренів функція позитивна.

Розв'язання першої нерівності:

5. Вирішення нерівності

Введемо функцію:

Знайдемо її інтервали знаковості:

Для цього знайдемо коріння та точки розриву області визначення функції. Точки розриву виколюємо завжди. (х=3/2) Коріння виколюємо залежно від знаку нерівності. Наша нерівність сувора. Тому корінь виколюємо.

Розставимо знаки:

Запишемо рішення:

Закінчимо рішення системи. Знайдемо перетин безлічі рішень першої нерівності та безлічі рішень другої нерівності.

Вирішити систему нерівностей означає знайти перетин безлічі рішень першої нерівності і безлічі рішень другої нерівності. Тому, вирішивши першу і другу нерівність окремо, потрібно записати отримані результати в одну систему.

Зобразимо розв'язання першої нерівності над віссю Ох.

Рішення другої нерівності зобразимо під віссю.

Алгебра 9 клас

Підсумкове повторення курсу алгебри 9-го класу

Раціональні нерівності та їх системи. Системи раціональних нерівностей.

1.1 Конспект.

1. Еквівалентні перетворення раціональних нерівностей.

Визначення. Раціональні нерівностіназивають еквівалентними, якщо безліч їхніх рішень збігаються.

Для позначення еквівалентностівикористовують знак

2. Розв'язання системи нерівностей

Перенесемо числа, що стоять у правій частині, до лівої з протилежним знаком.

У результаті правої частини залишиться 0. Це перетворення є еквівалентним. На це вказує знак

Виконаємо дії, які наказує алгебра. Віднімемо «1» у першій нерівності та «2» у другій.

3. Вирішення нерівності методом інтервалів

1) Введемо функцію. Нам потрібно дізнатися, коли ця функція менша за 0.

3) Знайдемо коріння функції. Функція дорівнює 0, якщо в чисельнику стоїть 0.

Виберемо інтервал, що відповідає умові нерівності. Заштрихуємо його та запишемо у вигляді нерівності

4. Вирішення нерівності за допомогою квадратичної нерівності

Важливий факт.

Це так тому, що всі три нерівності виконуються за умови, що u і v різного знака. Ці три нерівності еквівалентні.

Використовуємо цей факт і замінимо дробово-раціональну нерівність квадратною.

Вирішимо квадратну нерівність.

Введемо квадратичну функцію. Знайдемо її коріння та побудуємо ескіз її графіка.

Значить, гілки параболи вгору. Всередині інтервалу коріння функція зберігає знак. Вона негативна.

Поза інтервалом коренів функція позитивна.

Розв'язання першої нерівності:

5. Вирішення нерівності

Введемо функцію:

Знайдемо її інтервали знаковості:

Розставимо знаки:

Запишемо рішення:

Зобразимо розв'язання першої нерівності над віссю Ох.