Як вирішити систему нерівностей із однією змінною. Калькулятор онлайн

У цій статті зібрано початкову інформацію про системи нерівностей. Тут дано визначення системи нерівностей та визначення розв'язання системи нерівностей. А також перераховані основні види систем, з якими найчастіше доводиться працювати на уроках алгебри у школі, та наведено приклади.

Навігація на сторінці.

Що таке система нерівностей?

Системи нерівностей зручно визначити аналогічно тому, як ми вводили визначення системи рівнянь , тобто, за записом і змістом, вкладеним у неї.

Визначення.

Система нерівностей- Це запис, що представляє собою деяке число записаних один під одним нерівностей, об'єднаних зліва фігурною дужкою, і позначає безліч всіх рішень, що є одночасно рішеннями кожної нерівності системи.

Наведемо приклад системи нерівностей. Візьмемо два довільні , наприклад, 2·x−3>0 і 5−x≥4·x−11 , запишемо їх одне під іншим
2·x−3>0 ,
5−x≥4·x−11
і об'єднаємо знаком системи - фігурною дужкою, в результаті отримаємо систему нерівностей такого виду:

Аналогічно дається уявлення про системи нерівностей у шкільних підручниках. Варто зазначити, що в них визначення даються більш вузько: для нерівностей з однією змінною або з двома змінними.

Основні види систем нерівностей

Зрозуміло, що можна скласти безліч різних систем нерівностей. Щоб не заблукати в цьому різноманітті, їх доцільно розглядати за групами, що мають відмітні ознаки. Усі системи нерівностей можна розбити на групи за такими критеріями:

• за кількістю нерівностей у системі;
• за кількістю змінних, що у записи;
• на вигляд самих нерівностей.

За кількістю нерівностей, що входять до запису, розрізняють системи двох, трьох, чотирьох і т.д. нерівностей. У попередньому пункті ми навели приклад системи, яка є системою двох нерівностей. Покажемо ще приклад системи чотирьох нерівностей .

Окремо скажемо, що немає сенсу говорити про систему однієї нерівності, у цьому випадку по суті йдеться про саму нерівність, а не про систему.

Якщо дивитися на кількість змінних, то мають місце системи нерівностей з однією, двома, трьома тощо. змінними (або, як ще кажуть, невідомими). Подивіться на останню систему нерівностей, записану двома абзацами вище. Це система з трьома змінними x, y та z. Зверніть увагу, що її дві перші нерівності містять не всі три змінні, а лише по одній із них. У контексті цієї системи їх варто розуміти як нерівності з трьома змінними видами x+0·y+0·z≥−2 та 0·x+y+0·z≤5 відповідно. Зауважимо, що у школі основна увага приділяється нерівностям з однією змінною.

Залишилося обговорити, які види нерівностей беруть участь у записі систем. У школі в основному розглядають системи двох нерівностей (рідше - трьох, ще рідше - чотирьох і більше) з однією або двома змінними, причому самі нерівності зазвичай є цілими нерівностямипершого або другого ступеня (рідше – більш високих ступенів або дрібно раціональними). Але не дивуйтеся, якщо в матеріалах з підготовки до ОДЕ зіткнетеся з системами нерівностей, що містять ірраціональні, логарифмічні, показові та інші нерівності. Як приклад наведемо систему нерівностей , Вона взята з .

Що називається розв'язанням системи нерівностей?

Введемо ще одне визначення, пов'язане із системами нерівностей, - визначення розв'язання системи нерівностей:

Визначення.

Розв'язанням системи нерівностей з однією змінноюназивається таке значення змінної, що звертає кожну з нерівностей системи у вірне, іншими словами, є рішенням кожної нерівності системи.

Пояснимо на прикладі. Візьмемо систему двох нерівностей з однією змінною. Візьмемо значення змінної x , що дорівнює 8 , воно є рішенням нашої системи нерівностей за визначенням, так як його підстановка в нерівності системи дає дві вірні числові нерівності 8>7 і 2-3·8≤0 . Навпаки, одиниця не є рішенням системи, тому що при її підстановці замість змінної x перша нерівність звернеться в неправильну числову нерівність 1>7.

Аналогічно можна запровадити визначення розв'язання системи нерівностей із двома, трьома та більшою кількістю змінних:

Визначення.

Розв'язанням системи нерівностей із двома, трьома тощо. змінниминазивається пара, трійка і т.д. значень цих змінних, яка одночасно є рішенням кожної нерівності системи, тобто, звертає кожну нерівність системи у правильну числову нерівність.

Наприклад, пара значень x=1 , y=2 чи іншого запису (1, 2) є рішенням системи нерівностей з двома змінними , оскільки 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Системи нерівностей можуть мати рішень, можуть мати кінцеве число рішень, а можуть мати і безліч рішень. Часто говорять про безліч розв'язків системи нерівностей. Коли система немає рішень, має місце порожня безліч її рішень. Коли рішень кінцеве число, безліч рішень містить кінцеве число елементів, а коли рішень нескінченно багато, то і безліч рішень складається з нескінченного числа елементів.

У деяких джерелах вводяться визначення приватного та загального розв'язання системи нерівностей, як, наприклад, у підручниках Мордковича. Під приватним розв'язанням системи нерівностейрозуміють її одне окремо взяте рішення. В свою чергу загальне рішення системи нерівностей- це її приватні рішення. Однак у цих термінах є сенс лише тоді, коли потрібно особливо наголосити, про яке рішення йдеться, але зазвичай це і так зрозуміло з контексту, тому набагато частіше говорять просто «вирішення системи нерівностей».

З введених у цій статті визначень системи нерівностей та її рішень випливає, що розв'язання системи нерівностей є перетином безлічі рішень усіх нерівностей цієї системи.

Список літератури.

1. Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Мордковіч А. Г.Алгебра та початку математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ге вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2008. – 287 с.: іл. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. ЄДІ-2013. Математика: типові екзаменаційні варіанти: 30 варіантів/за ред. А. Л. Семенова, І. В. Ященко. - М.: Видавництво «Національна освіта», 2012. - 192 с. – (ЄДІ-2013. ФІПД – школі).

1. Поняття нерівності з однією змінною

2. Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильність нерівностей

3. Вирішення нерівностей з однією змінною

4. Графічне розв'язання нерівностей з однією змінною

5. Нерівності, що містять змінну під знаком модуля

6. Основні висновки

Нерівності з однією змінною

Пропозиції 2 х + 7 > 10-х, х 2+7х< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 називають нерівностями з однією змінною.

Загалом це поняття визначають так:

Визначення. Нехай f(х) і g(х) - два вирази зі змінною х та областю визначення X. Тоді нерівність виду f(х) > g(х) або f(х)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

Значення змінної xз множини X,при якому нерівність перетворюється на справжню числову нерівність, називається її рішенням.Вирішити нерівність - це означає знайти безліч її рішень.

Так, рішенням нерівності 2 x + 7 > 10 -х, х? Rє число x= 5, тому що 2 · 5 + 7> 10 - 5 - істинна числова нерівність. А множина його рішень - це проміжок (1, ∞), який знаходять, виконуючи перетворення нерівності: 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.

Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильність нерівностей

В основі розв'язання нерівностей з однією змінною лежить поняття рівносильності.

Визначення. Дві нерівності називаються рівносильними, якщо їхні множини рішень рівні.

Наприклад, нерівності 2 x+ 7 > 10 та 2 x> 3 рівносильні, оскільки їх безлічі рішень рівні і є проміжок (2/3, ∞).

Теореми про рівносильність нерівностей та наслідки з них аналогічні відповідним теоремам про рівносильність рівнянь. За їхнього доказу використовуються властивості істинних числових нерівностей.

Теорема 3.Нехай нерівність f(х) > g(х)поставлено на безлічі Xі h(x) - Вираз, визначений на тому ж множині. Тоді нерівності f(х) > g(х) та f(х)+ h(x) > g(х) + h(x)рівносильні на безлічі X.

З цієї теореми випливають наслідки, які часто використовуються при вирішенні нерівностей:

1) Якщо до обох частин нерівності f(х) > g(х)додати те саме число d,то отримаємо нерівність f(х) + d > g(х)+ d,рівносильне вихідному.

2) Якщо якийсь доданок (числовий вираз або вираз зі змінною) перенести з однієї частини нерівності в іншу, змінивши знак доданку на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даному.

Теорема 4.Нехай нерівність f(х) > g(х)поставлено на безлічі Xі h(х хз множини Xвираз h(х)набуває позитивних значень. Тоді нерівності f(х) > g(х) і f(х) · h(x) > g(х) · h(x)рівносильні на безлічі X.

f(х) > g(х)помножити на те саме позитивне число d,то отримаємо нерівність f(х) d > g(х) d,рівносильне цьому.

Теорема 5.Нехай нерівність f(х) > g(х)поставлено на безлічі Xі h(х) - вираз, визначений на тому ж множині, і для всіх хїх множини Xвираз h(х) набуває негативних значень. Тоді нерівності f(х) > g(х) і f(х)·h(x) > g(х)·h(x)рівносильні на безлічі X.

З цієї теореми випливає слідство: якщо обидві частини нерівності f(х) > g(х)помножити на те саме негативне число dі знак нерівності поміняти на протилежний, то отримаємо нерівність f(х) d > g(х) d,рівносильне цьому.

Вирішення нерівностей з однією змінною

Розв'яжемо нерівність 5 х - 5 < 2х - 16, х? R, і обґрунтуємо всі перетворення, які ми виконуватимемо у процесі рішення.

Розв'язанням нерівності х < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5х - 5 < 2х + 16 є проміжок (-∞, 7).

Вправи

1. Встановіть, які з таких записів є нерівностями з однією змінною:

а) -12 - 7 х< 3x+ 8; г) 12 х + 3(х- 2);

б) 15( x+ 2)>4; д) 17-12 · 8;

в) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2х 2+ 3x-4> 0.

2. Чи є число 3 рішенням нерівності 6(2х + 7) < 15(х + 2), х? R? А чисельність 4,25?

3. Чи однакові на безлічі дійсних чисел такі пари нерівностей:

а) -17 х< -51 и х > 3;

б) (3 x-1)/4 >0 та 3 х-1>0;

в) 6-5 x>-4 та х<2?

4. Які з таких висловлювань істинні:

а) -7 х < -28 => x>4;

б) x < 6 => x < 5;

в) х< 6 => х< 20?

5. Розв'яжіть нерівність 3( x - 2) - 4(х + 1) < 2(х - 3) - 2 і обґрунтуйте всі перетворення, які при цьому виконуватимете.

6. Доведіть, що розв'язанням нерівності 2(х+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2х) є будь-яке дійсне число.

7. Доведіть, що немає дійсного числа, яке було б розв'язком нерівності 3(2 - х) - 2 > 5 - 3х.

8. Одна сторона трикутника дорівнює 5 см, а інша 8 см. Якою може бути довжина третьої сторони, якщо периметр трикутника:

а) менше 22 см;

б) більше ніж 17 см?

ГРАФІЧНЕ РІШЕННЯ НЕРАВЕНСТВ З ОДНІЙ ЗМІННОЮ.Для графічного розв'язання нерівності f(х) > g(х)потрібно побудувати графіки функцій

у = f(х) = g(х)і вибрати ті проміжки осі абсцис, на яких графік функції у = f(х)розташований вище графіка функції у = g(х).

Приклад 17.8.Розв'яжіть графічно нерівність х 2- 4 > 3х.

Рішення.Побудуємо в одній системі координат графіки функцій

у = х 2 - 4 та у =Зх (рис. 17.5). З малюнка видно, що графіки функцій у= х 2- 4 розташований вище графіка функції у = 3 хпри х< -1 та х > 4, тобто. безліч рішень вихідної нерівності є безліч

(- ¥; -1) È (4; + оо) .

Відповідь: х Î(- оо; -1) та ( 4; + оо).

Графіком квадратичної функції у= ах 2 + bх + сє парабола з гілками, спрямованими вгору, якщо а > 0, і вниз, якщо а< 0. При цьому можливі три випадки: парабола перетинає вісь Ох(тобто рівняння ах 2+ bх+ з = 0 має два різні корені); парабола стосується осі х(тобто рівняння ах 2 + bх+ с = 0 має один корінь); парабола не перетинає вісь Ох(тобто рівняння ах 2+ bх+ з = 0 не має коріння). Таким чином, можливі шість положень параболи, що є графіком функції у = ах 2+ b х + с(Рис. 17.6). Використовуючи ці ілюстрації, можна розв'язувати квадратні нерівності.

Приклад 17.9.Розв'яжіть нерівність: а) 2 х г+ 5х – 3 > 0; б) -Зх 2 - 2х- 6 < 0.

Рішення,а) Рівняння 2х 2 + 5х -3 = 0 має два корені: х, = -3, х 2 = 0,5. Парабола, що є графіком функції у= 2х 2+ 5х-3, показано на рис. а.Нерівність 2х 2+ 5х -3 > 0 виконується за тих значень х,при яких точки параболи лежать вище осі Ох:це буде за х< х х або при х> х г>тобто. при х< -3 або при х > 0,5. Значить, безліч розв'язків вихідної нерівності є безліч (- ¥; -3) і (0,5; + ¥).

б) Рівняння -Зх 2+ 2х- 6 = 0 не має дійсних коренів. Парабола, що є графіком функції у= - 3х 2 - 2х - 6 показана на рис. 17.6 Нерівність -3х 2 - 2х - 6 < О выполняется при тех значениях х,при яких точки параболи лежать нижче осі Ох.Оскільки вся парабола лежить нижче за осю Ох,то безліч рішень вихідної нерівності є безліч R .

НЕРАВЕНСТВА, Що МІСТЬ ЗМІННУ ПІД ЗНАКОМ МОДУЛЯ.При розв'язанні даних нерівностей слід мати на увазі, що:

|f(х) | =

f(х), якщо f(х) ³ 0,

- f(х), якщо f(х) < 0,

У цьому область допустимих значень нерівності слід розбити на інтервали, кожному з яких вирази, які стоять під знаком модуля, зберігають знак. Потім, розкриваючи модулі (з урахуванням знаків виразів), потрібно вирішувати нерівність на кожному інтервалі та отримані рішення об'єднувати у безліч рішень вихідної нерівності.

Приклад 17.10.Розв'яжіть нерівність:

|х -1| + | 2-х | > 3+х.

Рішення. Точки х = 1 та х = 2 ділять числову вісь (ОДЗ нерівності (17.9) на три інтервали: х< 1, 1 £ х £.2, х >2. Вирішимо цю нерівність кожному з них. Якщо х< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; тому |х -1| = - (x - I), | 2 - x | = 2 – х. Отже, нерівність (17.9) набуває вигляду: 1-х + 2 - х > 3 + х, тобто. х< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Якщо 1 £ х £.2, то х - 1 ³ 0 і 2 – х ³ 0; тому | х-1| = x - 1, | 2 - x | = 2 - x. .Отже, має місце система:

х - 1 + 2 - х > 3 + х,

Отримана система нерівностей рішень немає. Отже, на інтервалі [1; 2] безліч розв'язків нерівності (17.9) порожньо.

Якщо х > 2, то х - 1 > 0 та 2 – х<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

х -1 + х - 2 > 3 + х,

х > 6 або

Об'єднуючи знайдені рішення на всіх частинах ОДЗ нерівності (17.9), отримуємо її розв'язання - безліч (-¥; 0) È (6; +оо).

Іноді корисно скористатися геометричною інтерпретацією модуля дійсного числа, за якою | а | означає відстань точки а координатної прямої від початку відліку О, а | а - b | означає відстань між точками а та b на координатній прямій. Крім того, можна використовувати метод зведення у квадрат обох частин нерівності.

Теорема 17.5. Якщо вирази f(х) та g(х)при будь-яких х приймають лише невід'ємні значення, то нерівності f(х) > g(х)і f(х)² > g(х)²рівносильні.

58. Основні висновки § 12

У цьому параграфі ми визначили наступні поняття:

Числове вираз;

Значення числового виразу;

Вираз, що не має сенсу;

Вираз із змінною (змінними);

Область визначення виразу;

Тотожно рівні вирази;

Тотожність;

Тотожне перетворення висловлювання;

Числова рівність;

Числова нерівність;

Рівняння з однією змінною;

Корінь рівняння;

Що означає розв'язати рівняння;

Рівносильні рівняння;

Нерівність з однією змінною;

Розв'язання нерівності;

Що означає вирішити нерівність;

Рівносильні нерівності.

Крім того, ми розглянули теореми про рівносильність рівнянь та нерівностей, які є основою їх вирішення.

Знання визначень всіх названих вище понять та теорем про рівносильність рівнянь та нерівностей - необхідна умова методично грамотного вивчення з молодшими школярами алгебраїчного матеріалу.

Програма на вирішення лінійних, квадратних і дробових нерівностей непросто дає відповідь завдання, вона наводить докладне рішення з поясненнями, тобто. відображає процес рішення для того, щоб проконтролювати знання з математики та/або алгебри.

Причому, якщо у процесі розв'язання однієї з нерівностей потрібно вирішити, наприклад, квадратне рівняння, його докладне рішення також виводиться (воно полягає у спойлер).

Ця програма може бути корисною учням старших класів під час підготовки до контрольним роботам, батькам контролю за розв'язання нерівностей їх дітьми.

Дана програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завдання з математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Правила введення нерівностей

Як змінна може виступати будь-яка латинська буква.
Наприклад: (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) і т.д.

Числа можна вводити цілі або дрібні.
Причому, дробові числа можна вводити у вигляді десяткового, а й у вигляді звичайного дробу.

Правила введення десяткових дробів.
У десяткових дробах частина від цілої може відокремлюватися як точкою так і комою.
Наприклад, можна вводити десяткові дроби так: 2.5x - 3,5x^2

Правила введення звичайних дробів.
Як чисельник, знаменник і цілої частини дробу може виступати тільки ціле число.

Знаменник може бути негативним.

При введенні числового дробу чисельник відокремлюється від знаменника знаком розподілу: /
Ціла частина відокремлюється від дробу знаком амперсанд: &
Введення: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Результат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

При введенні виразів можна використовувати дужки. І тут при розв'язанні нерівності вирази спочатку спрощуються.
Наприклад: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Виберіть потрібний знак нерівності та введіть багаточлени у поля нижче.

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Системи нерівностей із одним невідомим. Числові проміжки

З поняттям системи ви познайомилися у 7 класі та навчилися вирішувати системи лінійних рівнянь із двома невідомими. Далі будуть розглянуті системи лінійних нерівностей із однією невідомою. Багато рішень систем нерівностей можуть записуватися за допомогою проміжків (інтервалів, напівінтервалів, відрізків, променів). Також ви познайомитеся з позначеннями числових проміжків.

Якщо в нерівностях \(4x > 2000 \) і \(5x \leq 4000 \) невідоме число х одне й те саме, то ці нерівності розглядають спільно і кажуть, що вони утворюють систему нерівностей: $$ \left\(\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right.$$

Фігурна дужка показує, що потрібно знайти такі значення х, при яких обидві нерівності системи звертаються до вірних числових нерівностей. Ця система - приклад системи лінійних нерівностей з одним невідомим.

Рішенням системи нерівностей з одним невідомим називається значення невідомого, у якому всі нерівності системи звертаються у вірні числові нерівності. Вирішити систему нерівностей - це означає знайти всі рішення цієї системи або встановити, що їх немає.

Нерівності \(x \geq -2 \) та \(x \leq 3 \) можна записати у вигляді подвійної нерівності: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Рішеннями систем нерівностей з одним невідомим є різні числові множини. Ці множини мають назви. Так, на числовій осі безліч чисел х, таких, що (-2 \ leq x \ leq 3 \), зображується відрізком з кінцями в точках -2 і 3.

Якщо (а відрізком і позначається [а; b]

Якщо \(a інтервалом і позначається (а; b)

Безліч чисел \(x \), що задовольняють нерівностям \(a \leq x напівінтервалами і позначаються відповідно [а; b) та (а; b)

Відрізки, інтервали, напівінтервали та промені називають числовими проміжками.

Таким чином, числові проміжки можна задавати як нерівностей.

Розв'язанням нерівності з двома невідомими називається пара чисел (х; у), що звертає цю нерівність у вірну числову нерівність. Вирішити нерівність - це означає знайти безліч його рішень. Так, рішеннями нерівності х > у будуть, наприклад, пари чисел (5; 3), (-1; -1), оскільки \(5 \geq 3 \) і \(-1 \geq -1\)

Вирішення систем нерівностей

Вирішувати лінійні нерівності з одним невідомим ви вже навчилися. Знаєте, що таке система нерівностей та розв'язання системи. Тому процес розв'язання систем нерівностей з однією невідомою не викликає у вас труднощів.

І все ж таки нагадаємо: щоб вирішити систему нерівностей, потрібно вирішити кожну нерівність окремо, а потім знайти перетин цих рішень.

Наприклад, вихідна система нерівностей була приведена до вигляду:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

Щоб вирішити цю систему нерівностей, відзначимо розв'язання кожної нерівності на числовій осі та знайдемо їх перетин:

Перетином є відрізок [-2; 3] - це рішення вихідної системи нерівностей.

Сьогодні на уроці ми узагальним наші знання під час вирішення систем нерівностей та вивчимо рішення сукупності систем нерівностей.

Визначення перше.

Кажуть, що кілька нерівностей із однією змінною утворюють систему нерівностей, якщо ставиться завдання знайти всі загальні розв'язки заданих нерівностей.

Значення змінної, у якому кожне з нерівностей системи перетворюється на правильне числове нерівність, називають приватним рішенням системи нерівностей.

Безліч всіх приватних розв'язків системи нерівностей є загальним рішенням системи нерівностей (частіше кажуть просто — розв'язання системи нерівностей).

Вирішити систему нерівностей - отже знайти всі її приватні рішення, або довести, що ця система рішень немає.

Запам'ятайте! Рішення системи нерівностей - це перетин рішень нерівностей, що входять до системи.

Нерівності, що входять до системи, поєднуються фігурною дужкою.

Алгоритм розв'язання системи нерівностей з однією змінною:

Перова - окремо вирішити кожну нерівність.

Друге – знайти перетин знайдених рішень.

Це перетин і є безліччю рішень системи нерівностей

Завдання 1

Вирішити систему нерівностей сім ікс мінус сорок два менше або дорівнює нулю і два ікс мінус сім більше нуля.

Розв'язання першої нерівності - ікс менше або дорівнює шести, другої нерівності - ікс більше семи других. Зазначимо ці проміжки на координатній прямій. Рішення першої нерівності позначено штрихуванням знизу, другої нерівності - штрихуванням зверху. Рішенням системи нерівностей буде перетин рішень нерівностей, тобто проміжок, на якому обидві штрихування збіглися. У результаті отримуємо напівінтервал від семи других до шести, включаючи шість.

Завдання 2

Вирішити систему нерівностей: ікс квадрат плюс ікс мінус шість більше за нуль і ікс квадрат плюс ікс плюс шість більше за нуль.

Рішення

Вирішимо першу нерівність — ікс квадрат плюс ікс мінус шість більше за нуль.

Розглянемо функцію ігор дорівнює ікс квадрат плюс ікс мінус шість. Нулі функції: ікс перше одно мінус трьом, ікс друге одно двом. Зображуючи схематично параболу, знайдемо, що розв'язанням першої нерівності є об'єднання відкритих числових променів від мінус нескінченності до мінус трьох і двох до плюс нескінченності.

Вирішимо другу нерівність системи ікс квадрат плюс ікс плюс шість більше за нуль.

Розглянемо функцію ігор дорівнює ікс квадрат плюс ікс плюс шість. Дискримінант дорівнює мінус двадцяти трьох менше нуля, отже, функція немає нулів. Парабола не має спільних точок із віссю Ох. Зображуючи схематично параболу, знайдемо, що розв'язанням нерівності є багато всіх чисел.

Зобразимо на координатній прямій розв'язання нерівностей системи.

З малюнка видно, що рішенням системи є поєднання відкритих числових променів від мінус нескінченності до мінус трьох і від двох до нескінченності.

Відповідь: об'єднання відкритих числових променів від мінусу нескінченності до мінус трьох і від двох до плюс нескінченності.

Запам'ятайте! Якщо системі з кількох нерівностей одне є наслідком іншого (чи інших), то нерівність-слідство можна відкинути.

Розглянемо приклад розв'язання нерівності системою.

Завдання 3

Вирішити нерівність логарифм виразу ікс квадрат мінус тринадцять ікс плюс сорок два по основі два більше або дорівнює одиниці.

Рішення

ОДЗ нерівності визначається умовою ікс квадрат мінус тринадцять ікс плюс сорок два більше нуля. Уявимо число один як логарифм двох на підставі два і отримаємо нерівність - логарифм виразу ікс квадрат мінус тринадцять ікс плюс сорок два на підставі два більше або дорівнює логарифму двох на підставі два.

Бачимо, що основа логарифму дорівнює двом більше одного, то приходимо до рівносильної нерівності ікс квадрат мінус тринадцять ікс плюс сорок два більше або дорівнює двом. Отже, розв'язання цієї логарифмічної нерівності зводиться до розв'язання системи двох квадратних нерівностей.

Причому легко помітити, якщо виконана друга нерівність, то виконується перша нерівність. Тому перша нерівність - наслідок другої, і її можна відкинути. Другу нерівність перетворимо і запишемо у вигляді: ікс квадрат мінус тринадцять ікс плюс сорок більше за нуль. Рішенням його є об'єднання двох числових променів від мінус нескінченності до п'яти та від восьми до плюс нескінченності.

Відповідь: об'єднання двох числових променів від мінус нескінченності до п'яти і від восьми до плюс нескінченності.

відкритих числових променів

Визначення друге.

Кажуть, що кілька нерівностей з однією змінною утворюють сукупність нерівностей, якщо ставиться завдання знайти всі такі значення змінної, кожне з яких є розв'язанням хоча б однієї із заданих нерівностей.

Кожне таке значення змінної називають приватним рішенням сукупності нерівностей.

Безліч всіх приватних рішень сукупності нерівностей є загальне рішення сукупності нерівностей.

Запам'ятайте! Вирішення сукупності нерівностей - об'єднання рішень нерівностей, що входять до сукупності.

Нерівності, що входять у сукупність, поєднуються квадратною дужкою.

Алгоритм розв'язання сукупності нерівностей:

Перше — окремо вирішити кожну нерівність.

Друге – знайти об'єднання знайдених рішень.

Це об'єднання є рішенням сукупності нерівностей.

Завдання 4

нуль цілих дві десятих помножене на різницю двох ікс і трьох менше ікс мінус два;

п'ять ікс мінус сім більше ікс мінус шість.

Рішення

Перетворимо кожну з нерівностей. Отримаємо рівносильну сукупність

ікс більше семи третіх;

ікс більше однієї четвертої.

Для першого нерівності безліччю рішень служить проміжок від семи третіх до плюс нескінченності, а другого - проміжок від однієї четвертої до плюс нескінченності.

Зобразимо на координатній прямій безліч чисел, що задовольняють нерівностям ікс більше семи третіх та ікс більше однієї четвертої.

Знаходимо, що об'єднанням цих множин, тобто. рішенням цієї сукупності нерівностей, є відкритий числовий промінь від однієї четвертої до плюс нескінченності.

Відповідь: відкритий числовий промінь від однієї четвертої до плюс нескінченності.

Завдання 5

Вирішити сукупність нерівностей:

два ікс мінус один менше трьох і три ікс мінус два більше або дорівнює десяти.

Рішення

Перетворимо кожну з нерівностей. Отримаємо рівносильну сукупність нерівностей: ікс більше двох і ікс більше або дорівнює чотирьом.

Зобразимо на координатній прямій безліч чисел, що задовольняють ці нерівності.

Знаходимо, що об'єднанням цих множин, тобто. Розв'язанням даної сукупності нерівностей, є відкритий числовий промінь від двох до плюс нескінченності.

Відповідь: відкритий числовий промінь від двох до плюс нескінченності.