Як розв'язати рівняння 2 1. Вирішення простих лінійних рівнянь

для вирішення математики. Швидко знайти розв'язання математичного рівнянняв режимі онлайн. Сайт www.сайт дозволяє вирішити рівняннямайже будь-якого заданого алгебраїчного, тригонометричногоабо трансцендентного рівняння онлайн. Під час вивчення практично будь-якого розділу математики різних етапах доводиться вирішувати рівняння онлайн. Щоб отримати відповідь відразу, а головне точну відповідь, необхідний ресурс, що дозволяє це зробити. Завдяки сайту www.сайт вирішення рівнянь онлайнзайме кілька хвилин. Основна перевага www.сайт при вирішенні математичних рівнянь онлайн- це швидкість і точність відповіді, що видається. Сайт здатний вирішувати будь-які алгебраїчне рівняння онлайн, тригонометричні рівняння онлайн, трансцендентні рівняння онлайн, а також рівнянняз невідомими параметрами в режимі онлайн. Рівнянняслужать потужним математичним апаратом рішенняпрактичних завдань. За допомогою математичних рівняньможна висловити факти та співвідношення, які можуть здатися на перший погляд заплутаними та складними. Невідомі величини рівняньможна знайти, сформулювавши завдання на математичномумові у вигляді рівняньі вирішитиотримане завдання у режимі онлайнна сайті www.сайт. Будь-яке алгебраїчне рівняння, тригонометричне рівнянняабо рівняннямістять трансцендентніфункції Ви легко вирішітьонлайн та отримайте точну відповідь. Вивчаючи природничі науки, неминуче стикаєшся з необхідністю розв'язання рівнянь. При цьому відповідь має бути точною і отримати її необхідно відразу в режимі онлайн. Тому для рішення математичних рівнянь онлайнми рекомендуємо сайт www.сайт, який стане вашим незамінним калькулятором розв'язання алгебраїчних рівнянь онлайн, тригонометричних рівнянь онлайн, а також трансцендентних рівнянь онлайнабо рівняньіз невідомими параметрами. Для практичних завдань з знаходження коріння різних математичних рівняньресурсу www.. Вирішальна рівняння онлайнсамостійно, корисно перевірити отриману відповідь, використовуючи онлайн рішення рівняньна сайті www.сайт. Необхідно правильно записати рівняння та миттєво отримаєте онлайн рішення, після чого залишиться лише порівняти відповідь з Вашим рішенням рівняння. Перевірка відповіді займе не більше хвилини, достатньо вирішити рівняння онлайнта порівняти відповіді. Це допоможе Вам уникнути помилок у рішенніі вчасно скоригувати відповідь при вирішенні рівнянь онлайнбудь то алгебраїчне, тригонометричне, трансцендентнеабо рівнянняіз невідомими параметрами.

Інструкція

Спосіб підстановки Виразіть одну змінну та підставте її в інше рівняння. Висловлювати можна будь-яку змінну на вашу думку. Наприклад, висловіть «у другого рівняння:
х-у = 2 => у = х-2 Потім підставте все в перше рівняння:
2х + (х-2) = 10 Перенесіть все без «х в праву частину і підрахуйте:
2х + х = 10 +2
3х=12 Далі, щоб «х, розділіть обидві частини рівняння на 3:
х=4.Отже, ви знайшли «х. Знайдіть «у. Для цього підставте "х на те рівняння, з якого ви висловили" у:
у = х-2 = 4-2 = 2
у=2.

Зробіть перевірку. Для цього підставте значення, що вийшло, в рівняння:
2*4+2=10
4-2=2
Невідомі знайдені правильно!

Спосіб складання або віднімання рівнянь Позбавтеся відразу зміненої. У нашому випадку це простіше зробити з «у.
Оскільки в «у зі знаком «+ , тоді як у другому «- , ви можете виконати операцію складання, тобто. ліву частину складаємо з лівої, а праву з правої:
2х+у+(х-у)=10+2Перетворіть:
2х+у+х-у=10+2
3х = 12
х=4Підставте "х у будь-яке рівняння і знайдіть "у:
2*4+у=10
8+у=10
у = 10-8
у=2По 1-му методу можете , що знайдені правильно.

Якщо немає чітко виражених змінних, необхідно трохи перетворити рівняння.
У першому рівнянні маємо "2х, а в другому просто" х. Для того, щоб при додаванні або «х скоротився, друге рівняння помножте на 2:
х-у = 2
2х-2у = 4 Потім відніміть з першого рівняння друге:
2х+у-(2х-2у)=10-4Помітимо, якщо перед дужкою стоїть мінус, то після розкриття поміняйте на протилежні:
2х+у-2х+2у=6
3у = 6
у=2«х знайдіть, виразивши з будь-якого рівняння, тобто.
х = 4

Відео на тему

Порада 2: Як вирішувати лінійне рівняння з двома змінними

Рівняння, У загальному вигляді записане ах+bу+с=0, називається лінійним рівнянням з двома змінними. Таке рівняння саме по собі містить безліч рішень, тому в завданнях воно завжди чимось доповнюється - ще одним рівнянням або обмежуючими умовами. Залежно від умов, наданих завданням, вирішувати лінійне рівняння з двома зміннимислід у різний спосіб.

Вам знадобиться

• - лінійне рівняння із двома змінними;
• - друге рівняння чи додаткові умови.

Інструкція

Якщо дана система з двох лінійних рівнянь, розв'язуйте її так. Виберіть одне з рівнянь, в якому коефіцієнти перед зміннимименше і висловіть одну із змінних, наприклад, х. Потім підставте це значення, що містить у друге рівняння. В отриманому рівнянні буде лише одна змінна у, перенесіть всі частини з у ліву частину, а вільні - у праву. Знайдіть у і підставте будь-яке з початкових рівнянь, знайдіть х.

Вирішити систему із двох рівнянь можна й іншим способом. Помножте одне з рівнянь на число, щоб коефіцієнт перед однією зі змінних, наприклад перед х, був однаковий в обох рівняннях. Потім відніміть одне з рівнянь з іншого (якщо права частина не дорівнює 0, не забудьте відняти аналогічно і праві частини). Ви побачите, що змінна х зникла, і залишилася тільки одна змінна у. Розв'яжіть отримане рівняння, і підставте знайдене значення у будь-яку з початкових рівностей. Знайдіть х.

Третій спосіб розв'язання системи двох лінійних рівнянь – графічний. Накресліть систему координат та зобразіть графіки двох прямих, рівняння яких вказані у вашій системі. Для цього підставляйте будь-які два значення х у рівняння та знаходьте відповідні у – це будуть координати точок, що належать до прямої. Найзручніше знаходити перетин з осями координат – достатньо підставити значення х=0 і у=0. Координати точки перетину цих двох ліній будуть завдання.

Якщо в умовах завдання лише одне лінійне рівняння, то вам дано додаткові умови, завдяки яким можна знайти рішення. Уважно прочитайте завдання, щоб знайти ці умови. Якщо зміннимих і у позначені відстань, швидкість, вага – сміливо ставте обмеження х≥0 та у≥0. Цілком можливо, під х або у ховається кількість яблук, і т.д. - Тоді значеннями можуть бути лише . Якщо х – вік сина, зрозуміло, що він не може бути старшим за батька, тому вкажіть це в умовах завдання.

Джерела:

• як вирішити рівняння з однією змінною

Само по собі рівнянняз трьома невідомимимає безліч рішень, тому найчастіше воно доповнюється ще двома рівняннями чи умовами. Залежно від цього, які вихідні дані, багато в чому залежатиме хід рішення.

Вам знадобиться

• - система з трьох рівнянь із трьома невідомими.

Інструкція

Якщо дві з трьох системи мають лише дві невідомі з трьох, спробуйте висловити одні змінні через інші та підставити їх у рівнянняз трьома невідомими. Ваша мета при цьому – перетворити його на звичайне рівнянняз невідомою. Якщо це, подальше рішення досить просто - підставте знайдене значення в інші рівняння і знайдіть решту невідомих.

Деякі системи рівнянь можна віднімати з одного рівняння іншого. Подивіться, чи немає можливості помножити одне з або змінну так, щоб скоротилися відразу дві невідомі. Якщо така можливість є, скористайтеся нею, швидше за все, наступне рішення не складе труднощів. Не забувайте, що при множенні на число необхідно множити як ліву, так і праву. Так само при відніманні рівнянь необхідно пам'ятати про те, що права частина повинна також відніматися.

Якщо попередні способи не допомогли, скористайтеся загальним способом розв'язання будь-яких рівнянь з трьома невідомими. Для цього перепишіть рівняння у вигляді а11х1+a12х2+а13х3=b1, а21х1+а22х2+а23х3=b2, а31х1+а32х2+а33х3=b3. Тепер складіть матрицю коефіцієнтів при х (А), матрицю невідомих (Х) та матрицю вільних (В). Зверніть увагу, множачи матрицю коефіцієнтів на матрицю невідомих, ви отримаєте матрицю, матриці вільних членів, тобто А * Х = В.

Знайдіть матрицю А в ступені (-1) попередньо відшукавши , зверніть увагу, він не повинен дорівнювати нулю. Після цього помножте отриману матрицю на матрицю, в результаті ви отримаєте шукану матрицю Х, із зазначенням всіх значень.

Знайти рішення системи із трьох рівнянь можна також за допомогою методу Крамера. Для цього знайдіть визначник третього порядку ∆, який відповідає матриці системи. Потім послідовно знайдіть ще три визначники ∆1, ∆2 та ∆3, підставляючи замість значень відповідних стовпців значення вільних членів. Тепер знайдіть х: х1=∆1/∆, х2=∆2/∆, х3=∆3/∆.

Джерела:

• рішень рівнянь із трьома невідомими

Рішення системи рівнянь складне та захоплююче. Чим складніша система, тим цікавіше її вирішувати. Найчастіше в математиці середньої школи зустрічаються системи рівнянь із двома невідомими, але у вищій математиці змінних може бути й більше. Вирішувати системи можна кількома способами.

Інструкція

Найпоширеніший метод розв'язання системи рівнянь – це підстановка. Для цього необхідно висловити одну змінну через іншу та підставити її у другу рівняннясистеми, таким чином привівши рівняннядо однієї змінної. Наприклад, дана рівнянь: 2х-3у-1 = 0; х + у-3 = 0.

З другого виразу зручно висловити одну із змінних, перенісши все інше в праву частину виразу, не забувши при цьому змінити знак коефіцієнта: х=3-у.

Розкриваємо дужки: 6-2у-3у-1=0;-5у+5=0;у=1.Отримане значення у підставляємо у вираз:х=3-у;х=3-1;х=2.

У першому виразі всі члени 2, можна винести 2 за дужку розподільчій властивості множення: 2*(2х-3)=0. Тепер обидві частини виразу можна скоротити на це число, а потім виразити у, оскільки коефіцієнт по модулю при ньому дорівнює одиниці: -у = 3-2х або у = 2х-3.

Так само, як і в першому випадку, підставляємо цей вислів у другий рівнянняі отримуємо:3х+2*(2х-3)-8=0;3х+4х-6-8=0;7х-14=0;7х=14;х=2.Підставляємо отримане значення у вираз: у=2х -3; у = 4-3 = 1.

Ми бачимо, що коефіцієнт при у однаковий за значенням, але різний за знаком, отже, якщо ми складемо дані рівняння, то зовсім позбавимося від у: 4х + 3х-2у + 2у-6-8 = 0; 7х-14 = 0; х = 2.Підставляємо значення х в будь-яке з двох рівнянь системи і отримуємо у = 1.

Відео на тему

Біквадратне рівнянняявляє собою рівняннячетвертого ступеня, загальний вигляд якого виявляється ax^4 + bx^2 + c = 0. Його рішення засноване на застосуванні методу підстановки невідомих. У даному випадкух^2 замінюється іншою змінною. Таким чином, у результаті виходить звичайне квадратне рівняння, яке потрібно вирішити.

Інструкція

Вирішіть квадратне рівняння, що вийшло в результаті заміни. Для цього спочатку порахуємо значення відповідно до формули: D = b^2? 4ac. У цьому змінні a, b, c є коефіцієнтами нашого рівняння.

Знайдіть коріння біквадратного рівняння. Для цього візьміть квадратний корінь з отриманих рішень . Якщо рішення було одне, то буде два – позитивне та негативне значення кореня квадратного. Якщо рішень було два, у біквадратного рівняння буде чотири корені.

Відео на тему

Одним із класичних способів розв'язання систем лінійних рівнянь є метод Гауса. Він полягає у послідовному виключенні змінних, коли система рівнянь за допомогою простих перетворень перетворюється на ступінчасту систему, з якої послідовно перебувають усі змінні, починаючи з останніх.

Інструкція

Спочатку наведіть систему рівнянь у такий вигляд, коли всі невідомі стоятимуть у строго визначеному порядку. Наприклад, всі невідомі Х стоятимуть першими у кожному рядку, все Y – після X, все Z – після Y тощо. У правій частині кожного рівняння невідомих не повинно бути. Уявно визначте коефіцієнти, що стоять перед кожною невідомою, а також коефіцієнти у правій частині кожного рівняння.

Лінійні рівняння. Рішення, приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Лінійні рівняння.

Лінійні рівняння – не найскладніша тема шкільної математики. Але є там свої фішки, які можуть спантеличити навіть підготовленого учня. Розберемося?)

Зазвичай лінійне рівняння визначається як рівняння виду:

ax + b = 0 де а та b- Будь-які числа.

2х + 7 = 0. Тут а=2, b=7

0,1 х - 2,3 = 0 Тут а=0,1, b=-2,3

12х + 1/2 = 0 Тут а=12, b=1/2

Нічого складного, правда? Особливо, якщо не помічати слова: "де а і b – будь-які числа"... А якщо помітити, та необережно замислитись?) Адже, якщо а=0, b=0(будь-які числа можна?), то виходить кумедний вираз:

Але це ще не все! Якщо, скажімо, а=0,а b=5,виходить зовсім щось несусвітне:

Що напружує та підриває довіру до математики, так...) Особливо на іспитах. Але ж із цих дивних виразів ще й ікс знайти треба! Якого немає взагалі. І що дивно, цей ікс дуже просто знаходиться. Ми навчимося це робити. У цьому уроці.

Як дізнатися лінійне рівняння на вигляд? Це, дивлячись якийсь зовнішній вигляд.) Фішка в тому, що лінійними рівняннями називаються не тільки рівняння виду ax + b = 0 , але й будь-які рівняння, які перетвореннями та спрощеннями зводяться до цього виду. А хто ж його знає, зводиться воно чи ні?)

Чітко розпізнати лінійне рівняння можна у деяких випадках. Скажімо, якщо перед нами рівняння, в яких є лише невідомі в першому ступені та числа. Причому в рівнянні немає дробів з розподілом на невідоме , це важливо! А розподіл на число,або дріб числовий – це будь ласка! Наприклад:

Це лінійне рівняння. Тут є дроби, але немає іксів у квадраті, кубі і т.д., і немає іксів у знаменниках, тобто. ні поділу на ікс. А ось рівняння

не можна назвати лінійним. Тут ікси все в першому ступені, але є розподіл на вираз з іксом. Після спрощень та перетворень може вийти і лінійне рівняння, і квадратне, і все, що завгодно.

Виходить, що дізнатися лінійне рівняння в якомусь мудрому прикладі не можна, поки його майже не вирішиш. Це засмучує. Але у завданнях, як правило, не питають про вид рівняння, правда? У завданнях велять рівняння вирішувати.Це радує.)

Розв'язання лінійних рівнянь. приклади.

Все рішення лінійних рівнянь складається з тотожних перетворень рівнянь. До речі, ці перетворення (цілі два!) лежать в основі рішень всіх рівнянь математики.Іншими словами, рішення будь-якогорівняння починається з цих самих перетворень. Що стосується лінійних рівнянь, воно (рішення) цих перетвореннях і закінчується повноцінним відповіддю. Має сенс за посиланням сходити, правда?) Тим більше, там теж приклади розв'язання лінійних рівнянь є.

Для початку розглянемо найпростіший приклад. Без будь-яких підводних каменів. Нехай нам потрібно вирішити таке рівняння.

х - 3 = 2 - 4х

Це лінійне рівняння. Ікси все в першому ступені, поділу на ікс немає. Але, власне, нам все одно, яке це рівняння. Нам його вирішувати треба. Схема тут проста. Зібрати все, що з іксами в лівій частині рівності, все, що без іксів (числа) – у правій.

Для цього потрібно перенести - 4х у ліву частину, зі зміною знака, зрозуміло, а - 3 - У праву. До речі, це і є перше тотожне перетворення рівнянь.Здивовані? Значить, за посиланням не ходили, а дарма...) Отримаємо:

х + 4х = 2 + 3

Наводимо подібні, вважаємо:

Що нам не вистачає на повне щастя? Та щоб ліворуч чистий ікс був! П'ятірка заважає. Позбавляємося п'ятірки за допомогою другого тотожного перетворення рівнянь.А саме - ділимо обидві частини рівняння на 5. Отримуємо готову відповідь:

Приклад елементарний, ясна річ. Це для розминки.) Не дуже зрозуміло, чого я тут тотожні перетворення згадував? Ну добре. Беремо бика за роги.) Вирішимо щось солідніше.

Наприклад, ось це рівняння:

З чого почнемо? З іксами – вліво, без іксів – вправо? Можна і так. Маленькими кроками довгою дорогою. А можна відразу, універсальним та потужним способом. Якщо, звичайно, у вашому арсеналі є тотожні перетворення рівнянь.

Задаю вам ключове питання: що вам найбільше не подобається у цьому рівнянні?

95 осіб зі 100 дадуть відповідь: дроби ! Відповідь правильна. От і давайте їх позбудемося. Тому починаємо відразу зі другого тотожного перетворення. На що потрібно помножити дріб зліва, щоб знаменник скоротився геть? Правильно, на 3. А справа? 4. Але математика дозволяє нам множити обидві частини на те саме число. Як викрутимося? А помножимо обидві частини на 12! Тобто. загальний знаменник. Тоді і трійка скоротиться і четвірка. Не забуваймо, що множити треба кожну частину повністю. Ось як виглядає перший крок:

Розкриваємо дужки:

Зверніть увагу! Чисельник (х+2)я взяв у дужки! Це тому, що при множенні дробів, чисельник множиться весь, цілком! А тепер дроби і скоротити можна:

Розкриваємо дужки, що залишилися:

Не приклад, а суцільне задоволення!) Ось тепер згадуємо заклинання з молодших класів: з іксом – ліворуч, без ікса – праворуч!І застосовуємо це перетворення:

Наводимо такі:

І ділимо обидві частини 25, тобто. знову застосовуємо друге перетворення:

От і все. Відповідь: х=0,16

Беремо на замітку: щоб привести вихідне замороченого рівняння до приємного вигляду, ми використовували два (всього два!) тотожні перетворення- Перенесення вліво-вправо зі зміною знака і множення-розподіл рівняння на те саме число. Це універсальний спосіб! Працювати таким чином ми будемо з будь-якими рівняннями! Цілком будь-якими. Саме тому я про ці тотожні перетворення постійно занудно повторюю.)

Як бачимо, принцип розв'язання лінійних рівнянь простий. Беремо рівняння та спрощуємо його за допомогою тотожних перетворень до отримання відповіді. Основні проблеми тут у обчисленнях, а не в принципі вирішення.

Але... Зустрічаються в процесі розв'язання найелементарніших лінійних рівнянь такі сюрпризи, що можуть і у сильний ступор увігнати...) На щастя, таких сюрпризів може бути лише два. Назвемо їх особливими випадками.

Особливі випадки під час вирішення лінійних рівнянь.

Сюрприз перший.

Припустимо, трапилося вам найелементарніше рівняння, що-небудь, типу:

2х +3 = 5х +5 - 3х - 2

Злегка нудна, переносимо з іксом вліво, без ікса - вправо... Зі зміною знака, все чин-чинарем... Отримуємо:

2х-5х +3х = 5-2-3

Вважаємо, і... опаньки! Отримуємо:

Сама собою ця рівність не викликає заперечень. Нуль справді дорівнює нулю. Але ж ікс пропав! А ми зобов'язані записати у відповіді, чому дорівнює ікс.Інакше, рішення не вважається, так ...) Тупик?

Спокій! У таких сумнівних випадках рятують найзагальніші правила. Як розв'язувати рівняння? Що означає розв'язати рівняння? Це означає, знайти всі значення ікса, які, при підстановці у вихідне рівняння, дадуть нам правильну рівність.

Але вірна рівність у нас вжевийшло! 0=0, куди вже вірніше? Залишається збагнути, за яких іксів це виходить. Які значення ікса можна підставляти в вихіднерівняння, якщо ці ікси все одно скорочуються на повний нуль?Ну ж бо?)

Так! Ікси можна підставляти будь-які!Які бажаєте. Хоч 5, хоч 0,05, хоч -220. Вони все одно скоротяться. Якщо не вірите - можете перевірити.) Підставляйте будь-які значення ікса в вихіднерівняння та порахуйте. Весь час виходитиме чиста правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 і так далі.

Ось вам і відповідь: х – будь-яке число.

Відповідь можна записати різними математичними значками, суть не змінюється. Це абсолютно правильна і повноцінна відповідь.

Сюрприз другий.

Візьмемо те саме елементарне лінійне рівняння і змінимо в ньому лише одне число. Ось таке вирішуватимемо:

2х +1 = 5х +5 - 3х - 2

Після тих самих тотожних перетворень ми отримаємо щось інтригуюче:

Ось так. Вирішували лінійне рівняння, здобули дивну рівність. Говорячи математичною мовою, ми отримали неправильна рівність.А говорячи простою мовою, неправда це. Маячня. Але тим не менш, це марення - цілком вагома основа для правильного вирішення рівняння.)

Знову міркуємо, виходячи із загальних правил. Які ікси при підстановці у вихідне рівняння дадуть нам вірнерівність? Та ніякі! Немає таких іксів. Чого не підставляй, все скоротиться, залишиться марення.)

Ось вам і відповідь: рішень немає.

Це також цілком повноцінна відповідь. У математиці такі відповіді часто зустрічаються.

Ось так. Зараз, сподіваюся, зникнення іксів у процесі вирішення будь-якого (не тільки лінійного) рівняння вас анітрохи не збентежить. Справа вже знайома.)

Тепер, коли ми розібралися з усіма підводними каменями в лінійних рівняннях, має сенс їх вирішувати.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Сервіс для вирішення рівнянь онлайн допоможе вам вирішити будь-яке рівняння. Використовуючи наш сайт, ви отримаєте не просто відповідь рівняння, а й побачите докладне рішення, тобто покрокове відображення процесу отримання результату. Наш сервіс буде корисним старшокласникам загальноосвітніх шкіл та їхнім батькам. Учні зможуть підготуватися до контрольних, іспитів, перевірити знання, а батьки – проконтролювати рішення математичних рівнянь своїми дітьми. Вміння розв'язувати рівняння – обов'язкова вимога до школярів. Сервіс допоможе вам самонавчати і підвищувати рівень знань у галузі математичних рівнянь. З його допомогою ви зможете вирішити будь-яке рівняння: квадратне, кубічне, ірраціональне, тригонометричне та ін. Користь онлайн сервісу безцінна, адже крім правильної відповіді ви отримуєте докладне рішення кожного рівняння. Переваги розв'язання рівнянь онлайн. Вирішити будь-яке рівняння онлайн на нашому сайті ви можете абсолютно безкоштовно. Сервіс повністю автоматичний, вам нічого не доведеться встановлювати на свій комп'ютер, достатньо буде лише ввести дані та програма видасть рішення. Будь-які помилки у розрахунках або друкарські помилки виключені. З нами вирішити будь-яке рівняння онлайн дуже просто, тому обов'язково використовуйте наш сайт для вирішення будь-яких видів рівнянь. Вам необхідно лише ввести дані та розрахунок буде виконано за лічені секунди. Програма працює самостійно, без людської участі, а ви отримуєте точну та докладну відповідь. Розв'язання рівняння у загальному вигляді. У такому рівнянні змінні коефіцієнти та коріння, що шукаються, пов'язані між собою. Старший ступінь змінної визначає порядок такого рівняння. Виходячи з цього, для рівнянь використовують різні методи та теореми для знаходження рішень. Рішення рівнянь даного типу означає знаходження шуканого коріння в загальному вигляді. Наш сервіс дозволяє вирішити навіть найскладніше алгебраїчне рівняння онлайн. Ви можете отримати як загальне рішення рівняння, так і часткове для вказаних вами числових значень коефіцієнтів. Для вирішення рівняння алгебри на сайті достатньо коректно заповнити всього два поля: ліву і праву частини заданого рівняння. У алгебраїчних рівнянь зі змінними коефіцієнтами нескінченна кількість рішень, і поставивши певні умови, з множини рішень вибираються приватні. Квадратне рівняння. Квадратне рівняння має вигляд ax2+bx+с=0 при а>0. Рішення рівнянь квадратного виду передбачає знаходження значень x, у яких виконується рівність ax^2+bx+с=0. Для цього є значення дискримінанта за формулою D=b^2-4ac. Якщо дискримінант менший за нуль, то рівняння не має дійсних коренів (коріння знаходиться з поля комплексних чисел), якщо дорівнює нулю, то у рівняння один дійсний корінь, і якщо дискримінант більший за нуль, то рівняння має два дійсних кореня, які знаходяться за формулою: D = -b+-sqrt/2а. Для вирішення квадратного рівняння онлайн вам достатньо запровадити коефіцієнти такого рівняння (цілі числа, дроби чи десяткові значення). За наявності знаків віднімання рівняння необхідно поставити мінус перед відповідними членами рівняння. Вирішити квадратне рівняння онлайн можна і залежно від параметра, тобто змінних коефіцієнтів рівняння. З цим завданням чудово справляється наш онлайн сервіс з знаходження загальних рішень. Лінійні рівняння. Для вирішення лінійних рівнянь (або системи рівнянь) на практиці використовуються чотири основні методи. Опишемо кожен метод докладно. Метод підстановки. Розв'язання рівнянь методом підстановки вимагає виразити одну змінну через інші. Після цього вираз підставляється на інші рівняння системи. Звідси і назва методу рішення, тобто замість змінної підставляється її вираз через інші змінні. На практиці метод вимагає складних обчислень, хоч і простий у розумінні, тому рішення такого рівняння онлайн допоможе заощадити час та полегшити обчислення. Вам достатньо вказати кількість невідомих у рівнянні та заповнити дані від лінійних рівнянь, далі сервіс зробить розрахунок. Метод Гауса. В основі методу найпростіші перетворення системи з метою дійти до рівносильної системи трикутного вигляду. Із неї по черзі визначаються невідомі. На практиці потрібно вирішити таке рівняння онлайн з докладним описом, завдяки чому ви добре засвоїте метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь. Запишіть у правильному форматі систему лінійних рівнянь та врахуйте кількість невідомих, щоб безпомилково виконати рішення системи. Метод Крамер. Цим методом вирішуються системи рівнянь у випадках, коли система єдине рішення. Головна математична дія тут – це обчислення матричних визначників. Рішення рівнянь методом Крамера проводиться в режимі онлайн, результат ви отримуєте миттєво з повним та детальним описом. Достатньо лише заповнити систему коефіцієнтами та вибрати кількість невідомих змінних. Матричний метод. Цей метод полягає у зборі коефіцієнтів при невідомих у матрицю А, невідомих – у стовпець Х, а вільних членів у стовпець В. Таким чином, система лінійних рівнянь зводиться до матричного рівняння виду АхХ=В. У цього рівняння єдине рішення тільки якщо визначник матриці А відмінний від нуля, інакше система не має рішень, або нескінченну кількість рішень. Розв'язання рівнянь матричним методом полягає у знаходженні зворотної матриці А.

Що таке рівняння?

Рівняння – одне з наріжних понять усієї математики. Як шкільної, так і найвищої. Чи має сенс розібратися, правда? Тим більше що це дуже просте поняття. Нижче самі переконайтесь. :) Так що ж таке рівняння?

Те, що це слово однокореневе зі словами «рівний», «рівність», заперечень, гадаю, ні в кого не викликає. Рівняння – це два математичні вирази, з'єднані між собою знаком рівності «=». Але ... не яких завгодно. А таких, у яких (хоча б в одному) міститься невідома величина . Або по-іншому змінна величина . Або скорочено просто «змінна». Змінних може бути одна чи кілька. У шкільній математиці найчастіше розглядаються рівняння з однієїзмінної. Яка зазвичай позначається буквоюx . Або іншими останніми літерами латинського алфавіту.y , z , t і так далі.

Ми поки що теж розглядатимемо рівняння з однією змінною. З двома змінними чи більше – у спеціальному уроці.

Що означає розв'язати рівняння?

Йдемо далі. Змінна у виразах, що входять до рівняння, може набувати будь-яких допустимих значень. На те вона змінна. :) При якихось значеннях змінної виходить вірна рівність, а за якихось – ні. Вирішити рівняння- Це означає знайти всі такі значення змінної, при підстановці яких в вихідне рівняння виходить правильна рівність . Або, більш науково, тотожність. Наприклад, 5 = 5, 0 = 0, -10 = -10. І так далі. :) Або довести, що таких значень змінної немає.

Я спеціально наголошую на слові «вихідне». Чому - буде зрозуміло трохи нижче.

Ці значення змінної, при підстановці яких рівняння звертається в тотожність, називаються дуже красиво. корінням рівняння. Якщо доведено, що таких значень немає, то в такому разі кажуть, що рівняння не має коріння.

Навіщо потрібні рівняння?

Навіщо нам потрібні рівняння? У першу чергу рівняння – дуже потужний і найбільш універсальний інструмент для вирішення завдань . Найрізноманітніших. :) У школі, як правило, працюють з текстовими завданнями. Це завдання на рух, на роботу, на відсотки та багато-багато інших. Однак застосування рівнянь не обмежується одними лише шкільними завданнями для басейнів, труб, поїздів і табуретів. :)

Без уміння складати і вирішувати рівняння не вирішити жодного серйозного наукового завдання - фізичного, інженерного або економічного. Наприклад, розрахувати, куди потрапить ракета. Або відповісти на запитання, чи витримає чи не витримає навантаження якась відповідальна конструкція (ліфт чи міст, наприклад). Або спрогнозувати погоду, зростання (або падіння) цін чи доходів…

Загалом, рівняння – ключова постать у вирішенні найрізноманітніших обчислювальних завдань.

Які рівняння бувають?

Рівнянь у математиці незліченну кількість. Найрізноманітніших видів. Однак усі рівняння можна умовно розділити лише на 4 класи:

1) Лінійні,

2) Квадратні,

3) Дробові (або дробово-раціональні),

4) Інші.

Різні види рівнянь вимагають і різного підходу до їх вирішення: лінійні рівняння вирішуються одним способом, квадратні – іншим, дробові – третім, тригонометричні, логарифмічні, показові та інші – також вирішуються своїми методами.

Інші рівняння, зрозуміло, найбільше. Це і ірраціональні, і тригонометричні, і показові, і логарифмічні, і багато інших рівнянь. І навіть диференціальні рівняння (для студентів), де невідомим є не число, а функція.Або навіть ціле сімейство функцій. :) У відповідних уроках ми докладно розберемо всі ці типи рівнянь. А тут у нас – базові прийоми, які застосовуються для вирішення абсолютно будь-яких(так-так, будь-яких!) Рівнянь. Називаються ці прийоми рівносильні перетворення рівнянь . Їх лише два. І ніде їх не оминути. Тож знайомимося!

Як розв'язувати рівняння? Тотожні (рівносильні) перетворення рівнянь.

Рішення будь-якогорівняння полягає в поетапному перетворенні виразів, що входять до нього. Але перетворень не аби яких, а таких, щоб суть всього рівняння не змінювалася. Незважаючи на те, що після кожного перетворення рівняння видозмінюватиметься і в кінцевому рахунку стане зовсім не схоже на вихідне. Такі перетворення в математиці називаються рівносильними або тотожними . Серед усього різноманіття тотожних перетворень рівнянь виділяється два базові. Про них і йтиметься. Так-так, лише два! І кожне з них заслуговує на окрему увагу. Застосування цих двох тотожних перетворень у тому чи іншому порядку гарантує успіх у вирішенні 99% всіх рівнянь.

Отже, знайомимося!

Перше тотожне перетворення:

До обох частин рівняння можна додати (або відібрати) будь-яке (але однакове!) Число або вираз (у тому числі і зі змінною).

Суть рівняння при цьому залишиться незмінною. Це перетворення ви застосовуєте усюди, наївно думаючи, що переносите якісь члени з однієї частини рівняння до іншої, змінюючи знак. :)

Наприклад, таке круте рівняння:

Тут і думати нема чого: переносимо мінус трійку вправо, міняючи мінус на плюс:

А що ж відбувається насправді? А насправді ви додаєте до обох частин рівняння трійку! Ось так:

Суть всього рівняння від додавання до обох частин трійки не змінюється. Ліворуч залишається чистий ікс (чого ми, власне, і домагаємося), а праворуч – що вже вийде.

Перенесення доданків з однієї частини до іншої – це скорочений варіантпершого тотожного перетворення. Помилитись тут можна лише в одному – забути змінити знак при перенесенні. Наприклад, таке рівняння:

Справа нехитра. Працюємо прямо за заклинанням: з іксами вліво, без іксів – праворуч. Який доданок з іксом у нас справа? Що? 2x? Неправильно! Праворуч у нас -2x (мінус два ікс)! Тому в ліву частину цей доданок перенесеться з плюсом :

Півсправи зроблено, ікси зібрали зліва. Залишилося перенести одиницю праворуч. Знову питання – з яким знаком? Зліва перед одиницею нічого не написано – отже, мається на увазі, що перед нею стоїть плюс. Тому вправо одиниця перенесеться вже з мінусом:

Ось майже все. Зліва наводимо подібні, а праворуч – рахуємо. І отримуємо:

А тепер проаналізуємо наші махінації з перенесенням доданків. Що ми зробили, коли перенесли -2x вліво? Так! Ми додали до обох частиннашого злого рівняння вираз 2x. Я ж казав, що додавати (віднімати) ми маємо право будь-яке число і навіть вираз із іксом! Аби одне й те саме. :) А коли перенесли одиничку вправо? Абсолютно вірно! Ми відібрали від обох частин рівнянняодиничку. Ось і все.) Ось і вся суть першого рівносильного перетворення.

Або такий приклад – для старшокласників:

Рівняння логарифмічне. Ну і що? Яка різниця? Все одно першим кроком робимо базове тотожне перетворення - переносимо доданок зі змінною (тобто -log 3 x) вліво, а числове вираз log 3 4 переносимо вправо. Зі зміною знака, зрозуміло:

От і все. Хто дружить з логарифмами, той в умі дорішає рівняння та отримає:

Що? Бажаєте синуси? Будь ласка, ось вам синуси:

Знову виконуємо перше тотожне перетворення - переносимо sin xвліво (з мінусом), а -1/4 переносимо вправо (з плюсом):

Отримали найпростіше тригонометричне рівняння з синусом, вирішити яке для знаючих також не важко.

Бачите, наскільки універсальним є перше рівносильне перетворення! Зустрічається всюди і не обійти його ніяк. Тому треба вміти робити його на автоматі. Головне – не забувати міняти знак під час перенесення! Продовжуємо ознайомлюватися з тотожними перетвореннями рівнянь.)

Друге тотожне перетворення:

Обидві частини рівняння можна помножити (розділити) на те саме нерівне нулю число або вираз.

Це тотожне перетворення ми теж постійно застосовуємо, коли нам у рівнянні заважають якісь коефіцієнти і ми хочемо їх позбутися. Безпечно для рівняння. :) Наприклад, таке зле рівняння:

Тут кожному ясно, що x = 3. А як ви здогадалися? Підібрали? Чи тицьнули пальцем у небо і вгадали?

Щоб не підбирати і не ворожити (ми з вами все-таки математики, а не ворожки), потрібно зрозуміти, що ви просто поділили обидві частини рівнянняна четвірку. Яка нам і заважає.

Ось так:

Ця палиця з поділом означає, що на четвірку діляться обидві частининашого рівняння. Вся ліва частина і вся права частина:

Зліва четвірки благополучно скорочуються і залишається ікс на самоті. А праворуч при розподілі 12 на 4 виходить, звичайно, трійка. :)

Або таке рівняння:

Що робити з однією сьомою? Перенести праворуч? Не-а, не можна! Одна сьома з іксом множенням пов'язана. Коефіцієнт, розумієш. :) Не можна коефіцієнт відірвати та перенести окремо від іксу. Тільки весь вираз (1/7) x цілком. Але – нема чого. :) Знову згадуємо про множення/поділ. Що нам заважає? Дріб 1/7, чи не так? От і давайте позбудемося її. Як? А внаслідок якої дії у нас пропадає дріб? Дроб у нас пропадає при множенніна число, що дорівнює її знаменнику! Ось і помножимо обидві частини нашого рівняння на 7:

Зліва сімки скоротяться і залишиться саме одинокий ікс, а справа, якщо згадати таблицю множення, вийде 21:

Тепер приклад для старшокласників:

Щоб дістатися до ікса і цим вирішити наше зле тригонометричне рівняння, нам треба спочатку отримати ліворуч чистий косинус, без жодних коефіцієнтів. А двійка заважає. :) Ось і ділимо на 2 всю ліву частину:

Але тоді й праву частину також доведеться розділити на двійку: це вже МАТЕМАТИКА вимагає. Ділимо:

Набули праворуч табличного значення косинуса. І тепер рівняння вирішується за милу душу.)

Все зрозуміло з множенням/поділом? Чудово! Але... увага!У цьому перетворенні, незважаючи на всю його простоту, криється джерело дуже прикрих помилок! Називається він втрата коріння і придбання стороннього коріння .

Вище я вже сказав, що обидві частини рівняння можна множити (ділити) на будь-яке число або вираз з іксом. Але з одним важливим застереженням: вираз, на який множимо (ділимо) має бути відмінно від нуля . Саме цей пунктик, який багато хто спочатку просто ігнорує, і призводить до таких прикрих промахів. Власне сенс цього обмеження зрозумілий: на нуль множити безглуздо, а ділити взагалі не можна. Розберемося, що до чого? Почнемо з поділу та з втрати коріння .

Припустимо, є у нас таке ось таке рівняння:

Тут прямо-таки руки сверблять взяти і поділити обидві частини рівняння на загальну дужку (x-1):

Допустимо, у завданні на ЄДІ сказано знайти суму коренів цього рівняння. Що у відповідь будемо писати? Трійку? Якщо ви вирішили, що трійку, то ви потрапили в засідку. Під назвою «втрата коріння». :) У чому ж справа?

А давайте у вихідному рівнянні розкриємо дужки і зберемо все зліва:

Здобули класичне квадратне рівняння. Вирішуємо через дискримінант (або через теорему Вієта) і отримуємо два корені:

Отже, сума коренів дорівнює 1+3 = 4. Чотири, а чи не три! Куди у нас «зник» корінь

x = 1

За першого способу рішення? А одиниця у нас зникла якраз під час поділу обох частин на дужку (x-1). Чому так сталося? А все тому, що при x = 1 у нас обнулюється ця дужка (x-1). А ділити ми маємо право лише на відмінний від нуля вираз! Як можна було б уникнути втрати цього кореня? І взагалі втрати коріння? Для цього, по-перше, перед розподілом на якийсь вираз з іксом завжди дописуємо умову, що це вираз відмінно від нуля. І знаходимо нулі цього виразу. Ось так (на прикладі нашого рівняння):

А по-друге, щоб якесь коріння у нас не пропало в процесі поділу, ми повинні окремо перевірити як кандидатів у коріння. Усе нулі нашого виразу (того, на яке ділимо). Як? Просто підставити їх у вихідне рівняннята порахувати. У нашому випадку перевіряємо одиначку:

Все чесно. Значить, одиниця – корінь!

А взагалі, на майбутнє завжди намагайтеся уникати поділу на вираз із іксом. Втрата коріння - штука дуже небезпечна і прикра! Застосовуйте будь-які інші способи – розкриття дужок та особливо розкладання на множники. Розкладання на множники - найпростіший і найбезпечніший спосіб уникнути втрати коріння. Для цього збираємо все зліва, потім виносимо загальний множник (на який так хочемо «скоротити») за дужки, розкладаємо на множники і далі прирівнюємо кожен множник, що вийшов, до нуля. Наприклад, наше рівняння можна було б цілком нешкідливо вирішити як приведенням до квадратного, а й розкладанням на множники. Дивіться самі:

Переносимо вліво весь вираз (x-1) цілком. Зі знаком мінус:

Виносимо (x-1) за дужку як загальний множник і розкладаємо на множники:

Твір дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Прирівнюємо тепер (в умі!) кожну дужку до нуля і отримуємо наші законні два корені:

І жоден корінь не загубився!

Розберемо тепер протилежну ситуацію – придбання стороннього коріння. Така ситуація виникає при множенні обох частин рівняння вираз з иксом. Часто зустрічається при розв'язанні дробово-раціональних рівнянь. Наприклад, таке нескладне рівняння:

Справа знайома - множимо обидві частини на знаменник, щоб позбавитися дробу і отримати рівняння в лінійку:

Прирівнюємо кожен множник до нуля і отримуємо два корені:

Начебто все добре. Але спробуймо зробити елементарну перевірку. І якщо при x = 0у нас все славно зростеться, вийде тотожність 2=2, то при x = 1вийде поділ на нуль. Що робити не можна категорично. Не годиться одиниця як корінь нашого рівняння. У таких випадках кажуть, що x = 1- так званий сторонній корінь . Одиниця є коренем нашого нового рівняння без дробу x(x-1) = 0,але не єкорінням вихідногодробового рівняння. Як з'являється цей сторонній корінь? Він утворюється при домноженні обох частин на знаменник x-1.Який при x = 1якраз звертається до нуля! А ми маємо право множити лише на відмінний від нуля вираз!

Як же бути? Взагалі не множити? Тоді ми зовсім нічого не зможемо вирішити. Щоразу перевірку робити? Можна, можливо. Але часто трудомістко, якщо вихідне рівняння надто накручене. У таких випадках рятують три чарівні літери – ОДЗ. Пробласть Допустимих Знавчання. І щоб виключити появу стороннього коріння, при множенні на вираз з іксом завжди треба додатково записувати ОДЗ. У нашому випадку:

Ось тепер у цьому обмеженні можна сміливо множити обидві частини знаменник. Всі шкідливі наслідки від такого множення (тобто сторонні корені) ми виключимо за ОДЗ. І нашу одиницю безжально викинемо.

Отже, поява сторонніх коренів не така небезпечна, як втрата: ОДЗ – штука потужна. І жорстка. Вона нам завжди відсіє все зайве. :) Ми з ОДЗ дружитимемо і докладніше познайомимося в окремому уроці.

Ось і всі тотожні перетворення.) Усього два. Однак у недосвідченого учня можуть виникати деякі труднощі, пов'язані з послідовністюїх застосування: у якихось прикладах починають із домноження (чи розподілу), у якихось – з перенесення. Наприклад, таке лінійне рівняння:

З чого починати? Можна розпочати з перенесення:

А можна спочатку поділити обидві частини на п'ятірку, а потім переносити. Тоді числа простіші стануть і вважати буде легше:

Як бачимо, і так, і сяк можна. Ось і виникає у деяких учнів питання: "Як правильно?" Відповідь: «По-різному правильно!» Кому як зручніше. :) Аби ваші дії не суперечили правилам математики. А послідовність цих дій залежить виключно від особистих переваг і навичок вирішального. Однак, з досвідом такі питання відпадуть самі собою, і в результаті не математика командуватиме вами, а ви математикою. :)

На закінчення хочу окремо сказати про так звані умовно тотожні перетворення, справедливих при деяких умовах. Наприклад, зведення обох частин рівняння в один і той самий ступінь. Або вилучення кореня з обох частин. Якщо показник ступеня непарний, то жодних обмежень – зводьте і витягайте без побоювань. А от якщо парний, то таке перетворення буде тотожним лише якщо обидві частини рівняння невід'ємні. Про ці підводні камені ми детально поговоримо в темі про ірраціональні рівняння.