Як будувати графік зі ступенями. Ступінні функції, їх властивості та графіки

Для зручності розгляду статечної функції розглядатимемо 4 окремі випадки: статечна функція з натуральним показником, статечна функція з цілим показником, статечна функція з раціональним показником і статечна функція з ірраціональним показником.

Ступенева функція з натуральним показником

Спочатку введемо поняття ступеня з натуральним показником.

Визначення 1

Ступенем дійсного числа $a$ з натуральним показником $n$ називається число, що дорівнює добутку $n$ множників, кожен з яких дорівнює числу $a$.

Малюнок 1.

$a$ - основа ступеня.

$n$ - показник ступеня.

Розглянемо тепер статечну функцію з натуральним показником, її властивості та графік.

Визначення 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ називається статечною функцією з натуральним показником.

Для подальшої зручності розглянемо окремо статечну функцію з парним показником $f\left(x\right)=x^(2n)$ і статечну функцію з непарним показником $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ ($n\in N)$.

Властивості статечної функції з натуральним парним показником

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- функція парна.

Область значення - $ \

Функція зменшується, за $x\in (-\infty ,0)$ і зростає, за $x\in (0,+\infty)$.

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1 ))\ge 0$

Функція опукла по всій області визначення.

Поведінка на кінцях області визначення:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n) \ ) = + \ infty \]

Графік (рис. 2).

Малюнок 2. Графік функції $f\left(x\right)=x^(2n)$

Властивості статечної функції з натуральним непарним показником

Область визначення - всі дійсні числа.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- функція непарна.

$f(x)$ - безперервна по всій області визначення.

Область значення - всі дійсні числа.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Функція зростає по всій області визначення.

$f\left(x\right)0$, при $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Функція увігнута, за $x\in (-\infty ,0)$ і опукла, за $x\in (0,+\infty)$.

Графік (рис. 3).

Малюнок 3. Графік функції $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Ступінна функція з цілим показником

Спочатку введемо поняття ступеня з цілим показником.

Визначення 3

Ступінь дійсного числа $a$ з цілим показником $n$ визначається формулою:

Малюнок 4.

Розглянемо тепер статечну функцію з цілим показником, її властивості та графік.

Визначення 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ називається статечною функцією з цілим показником.

Якщо ступінь більший за нуль, то ми приходимо до випадку статечної функції з натуральним показником. Його ми вже розглянули вище. При $n=0$ ми отримаємо лінійну функцію $y=1$. Її розгляд залишимо читачеві. Залишилося розглянути властивості статечної функції із негативним цілим показником

Властивості статечної функції із негативним цілим показником

Область визначення - $ \ left (- \ infty, 0 \ right) (0, + \ infty) $.

Якщо показник парний, то функція парна, якщо непарна, то функція непарна.

$f(x)$ - безперервна по всій області визначення.

Область значення:

Якщо показник парний, то $(0,+\infty)$, якщо непарний, то $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

При непарному показнику функція зменшується, за $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. При парному показнику функція зменшується за $x\in (0,+\infty)$. і зростає, за $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ на всій області визначення

1. Ступенева функція, її властивості та графік;

2. Перетворення:

Паралельне перенесення;

Симетрія щодо осей координат;

Симетрія щодо початку координат;

Симетрія щодо прямої y = x;

Розтягування та стиск уздовж осей координат.

3. Показова функція, її властивості та графік, аналогічні перетворення;

4. Логарифмічна функція, її властивості та графік;

5. Тригонометрична функція, її властивості та графік, аналогічні перетворення (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Функція: y = x\n - її властивості та графік.

Ступенева функція, її властивості та графік

y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = 1/xі т. д. Всі ці функції є окремими випадками статечної функції, тобто функції y = x pде p - задане дійсне число.
Властивості та графік статечної функції суттєво залежить від властивостей ступеня з дійсним показником, і зокрема від того, за яких значень xі pмає сенс ступінь x p. Перейдемо до такого розгляду різних випадків залежно від
показника ступеня p.

1. Показник p = 2n- парне натуральне число.

y = x 2n, де n- натуральне число, має такі властивості:

• область визначення - всі дійсні числа, тобто множина R;
• безліч значень - невід'ємні числа, тобто y більше або 0;
• функція y = x 2nпарна, оскільки x 2n = (-x) 2n
• функція є спадною на проміжку x< 0 та зростаючою на проміжку x > 0.

Графік функції y = x 2nмає такий самий вигляд, як наприклад графік функції y = x 4.

2. Показник p = 2n - 1- непарне натуральне число

У цьому випадку статечна функція y = x 2n-1, де натуральне число, має наступні властивості:

• область визначення - множина R;
• безліч значень - множина R;
• функція y = x 2n-1непарна, оскільки (- x) 2n-1= x 2n-1;
• функція є зростаючою на всій дійсній осі.

Графік функції y = x 2n-1 y = x 3.

3. Показник p = -2n, де n -натуральне число.

У цьому випадку статечна функція y = x -2n = 1/x 2nмає такі властивості:

• множина значень - позитивні числа y>0;
• функція y = 1/х 2nпарна, оскільки 1/(-x) 2n= 1/x 2n;
• функція зростає на проміжку x0.

Графік функції y = 1/х 2nмає такий самий вигляд, як, наприклад, графік функції y = 1/х 2.

4. Показник p = -(2n-1), де n- натуральне число.
У цьому випадку статечна функція y = x-(2n-1)має такі властивості:

• область визначення - множина R, крім x = 0;
• безліч значень - множина R, крім y = 0;
• функція y = x-(2n-1)непарна, оскільки (- x) -(2n-1) = -x-(2n-1);
• функція є спадною на проміжках x< 0 і x > 0.

Графік функції y = x-(2n-1)має такий самий вигляд, як, наприклад, графік функції y = 1/x 3.