Як пов'язані синус та косинус. Синус, косинус, тангенс та котангенс у тригонометрії: визначення, приклади

Тригонометричні тотожності— це рівності, які встановлюють зв'язок між синусом, косінусом, тангенсом і котангенсом одного кута, що дозволяє знаходити будь-яку з даних функцій за умови, що буде відома будь-яка інша.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Ця тотожність говорить про те, що сума квадрата синуса одного кута і квадрата косинуса одного кута дорівнює одиниці, що на практиці дає можливість обчислити синус одного кута, коли відомий його косинус і навпаки.

При перетворенні тригонометричних виразів дуже часто використовують дану тотожність, яка дозволяє замінювати одиницею суму квадратів косинуса і синуса одного кута і проводити операцію заміни у зворотному порядку.

Знаходження тангенсу та котангенсу через синус та косинус

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Дані тотожності утворюються з визначень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Адже якщо розібратися, то визначення ординатою y є синус, а абсцисою x — косинус. Тоді тангенс дорівнюватиме \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), а відношення \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)— буде котангенсом.

Додамо, що тільки для таких кутів \alpha , при яких тригонометричні функції, що входять до них, мають сенс, матимуть місце тотожності , ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Наприклад: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)є справедливою для кутів \alpha , які відмінні від \frac(\pi)(2)+\pi z, а ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- Для кута \alpha, відмінного від \pi z, z - є цілим числом.

Залежність між тангенсом та котангенсом

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Ця тотожність справедлива тільки для таких кутів \alpha , які відмінні від \frac(\pi)(2) z. Інакше чи котангенс чи тангенс не будуть визначені.

Маючи вищевикладені пункти, отримуємо, що tg \alpha = \frac(y)(x), а ctg \alpha=\frac(x)(y). Звідси слідує що tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Таким чином, тангенс та котангенс одного кута, при якому вони мають сенс, є взаємно зворотними числами.

Залежності між тангенсом та косинусом, котангенсом та синусом

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)— сума квадрата тангенса кута \alpha і 1 дорівнює зворотному квадрату косинуса цього кута. Ця тотожність справедлива для всіх \alpha , відмінних від \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)— сума 1 і квадрат котангенсу кута \alpha дорівнює зворотному квадрату синуса даного кута. Ця тотожність справедлива для будь-якого \alpha , відмінного від \pi z .

Приклади з розв'язуванням задач на використання тригонометричних тотожностей

Приклад 1

Знайдіть \sin \alpha і tg \alpha якщо \cos \alpha=-\frac12і \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Показати рішення

Рішення

Функції \sin \alpha та \cos \alpha пов'язує формула \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Підставивши до цієї формули \cos \alpha = -\frac12, Отримаємо:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Це рівняння має 2 розв'язки:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

За умовою \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . У другій чверті синус позитивний, тому \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Для того щоб знайти tg \alpha , скористаємося формулою tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Приклад 2

Знайдіть \cos \alpha і ctg \alpha , якщо і \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Показати рішення

Рішення

Підставивши у формулу \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1це за умовою число \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), отримуємо \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Це рівняння має два рішення \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

За умовою \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . У другій чверті косинус негативний, тому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Щоб знайти ctg \alpha , скористаємося формулою ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Відповідні величини нам відомі.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Де було розглянуто завдання на розв'язання прямокутного трикутника, я пообіцяв викласти прийом запам'ятовування визначень синуса та косинуса. Використовуючи його, ви завжди швидко згадаєте - який катет відноситься до гіпотенузи (прилеглий або протилежний). Вирішив у «довгу скриньку не відкладати», необхідний матеріал нижче, прошу ознайомитися 😉

Справа в тому, що я не раз спостерігав, як учні 10-11 класів важко згадують дані визначення. Вони чудово пам'ятають, що катет відноситься до гіпотенузи, а ось який з них- забувають і плутають. Ціна помилки, як ви знаєте на іспиті, – це втрачений бал.

Інформація, яку я представлю безпосередньо до математики, не має жодного відношення. Вона з образним мисленням, і з прийомами словесно-логічного зв'язку. Саме так, я сам, раз і завжди запам'ятавдані визначення. Якщо ви їх все ж таки забудете, то за допомогою представлених прийомів завжди легко згадайте.

Нагадаю визначення синуса та косинуса у прямокутному трикутнику:

Косінусгострого кута у прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи:

Сінусгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи:

Отже, які асоціації викликає слово косинус?

Напевно, у кожного свої 😉Запам'ятовуйте зв'язку:

Таким чином, у вас відразу в пам'яті виникне вираз –

«… відношення ПРИЛЕЖНОГО катета до гіпотенузи».

Проблему з визначенням косинуса вирішено.

Якщо потрібно згадати визначення синуса в прямокутному трикутнику, то згадавши визначення косинуса, ви легко встановите, що синус гострого кута в прямокутному трикутнику - це ставлення протилежного катета до гіпотенузи. Адже катет всього два, якщо прилеглий катет «зайнятий» косинусом, то синусу залишається тільки протилежний.

Як бути з тангенсом та котангенсом? Плутанина та сама. Учні знають, що це ставлення катетів, але проблема згадати який до якого належить – чи протилежний до прилеглого, чи навпаки.

Визначення:

Тангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до прилеглого:

Котангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до протилежного:

Як запам'ятати? Є два способи. Один так само використовує словесно-логічний зв'язок, інший – математичний.

СПОСІБ МАТЕМАТИЧНИЙ

Є таке визначення - тангенсом гострого кута називається відношення синуса кута до його косинусу:

*Запам'ятавши формулу, ви завжди зможете визначити, що тангенс гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до прилеглого.

Аналогічно.Котангенсом гострого кута називається відношення косинуса кута до його синуса:

Отже! Запам'ятавши зазначені формули, ви завжди зможете визначити, що:

- тангенс гострого кута у прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до прилеглого

- Котангенс гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до протилежного.

СПОСІБ СЛОВОВО-ЛОГІЧНИЙ

Про тангенс. Запам'ятайте зв'язку:

Тобто якщо потрібно згадати визначення тангенсу, за допомогою даного логічного зв'язку, ви легко згадаєте, що це

«... ставлення протилежного катета до прилеглого»

Якщо мова зайде про котангенс, то згадавши визначення тангенсу ви легко озвучите визначення котангенсу –

«… відношення прилеглого катета до протилежного»

Є цікавий прийом із запам'ятовування тангенсу та котангенсу на сайті " Математичний тандем " подивіться.

СПОСІБ УНІВЕРСАЛЬНИЙ

Можна просто зазубрити.Але як показує практика, завдяки словесно-логічним зв'язкам людина запам'ятовує інформацію надовго, і не лише математичну.

Сподіваюся, матеріал вам був корисний.

З повагою, Олександр Крутицьких

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Одним із розділів математики, з якими школярі справляються з найбільшими труднощами, є тригонометрія. Не дивно: щоб вільно оволодіти цією областю знань, потрібна наявність просторового мислення, вміння знаходити синуси, косинуси, тангенси, котангенси за формулами, спрощувати висловлювання, вміти застосовувати у обчисленнях число пі. Крім цього, потрібно вміти застосовувати тригонометрію за доказом теорем, а це вимагає або розвиненої математичної пам'яті, або вміння виводити непрості логічні ланцюжки.

Витоки тригонометрії

Знайомство з цією наукою слід розпочати з визначення синуса, косинуса і тангенса кута, проте спочатку необхідно розібратися, чим займається тригонометрія.

Історично основним об'єктом дослідження цього розділу математичної науки були прямокутні трикутники. Наявність кута в 90 градусів дає можливість здійснювати різні операції, що дозволяють по двох сторонах і одному куті або по двох кутах і одній стороні визначати значення всіх параметрів фігури, що розглядається. У минулому люди помітили цю закономірність і стали активно нею користуватися при будівництві будівель, навігації, астрономії і навіть у мистецтві.

Початковий етап

Спочатку люди міркували про взаємини кутів і сторін винятково з прикладу прямокутних трикутників. Потім було відкрито спеціальні формули, дозволили розширити межі вживання у повсякденні даного розділу математики.

Вивчення тригонометрії у школі сьогодні починається з прямокутних трикутників, після чого отримані знання використовуються учнями у фізиці та вирішенні абстрактних тригонометричних рівнянь, робота з якими починається у старших класах.

Сферична тригонометрія

Пізніше, коли наука вийшла на наступний рівень розвитку, формули із синусом, косінусом, тангенсом, котангенсом стали використовуватися у сферичній геометрії, де діють інші правила, а сума кутів у трикутнику завжди більша за 180 градусів. Цей розділ не вивчається в школі, проте знати про його існування необхідно як мінімум тому, що земна поверхня, та й поверхня будь-якої іншої планети, є опуклою, а отже, будь-яка розмітка поверхні буде в тривимірному просторі «дугоподібною».

Візьміть глобус та нитку. Прикладіть нитку до двох будь-яких точок на глобусі, щоб вона виявилася натягнутою. Зверніть увагу - вона набула форми дуги. З такими формами і має справу сферична геометрія, що застосовується в геодезії, астрономії та інших теоретичних та прикладних сферах.

Прямокутний трикутник

Дещо дізнавшись про способи застосування тригонометрії, повернемося до базової тригонометрії, щоб надалі розібратися, що таке синус, косинус, тангенс, які розрахунки можна з їх допомогою виконувати і які формули при цьому використовувати.

Насамперед необхідно усвідомити поняття, які стосуються прямокутного трикутника. По-перше, гіпотенуза - це сторона, що лежить навпроти кута 90 градусів. Вона є найдовшою. Ми пам'ятаємо, що за теоремою Піфагора її чисельне значення дорівнює кореню із суми квадратів двох інших сторін.

Наприклад, якщо дві сторони дорівнюють 3 і 4 сантиметрам відповідно, довжина гіпотенузи становитиме 5 сантиметрів. До речі, про це знали ще давні єгиптяни близько чотирьох із половиною тисяч років тому.

Дві сторони, що залишилися, які утворюють прямий кут, звуться катетами. Крім того, треба пам'ятати, що сума кутів у трикутнику у прямокутній системі координат дорівнює 180 градусів.

Визначення

Нарешті, твердо розуміючи геометричну основу, можна звернутися до визначення синуса, косинуса та тангенсу кута.

Синусом кута називається відношення протилежного катета (тобто сторони, що знаходиться навпроти потрібного кута) до гіпотенузи. Косинусом кута називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Запам'ятайте, що ні синус, ні косинус не може бути більше одиниці! Чому? Тому що гіпотенуза - це за умовчанням найдовша Яким би довгим не був катет, він буде коротшим за гіпотенузу, а значить, їх відношення завжди буде менше одиниці. Таким чином, якщо у вас у відповіді до завдання вийшов синус або косинус зі значенням більшим, ніж 1, шукайте помилку в розрахунках або міркуваннях. Ця відповідь однозначно невірна.

Нарешті, тангенсом кута називається відношення протилежної сторони до прилеглої. Той самий результат дасть поділ синуса на косинус. Подивіться: відповідно до формули ми ділимо довжину сторони на гіпотенузу, після чого ділимо на довжину другої сторони та множимо на гіпотенузу. Таким чином, ми отримуємо те саме співвідношення, що і у визначенні тангенса.

Котангенс, відповідно, є відношенням прилеглої до кута сторони до протилежної. Той самий результат ми отримаємо, розділивши одиницю на тангенс.

Отже, ми розглянули визначення, що таке синус, косинус, тангенс та котангенс, і можемо зайнятися формулами.

Найпростіші формули

У тригонометрії не обійтися без формул – як знайти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? Адже саме це потрібно при вирішенні завдань.

Перша формула, яку необхідно знати, починаючи вивчати тригонометрію, свідчить, що сума квадратів синуса і косинуса кута дорівнює одиниці. Ця формула є прямим наслідком теореми Піфагора, проте дозволяє заощадити час, якщо потрібно дізнатися про величину кута, а не сторони.

Багато учнів що неспроможні запам'ятати другу формулу, також дуже популярну під час вирішення шкільних завдань: сума одиниці і квадрата тангенса кута дорівнює одиниці, поділеної на квадрат косинуса кута. Придивіться: адже це те саме твердження, що й у першій формулі, тільки обидві сторони тотожності були поділені на квадрат косинуса. Виходить, проста математична операція робить тригонометричну формулу абсолютно невпізнанною. Пам'ятайте: знаючи, що таке синус, косинус, тангенс і котангенс, правила перетворення і кілька базових формул ви будь-якої миті зможете самі вивести необхідні складніші формули на аркуші паперу.

Формули подвійного кута та складання аргументів

Ще дві формули, які потрібно вивчити, пов'язані зі значеннями синуса та косинуса при сумі та різниці кутів. Вони представлені нижче. Зверніть увагу, що в першому випадку обидва рази перемножується синус та косинус, а в другому складається попарний добуток синуса та косинуса.

Також є формули, пов'язані з аргументами у вигляді подвійного кута. Вони повністю виводяться з попередніх - як тренування спробуйте отримати їх самостійно, прийнявши кут альфа рівним куту бета.

Нарешті, зверніть увагу, що формули подвійного кута можна перетворити так, щоб знизити рівень синуса, косинуса, тангенса альфа.

Теореми

Двома основними теоремами в базовій тригонометрії є теорема синусів та теорема косінусів. За допомогою цих теорем ви легко зможете зрозуміти, як знайти синус, косинус і тангенс, а отже, і площу фігури, і величину кожної сторони тощо.

Теорема синусів стверджує, що в результаті розподілу довжини кожної зі сторін трикутника на величину протилежного кута ми отримаємо однакове число. Більше того, це число дорівнюватиме двом радіусам описаного кола, тобто кола, що містить всі точки даного трикутника.

Теорема косінусів узагальнює теорему Піфагора, проеціруя її будь-які трикутники. Виявляється, із суми квадратів двох сторін відняти їх добуток, помножений на подвійний косинус суміжного їм кута - отримане значення виявиться рівним квадрату третьої сторони. Таким чином, теорема Піфагора виявляється окремим випадком теореми косінусів.

Помилки з неуважності

Навіть знаючи, що таке синус, косинус і тангенс, легко зробити помилку через неуважність або помилки в найпростіших розрахунках. Щоб уникнути таких помилок, ознайомимося з найпопулярнішими з них.

По-перше, годі було перетворювати прості дроби в десяткові до отримання остаточного результату - можна й відповідь залишити як звичайного дробу, якщо умові не обумовлено зворотне. Таке перетворення не можна назвати помилкою, проте слід пам'ятати, що на кожному етапі завдання можуть з'явитися нові корені, які за задумом автора повинні скоротитися. У цьому випадку ви дарма згаєте час на зайві математичні операції. Особливо це актуально для таких значень, як корінь із трьох або з двох, адже вони зустрічаються в завданнях на кожному кроці. Те саме стосується заокруглень «некрасивих» чисел.

Далі, зверніть увагу, що до будь-якого трикутника застосовна теорема косінусів, але не теорема Піфагора! Якщо ви помилково забудете відняти подвійний твір сторін, помножений на косинус кута між ними, ви не тільки отримаєте абсолютно невірний результат, але й продемонструєте повне нерозуміння предмета. Це гірше, ніж помилка через неуважність.

По-третє, не плутайте значення для кутів 30 і 60 градусів для синусів, косінусів, тангенсів, котангенсів. Запам'ятайте ці значення, адже синус 30 градусів дорівнює косінусу 60, і навпаки. Їх легко переплутати, внаслідок чого ви неминуче отримаєте хибний результат.

Застосування

Багато учнів не поспішають братися до вивчення тригонометрії, оскільки розуміють її прикладного сенсу. Що таке синус, косинус, тангенс для інженера чи астронома? Це поняття, завдяки яким можна вирахувати відстань до далеких зірок, передбачити падіння метеорита, відправити дослідницький зонд на іншу планету. Без них не можна збудувати будинок, спроектувати автомобіль, розрахувати навантаження на поверхню або траєкторію руху предмета. І це лише очевидні приклади! Адже тригонометрія у тому чи іншому вигляді використовується всюди, починаючи від музики та закінчуючи медициною.

На закінчення

Отже, ви синус, косинус, тангенс. Ви можете використовувати їх у розрахунках та успішно вирішувати шкільні завдання.

Вся суть тригонометрії зводиться до того, що за відомими параметрами трикутника потрібно вирахувати невідомі. Усього цих параметрів шість: довжини трьох сторін та величини трьох кутів. Вся різниця в завданнях полягає в тому, що даються різні вхідні дані.

Як знайти синус, косинус, тангенс, виходячи з відомих довжин катетів або гіпотенузи, ви тепер знаєте. Оскільки ці терміни позначають не що інше, як відношення, а відношення - це дріб, головною метою тригонометричної задачі стає знаходження коренів звичайного рівняння або системи рівнянь. І тут вам допоможе звична шкільна математика.

Я не переконуватиму вас не писати шпаргалки. Пишіть! У тому числі і шпаргалки по тригонометрії. Пізніше я планую пояснити, навіщо потрібні шпаргалки та чим шпаргалки корисні. А тут інформація, як не вчити, але запам'ятати деякі тригонометричні формули. Отже - тригонометрія без шпаргалки! Використовуємо асоціації для запам'ятовування.

1. Формули додавання:

косинуси завжди «ходять парами»: косинус-косинус, синус-синус. І ще: косинуси – «неадекватні». Їм "все не так", тому вони знаки змінюють: "-" на "+", і навпаки.

Синуси – «змішуються»: синус-косинус, косинус-синус.

2. Формули суми та різниці:

косинуси завжди «ходять парами». Склавши два косинуси — «колобки», отримуємо пару косинусів-«колобків». А віднімаючи, колобків точно не отримаємо. Отримуємо пару синусів. Ще й із мінусом попереду.

Синуси – «змішуються» :

3. Формули перетворення твору на суму та різницю.

Коли ми отримуємо пару косінусів? Коли складаємо косинус. Тому

Коли ми отримуємо пару синусів? При відніманні косінусів. Звідси:

"Змішування" отримуємо як при додаванні, так і при відніманні синусів. Що приємніше: складати чи віднімати? Правильно, складати. І для формули беруть додавання:

У першій і третій формулі в дужках — сума. Від перестановки місць доданків сума не змінюється. Принциповий порядок лише другої формули. Але, щоб не плутатися, для простоти запам'ятовування ми у всіх трьох формулах у перших дужках беремо різницю

а по-друге — суму

Шпаргалки у кишені дають спокій: якщо забув формулу, можна списати. А дають впевненість: якщо скористатися шпаргалкою не вдасться, можна легко згадати формули.

У цій статті зібрані таблиці синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів. Спочатку ми наведемо таблицю основних значень тригонометричних функцій, тобто таблицю синусів, косінусів, тангенсів і котангенсів кутів 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусів ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πрадіан). Після цього ми дамо таблицю синусів та косінусів, а також таблицю тангенсів та котангенсів В. М. Брадіса, і покажемо, як використовувати ці таблиці при знаходженні значень тригонометричних функцій.

Навігація на сторінці.

Таблиця синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів для кутів 0, 30, 45, 60, 90, … градусів

Список літератури.

• Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: Іл.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.
• Брадіс В. М.Чотиризначні математичні таблиці: Для загальноосвіт. навч. закладів. - 2-ге вид. - М: Дрофа, 1999. - 96 с.: іл. ISBN 5-7107-2667-2