Як спрощувати вирази 8. Записи з позначкою "спростити вираз алгебри"

Початковий рівень

Перетворення виразів. Детальна теорія (2019)

Перетворення виразів

Часто ми чуємо цю неприємну фразу: спростіть вираз. Зазвичай при цьому перед нами якесь чудовисько типу цього:

"Та куди вже простіше" - говоримо ми, але така відповідь зазвичай не прокочує.

Зараз я навчу тебе не боятися жодних таких завдань. Більше того, наприкінці заняття ти сам спростиш цей приклад до (лише!) звичайного числа (так-так, до біса ці літери).

Але перш ніж приступити до цього заняття, тобі необхідно вміти поводитися з дробами та розкладати багаточлени на множники. Тому спершу, якщо ти цього не зробив раніше, обов'язково освою тему «» та «».

Прочитав? Якщо так, то тепер ти готовий.

Базові операції спрощення

Зараз розберемо основні прийоми, що використовуються при спрощенні виразів.

Найпростіший з них – це

1. Приведення подібних

Що таке? Ти проходив це у 7 класі, як тільки вперше в математиці з'явилися букви замість чисел. Подібні - це доданки (одночлени) з однаковою літерною частиною. Наприклад, у сумі подібні доданки - це і.

Згадав?

Привести подібні - значить скласти кілька подібних доданків один з одним і отримати один доданок.

А як нам скласти один з одним літери? - Запитаєш ти.

Це дуже легко зрозуміти, якщо уявити, що літери – це якісь предмети. Наприклад, літера – це стілець. Тоді чому дорівнює вираз? Два стільці плюс три стільці, скільки буде? Правильно, стільців: .

А тепер спробуй такий вираз: .

Щоб не заплутатися, нехай різні літери позначають різні предмети. Наприклад, - це (як завжди) стілець, а - це стіл. Тоді:

стільця стільця стільців стільців стільців стільців

Числа, на які множаться літери в таких доданках, називаються коефіцієнтами. Наприклад, в одночлені коефіцієнт дорівнює. А він дорівнює.

Отже, правило приведення таких:

Приклади:

Наведіть такі:

Відповіді:

2. (і подібні, тому що, отже у цих доданків однакова літерна частина).

2. Розкладання на множники

Це зазвичай найважливіша частина у спрощенні виразів. Після того, як ти навів подібні, найчастіше отриманий вираз потрібно розкласти на множники, тобто подати у вигляді твору. Особливо це важливо у дробах: адже щоб можна було скоротити дріб, чисельник та знаменник мають бути представлені у вигляді твору.

Докладно способи розкладання виразів на множники ти проходив у темі «», тому тут тобі залишається лише згадати вивчене. Для цього виріши кілька прикладів(Потрібно розкласти на множники):

Рішення:

3. Скорочення дробу.

Ну що може бути приємніше, ніж закреслити частину чисельника та знаменника, і викинути їх зі свого життя?

У цьому вся краса скорочення.

Все просто:

Якщо чисельник і знаменник містять однакові множники, їх можна скоротити, тобто забрати з дробу.

Це правило випливає з основної властивості дробу:

Тобто суть операції скорочення в тому, що чисельник і знаменник дробу ділимо на одне й те саме число (або на один і той самий вираз).

Щоб скоротити дріб, потрібно:

1) чисельник та знаменник розкласти на множники

2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.

Принцип, я гадаю, зрозумілий?

Хочу звернути увагу на одну типову помилку під час скорочення. Хоча ця тема і проста, але дуже багато хто робить все неправильно, не розуміючи, що скоротити- це означає поділитичисельник і знаменник одне й те число.

Жодних скорочень, якщо в чисельнику чи знаменнику сума.

Наприклад: треба спростити.

Деякі роблять так: що абсолютно неправильно.

Ще приклад: скоротити.

«Найрозумніші» зроблять так: .

Скажи мені, що тут не так? Здавалося б: це множник, значить можна скорочувати.

Але ні: - це множник лише одного доданку в чисельнику, але сам чисельник загалом на множники не розкладено.

Ось інший приклад: .

Це вираз розкладено на множники, отже, можна скоротити, тобто поділити чисельник і знаменник на, а потім і на:

Можна й одразу поділити на:

Щоб не допускати подібних помилок, запам'ятай легкий спосіб, як визначити, чи розкладено вираз на множники:

Арифметична дія, яка виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головною». Тобто, якщо ти підставиш замість літер якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дією буде множення - значить, у нас твір (вираз розкладено на множники). Якщо останньою дією буде додавання або віднімання, це означає, що вираз не розкладено на множники (а отже, скорочувати не можна).

Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів:

Відповіді:

1. Сподіваюся, ти не кинувся зразу ж скорочувати і? Ще не вистачало «зменшити» одиниці типу такого:

Першим дією має бути розкладання на множники:

4. Додавання та віднімання дробів. Приведення дробів до спільного знаменника.

Додавання і віднімання звичайних дробів - операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на недостатній множник і складаємо/віднімаємо чисельники. Давай згадаємо:

Відповіді:

1. Знаменники і – взаємно прості, тобто у них немає спільних множників. Отже, НОК цих чисел дорівнює їхньому твору. Це і буде спільний знаменник:

2. Тут спільний знаменник дорівнює:

3. Тут насамперед змішані дроби перетворюємо на неправильні, а далі – за звичною схемою:

Зовсім інша річ, якщо дроби містять літери, наприклад:

Почнемо з простого:

a) Знаменники не містять літер

Тут все те ж, що і зі звичайними числовими дробами: знаходимо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники:

тепер у чисельнику можна наводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:

Спробуй сам:

b) Знаменники містять літери

Давай згадаємо принцип знаходження спільного знаменника без літер:

· Насамперед ми визначаємо загальні множники;

· Потім виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· І домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.

Щоб визначити спільні множники знаменників, спершу розкладемо їх на прості множники:

Підкреслимо спільні множники:

Тепер випишемо спільні множники по одному разу і допишемо до них усі загальні (не підкреслені) множники:

Це і є спільний знаменник.

Повернемося до букв. Знаменники наводяться за такою ж схемою:

· Розкладаємо знаменники на множники;

· Визначаємо загальні (однакові) множники;

· Виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· Домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.

Отже, по порядку:

1) розкладаємо знаменники на множники:

2) визначаємо загальні (однакові) множники:

3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і домножуємо їх на всі інші (непідкреслені) множники:

Отже, спільний знаменник тут. Перший дріб потрібно домножити на, другий - на:

До речі, є одна хитрість:

Наприклад: .

Бачимо в знаменниках одні й самі множники, лише з різними показниками. До спільного знаменника підуть:

у ступені

у ступені

у ступені

у ступені.

Ускладнимо завдання:

Як зробити у дробів однаковий знаменник?

Давай згадаємо основну властивість дробу:

Ніде не сказано, що з чисельника і знаменника дробу можна віднімати (або додавати) те саме число. Тому що це не так!

Переконайся сам: візьми будь-який дріб, наприклад, і додай до чисельника і знаменника якесь число, наприклад, . Що повчилося?

Отже, чергове непорушне правило:

Коли наводиш дроби до спільного знаменника, користуйся тільки операцією множення!

Але на що ж треба примножити, щоб одержати?

Ось на і домнож. А примножуй на:

Вирази, які неможливо розкласти на множники називатимемо «елементарними множниками». Наприклад, це елементарний множник. - Теж. А ось – ні: він розкладається на множники.

Що скажеш щодо висловлювання? Воно елементарне?

Ні, оскільки його можна розкласти на множники:

(Про розкладання на множники ти вже читав у темі «Реферат»).

Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз із літерами – це аналог простих множників, на які ти розкладаєш числа. І робитимемо з ними так само.

Бачимо, що в обох знаменниках є множник. Він піде у спільний знаменник у міру (пам'ятаєш, чому?).

Множник - елементарний, і він у них не загальний, значить перший дріб на нього доведеться просто домножити:

Ще приклад:

Рішення:

Перш ніж у паніці перемножувати ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють:

Чудово! Тоді:

Ще приклад:

Рішення:

Як завжди, розкладемо знаменники на множники. У першому знаменнику просто виносимо за дужки; у другому - різниця квадратів:

Здавалося б, спільних множників немає. Але якщо придивитися, то й так схожі.

Так і напишемо:

Тобто вийшло так: усередині дужки ми поміняли місцями доданки, і при цьому знак перед дробом помінявся на протилежний. Візьми на замітку, так робити доведеться часто.

Тепер наводимо до спільного знаменника:

Засвоїв? Зараз перевіримо.

Завдання для самостійного вирішення:

Відповіді:

Тут треба згадати ще одну - різницю кубів:

Зверніть увагу, що у знаменнику другого дробу не формула «квадрат суми»! Квадрат суми виглядав так: .

А - це так званий неповний квадрат суми: другий доданок у ньому - це твір першого та останнього, а не подвоєний їхній твір. Неповний квадрат суми - це один із множників у розкладанні різниці кубів:

Що робити, якщо дробів три штуки?

Та те саме! Насамперед зробимо так, щоб максимальна кількість множників у знаменниках була однаковою:

Зверніть увагу: якщо поміняти знаки всередині однієї дужки, знак перед дробом змінюється на протилежний. Коли міняємо знаки у другій дужці, знак перед дробом знову змінюється протилежним. В результаті він (знак перед дробом) не змінився.

У загальний знаменник виписуємо повністю перший знаменник, а потім дописуємо до нього всі множники, які ще не написані, з другого, а потім із третього (і так далі, якщо дробів більше). Тобто виходить ось так:

Хм... З дробами зрозуміло що робити. Але як бути з двійкою?

Все просто: адже ти вмієш складати дроби? Отже, треба зробити так, щоб двійка стала дробом! Згадуємо: дріб – це операція поділу (числитель ділиться на знаменник, якщо ти раптом забув). І немає нічого простішого, ніж розділити число на. При цьому саме число не зміниться, але перетвориться на дріб:

Те що потрібно!

5. Множення та розподіл дробів.

Ну що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:

Порядок дій

Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, порахувавши значення такого виразу:

Порахував?

Повинно вийти.

Отже, нагадую.

Насамперед обчислюється ступінь.

Другим - множення та розподіл. Якщо множень і поділок одночасно кілька, робити їх можна у будь-якому порядку.

І наостанок виконуємо складання та віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.

Але: вираз у дужках обчислюється позачергово!

Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз у кожній із дужок, а потім множимо або поділи їх.

А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну, давай подумаємо: усередині дужок написано якийсь вираз. А при обчисленні виразу насамперед треба робити що? Правильно, обчислювати дужки. Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужки, потім решту.

Отже, порядок дій для вираження вище такий (червоним виділено поточне дію, тобто дію, яке виконую зараз):

Добре, це просто.

Але ж це не те саме, що вираз з літерами?

Ні, це те саме! Тільки замість арифметичних дій треба робити алгебраїчну, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, додавання дробів, скорочення дробів і так далі. Єдиною відмінністю буде дія розкладання багаточленів на множники (його часто застосовуємо при роботі з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати або просто виносити загальний множник за дужки.

Зазвичай наша мета - уявити вираз у вигляді твору чи приватного.

Наприклад:

Спростимо вираз.

1) Першим спрощуємо вираз у дужках. Там у нас різниця дробів, а наша мета – представити її як твір чи приватний. Отже, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:

Більше цього виразу спростити неможливо, всі множники тут - елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це означає?).

2) Отримуємо:

Розмноження дробів: що може бути простіше.

3) Тепер можна і скоротити:

Ну от і все. Нічого складного, правда?

Ще приклад:

Спрости вираз.

Спочатку спробуй вирішити сам, і тільки потім подивися рішення.

Насамперед визначимо порядок дій. Спочатку виконаємо складання дробів у дужках, вийде замість двох дробів один. Потім виконаємо поділ дробів. Ну і результат складемо з останнім дробом. Схематично пронумерую дії:

Тепер покажу звістку процес, підфарбовуючи поточну дію червоним:

Насамкінець дам тобі дві корисні поради:

1. Якщо є такі, їх треба негайно навести. У який би момент у нас не утворилися подібні, їх бажано наводити одразу.

2. Те саме стосується скорочення дробів: як тільки з'являється можливість скоротити, їй треба скористатися. Виняток становлять дроби, які ти складаєш або віднімаєш: якщо у них зараз однакові знаменники, то скорочення потрібно залишити на потім.

Ось тобі завдання для самостійного вирішення:

І обіцяна на самому початку:

Рішення (короткі):

Якщо ти впорався хоча б із першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, опанував.

Тепер уперед до навчання!

ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Базові операції спрощення:

• Приведення подібних: щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати буквену частину.
• Розкладання на множники:винесення загального множника за дужки, застосування тощо.
• Скорочення дробу: чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
  1) чисельник та знаменник розкласти на множники
  2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.

  ВАЖЛИВО: скорочувати можна лише множники!

• Додавання та віднімання дробів:
  ;
• Розмноження та розподіл дробів:
  ;

На початку уроку ми повторимо основні властивості квадратного коріння, а потім розглянемо кілька складних прикладів на спрощення виразів, що містять квадратне коріння.

Тема:Функція. Властивості квадратного кореня

Урок:Перетворення та спрощення складніших виразів з корінням

1. Повторення властивостей квадратного коріння

Коротко повторимо теорію і нагадаємо основні властивості квадратного коріння.

Властивості квадратного коріння:

1. , отже, ;

3. ;

4. .

2. Приклади на спрощення виразів із корінням

Перейдемо до прикладів використання цих властивостей.

Приклад 1. Спростити вираз .

Рішення. Для спрощення число 120 необхідно розкласти на прості множники:

Квадрат суми розкриємо за відповідною формулою:

Приклад 2. Спростити вираз .

Рішення. Врахуємо, що даний вираз має сенс не при всіх можливих значеннях змінної, тому що в даному виразі присутні квадратне коріння і дроби, що призводить до звуження області допустимих значень. ОДЗ: ().

Наведемо вираз у дужках до спільного знаменника і розпишемо чисельник останнього дробу як різницю квадратів:

Відповідь. при.

Приклад 3. Спростити вираз .

Рішення. Видно, що друга дужка чисельника має незручний вигляд і потребує спрощення, спробуємо розкласти її на множники за допомогою методу угруповання.

Для можливості виносити загальний множник ми спростили коріння шляхом їхнього розкладання на множники. Підставимо отриманий вираз у вихідний дріб:

Після скорочення дробу застосовуємо формулу різниці квадратів.

3. Приклад на порятунок від ірраціональності

Приклад 4. Звільнитися від ірраціональності (коренів) у знаменнику: а); б).

Рішення. а) Для того щоб позбавитися ірраціональності в знаменнику, застосовується стандартний метод домноження і чисельника і знаменника дробу на пов'язаний до знаменника множник (таке ж вираз, але зі зворотним знаком). Це робиться для доповнення знаменника дробу до різниці квадратів, що дозволяє позбавитися коріння в знаменнику. Виконаємо цей прийом у нашому випадку:

б) виконаємо аналогічні дії:

4. Приклад на доказ і виділення повного квадрата в складному радикалі

Приклад 5. Доведіть рівність .

Доведення. Скористаємося визначенням квадратного кореня, з якого випливає, що квадрат правого виразу має дорівнювати підкореному виразу:

. Розкриємо дужки за формулою квадрата суми:

, Здобули правильну рівність.

Доведено.

Приклад 6. Спростити вираз.

Рішення. Зазначений вираз прийнято називати складним радикалом (корінь під коренем). У цьому прикладі необхідно здогадатися виділити повний квадрат із підкореного виразу. Для цього зауважимо, що з двох доданків є претендентом на роль подвоєного твору у формулі квадрата різниці (різниці, тому що є мінус). Розпишемо його у вигляді такого твору: , тоді роль одного з доданків повного квадрата претендує , але в роль другого - 1.

Підставимо цей вислів під корінь.

Деякі приклади алгебри одним видом здатні наводити жах на школярів. Довгі висловлювання як лякають, а й дуже ускладнюють обчислення. Намагаючись відразу зрозуміти, що й за чим слід, недовго заплутатися. Саме з цієї причини математики завжди намагаються максимально спростити «моторошне» завдання і лише потім приступають до його вирішення. Як не дивно, такий трюк значно пришвидшує процес роботи.

Спрощення є одним із фундаментальних моментів в алгебрі. Якщо в простих завданнях без нього ще можна обійтися, то складніші для обчислення приклади можуть виявитися «не по зубах». Отут і знадобляться ці навички! Тим більше що складних математичних знань не потрібно: достатньо буде лише запам'ятати і навчитися застосовувати на практиці кілька базових прийомів і формул.

Незалежно від складності обчислень при вирішенні будь-якого виразу важливо дотримуватись порядку виконання операцій з числами:

1. дужки;
2. зведення в ступінь;
3. множення;
4. розподіл;
5. додавання;
6. віднімання.

Останні два пункти можна спокійно поміняти місцями і це ніяк не вплине на результат. Але складати два сусідні числа, коли поруч із одним із них стоїть знак множення категорично не можна! Відповідь якщо і вийде, то неправильна. Тому слід запам'ятати послідовність.

Застосування таких

До таких елементів відносяться числа зі змінною одного порядку або однакового ступеня. Існують і звані вільні члени, які мають поруч із собою літерного позначення невідомого.

Суть у тому, що за відсутності дужок можна спростити вираз, складаючи або віднімаючи між собою подібні.

Декілька наочних прикладів:

• 8x 2 і 3x 2 - обидва числа мають одну і ту ж змінну другого порядку, тому вони подібні і при додаванні спрощуються до (8+3)x 2 =11x 2 , тоді як при відніманні виходить (8-3)x 2 =5x 2;
• 4x 3 і 6x - а тут "х" має різний ступінь;
• 2y 7 і 33x 7 містять різні змінні, тому, як і в попередньому випадку, не відносяться до подібних.

Розкладання числа на множники

Ця маленька математична хитрість, якщо навчитися її правильно використовувати, у майбутньому неодноразово допоможе впоратися з каверзним завданням. Та й зрозуміти, як працює «система», нескладно: розкладанням називають добуток кількох елементів, обчислення якого дає вихідне значення. Таким чином, 20 можна подати як на 20×1, 2×10, 5×4, 2×5×2 або іншим способом.

На замітку: множники завжди збігаються з дільниками Тож шукати робочу «пару» для розкладання потрібно серед чисел, на які вихідне ділиться без залишку.

Робити таку операцію можна як із вільними членами, так і з цифрами за змінної. Головне, не втратити останню під час обчислень – навіть після розкладання невідома не може взяти і «піти в нікуди». Вона залишається при одному з множників:

• 15x = 3 (5x);
• 60у 2 = (15y 2)4.

Прості числа, які можна розділити лише на себе або 1, ніколи не розкладаються – у цьому немає сенсу.

Основні способи спрощення

Перше, за що чіпляється погляд:

• наявність дужок;
• дроби;
• коріння.

Алгебраїчні приклади у шкільній програмі часто складаються з урахуванням того, що їх можна красиво спростити.

Обчислення у дужках

Уважно стежте за знаком, що стоїть перед дужками!Множення або розподіл застосовується до кожного елемента всередині, а мінус - змінює наявні знаки "+" або "-" на протилежні.

Дужки обчислюються за правилами або за формулами скороченого множення, після чого наводяться такі.

Скорочення дробів

Скорочувати дробитеж нескладно. Вони самі через раз «охоче тікають», варто зробити операції з приведенням таких членів. Але спростити приклад можна ще раніше: звертайте увагу на чисельник та знаменник. Вони часто містять явні або приховані елементи, які можна взаємно скоротити. Правда, якщо в першому випадку потрібно лише викреслити зайве, у другому доведеться подумати, наводячи частину виразу для спрощення. Використовувані методи:

• пошук та винесення за дужки найбільшого спільного дільника у чисельника та знаменника;
• розподіл кожного верхнього елемента на знаменник.

Коли вираз або його частина знаходиться під коренем, Першорядне завдання спрощення практично аналогічна випадку з дробами. Необхідно шукати способи повністю його позбутися або, якщо це неможливо, максимально скоротити знак, що заважає обчисленням. Наприклад, до ненав'язливого √(3) чи √(7).

Вірний спосіб спростити підкорене вираз - спробувати розкласти його на множники, частина у тому числі виноситься межі знака. Наочний приклад: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Інші маленькі хитрощі та нюанси:

• цю операцію спрощення можна проводити з дробами, виносячи її за знак як цілком, так і окремо чисельник чи знаменник;
• розкладати та виносити за межі кореня частину суми чи різниці не можна;
• при роботі зі змінними обов'язково враховуйте її ступінь, він повинен бути рівним або кратним кореню для можливості винесення: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)=√(x 2 ×x)=x√( x);
• іноді допускається звільнення від підкореної змінної шляхом зведення їх у дробову ступінь: √(y 3)=y 3/2 .

Спрощення статечного вираження

Якщо у разі простих обчислень на мінус або плюс приклади спрощуються за рахунок приведення подібних, то як бути при множенні чи розподілі змінних із різними ступенями? Їх можна легко спростити, запам'ятавши два основні моменти:

1. Якщо між змінними стоїть знак множення – ступеня складаються.
2. Коли вони діляться один на одного - зі ступеня чисельника віднімається вона ж знаменника.

Єдина умова для такого спрощення - однакова підстава для обох членів. Приклади для наочності:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13-11 =20x 9 +y 2 ;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Зазначаємо, що операції з числовими значеннями, що стоять перед змінними, відбуваються за звичайними математичними правилами. І якщо придивитися, то стає зрозуміло, що статечні елементи вираження «працюють» аналогічно:

• зведення члена в ступінь позначає множення його на себе певну кількість разів, тобто x 2 = x×x;
• розподіл аналогічно: якщо розкласти ступінь чисельника і знаменника, то частина змінних скоротиться, тоді як ті, що залишилися, «збираються», що рівносильно віднімання.

Як і в будь-якій справі, при спрощенні виразів алгебри необхідне не тільки знання основ, але і практика. Вже через кілька занять приклади, що колись здаються складними, скорочуватимуться без особливих зусиль, перетворюючись на короткі і легко розв'язувані.

Відео

Це відео допоможе вам розібратися та запам'ятати, як спрощуються вирази.

Чи не отримали відповідь на своє запитання? Запропонуйте авторам тему.

§ 1 Поняття спрощення буквеного виразу

У цьому занятті познайомимося з поняттям «подібні доданки» і на прикладах навчимося виконувати приведення подібних доданків, спрощуючи таким чином буквені вирази.

З'ясуємо сенс поняття «спрощення». Слово «спрощення» утворене від слова «спростити». Спростити означає зробити простим, простіше. Отже, спростити літерне вираз - це зробити його коротшим, з мінімальною кількістю дій.

Розглянемо вираз 9х + 4х. Це буквене вираз, що є сумою. Доданки тут представлені у вигляді творів числа та літери. Числовий множник таких доданків називається коефіцієнтом. У цьому виразі коефіцієнтами будуть числа 9 і 4. Зверніть увагу, множник, представлений буквою - однаковий в обох складових цієї суми.

Згадаймо розподільчий закон множення:

Щоб помножити суму на число, можна помножити на це число кожне доданок та одержані твори скласти.

Загалом записується так: (а + b) ∙ с = ​​ac + bc.

Цей закон виконується в обидві сторони ac + bc = (а + b) ∙ с

Застосуємо його до нашого буквеного виразу: сума творів 9х і 4х дорівнює добутку, перший множник якого дорівнює сумі 9 і 4, другий множник - х.

9 + 4 = 13, виходить 13х.

9х + 4х = (9 + 4) х = 13х.

Замість трьох дій у виразі залишилася одна дія – множення. Отже, ми зробили наше літерне вираз простіше, тобто. спростили його.

§ 2 Приведення подібних доданків

Доданки 9х і 4х відрізняються лише своїми коефіцієнтами - такі доданки називають подібними. Літерна частина у подібних доданків однакова. До подібних доданків відносяться також числа та рівні доданки.

Наприклад, у виразі 9а + 12 - 15 подібними доданками будуть числа 12 і -15, а в сумі твори 12 і 6а, числа 14 і твори 12 і 6а (12 ∙ 6а + 14 + 12 ∙ 6а) подібними будуть рівні доданки, подані творами 12 та 6а.

Важливо відзначити, що доданки, у яких рівні коефіцієнти, а буквені множники різні, подібними не є, хоча до них корисно іноді застосувати розподільчий закон множення, наприклад, сума творів 5х і 5у дорівнює добутку 5 і суми х і у

5х + 5y = 5 (x + y).

Спростимо вираз -9а + 15а - 4 + 10.

Подібними доданками у разі є доданки -9а і 15а, оскільки вони відрізняються лише своїми коефіцієнтами. Літерний множник у них однаковий, також подібними є доданки -4 і 10, оскільки є числами. Складаємо подібні доданки:

9а + 15а - 4 + 10

9а + 15а = 6а;

Отримуємо: 6а+6.

Спрощуючи вираз, ми знаходили суми подібних доданків, в математиці це називають приведенням подібних доданків.

Якщо приведення подібних доданків викликає складне становище, можна придумати до них слова і складати предмети.

Наприклад, розглянемо вираз:

На кожну букву беремо свій предмет: b-яблуко, с-груша, тоді вийде: 2 яблука мінус 5 груш плюс 8 груш.

Чи можемо з яблук відняти груші? Звичайно, ні. А ось до мінус 5 груш додати 8 груш можемо.

Наведемо подібні доданки -5 груш + 8 груш. У подібних доданків буквена частина однакова, тому при приведенні подібних доданків достатньо виконати додавання коефіцієнтів і до результату дописати буквену частину:

(-5 + 8) груш – вийде 3 груші.

Повертаючись до нашого буквеного виразу, маємо -5 с + 8 с = 3 с. Таким чином, після приведення подібних доданків отримаємо вираз 2b + 3с.

Отже, на цьому занятті Ви познайомилися з поняттям «подібні доданки» та навчилися спрощувати буквені вирази шляхом приведення подібних доданків.

Список використаної литературы:

1. Математика. 6 клас: поурочні плани до підручника І.І. Зубарєвої, А.Г. Мордковича// автор-упорядник Л.А. Топілін. Мнемозин 2009.
2. Математика. 6 клас: підручник для учнів загальноосвітніх закладів. І.І.Зубарєва, А.Г. - М.: Мнемозіна, 2013.
3. Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх установ/Г.В. Дорофєєв, І.Ф. Шаригін, С.Б. Суворова та ін/за редакцією Г.В. Дорофєєва, І.Ф. Шаригіна; Рос.акад.наук, Рос.акад.освіти. М.: "Освіта", 2010.
4. Математика. 6 клас: навч.для загальноосвітніх установ/Н.Я. Віленкін, В.І. Жохов, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд. - М.: Мнемозіна, 2013.
5. Математика. 6 кл.: Підручник / Г.К. Муравін, О.В. Муравіні. - М.: Дрофа, 2014.

Використані зображення:

Літерний вираз (або вираз зі змінними) - це математичний вираз, який складається з чисел, літер та знаків математичних операцій. Наприклад, такий вираз є буквеним:

a + b + 4

За допомогою літерних виразів можна записувати закони, формули, рівняння та функції. Вміння маніпулювати літерними виразами - запорука гарного знання алгебри та вищої математики.

Будь-яке серйозне завдання з математики зводиться до розв'язання рівнянь. А щоб уміти розв'язувати рівняння, треба вміти працювати з літерними виразами.

Щоб працювати з літерними виразами, потрібно добре вивчити базову арифметику: додавання, віднімання, множення, поділ, основні закони математики, дроби, дії з дробами, пропорції. І не просто вивчити, а зрозуміти досконало.

Змінні

Літери, які містяться в буквених виразах називаються змінними. Наприклад, у виразі a+b+4змінними є букви aі b. Якщо замість цих змінних підставити будь-які числа, то літерний вираз a+b+4звернеться до числового виразу, значення якого можна буде знайти.

Числа, які підставляють замість змінних називають значеннями змінних. Наприклад, змінимо значення змінних aі b. Для зміни значень використовується знак рівності

a = 2, b = 3

Ми змінили значення змінних aі b. Змінною aнадали значення 2 , змінною bнадали значення 3 . В результаті буквене вираз a+b+4звертається у звичайне числове вираз 2+3+4 значення якого можна знайти:

2 + 3 + 4 = 9

Коли відбувається множення змінних, вони записуються разом. Наприклад, запис abозначає те саме, що і запис a×b. Якщо підставити замість змінних aі bчисла 2 і 3 , то ми отримаємо 6

2 × 3 = 6

Також можна записати множення числа на вираз у дужках. Наприклад, замість a×(b + c)можна записати a(b + c). Застосувавши розподільчий закон множення, отримаємо a(b + c)=ab+ac.

Коефіцієнти

У літерних виразах часто можна зустріти запис, в якому число та змінна записані разом, наприклад 3a. Насправді, це короткий запис множення числа 3 на змінну aі цей запис виглядає як 3 × a .

Іншими словами, вираз 3aє твором числа 3 та змінної a. Число 3 у цьому творі називають коефіцієнтом. Цей коефіцієнт показує у скільки разів буде збільшено змінну a. Цей вираз можна прочитати як « aтричі» або «тричі а", або" збільшити значення змінної aвтричі», але найчастіше читається як «три a«

Наприклад, якщо змінна aдорівнює 5 , то значення виразу 3aдорівнюватиме 15.

3 × 5 = 15

Говорячи простою мовою, коефіцієнт це число, яке стоїть перед буквою (перед змінною).

Букв може бути кілька, наприклад 5abc. Тут коефіцієнтом є число 5 . Цей коефіцієнт показує, що добуток змінних abcзбільшується вп'ятеро. Цей вираз можна прочитати як « abcп'ять разів» або «збільшити значення виразу abcу п'ять разів», або «п'ять abc«.

Якщо замість змінних abcпідставити числа 2, 3 і 4, то значення виразу 5abcбуде одно 120

5×2×3×4 = 120

Можна уявити, як спочатку перемножилися числа 2, 3 і 4, і отримане значення збільшилося в п'ять разів:

Знак коефіцієнта належить лише коефіцієнту, і належить до змінним.

Розглянемо вираз −6b. Мінус, що стоїть перед коефіцієнтом 6 , відноситься тільки до коефіцієнта 6 , і не відноситься до змінної b. Розуміння цього факту дозволить не помилятися у майбутньому зі знаками.

Знайдемо значення виразу −6bпри b = 3.

−6b −6×b. Для наочності запишемо вираз −6bу розгорнутому вигляді та підставимо значення змінної b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

приклад 2.Знайти значення виразу −6bпри b = −5

Запишемо вираз −6bу розгорнутому вигляді

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

приклад 3.Знайти значення виразу −5a + bпри a = 3і b = 2

−5a + bце коротка форма запису від −5 × a + bтому для наочності запишемо вираз −5×a+bу розгорнутому вигляді і підставимо значення змінних aі b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Іноді літери записані без коефіцієнта, наприклад aабо ab. У цьому випадку коефіцієнтом є одиниця:

але одиницю за традицією не записують, тому просто пишуть aабо ab

Якщо перед літерою стоїть мінус, то коефіцієнтом є число −1 . Наприклад, вираз −aнасправді виглядає як −1a. Це твір мінус одиниці та змінної a.Воно вийшло так:

−1 × a = −1a

Тут криється невелика каверза. У виразі −aмінус, що стоїть перед змінною aнасправді належить до «невидимої одиниці», а не до змінної a. Тому під час вирішення завдань слід бути уважним.

Наприклад, якщо дано вираз −aі нас просять знайти його значення при a = 2, то в школі ми підставляли двійку замість змінної aі отримували відповідь −2 , не особливо зациклюючись на тому, як це виходило. Насправді відбувалося збільшення мінус одиниці на позитивне число 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Якщо дано вираз −aі потрібно знайти його значення при a = −2, то ми підставляємо −2 замість змінної a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Щоб не допускати помилок, спочатку невидимі одиниці можна записувати явно.

приклад 4.Знайти значення виразу abcпри a=2 , b=3і c=4

Вираз abc 1×a×b×c.Для наочності запишемо вираз abc a, bі c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Приклад 5.Знайти значення виразу abcпри a=−2 , b=−3і c=−4

Запишемо вираз abcу розгорнутому вигляді і підставимо значення змінних a, bі c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Приклад 6.Знайти значення виразу − abcпри a=3 , b=5 та c=7

Вираз − abcце коротка форма запису від −1×a×b×c.Для наочності запишемо вираз − abcу розгорнутому вигляді і підставимо значення змінних a, bі c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Приклад 7.Знайти значення виразу − abcпри a=−2 , b=−4 та c=−3

Запишемо вираз − abcу розгорнутому вигляді:

−abc = −1 × a × b × c

Підставимо значення змінних a , bі c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Як визначити коефіцієнт

Іноді потрібно вирішити завдання, у якому потрібно визначити коефіцієнт вираження. У принципі, це завдання дуже просте. Достатньо вміти правильно множити числа.

Щоб визначити коефіцієнт у виразі, потрібно окремо перемножити числа, що входять до цього виразу, та окремо перемножити літери. Чисельний співмножник, що вийшов, і буде коефіцієнтом.

приклад 1. 7m×5a×(−3)×n

Вираз складається з кількох співмножників. Це можна чітко побачити, якщо записати вираз у розгорнутому вигляді. Тобто твори 7mі 5aзаписати у вигляді 7×mі 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Застосуємо поєднаний закон множення, який дозволяє перемножувати співмножники у будь-якому порядку. А саме, окремо перемножимо числа та окремо перемножимо букви (змінні):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Коефіцієнт дорівнює −105 . Після завершення літерну частину бажано розташувати в алфавітному порядку:

−105amn

приклад 2.Визначити коефіцієнт у виразі: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Коефіцієнт дорівнює 6.

приклад 3.Визначити коефіцієнт у виразі:

Перемножимо окремо числа та літери:

Коефіцієнт дорівнює -1. Зверніть увагу, що одиниця не записана, оскільки коефіцієнт 1 прийнято не записувати.

Ці здавалося б найпростіші завдання можуть зіграти з нами дуже злий жарт. Часто з'ясовується, що знак коефіцієнта поставлено неправильно: або пропущено мінус або навпаки, він поставлений дарма. Щоб уникнути цих прикру помилок, повинна бути вивчена на хорошому рівні.

Доданки в буквених виразах

При додаванні кількох чисел виходить сума цих чисел. Числа, які складають називають доданками. Доданків може бути кілька, наприклад:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Коли вираз складається із доданків, обчислювати його набагато простіше, оскільки складати легше, ніж віднімати. Але у виразі може бути не тільки додавання, але й віднімання, наприклад:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

У цьому виразі числа 3 і 5 є віднімаються, а не доданками. Але нам нічого не заважає, замінити віднімання додаванням. Тоді ми знову отримаємо вираз, що складається з доданків:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Не має значення, що числа −3 і −5 тепер зі знаком мінуса. Головне, що всі числа в даному виразі пов'язані знаком додавання, тобто вираз є сумою.

Обидва вирази 1 + 2 − 3 + 4 − 5 і 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) рівні одному й тому значенню - мінус одиниці

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Таким чином, значення виразу не постраждає від того, що ми десь замінимо віднімання додаванням.

Замінювати віднімання додаванням можна і в буквених виразах. Наприклад, розглянемо такий вираз:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

За будь-яких змінних змін a, b, c, dі sвирази 7a + 6b − 3c + 2d − 4s і 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) будуть рівні одному й тому самому значенню.

Ви повинні бути готові до того, що вчитель у школі або викладач в інституті може називати доданками навіть ті числа (або змінні), які не є ними.

Наприклад, якщо на дошці буде записано різницю a − b, то вчитель не буде говорити, що a- це зменшуване, а b- Віднімається. Обидві змінні він назве одним загальним словом. доданки. А все тому, що вираз виду a − bматематик бачить як суму a + (−b). У такому разі вираз стає сумою, а змінні aі (−b)стають доданками.

Подібні доданки

Подібні доданки— це доданки, які мають однакову літерну частину. Наприклад, розглянемо вираз 7a + 6b + 2a. доданки 7aі 2aмають однакову буквену частину - змінну a. Значить доданки 7aі 2aє подібними.

Зазвичай подібні доданки складають, щоб спростити вираз або вирішити якесь рівняння. Цю операцію називають приведенням подібних доданків.

Щоб навести подібні доданки, потрібно скласти коефіцієнти цих доданків, і отриманий результат помножити на загальну літерну частину.

Наприклад наведемо подібні доданки у виразі 3a + 4a + 5a. У цьому випадку подібними є всі доданки. Складемо їх коефіцієнти і результат помножимо на загальну літерну частину - на змінну a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Подібні доданки зазвичай наводять в думці і результат записують відразу:

3a + 4a + 5a = 12a

Також, можна міркувати так:

Було 3 змінні a до них додали ще 4 змінні a і ще 5 змінних a. У результаті отримали 12 змінних a

Розглянемо кілька прикладів для приведення подібних доданків. Враховуючи, що дана тема дуже важлива, спочатку записуватимемо докладно кожну дрібницю. Незважаючи на те, що тут все дуже просто, більшість людей припускаються безлічі помилок. Здебільшого через неуважність, а не через незнання.

приклад 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

Складемо коефіцієнти в даному виразі та отриманий результат помножимо на загальну буквену частину:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

Конструкцію (3+2+6+8)×aможна не записувати, тому одразу запишемо відповідь

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

приклад 2.Навести подібні доданки у виразі 2a + a

Другий доданок aзаписано без коефіцієнта, але насправді перед ним стоїть коефіцієнт 1 , який ми не бачимо через те, що його не записують. Отже, вираз виглядає так:

2a + 1a

Тепер наведемо подібні доданки. Тобто складемо коефіцієнти і результат помножимо на загальну буквену частину:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Запишемо рішення коротше:

2a + a = 3a

2a+a, Можна міркувати і по-іншому:

приклад 3.Навести подібні доданки у виразі 2a − a

Замінимо віднімання додаванням:

2a + (−a)

Другий доданок (−a)записано без коефіцієнта, але насправді воно виглядає як (−1a).Коефіцієнт −1 знову ж таки невидимий через те, що його не записують. Отже, вираз виглядає так:

2a + (−1a)

Тепер наведемо подібні доданки. Складемо коефіцієнти і результат помножимо на загальну буквену частину:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Зазвичай записують коротше:

2a − a = a

Наводячи подібні доданки у виразі 2a−aможна міркувати і по-іншому:

Було 2 змінні a, відняли одну змінну a, в результаті залишилася одна єдина змінна a

приклад 4.Навести подібні доданки у виразі 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Тепер наведемо подібні доданки. Складемо коефіцієнти і результат помножимо на загальну буквену частину

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Запишемо рішення коротше:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Зустрічаються вирази, які містять кілька різних груп подібних доданків. Наприклад, 3a + 3b + 7a + 2b. Для таких виразів справедливі самі правила, як і інших, саме складання коефіцієнтів і множення отриманого результату загальну буквенную часть. Але щоб не допустити помилок, зручно різні групи доданків підкреслити різними лініями.

Наприклад, у виразі 3a + 3b + 7a + 2bті доданки, які містять змінну a, можна підкреслити однією лінією, а ті доданки, які містять змінну b, можна підкреслити двома лініями:

Тепер можна навести подібні доданки. Тобто скласти коефіцієнти та отриманий результат помножити на загальну літерну частину. Зробити це потрібно для обох груп доданків: для доданків, що містять змінну aі для доданків, що містять змінну b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Знову ж таки повторимося, вираз нескладний, і подібні доданки можна приводити в думці:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Приклад 5.Навести подібні доданки у виразі 5a − 6a −7b + b

Замінимо віднімання додавання там, де це можна:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Підкреслимо подібні доданки різними лініями. Доданки, що містять змінні aпідкреслимо однією лінією, а складові зміст змінні b, підкреслимо двома лініями:

Тепер можна навести подібні доданки. Тобто скласти коефіцієнти та отриманий результат помножити на загальну буквену частину:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Якщо виразі містяться звичайні числа без буквених співмножників, всі вони складаються окремо.

Приклад 6.Навести подібні доданки у виразі 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Замінимо віднімання додаванням там, де це можна:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Наведемо подібні доданки. Числа −5 і 7 не мають буквених співмножників, але вони є подібними доданками - їх необхідно просто скласти. А доданок 2bзалишиться без змін, оскільки воно єдине в даному виразі, що має буквений співмножник b,і його нема з чим складати:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Запишемо рішення коротше:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Доданки можна впорядковувати, щоб ті доданки, які мають однакову літерну частину, розташовувалися в одній частині виразу.

Приклад 7.Навести подібні доданки у виразі 5t+2x+3x+5t+x

Оскільки вираз є сумою з кількох доданків, це дозволяє нам обчислювати їх у будь-якому порядку. Тому доданки, що містять змінну t, можна записати на початку виразу, а доданки, що містять змінну xв кінці виразу:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Тепер можна навести такі складові:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Запишемо рішення коротше:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Сума протилежних чисел дорівнює нулю. Це правило працює і для буквених виразів. Якщо у виразі зустрінуться однакові доданки, але з протилежними знаками, то їх можна позбутися на етапі приведення подібних доданків. Іншими словами, просто викреслити їх з виразу, оскільки їхня сума дорівнює нулю.

Приклад 8.Навести подібні доданки у виразі 3t − 4t − 3t + 2t

Замінимо віднімання додаванням там, де це можна:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

доданки 3tі (−3t)є протилежними. Сума протилежних доданків дорівнює нулю. Якщо вилучити цей нуль з виразу, то значення виразу не зміниться, тому ми його і приберемо. А приберемо ми його звичайним викреслюванням доданків 3tі (−3t)

У результаті у нас залишиться вираз (−4t) + 2t. У цьому виразі можна навести подібні доданки та отримати остаточну відповідь:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Запишемо рішення коротше:

Спрощення виразів

«спростіть вираз» і далі наводиться вираз, який потрібно спростити. Спростити вираззначить зробити його простіше та коротше.

Насправді ми займалися спрощенням виразів, коли скорочували дроби. Після скорочення дріб ставав коротшим і простіше для сприйняття.

Розглянемо наступний приклад. Спростити вираз.

Це завдання буквально можна зрозуміти так: "Застосуйте до цього виразу будь-які допустимі дії, але зробіть його простіше" .

В даному випадку можна здійснити скорочення дробу, а саме розділити чисельник і знаменник дробу на 2:

Що ще можна зробити? Можна обчислити отриманий дріб. Тоді ми отримаємо десятковий дріб 0,5

У результаті дріб спростився до 0,5.

Перше питання, яке потрібно собі ставити при вирішенні подібних завдань, має бути "А що можна зробити?" . Тому що є дії, які можна робити, і є дії, які робити не можна.

Ще один важливий момент, про який потрібно пам'ятати, полягає в тому, що значення вираз не має змінитись після спрощення виразу. Повернемося до виразу. Даний вираз є поділ, який можна виконати. Виконавши цей поділ, ми отримуємо значення даного виразу, яке дорівнює 0,5

Але ми спростили вираз і отримали новий спрощений вираз. Значення нового спрощеного виразу, як і раніше, дорівнює 0,5

Але вираз ми теж спробували спростити, обчисливши його. У результаті отримали остаточну відповідь 0,5.

Таким чином, як би ми не спрощували вираз, значення одержуваних виразів, як і раніше, дорівнює 0,5. Отже спрощення виконувалося правильно кожному етапі. Саме цього потрібно прагнути при спрощенні висловів — значення висловлювання має постраждати від наших дій.

Часто потрібно спрощувати буквені вирази. Їх справедливі самі правила спрощення, як і числових выражений. Можна виконувати будь-які допустимі дії, аби не змінилося значення виразу.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1.Спростити вираз 5,21s × t × 2,5

Щоб спростити цей вираз, можна окремо перемножити числа та окремо перемножити букви. Це завдання дуже схоже на те, що ми розглядали, коли вчилися визначати коефіцієнт:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Таким чином, вираз 5,21s × t × 2,5спростилося до 13,025st.

приклад 2.Спростити вираз −0,4 × (−6,3b) × 2

Другий твір (−6,3b)можна перевести у зрозумілий нам вигляд, саме записати як ( −6,3)×b ,потім окремо перемножити числа та окремо перемножити літери:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Таким чином, вираз −0,4 × (−6,3b) × 2 спростилося до 5,04b

приклад 3.Спростити вираз

Розпишемо цей вираз докладніше, щоб добре побачити, де числа, а де букви:

Тепер окремо перемножимо числа та окремо перемножимо літери:

Таким чином, вираз спростилося до −abc.Дане рішення можна записати коротше:

При спрощенні виразів дроби можна скорочувати в процесі рішення, а не в самому кінці, як ми це робили зі звичайними дробами. Наприклад, якщо в ході рішення ми натрапимо на вираз виду, то зовсім необов'язково обчислювати чисельник і знаменник і робити щось на зразок цього:

Дроб можна скоротити, вибираючи по множнику в чисельнику і в знаменнику і скорочувати ці множники на їхній найбільший спільний дільник. Іншими словами, використовувати , в якій ми не розписуємо докладно, на що був розділений чисельник і знаменник.

Наприклад, в чисельнику множник 12 і в знаменнику множник 4 можна скоротити на 4.

Тепер можна перемножити маленькі множники. В даному випадку їх небагато і можна перемножити в думці:

Згодом можна виявити, що вирішуючи те чи інше завдання, вирази починають «товстіти», тому бажано привчитися до швидких обчислень. Те, що можна обчислити в умі, потрібно обчислювати в умі. Те, що можна швидко скоротити, потрібно швидко скорочувати.

приклад 4.Спростити вираз

Таким чином, вираз спростилося до

Приклад 5.Спростити вираз

Перемножимо окремо числа та окремо букви:

Таким чином, вираз спростилося до mn.

Приклад 6.Спростити вираз

Запишемо цей вираз докладніше, щоб добре побачити, де числа, а де букви:

Тепер окремо перемножимо числа та окремо букви. Для зручності обчислень десятковий дріб −6,4 та змішане число можна перевести у звичайні дроби:

Таким чином, вираз спростилося до

Рішення для цього прикладу можна записати значно коротше. Виглядатиме воно наступним чином:

Приклад 7.Спростити вираз

Перемножимо окремо числа та окремо букви. Для зручності обчислення змішане число та десяткові дроби 0,1 та 0,6 можна перевести у звичайні дроби:

Таким чином, вираз спростилося до abcd. Якщо пропустити подробиці, то це рішення можна записати значно коротше:

Зверніть увагу на те, як скоротився дріб. Нові множники, які утворюються внаслідок скорочення попередніх множників, теж допускається скорочувати.

Тепер поговоримо про те, що робити не можна. При спрощенні виразів категорично не можна перемножувати числа і букви, якщо вираз є сумою, а чи не твором.

Наприклад, якщо потрібно спростити вираз 5a + 4b, то не можна записувати так:

Це рівнозначно тому, що якби нас попросили скласти два числа, а ми їх перемножували б замість того, щоб складати.

При підстановці будь-яких значень змінних aі bвираз 5a +4bзвертається у звичайне числове вираз. Припустимо, що змінні aі bмають такі значення:

a = 2, b = 3

Тоді значення виразу дорівнюватиме 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Спочатку виконується множення, а потім отримані результати складають. А якби ми спробували спростити цей вираз, перемноживши числа та літери, то вийшло б таке:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Виходить зовсім інше значення виразу. У першому випадку вийшло 22 , у другому випадку 120 . Це означає, що спрощення виразу 5a + 4bбуло виконано неправильно.

Після спрощення виразу, його значення не повинно змінюватися при одних і тих же змінних змін. Якщо при підстановці в початковий вираз будь-яких значень змінних виходить одне значення, то після спрощення виразу має виходити те саме значення, що й до спрощення.

З виразом 5a + 4bнасправді нічого робити не можна. Воно не спрощується.

Якщо у виразі містяться подібні доданки, їх можна скласти, якщо нашою метою є спрощення висловлювання.

Приклад 8.Спростити вираз 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

або коротше: 0,3a - 0,4a + a = 0,9a

Таким чином, вираз 0,3a−0,4a+aспростилося до 0,9a

Приклад 9.Спростити вираз −7,5a − 2,5b + 4a

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

або коротше −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

доданок (−2,5b)залишилося без змін, оскільки його не було з чим складати.

приклад 10.Спростити вираз

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

Коефіцієнт був зручності обчислення.

Таким чином, вираз спростилося до

Приклад 11.Спростити вираз

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

Таким чином, вираз спростилося до .

У цьому прикладі доцільніше було б скласти перший і останній коефіцієнт насамперед. У цьому випадку ми отримали б коротке рішення. Виглядало воно буде так:

приклад 12.Спростити вираз

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

Таким чином, вираз спростилося до .

Доданок залишився без зміни, оскільки його не було з чим складати.

Це рішення можна записати значно коротше. Виглядатиме воно наступним чином:

У короткому рішенні пропущено етапи заміни віднімання додаванням та докладний запис, як дроби приводилися до спільного знаменника.

Ще одна відмінність полягає в тому, що у докладному рішенні відповідь виглядає як , а короткому як . Насправді, це один і той самий вислів. Відмінність у тому, що в першому випадку віднімання замінено додаванням, оскільки на початку коли ми записували рішення в докладному вигляді, ми скрізь де можна замінили віднімання додаванням, і ця заміна збереглася і для відповіді.

Тотожності. Тотожно рівні вирази

Після того, як ми спростили будь-який вираз, воно стає простіше і коротше. Щоб перевірити, чи правильно спрощено вираз, достатньо підставити будь-які значення змінних спочатку у попередній вираз, який потрібно спростити, а потім у новий, який спростили. Якщо значення обох висловлюваннях буде однаковим, то вираз спрощено правильно.

Розглянемо найпростіший приклад. Нехай потрібно спростити вираз 2a × 7b. Щоб спростити цей вираз, можна окремо перемножити числа та літери:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Перевіримо чи ми спростили вираз. Для цього підставимо будь-які значення змінних aі bспочатку в перший вираз, який потрібно спростити, а потім у другий, який спростили.

Нехай значення змінних a , bбудуть наступними:

a = 4, b = 5

Підставимо їх у перший вираз 2a × 7b

Тепер підставимо ті ж значення змінних у вираз, що вийшло внаслідок спрощення 2a×7b, А саме у вираз 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Бачимо, що за a=4і b=5значення першого виразу 2a×7bта значення другого виразу 14abрівні

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Те саме станеться і для будь-яких інших значень. Наприклад, нехай a=1і b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Таким чином, при будь-яких значеннях змінних виразів 2a×7bі 14abрівні одному й тому самому значенню. Такі вирази називають тотожно рівними.

Робимо висновок, що між виразами 2a×7bі 14abможна поставити знак рівності, оскільки вони рівні тому самому значенню.

2a × 7b = 14ab

Рівністю називають будь-який вираз, який з'єднаний знаком рівності (=).

А рівність виду 2a×7b = 14abназивають тотожністю.

Тотожністю називають рівність, яка вірна за будь-яких значень змінних.

Інші приклади тотожностей:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Так, закони математики, які ми вивчали, є тотожністю.

Вірні числові рівності також є тотожностями. Наприклад:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Вирішуючи складне завдання, щоб полегшити собі обчислення, складне вираз замінюють більш просте вираз, тотожно рівне попередньому. Таку заміну називають тотожним перетворенням виразуабо просто перетворенням виразу.

Наприклад, ми спростили вираз 2a × 7b, і отримали більш простий вираз 14ab. Це спрощення можна називати тотожним перетворенням.

Часто можна зустріти завдання, у якому сказано «доведіть, що рівність є тотожністю» і далі наводиться рівність, яку потрібно довести. Зазвичай ця рівність складається з двох частин: лівої та правої частини рівності. Наше завдання полягає в тому, щоб виконати тотожні перетворення з однієї з частин рівності та отримати іншу частину. Або виконати тотожні перетворення з обома частинами рівності і зробити так, щоб в обох частинах рівності виявилися однакові вирази.

Наприклад, доведемо, що рівність 0,5a × 5b = 2,5abє тотожністю.

Спростимо ліву частину цієї рівності. Для цього перемножимо числа та літери окремо:

0,5×5×a×b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

В результаті невеликого тотожного перетворення, ліва частина рівності стала рівна правій частині рівності. Отже ми довели, що рівність 0,5a × 5b = 2,5abє тотожністю.

З тотожних перетворень ми навчилися складати, віднімати, множити і ділити числа, скорочувати дроби, наводити подібні доданки, і навіть спрощувати деякі висловлювання.

Але це далеко не всі тотожні перетворення, які існують у математиці. Тотожних перетворень набагато більше. У майбутньому ми ще не раз у цьому переконаємось.

Завдання для самостійного вирішення:

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки