Як спростити число із натуральним показником. Перетворення виразів

Зручний та простий онлайн калькулятор дробів з докладним рішеннямможе:

• Складати, віднімати, множити і ділити дроби онлайн,
• Отримувати готове рішення дробів картинкою та зручно його переносити.

Результат вирішення дробів буде тут...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Знак дробу "/" + - * :
_Стерти Очистити
У нашого онлайн калькулятора дробів швидке введення. Щоб отримати рішення дробів, наприклад, просто напишіть 1/2+2/7 у калькулятор та натисніть кнопку " Вирішувати дробиКалькулятор напише вам докладне вирішення дробівта видасть зручну для копіювання картинку.

Знаки, що використовуються для запису в калькуляторі

Можливості онлайн калькулятора дробів

Якщо потрібно вирішити негативні дроби, просто скористайтеся властивостями мінуса. При перемноженні та розподілі негативних дробів мінус на мінус дає плюс. Тобто добуток і розподіл негативних дробів, дорівнює добутку і поділу таких же позитивних. Якщо один дріб при перемноженні або розподілі негативний, то просто заберіть мінус, а потім додайте його до відповіді. При складанні негативних дробів, результат буде таким самим, якби ви складали такі ж позитивні дроби. Якщо ви додаєте один негативний дріб, то це теж саме, що відняти такий самий позитивний.
При відніманні негативних дробів, результат буде таким самим, ніби поміняли їх місцями і зробили позитивними. Тобто мінус на мінус у даному випадку дає плюс, а від перестановки доданків сума не змінюється. Цими ж правилами ми користуємося при відніманні дробів одна з яких негативна.

Для вирішення змішаних дробів (дрібниць, у яких виділена ціла частина) просто заженіть цілу частину в дріб. Для цього помножте цілу частину знаменника і додайте до чисельника.

Якщо вам потрібно вирішити онлайн 3 і більше дробів, то вирішувати їх слід по черзі. Спочатку порахуйте перші 2 дроби, потім із отриманою відповіддю вирішуйте наступний дріб і так далі. Виконуйте операції по черзі по 2 дроби, і в результаті ви отримаєте правильну відповідь.

Алгебраїчне вираз у записі якого поряд з діями додавання, віднімання та множення використовують також розподіл на буквені вирази, називається дробовим виразом алгебри. Такі, наприклад, вирази

Алгебраїчним дробом ми називаємо алгебраїчне вираз, що має вигляд приватного від поділу двох цілих виразів алгебри (наприклад, одночленів або багаточленів). Такі, наприклад, вирази

Третій з виразів).

Тотожні перетворення дробових виразів алгебри мають здебільшого своєю метою представити їх у вигляді алгебраїчної дробу. Для віднайдення спільного знаменника використовується розкладання на множники знаменників дробів - доданків з метою віднайдення їх найменшого загального кратного. При скороченні алгебраїчних дробів може порушуватися строга тотожність виразів: необхідно виключати значення величин, у яких множник, який виробляється скорочення, перетворюється на нуль.

Наведемо приклади тотожних перетворень дробових виразів алгебри.

Приклад 1. Спростити вираз

Всі доданки можна привести до спільного знаменника (зручно при цьому змінити знак у знаменнику останнього доданку та знак перед ним):

Наше вираз одно одиниці при всіх значеннях крім цих значеннях воно не визначено і скорочення дробу незаконно).

Приклад 2. Подати у вигляді алгебраїчного дробу вираз

Рішення. За загальний знаменник можна прийняти вираз. Знаходимо послідовно:

Вправи

1. Знайти значення виразів алгебри при зазначених значеннях параметрів:

2. Розкласти на множники.

Деякі приклади алгебри одним видом здатні наводити жах на школярів. Довгі висловлювання як лякають, а й дуже ускладнюють обчислення. Намагаючись відразу зрозуміти, що й за чим слід, недовго заплутатися. Саме з цієї причини математики завжди намагаються максимально спростити «моторошне» завдання і лише потім приступають до його вирішення. Як не дивно, такий трюк значно пришвидшує процес роботи.

Спрощення є одним із фундаментальних моментів в алгебрі. Якщо в простих завданнях без нього ще можна обійтися, то складніші для обчислення приклади можуть виявитися «не по зубах». Отут і знадобляться ці навички! Тим більше що складних математичних знань не потрібно: достатньо буде лише запам'ятати і навчитися застосовувати на практиці кілька базових прийомів і формул.

Незалежно від складності обчислень при вирішенні будь-якого виразу важливо дотримуватись порядку виконання операцій з числами:

1. дужки;
2. зведення в ступінь;
3. множення;
4. розподіл;
5. додавання;
6. віднімання.

Останні два пункти можна спокійно поміняти місцями і це ніяк не вплине на результат. Але складати два сусідні числа, коли поруч із одним із них стоїть знак множення категорично не можна! Відповідь якщо і вийде, то неправильна. Тому слід запам'ятати послідовність.

Застосування таких

До таких елементів відносяться числа зі змінною одного порядку або однакового ступеня. Існують і звані вільні члени, які мають поруч із собою літерного позначення невідомого.

Суть у тому, що за відсутності дужок можна спростити вираз, складаючи або віднімаючи між собою подібні.

Декілька наочних прикладів:

• 8x 2 і 3x 2 - обидва числа мають одну і ту ж змінну другого порядку, тому вони подібні і при додаванні спрощуються до (8+3)x 2 =11x 2 , тоді як при відніманні виходить (8-3)x 2 =5x 2;
• 4x 3 і 6x - а тут "х" має різний ступінь;
• 2y 7 і 33x 7 містять різні змінні, тому, як і в попередньому випадку, не відносяться до подібних.

Розкладання числа на множники

Ця маленька математична хитрість, якщо навчитися її правильно використовувати, у майбутньому неодноразово допоможе впоратися з каверзним завданням. Та й зрозуміти, як працює «система», нескладно: розкладанням називають добуток кількох елементів, обчислення якого дає вихідне значення. Таким чином, 20 можна подати як на 20×1, 2×10, 5×4, 2×5×2 або іншим способом.

На замітку: множники завжди збігаються з дільниками Тож шукати робочу «пару» для розкладання потрібно серед чисел, на які вихідне ділиться без залишку.

Робити таку операцію можна як із вільними членами, так і з цифрами за змінної. Головне, не втратити останню під час обчислень – навіть після розкладання невідома не може взяти і «піти в нікуди». Вона залишається при одному з множників:

• 15x = 3 (5x);
• 60у 2 = (15y 2)4.

Прості числа, які можна розділити лише на себе або 1, ніколи не розкладаються – у цьому немає сенсу.

Основні способи спрощення

Перше, за що чіпляється погляд:

• наявність дужок;
• дроби;
• коріння.

Алгебраїчні приклади у шкільній програмі часто складаються з урахуванням того, що їх можна красиво спростити.

Обчислення у дужках

Уважно стежте за знаком, що стоїть перед дужками!Множення або розподіл застосовується до кожного елемента всередині, а мінус - змінює наявні знаки "+" або "-" на протилежні.

Дужки обчислюються за правилами або за формулами скороченого множення, після чого наводяться такі.

Скорочення дробів

Скорочувати дробитеж нескладно. Вони самі через раз «охоче тікають», варто зробити операції з приведенням таких членів. Але спростити приклад можна ще раніше: звертайте увагу на чисельник та знаменник. Вони часто містять явні або приховані елементи, які можна взаємно скоротити. Правда, якщо в першому випадку потрібно лише викреслити зайве, у другому доведеться подумати, наводячи частину виразу для спрощення. Використовувані методи:

• пошук та винесення за дужки найбільшого спільного дільника у чисельника та знаменника;
• розподіл кожного верхнього елемента на знаменник.

Коли вираз або його частина знаходиться під коренем, Першорядне завдання спрощення практично аналогічна випадку з дробами. Необхідно шукати способи повністю його позбутися або, якщо це неможливо, максимально скоротити знак, що заважає обчисленням. Наприклад, до ненав'язливого √(3) чи √(7).

Вірний спосіб спростити підкорене вираз - спробувати розкласти його на множники, частина у тому числі виноситься межі знака. Наочний приклад: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Інші маленькі хитрощі та нюанси:

• цю операцію спрощення можна проводити з дробами, виносячи її за знак як цілком, так і окремо чисельник чи знаменник;
• розкладати та виносити за межі кореня частину суми чи різниці не можна;
• при роботі зі змінними обов'язково враховуйте її ступінь, він повинен бути рівним або кратним кореню для можливості винесення: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)=√(x 2 ×x)=x√( x);
• іноді допускається звільнення від підкореної змінної шляхом зведення їх у дробову ступінь: √(y 3)=y 3/2 .

Спрощення статечного вираження

Якщо у разі простих обчислень на мінус або плюс приклади спрощуються за рахунок приведення подібних, то як бути при множенні чи розподілі змінних із різними ступенями? Їх можна легко спростити, запам'ятавши два основні моменти:

1. Якщо між змінними стоїть знак множення – ступеня складаються.
2. Коли вони діляться один на одного - зі ступеня чисельника віднімається вона ж знаменника.

Єдина умова для такого спрощення - однакова підстава для обох членів. Приклади для наочності:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13-11 =20x 9 +y 2 ;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Зазначаємо, що операції з числовими значеннями, що стоять перед змінними, відбуваються за звичайними математичними правилами. І якщо придивитися, то стає зрозуміло, що статечні елементи вираження «працюють» аналогічно:

• зведення члена в ступінь позначає множення його на себе певну кількість разів, тобто x 2 = x×x;
• розподіл аналогічно: якщо розкласти ступінь чисельника і знаменника, то частина змінних скоротиться, тоді як ті, що залишилися, «збираються», що рівносильно віднімання.

Як і в будь-якій справі, при спрощенні виразів алгебри необхідне не тільки знання основ, але і практика. Вже через кілька занять приклади, що колись здаються складними, скорочуватимуться без особливих зусиль, перетворюючись на короткі і легко розв'язувані.

Відео

Це відео допоможе вам розібратися та запам'ятати, як спрощуються вирази.

Чи не отримали відповідь на своє запитання? Запропонуйте авторам тему.

Спрощення виразів алгебри є одним з ключових моментів вивчення алгебри і надзвичайно корисним навичкою для всіх математиків. Спрощення дозволяє привести складний або довгий вираз до простого виразу, з яким легко працювати. Базові навички спрощення добре даються навіть тим, хто не в захваті від математики. Дотримуючись кілька простих правил, можна спростити багато з найпоширеніших типів виразів алгебри без будь-яких спеціальних математичних знань.

Кроки

Важливі визначення

1. Подібні члени.Це члени зі змінною одного порядку, члени з однаковими змінними чи вільні члени (члени, які не містять змінну). Іншими словами, такі члени включають одну змінну в одній і тій же мірі, включають кілька однакових змінних або не включають змінну зовсім. Порядок членів у виразі не має значення.

   • Наприклад, 3x 2 і 4x 2 - це подібні члени, оскільки вони містять змінну "х" другого порядку (другою мірою). Проте х і x 2 є подібними членами, оскільки містять змінну «х» різних порядків (першого і другого). Так само -3yx і 5хz є подібними членами, оскільки містять різні змінні.

2. Розкладання на множники.Це знаходження таких чисел, добуток яких призводить до вихідного числа. Будь-яке вихідне число може мати кілька множників. Наприклад, число 12 може бути розкладено на наступний ряд множників: 1 × 12, 2 × 6 і 3 × 4, тому можна сказати, що числа 1, 2, 3, 4, 6 і 12 є множниками числа 12. Множники збігаються з дільниками , тобто числами, куди ділиться вихідне число.

   • Наприклад, якщо ви хочете розкласти на множники число 20, запишіть так: 4×5.
   • Зауважте, що при розкладанні на множники змінна враховується. Наприклад, 20x = 4(5x).
   • Прості числа не можуть бути розкладені на множники, тому що вони поділяються лише на себе та на 1.

3. Запам'ятайте та дотримуйтесь порядку виконання операцій, щоб уникнути помилок.

   • Дужки
   • Ступінь
   • множення
   • Поділ
   • Додавання
   • Віднімання

   Приведення таких членів

   1. Запишіть вираз.Найпростіші вирази алгебри (які не містять дробів, коренів і так далі) можна вирішити (спростити) всього за кілька кроків.

      • Наприклад, спростіть вираз 1+2x - 3+4x.

   2. Визначте такі члени (члени зі змінною одного порядку, члени з однаковими змінними чи вільні члени).

      • Знайдіть подібні члени у цьому виразі. Члени 2x та 4x містять змінну одного порядку (першого). Крім того, 1 та -3 - це вільні члени (не містять змінну). Таким чином, у цьому вираженні члени 2х та 4xє подібними, і члени 1 та -3також є подібними.

   3. Наведіть таких членів.Це означає скласти або відняти їх і спростити вираз.

      • 2x + 4x = 6х
      • 1 - 3 = -2

   4. Перепишіть вираз із урахуванням наведених членів.Ви отримаєте простий вираз із меншою кількістю членів. Новий вираз дорівнює вихідному.

      • У прикладі: 1 + 2x - 3 + 4x = 6х - 2тобто вихідний вираз спрощено і з ним легше працювати.

   5. Дотримуйтесь порядку виконання операцій при наведенні таких членів.У нашому прикладі було легко навести таких членів. Однак у разі складних виразів, у яких члени поміщені в дужки та присутні дроби та коріння, навести подібні члени не так просто. У цих випадках дотримуйтесь порядку виконання операцій.

      • Наприклад, розглянемо вираз 5(3x – 1) + х((2x)/(2)) + 8 – 3x. Тут було б помилкою одразу визначити 3x та 2x як подібні члени та привести їх, бо спочатку необхідно розкрити дужки. Тому виконайте операції відповідно до їхнього порядку.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x – 5+x2+8 – 3x. Тепер, коли у виразі присутні лише операції складання та віднімання, ви можете навести подібні члени.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Винесення множника за дужки

   1. Знайдіть найбільший загальний дільник (НДД) всіх коефіцієнтів виразу.НОД - це найбільше число, яким діляться всі коефіцієнти висловлювання.

      • Наприклад, розглянемо рівняння 9x 2 + 27x - 3. І тут НОД=3, оскільки будь-який коефіцієнт даного виразу ділиться на 3.

   2. Розділіть кожен член виразу на НОД.Отримані члени міститимуть менші коефіцієнти, ніж у вихідному вираженні.

      • У прикладі розділіть кожен член висловлювання на 3.
        • 9x2/3 = 3x2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Вийшов вираз 3x 2 + 9x - 1. Воно не дорівнює вихідному виразу.

   3. Запишіть вихідний вираз як рівний добутку НОД на отриманий вираз.Тобто покладіть отриманий вираз у дужки, а за дужки винесіть НОД.

      • У прикладі: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Спрощення дрібних виразів за допомогою винесення множника за дужки.Навіщо просто виносити множник за дужки, як це було зроблено раніше? Потім, щоб навчитися спрощувати складні вирази, наприклад, дробові вирази. У цьому випадку винесення множника за дужки може допомогти позбавитися дробу (від знаменника).

      • Наприклад, розглянемо дрібний вираз (9x 2 + 27x - 3)/3. Скористайтеся винесенням множника за дужки, щоб спростити цей вираз.
        • Винесіть множник 3 за дужки (як ви це робили раніше): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Зверніть увагу, що тепер і в чисельнику, і в знаменнику є число 3. Його можна скоротити, і ви отримаєте вираз: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Так як будь-який дріб, у якого в знаменнику знаходиться число 1, дорівнює просто чисельнику, то вихідний вираз спрощується до: 3x 2 + 9x - 1.

   Додаткові методи спрощення

4. Розглянемо простий приклад: √(90). Число 90 можна розкласти на такі множники: 9 і 10, а з 9 витягти квадратний корінь (3) і винести 3 з-під кореня.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Спрощення виразів зі ступенями.У деяких виразах є операції множення або поділу членів зі ступенем. У разі множення членів з однією підставою їхнього ступеня складаються; у разі поділу членів з однією підставою їхнього ступеня віднімаються.

   • Наприклад, розглянемо вираз 6x3×8x4+ (x17/x15). У разі множення складіть ступеня, а у разі розподілу – відніміть їх.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 – 15)
     • 48x7+x2
   • Далі наведено пояснення правила множення та поділу членів зі ступенем.
     • Розмноження членів зі ступенями рівносильне множенню членів на себе. Наприклад, так як x 3 = x x x x x і x 5 = x x x x x x x x x x, то x 3 x x 5 = (x x x x x) x (x x x x x x x x x), або x8.
     • Аналогічно, розподіл членів зі ступенями рівносильний поділу членів на себе. x 5 /x 3 = (x x x x x x x x x)/(x x x x x x). Так як подібні члени, що перебувають і в чисельнику, і в знаменнику, можуть бути скорочені, то в чисельнику залишається твір двох «х», або x2.

• Завжди пам'ятайте про знаки (плюс або мінус), що стоять перед членами виразу, оскільки багато хто відчуває труднощі з вибором правильного знака.
• Попросіть допомоги, якщо це необхідно!
• Спрощувати вирази алгебри нелегко, але якщо ви наб'єте руку, ви зможете використовувати цю навичку все життя.

За допомогою будь-якої мови можна висловити одну й ту саму інформацію різними словами та зворотами. Не є винятком і математична мова. Але те саме вираз можна еквівалентним чином записати по-різному. І в деяких ситуаціях один із записів є більш простим. Про спрощення висловлювань ми й поговоримо на цьому уроці.

Люди спілкуються різними мовами. Для нас важливим порівнянням є пара «російська - математична мова». Одну й ту саму інформацію можна повідомити різними мовами. Але, крім цього, її можна і однією мовою вимовити по-різному.

Наприклад: «Петя товаришує з Васею», «Вася товаришує з Петею», «Петя з Васею друзі». Сказано по-різному, але те саме. За будь-якою з цих фраз ми зрозуміли б, про що йдеться.

Давайте подивимося таку фразу: «Хлопчик Петя і хлопчик Вася дружать». Ми зрозуміли, про що йдеться. Проте нам не подобається, як звучить ця фраза. Чи не можемо ми її спростити, сказати те саме, але простіше? «Хлопчик і хлопчик» - можна один раз сказати: «Хлопчики Петя і Вася дружать».

Хлопчики ... Хіба за іменами не зрозуміло, що вони не дівчатка. Прибираємо «хлопчики»: «Петя та Вася дружать». А слово «дружать» можна замінити на «друзі»: «Петя та Вася – друзі». У результаті першу, довгу негарну фразу замінили еквівалентним висловлюванням, яке простіше сказати та простіше зрозуміти. Ми спростили цю фразу. Спростити - означає сказати простіше, але не втратити, не спотворити сенс.

У математичній мові відбувається приблизно те саме. Одне й те саме можна сказати, записати по-різному. Що означає спростити вираз? Це означає, що з вихідного висловлювання існує безліч еквівалентних виразів, тобто тих, що означають те саме. І з усієї цієї множини ми повинні вибрати найпростіше, на наш погляд, чи найпридатніше для наших подальших цілей.

Наприклад, розглянемо числове вираз . Йому еквівалентне буде.

Також буде еквівалентно першим двом: .

Виходить, що ми спростили наші вирази і знайшли найкоротший еквівалентний вираз.

Для числових виразів завжди потрібно виконувати всі дії та отримувати еквівалентний вираз у вигляді одного числа.

Розглянемо приклад літерного виразу . Очевидно, що простіше буде.

У разі спрощення буквених виразів необхідно виконати всі дії, які можливі.

Чи завжди потрібно спрощувати вираз? Ні, іноді нам зручніше буде еквівалентний, але довший запис.

приклад: від числа потрібно відібрати число .

Обчислити можна, але якби перше число було представлено своїм еквівалентним записом: , то обчислення були миттєвими: .

Тобто спрощене вираження не завжди нам вигідне для подальших обчислень.

Проте дуже часто ми стикаємося із завданням, яке так і звучить «спростити вираз».

Спростити вираз: .

Рішення

1) Виконаємо дії у перших та у других дужках: .

2) Обчислимо твори: .

Очевидно, останній вираз має простіший вигляд, ніж початковий. Ми його спростили.

Щоб спростити вираз, його необхідно замінити на еквівалентне (рівне).

Для визначення еквівалентного виразу необхідно:

1) виконати всі можливі дії,

2) користуватися властивостями додавання, віднімання, множення та поділу для спрощення обчислень.

Властивості додавання та віднімання:

1. Переміщувальна властивість додавання: від перестановки доданків сума не змінюється.

2. Поєднувальна властивість додавання: щоб до суми двох чисел додати третє число, можна до першого числа додати суму другого та третього числа.

3. Властивість віднімання суми з числа: щоб відняти суму з числа, можна віднімати кожен доданок окремо.

Властивості множення та поділу

1. Переміщувальна властивість множення: від перестановки множників твір не змінюється.

2. Сполучна властивість: щоб помножити число на добуток двох чисел, можна спочатку помножити його на перший множник, а потім отриманий добуток помножити на другий множник.

3. Розподільча властивість множення: щоб число помножити на суму, потрібно його помножити на кожен доданок окремо.

Подивимося, як ми насправді робимо обчислення в умі.

Обчисліть:

Рішення

1) Уявимо як

2) Представимо перший множник як суму розрядних доданків та виконаємо множення:

3) можна уявити як і виконати множення:

4) Замінимо перший множник еквівалентною сумою:

Розподільний закон можна використовувати і у зворотний бік: .

Виконайте дії:

1) 2)

Рішення

1) Для зручності можна скористатися розподільчим законом, тільки використовувати його у зворотний бік – винести загальний множник за дужки.

2) Винесемо за дужки загальний множник

Необхідно купити лінолеум на кухню та передпокій. Площа кухні - , вітальні - . Є три види лінолеумів: по , і за . Скільки коштуватиме кожен із трьох видів лінолеуму? (Мал. 1)

Рис. 1. Ілюстрація до умови завдання

Рішення

Спосіб 1. Можна окремо знайти, скільки грошей потрібно на купівлю лінолеуму на кухню, а потім у передпокій та отримані твори скласти.