Як спростити підкорене вираз. Формули коріння

Підкорене вираз – це вираз алгебри, який знаходиться під знаком кореня (квадратного, кубічного або вищого порядку). Іноді значення різних виразів можуть бути однаковими, наприклад, 1/(√2 - 1) = √2 + 1. Спрощення підкореного виразу покликане призвести до деякої канонічної форми запису. Якщо два вирази, записані в канонічній формі, як і різні, їх значення не рівні. У математиці вважається, що канонічна форма запису підкорених виразів (а також виразів з корінням) відповідає наступним правилам:

• Якщо можна, позбавтеся дробу під знаком кореня
• Позбавтеся виразу з дробовим показником
• Якщо можна, позбавтеся коріння в знаменнику
• Позбавтеся операції множення кореня на корінь
• Під знаком кореня потрібно залишити лише ті члени, з яких не можна вилучити цілісний корінь

Ці правила можна застосувати до виконання тестових завдань. Наприклад, якщо ви вирішили завдання, але результат не збігається з жодною з наведених відповідей, запишіть результат у канонічній формі. Майте на увазі, що відповіді до тестових завдань даються в канонічній формі, тому якщо записати результат у тій самій формі, ви легко визначите правильну відповідь. Якщо завдання «спростити відповідь» чи «спростити підкорені висловлювання», необхідно записати результат у канонічній формі. Більше того, канонічна форма спрощує вирішення рівнянь, хоча з деякими рівняннями легше впоратися, якщо на якийсь час забути про канонічну форму запису.

Кроки

Звільнення від повних квадратів та повних кубів

Позбавлення виразу з дробовим показником

Перетворіть вираз із дробовим показником у підкорене вираз. Або, якщо потрібно, перетворіть підкорене вираз у вираз із дробовим показником, але ніколи не змішуйте такі вирази в одному рівнянні, наприклад: √5 + 5^(3/2). Припустимо, ви вирішили працювати з корінням; квадратний корінь із n будемо позначати як √n, а кубічний корінь із n як куб√n.

Звільнення від дробів під знаком кореня

Згідно з канонічною формою запису корінь із дробу потрібно подати у вигляді поділу коренів із цілих чисел.

Подивіться на підкорене вираз.Якщо воно є дріб, перейдіть до наступного кроку.

Замініть корінь із дробу відношенням двох коренів відповідно до наступної тотожності:√(a/b) = √a/√b.

• Не користуйтеся цією тотожністю, якщо знаменник негативний або включає змінну, яка може бути негативною. У цьому випадку спочатку спростіть дріб.

1. Спростіть повні квадрати (якщо вони є).Наприклад, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

Позбавлення операції множення коренів

Позбавлення від множників, які є повними квадратами

Розкладіть підкорене число на множники.Численні – це деякі числа, при перемноженні яких виходить вихідне число. Наприклад, 5 і 4 є двома множниками числа 20. Якщо з підкореного числа не можна витягти цілий корінь, розкладіть таке число на можливі множники і знайдіть серед них повний квадрат.

• Наприклад, запишіть усі множники числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 є множником 45 (9 х 5 = 45) та повним квадратом (9 = 3^2).

1. Винесіть за знак кореня множник, що є повним квадратом. 9 являє собою повний квадрат, тому що 3 х 3 = 9. Позбавтеся 9 під знаком кореня і запишіть 3 перед знаком кореня; під знаком кореня залишиться 5. Якщо ви внесете число 3 під знак кореня, воно буде помножено на себе і число 5, тобто 3 х 3 х 5 = 9 х 5 = 45. Таким чином, 3√ 5 – це спрощена форма запису √45.

   • √45 = √(9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

2. Знайдіть повний квадрат у підкореному вираженні зі змінною.Запам'ятайте: √(a^2) = |а|. Такий вираз можна спростити до «а», але якщо змінна приймає позитивні значення. √(a^3) можна розкласти на √а * √(а^2), бо за перемноженні однакових змінних їх показники складаються (а * а^2 = а^3).

   • Отже, у вираженні а^3 повним квадратом є а^2.

3. Винесіть за знак кореня змінну, яка є повним квадратом.Позбавтеся a^2 під знаком кореня і запишіть «а» перед знаком кореня. Отже, √(а^3) = а√а.

   Наведіть таких членів і спростіть будь-які раціональні висловлювання.

Звільнення від коренів у знаменнику (раціоналізація знаменника)

1. Згідно з канонічною формою знаменник, якщо можливо, повинен включати лише цілі числа (або багаточлен у разі присутності змінної).

   • Якщо знаменник є одночленом під знаком кореня, наприклад, [числитель]/√5, помножте чисельник і знаменник на цей корінь: ([числитель] * √5)/(√5 * √5) = ([числитель] * √5) )/5.
     • У разі кубічного кореня або кореня більшою мірою помножте чисельник і знаменник на корінь з підкореним виразом у відповідному ступені, щоб раціоналізувати знаменник. Якщо, наприклад, у знаменнику знаходиться куб√5, помножте чисельник та знаменник на куб√(5^2).
   • Якщо знаменник є виразом у вигляді суми або різниці квадратного коріння, таких як √2 + √6, помножте чисельник і знаменник на сполучене вираз, тобто вираз зі зворотним знаком між його членами. Наприклад: [числитель]/(√2 + √6) = ([числитель] * (√2 - √6))/((√2 + √6) * (√2 - √6)). Потім за допомогою формули різниці квадратів ((а + b)(а - b) = а^2 - b^2) раціоналізуйте знаменник: (√2 + √6)(√2 - √6) = (√2)^2 - (√6) ^ 2 = 2 - 6 = -4.
     • Формулу різниці квадратів можна застосовувати до виразу виду 5 + √3, тому що будь-яке ціле число є квадратним коренем з іншого цілого числа. Наприклад: 1/(5 + √3) = (5 - √3)/((5 + √3)(5 - √3)) = (5 - √3)/(5^2 - (√3)^ 2) = (5 - √3)/(25 - 3) = (5 - √3)/22
     • Цей метод можна застосовувати до суми квадратного коріння, таких як √5 - √6 + √7. Якщо згрупувати цей вираз у вигляді (√5 - √6) + √7 і помножити його на (√5 - √6) - √7, ви не позбавитеся коріння, а отримаєте вираз виду а + b * √30, де « а» та «b» – одночлени без кореня. Потім отриманий вираз можна помножити на сполучене: (а + b * √30)(а - b * √30), щоб позбутися коріння. Тобто якщо сполученим виразом можна скористатися один раз, щоб позбавитися деякої кількості коренів, то ним можна користуватися скільки завгодно раз, щоб позбутися всіх коренів.
     • Цей метод також застосовується до коренів вищих ступенів, наприклад, до виразу «корінь 4-го ступеня з 3 плюс корінь 7-го ступеня з 9». У цьому випадку помножте чисельник і знаменник на вираз, пов'язаний з виразом у знаменнику. Але тут сполучене вираз буде трохи іншим порівняно з тими, що описані вище. Про цей випадок можна почитати у підручниках з алгебри.
2. До деяких простих завдань описані методи не можна застосувати. У деяких складних завдань ці методи потрібно застосувати більше одного разу. Крок за кроком спрощуйте отримані вирази, а потім перевірте, чи записана остаточна відповідь у канонічній формі, критерії якої наведені на початку цієї статті. Якщо відповідь представлена ​​у канонічній формі, завдання вирішено; інакше ще раз скористайтеся одним із описаних методів.
3. Як правило, канонічна форма запису поширюється і комплексні числа (i = √(-1)). Навіть якщо комплексне число записане у вигляді i, а не кореня, краще позбавитися i в знаменнику.
4. Деякі з описаних тут методів мають на увазі роботу з квадратним корінням. Загальні принципи однакові для кубічних коренів чи коренів вищих ступенів, але досить складно застосувати деякі методи (зокрема, метод раціоналізації знаменника). Більше того, поцікавтеся у викладача про правильний запис коріння (куб√4 або куб√(2^2)).
5. У деяких розділах цієї статті поняття "канонічна форма" використовується не зовсім вірно; насправді ми маємо говорити про «стандартну форму» запису. Різниця полягає в тому, що канонічна форма вимагає записувати або 1+√2, або √2+1; стандартна форма має на увазі, що обидва вирази (1 + √2 і √2 +1) безперечно рівні, навіть якщо записані по-різному. Тут під «безперечно» маю на увазі арифметичні (складання комутативно), а не алгебраїчні властивості (√2 є невід'ємним коренем з х2-2).
6. Якщо описані методи здаються неоднозначними або суперечать один одному, виконайте послідовні та однозначні математичні дії, а відповідь запишіть так, як викладач вимагає або як прийнято в підручнику.

На початку уроку ми повторимо основні властивості квадратного коріння, а потім розглянемо кілька складних прикладів на спрощення виразів, що містять квадратне коріння.

Тема:Функція. Властивості квадратного кореня

Урок:Перетворення та спрощення складніших виразів з корінням

1. Повторення властивостей квадратного коріння

Коротко повторимо теорію і нагадаємо основні властивості квадратного коріння.

Властивості квадратного коріння:

1. , отже, ;

3. ;

4. .

2. Приклади на спрощення виразів із корінням

Перейдемо до прикладів використання цих властивостей.

Приклад 1. Спростити вираз .

Рішення. Для спрощення число 120 необхідно розкласти на прості множники:

Квадрат суми розкриємо за відповідною формулою:

Приклад 2. Спростити вираз .

Рішення. Врахуємо, що даний вираз має сенс не при всіх можливих значеннях змінної, тому що в даному виразі присутні квадратне коріння і дроби, що призводить до звуження області допустимих значень. ОДЗ: ().

Наведемо вираз у дужках до спільного знаменника і розпишемо чисельник останнього дробу як різницю квадратів:

Відповідь. при.

Приклад 3. Спростити вираз .

Рішення. Видно, що друга дужка чисельника має незручний вигляд і потребує спрощення, спробуємо розкласти її на множники за допомогою методу угруповання.

Для можливості виносити загальний множник ми спростили коріння шляхом їхнього розкладання на множники. Підставимо отриманий вираз у вихідний дріб:

Після скорочення дробу застосовуємо формулу різниці квадратів.

3. Приклад на порятунок від ірраціональності

Приклад 4. Звільнитися від ірраціональності (коренів) у знаменнику: а); б).

Рішення. а) Для того щоб позбавитися ірраціональності в знаменнику, застосовується стандартний метод домноження і чисельника і знаменника дробу на пов'язаний до знаменника множник (таке ж вираз, але зі зворотним знаком). Це робиться для доповнення знаменника дробу до різниці квадратів, що дозволяє позбавитися коріння в знаменнику. Виконаємо цей прийом у нашому випадку:

б) виконаємо аналогічні дії:

4. Приклад на доказ і виділення повного квадрата в складному радикалі

Приклад 5. Доведіть рівність .

Доведення. Скористаємося визначенням квадратного кореня, з якого випливає, що квадрат правого виразу має дорівнювати підкореному виразу:

. Розкриємо дужки за формулою квадрата суми:

, Здобули правильну рівність.

Доведено.

Приклад 6. Спростити вираз.

Рішення. Зазначений вираз прийнято називати складним радикалом (корінь під коренем). У цьому прикладі необхідно здогадатися виділити повний квадрат із підкореного виразу. Для цього зауважимо, що з двох доданків є претендентом на роль подвоєного твору у формулі квадрата різниці (різниці, тому що є мінус). Розпишемо його у вигляді такого твору: , тоді роль одного з доданків повного квадрата претендує , але в роль другого - 1.

Підставимо цей вислів під корінь.

Мета спрощення квадратного кореня – це переписати його у такій формі, яку простіше використовувати у обчисленнях. Розкладання числа на множники - це знаходження двох або декількох чисел, які при перемноженні дадуть вихідне число, наприклад, 3 х 3 = 9. Знайшовши множники, ви зможете спростити квадратний корінь або взагалі позбутися його. Наприклад, √9 = √(3x3) = 3.

Якщо підкорене число парне, розділіть його на 2.Якщо підкорене число непарне, спробуйте розділити його на 3 (якщо число на 3 не ділиться, діліть його на 5, 7 тощо за списком простих чисел). Поділіть підкорене число виключно на прості числа, оскільки будь-яке число можна розкласти на прості множники. Наприклад, вам не потрібно ділити підкорене число на 4, тому що 4 ділиться на 2, а ви вже поділили підкорене число на 2.

Перепишіть завдання як корінь із добутку двох чисел.Наприклад, спростимо √98: 98 ÷ 2 = 49, тому 98 = 2 x 49. Перепишіть завдання так: √98 = √(2 x 49).

Продовжуємо вивчення теми « вирішення рівнянь». Ми вже познайомилися з лінійними рівняннями та переходимо до знайомства з квадратними рівняннями.

Спочатку ми розберемо, що таке квадратне рівняння, як воно записується у загальному вигляді, і дамо пов'язані визначення. Після цього на прикладах докладно розберемо, як вирішуються неповні квадратні рівняння. Далі перейдемо до розв'язання повних рівнянь, отримаємо формулу коренів, познайомимося з дискримінантом квадратного рівняння та розглянемо розв'язання характерних прикладів. Нарешті, простежимо зв'язок між корінням і коефіцієнтами.

Навігація на сторінці.

Що таке квадратне рівняння? Їхні види

Спочатку треба чітко розуміти, що таке квадратне рівняння. Тому розмову про квадратні рівняння логічно розпочати з визначення квадратного рівняння, а також пов'язаних із ним визначень. Після цього можна розглянути основні види квадратних рівнянь: наведені та ненаведені, а також повні та неповні рівняння.

Визначення та приклади квадратних рівнянь

Визначення.

Квадратне рівняння– це рівняння виду a x 2 + b x + c = 0, де x - змінна, a, b і c - деякі числа, причому a відмінно від нуля.

Відразу скажемо, що квадратні рівняння часто називають рівняннями другого ступеня. Це пов'язано з тим, що квадратне рівняння є алгебраїчним рівняннямдругого ступеня.

Озвучене визначення дозволяє навести приклади квадратних рівнянь. Так 2 x 2 +6 x 1 = 0, 0,2 x 2 +2,5 x +0,03 = 0 і т.п. - Це квадратні рівняння.

Визначення.

Числа a, b і c називають коефіцієнтами квадратного рівняння a x 2 +b x + c = 0 , причому коефіцієнт a називають першим, або старшим, або коефіцієнтом при x 2 b - другим коефіцієнтом, або коефіцієнтом при x , а c - вільним членом.

Наприклад візьмемо квадратне рівняння виду 5·x 2 −2·x−3=0 тут старший коефіцієнт є 5 , другий коефіцієнт дорівнює −2 , а вільний член дорівнює −3 . Зверніть увагу, коли коефіцієнти b та/або c негативні, як у щойно наведеному прикладі, використовується коротка форма запису квадратного рівняння виду 5·x 2 −2·x−3=0 , а не 5·x 2 +(−2 ) · x + (-3) = 0 .

Варто зазначити, що коли коефіцієнти a та/або b дорівнюють 1 або −1 , то вони в записі квадратного рівняння зазвичай не присутні явно, що пов'язано з особливостями запису таких . Наприклад, у квадратному рівнянні y 2 −y+3=0 старший коефіцієнт є одиниця, а коефіцієнт при y дорівнює −1 .

Наведені та ненаведені квадратні рівняння

Залежно від значення старшого коефіцієнта розрізняють наведені та ненаведені квадратні рівняння. Дамо відповідні визначення.

Визначення.

Квадратне рівняння, в якому старший коефіцієнт дорівнює 1 називають наведеним квадратним рівнянням. В іншому випадку квадратне рівняння є ненаведеним.

Згідно з цим визначенням, квадратні рівняння x 2 −3·x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 тощо. – наведені, у кожному їх перший коефіцієнт дорівнює одиниці. А 5·x 2 −x−1=0 і т.п. - Ненаведені квадратні рівняння, їх старші коефіцієнти відмінні від 1 .

Від будь-якого ненаведеного квадратного рівняння за допомогою поділу обох частин на старший коефіцієнт можна перейти до наведеного. Ця дія є рівносильним перетворенням , тобто отримане таким способом наведене квадратне рівняння має те ж коріння, що і вихідне ненаведене квадратне рівняння, або так само як воно, не має коренів.

Розберемо з прикладу, як виконується перехід від ненаведеного квадратного рівняння до наведеного.

приклад.

Від рівняння 3 x 2 +12 x 7 = 0 перейдіть до відповідного наведеного квадратного рівняння.

Рішення.

Нам достатньо виконати розподіл обох частин вихідного рівняння на старший коефіцієнт 3 він відрізняється від нуля, тому ми можемо виконати цю дію. Маємо (3·x 2 +12·x−7):3=0:3 , що те саме, (3·x 2):3+(12·x):3−7:3=0 , і далі (3:3) · x 2 + (12:3) · x-7: 3 = 0, звідки. Так ми отримали наведене квадратне рівняння, рівносильне вихідному.

Відповідь:

Повні та неповні квадратні рівняння

У визначенні квадратного рівняння є умова a≠0 . Ця умова потрібна для того, щоб рівняння a x 2 + b x + c = 0 було саме квадратним, так як при a = 0 воно фактично стає лінійним рівнянням виду b x + c = 0 .

Що стосується коефіцієнтів b і c, то вони можуть дорівнювати нулю, причому як окремо, так і разом. У таких випадках квадратне рівняння називають неповним.

Визначення.

Квадратне рівняння a x 2 + b x + c = 0 називають неповнимякщо хоча б один з коефіцієнтів b , c дорівнює нулю.

В свою чергу

Визначення.

Повне квадратне рівняння- Це рівняння, у якого всі коефіцієнти відмінні від нуля.

Такі назви дано не випадково. З наступних міркувань це стане зрозумілим.

Якщо коефіцієнт b дорівнює нулю, то квадратне рівняння набуває вигляду a x 2 +0 x + c = 0 і воно рівносильне рівнянню a x 2 + c = 0 . Якщо c = 0, тобто, квадратне рівняння має вигляд a x 2 + b x + 0 = 0, то його можна переписати як a x 2 + b x = 0 . А при b = 0 і c = 0 ми отримаємо квадратне рівняння a x 2 = 0 . Отримані рівняння відрізняються від повного квадратного рівняння тим, що їх ліві частини не містять або доданку зі змінною x, або вільного члена, або того й іншого. Звідси та його назва – неповні квадратні рівняння.

Так рівняння x 2 +x+1=0 і −2·x 2 −5·x+0,2=0 – це приклади повних квадратних рівнянь, а x 2 =0 , −2·x 2 =0 , 5·x 2 +3=0 , −x 2 −5·x=0 – це неповні квадратні рівняння.

Розв'язання неповних квадратних рівнянь

З інформації попереднього пункту випливає, що існує три види неповних квадратних рівнянь:

• a x 2 = 0, йому відповідають коефіцієнти b = 0 і c = 0;
• a x 2 + c = 0, коли b = 0;
• і a x 2 + b x = 0 , коли c = 0 .

Розберемо по порядку, як вирішуються неповні квадратні рівняння кожного з цих видів.

a x 2 = 0

Почнемо з розв'язання неповних квадратних рівнянь, у яких коефіцієнти b і c дорівнюють нулю, тобто з рівнянь виду a x 2 =0 . Рівнянню a x 2 = 0 рівносильне рівняння x 2 = 0, яке виходить з вихідного розподілом його обох частин на відмінне від нуля число a. Вочевидь, коренем рівняння x 2 =0 є нуль, оскільки 0 2 =0 . Іншого коріння це рівняння немає, що пояснюється , дійсно, для будь-якого відмінного від нуля числа p має місце нерівність p 2 >0 , звідки випливає, що при p≠0 рівність p 2 =0 ніколи не досягається.

Отже, неповне квадратне рівняння a x 2 = 0 має єдиний корінь x = 0 .

Як приклад наведемо розв'язок неповного квадратного рівняння −4·x 2 =0 . Йому рівносильне рівняння x 2 =0 його єдиним коренем є x=0 , отже, і вихідне рівняння має єдиний корінь нуль.

Коротке рішення в цьому випадку можна оформити так:
−4·x 2 =0 ,
x 2 = 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Тепер розглянемо, як розв'язуються неповні квадратні рівняння, в яких коефіцієнт b дорівнює нулю, а c 0 , тобто рівняння виду a x 2 + c = 0 . Ми знаємо, що перенесення доданку з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, а також розподіл обох частин рівняння на відмінне від нуля число дають рівносильне рівняння. Тому можна провести наступні рівносильні перетворення неповного квадратного рівняння a x 2 + c = 0 :

• перенести c у праву частину, що дає рівняння a x 2 = -c ,
• і розділити обидві його частини на a, отримуємо.

Отримане рівняння дозволяє зробити висновки про його коріння. Залежно від значень a і c значення виразу може бути негативним (наприклад, якщо a=1 і c=2 , то ) або позитивним, (наприклад, якщо a=−2 і c=6 , то ), воно не дорівнює нулю , оскільки за умовою c≠0. Окремо розберемо випадки та .

Якщо , то рівняння немає коріння. Це твердження випливає з того, що квадрат будь-якого числа є невід'ємним числом. З цього випливає, що коли , то ні для якого числа p рівність не може бути вірною.

Якщо , то справа з корінням рівняння йде інакше. У цьому випадку, якщо згадати про , то відразу стає очевидним корінь рівняння , ним є число , оскільки . Неважко здогадатися, як і число теж є коренем рівняння , дійсно, . Іншого коріння це рівняння не має, що можна показати, наприклад, методом від протилежного. Зробимо це.

Позначимо щойно озвучені коріння рівняння як x 1 і −x 1 . Припустимо, що рівняння має ще один корінь x 2 відмінний від зазначених коренів x 1 і −x 1 . Відомо, що підстановка рівняння замість x його коренів звертає рівняння вірну числову рівність . Для x 1 і −x 1 маємо, а для x 2 маємо. Властивості числових рівностей нам дозволяють виконувати почленное віднімання вірних числових рівностей, так віднімання відповідних частин рівностей і дає x 1 2 −x 2 2 =0 . Властивості дій з числами дозволяють переписати отриману рівність як (x 1 -x 2) · (x 1 + x 2) = 0 . Ми знаємо, що добуток двох чисел дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б одне з них дорівнює нулю. Отже, з отриманої рівності випливає, що x 1 −x 2 =0 та/або x 1 +x 2 =0 , що те саме, x 2 =x 1 та/або x 2 =−x 1 . Так ми дійшли протиріччя, оскільки спочатку сказали, що корінь рівняння x 2 відмінний від x 1 і −x 1 . Цим доведено, що рівняння не має іншого коріння, окрім і .

Узагальним інформацію цього пункту. Неповне квадратне рівняння a x 2 +c=0 рівносильне рівнянню , яке

• не має коріння, якщо ,
• має два корені і, якщо.

Розглянемо приклади розв'язання неповних квадратних рівнянь виду a x 2 + c = 0 .

Почнемо з квадратного рівняння 9 x 2 +7 = 0 . Після перенесення вільного члена в праву частину рівняння, воно набуде вигляду 9·x 2 =−7 . Розділивши обидві частини отриманого рівняння на 9, прийдемо до. Так як у правій частині вийшло негативне число, то це рівняння не має коріння, отже, і вихідне неповне квадратне рівняння 9 x 2 +7 = 0 не має коренів.

Розв'яжемо ще одне неповне квадратне рівняння −x 2 +9=0 . Переносимо дев'ятку до правої частини: −x 2 =−9 . Тепер ділимо обидві частини на −1, отримуємо х 2 =9. У правій частині є позитивне число, звідки укладаємо, що або . Після цього записуємо остаточну відповідь: неповне квадратне рівняння −x 2 +9=0 має два корені x=3 або x=−3 .

a x 2 + b x = 0

Залишилося розібратися з рішенням останнього виду неповних квадратних рівнянь при c=0. Неповні квадратні рівняння виду a x 2 + b x = 0 дозволяє вирішити метод розкладання на множники. Очевидно, ми можемо , що знаходиться в лівій частині рівняння, для чого достатньо винести за дужки загальний множник x . Це дозволяє перейти від вихідного неповного квадратного рівняння до рівносильного рівняння виду x · (a x + b) = 0 . І це рівняння рівносильно сукупності двох рівнянь x=0 і a·x+b=0 , останнє є лінійним і має корінь x=−b/a .

Отже, неповне квадратне рівняння a x 2 + b x = 0 має два корені x = 0 і x = - b / a .

Для закріплення матеріалу розберемо рішення конкретного прикладу.

приклад.

Розв'яжіть рівняння.

Рішення.

Виносимо x за дужки, це дає рівняння. Воно рівносильне двом рівнянням x = 0 і . Вирішуємо отримане лінійне рівняння: , Виконавши поділ змішаного числа на звичайну дріб, знаходимо . Отже, корінням вихідного рівняння є x = 0 і .

Після отримання необхідної практики рішення таких рівнянь можна записувати коротко:

Відповідь:

x = 0 .

Дискримінант, формула коренів квадратного рівняння

Для розв'язання квадратних рівнянь існує формула коренів. Запишемо формулу коренів квадратного рівняння: , де D=b 2 −4·a·c- так званий дискримінант квадратного рівняння. Запис по суті означає, що .

Корисно знати, як було отримано формула коренів, і як вона застосовується під час знаходження коренів квадратних рівнянь. Розберемося із цим.

Висновок формули коріння квадратного рівняння

Нехай нам потрібно вирішити квадратне рівняння a x 2 + b x + c = 0 . Виконаємо деякі рівносильні перетворення:

• Обидві частини цього рівняння ми можемо розділити на відмінне від нуля число a, в результаті отримаємо квадратне рівняння.
• Тепер виділимо повний квадрату його лівій частині: . Після цього рівняння набуде вигляду.
• На цьому етапі можна здійснити перенесення двох останніх доданків у праву частину із протилежним знаком, маємо .
• І ще перетворимо вираз, що опинилося у правій частині: .

У результаті ми приходимо до рівняння, яке рівносильне вихідному квадратному рівнянню a x 2 + b x + c = 0 .

Аналогічні за формою рівняння ми вирішували в попередніх пунктах, коли розбирали . Це дозволяє зробити такі висновки, що стосуються коренів рівняння:

• якщо , то рівняння немає дійсних рішень;
• якщо , то рівняння має вигляд , отже , звідки видно його єдиний корінь ;
• якщо , те чи , що те саме чи , тобто, рівняння має два корені.

Отже, наявність чи відсутність коренів рівняння , отже, і вихідного квадратного рівняння, залежить від знака виразу , що стоїть правої частини. У свою чергу знак цього виразу визначається знаком чисельника, оскільки знаменник 4·a 2 завжди позитивний, тобто, знаком виразу b 2 −4·a·c . Цей вираз b 2 −4·a·c назвали дискримінантом квадратного рівнянняі позначили буквою D. Звідси зрозуміла суть дискримінанта - за його значенням і знаком роблять висновок, чи має квадратне рівняння дійсне коріння, і якщо має, то яке їх кількість - один або два.

Повертаємося до рівняння , перепишемо з використанням позначення дискримінанта: . І робимо висновки:

• якщо D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• якщо D=0 , це рівняння має єдиний корінь ;
• нарешті, якщо D>0 , то рівняння має два корені або , які можна переписати у вигляді або , а після розкриття і приведення дробів до спільного знаменника отримуємо .

Так ми вивели формули коренів квадратного рівняння, вони мають вигляд де дискримінант D обчислюється за формулою D=b 2 −4·a·c .

З їх допомогою при позитивному дискримінанті можна обчислити обидва дійсні корені квадратного рівняння. При рівному нулю дискримінанті обидві формули дають те саме значення кореня, що відповідає єдиному рішенню квадратного рівняння. А при негативному дискримінанті при спробі скористатися формулою коренів квадратного рівняння ми стикаємося із вилученням квадратного кореня з негативного числа, що виводить нас за рамки та шкільні програми. При негативному дискримінанті квадратне рівняння не має дійсних коренів, але має пару комплексно пов'язанихкоренів, які можна знайти за тими самими отриманими нами формулами коренів .

Алгоритм розв'язання квадратних рівнянь за формулами коренів

Насправді при розв'язанні квадратних рівняння можна одночасно використовувати формулу коренів, з допомогою якої обчислити їх значення. Але це більше ставиться до знаходження комплексного коріння.

Однак у шкільному курсі алгебри зазвичай йдеться не про комплексне, а про дійсне коріння квадратного рівняння. У цьому випадку доцільно перед використанням формул коренів квадратного рівняння попередньо знайти дискримінант, переконатися, що він невід'ємний (інакше можна робити висновок, що рівняння не має дійсних коренів), і вже після цього обчислювати значення коренів.

Наведені міркування дозволяють записати алгоритм розв'язання квадратного рівняння. Щоб розв'язати квадратне рівняння a x 2 + b x + c = 0, треба:

• за формулою дискримінанта D=b 2 −4·a·c обчислити його значення;
• зробити висновок, що квадратне рівняння не має дійсних коренів, якщо дискримінант негативний;
• обчислити єдиний корінь рівняння за такою формулою , якщо D=0 ;
• знайти два дійсних кореня квадратного рівняння за формулою коренів, якщо дискримінант позитивний.

Тут лише зауважимо, що з рівному нулю дискримінанту можна використовувати формулу , вона дасть те значення, як і .

Можна переходити до прикладів застосування алгоритму розв'язання квадратних рівнянь.

Приклади розв'язання квадратних рівнянь

Розглянемо розв'язки трьох квадратних рівнянь із позитивним, негативним та рівним нулю дискримінантом. Розібравшись з їх розв'язанням, за аналогією можна буде вирішити будь-яке інше квадратне рівняння. Почнемо.

приклад.

Знайдіть корені рівняння x 2 +2·x−6=0.

Рішення.

І тут маємо такі коефіцієнти квадратного рівняння: a=1 , b=2 і c=−6 . Відповідно до алгоритму, спочатку треба обчислити дискримінант, для цього підставляємо зазначені a, b і c у формулу дискримінанта, маємо D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Так як 28>0, тобто, дискримінант більше нуля, то квадратне рівняння має два дійсні корені. Знайдемо їх за формулою коренів, отримуємо, тут можна спростити отримані вирази, виконавши винесення множника за знак кореняз подальшим скороченням дробу:

Відповідь:

Переходимо до такого характерного прикладу.

приклад.

Розв'яжіть квадратне рівняння −4·x 2 +28·x−49=0 .

Рішення.

Починаємо з знаходження дискримінанта: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Отже, це квадратне рівняння має єдиний корінь, який знаходимо як , тобто,

Відповідь:

x = 3,5.

Залишається розглянути розв'язання квадратних рівнянь із негативним дискримінантом.

приклад.

Розв'яжіть рівняння 5·y 2 +6·y+2=0 .

Рішення.

Тут такі коефіцієнти квадратного рівняння: a = 5, b = 6 і c = 2. Підставляємо ці значення у формулу дискримінанта, маємо D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Дискримінант негативний, отже, дане квадратне рівняння немає дійсних коренів.

Якщо ж потрібно вказати комплексне коріння, то застосовуємо відому формулу коренів квадратного рівняння і виконуємо дії з комплексними числами:

Відповідь:

дійсних коренів немає, комплексні коріння такі: .

Ще раз відзначимо, що якщо дискримінант квадратного рівняння негативний, то в школі зазвичай відразу записують відповідь, в якій вказують, що дійсних коренів немає, і не знаходять комплексного коріння.

Формула коренів для парних других коефіцієнтів

Формула коренів квадратного рівняння , де D=b 2 −4·a·c дозволяє отримати формулу більш компактного виду, що дозволяє вирішувати квадратні рівняння з парним коефіцієнтом при x (або просто з коефіцієнтом, що має вигляд 2·n , наприклад , або 14· ln5 = 2 · 7 · ln5). Виведемо її.

Допустимо нам потрібно вирішити квадратне рівняння виду a x 2 +2 x x c = 0 . Знайдемо його коріння з використанням відомої формули. Для цього обчислюємо дискримінант D=(2·n) 2 −4·a·c=4·n 2 −4·a·c=4·(n 2 −a·c), і далі використовуємо формулу коренів:

Позначимо вираз n 2 −a·c як D 1 (іноді його позначають D" ). Тоді формула коренів аналізованого квадратного рівняння з другим коефіцієнтом 2·n набуде вигляду де D 1 =n 2 −a·c .

Нескладно помітити, що D=4·D 1 або D 1 =D/4 . Іншими словами, D1 – це четверта частина дискримінанта. Зрозуміло, що знак D 1 такий самий, як знак D . Тобто знак D 1 також є індикатором наявності або відсутності коренів квадратного рівняння.

Отже, щоб розв'язати квадратне рівняння з другим коефіцієнтом 2n, треба

• Обчислити D 1 =n 2 −a·c;
• Якщо D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Якщо D 1 =0, то обчислити єдиний корінь рівняння за формулою;
• Якщо ж D 1 >0, то знайти два дійсних кореня за формулою.

Розглянемо рішення прикладу з використанням отриманої у цьому пункті формули коренів.

приклад.

Розв'яжіть квадратне рівняння 5·x 2 −6·x−32=0 .

Рішення.

Другий коефіцієнт цього рівняння можна як 2·(−3) . Тобто, можна переписати вихідне квадратне рівняння у вигляді 5·x 2 +2·(−3)·x−32=0 , тут a=5 , n=−3 та c=−32 і обчислити четверту частину дискримінанта: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Так як його значення позитивне, то рівняння має два дійсні корені. Знайдемо їх, використовуючи відповідну формулу коренів:

Зауважимо, що можна було використовувати звичайну формулу коренів квадратного рівняння, але в цьому випадку довелося б виконати більший обсяг обчислювальної роботи.

Відповідь:

Спрощення виду квадратних рівнянь

Деколи, перш ніж пускатися в обчислення коренів квадратного рівняння за формулами, не завадить запитати себе: «А чи не можна спростити вигляд цього рівняння»? Погодьтеся, що в плані обчислень простіше буде вирішити квадратне рівняння 11 x 2 −4 x 6 = 0, ніж 1100 x 2 −400 x 600 = 0 .

Зазвичай спрощення виду квадратного рівняння досягається шляхом множення або розподілу обох частин на деяке число. Наприклад, у попередньому абзаці вдалося досягти спрощення рівняння 1100 x 2 −400 x 600=0 розділивши обидві його частини на 100 .

Подібне перетворення проводять із квадратними рівняннями, коефіцієнти якого не є . При цьому зазвичай ділять обидві частини рівняння абсолютних величин його коефіцієнтів. Наприклад візьмемо квадратне рівняння 12 x 2 −42 x 48 = 0 . абсолютних величин його коефіцієнтів: НОД (12, 42, 48) = НОД (НОД (12, 42), 48) = НОД (6, 48) = 6 . Розділивши обидві частини вихідного квадратного рівняння на 6, ми прийдемо до рівносильного йому квадратного рівняння 2 x 2 -7 x + 8 = 0 .

А множення обох частин квадратного рівняння зазвичай провадиться для позбавлення від дробових коефіцієнтів. У цьому множення проводять на знаменників його коефіцієнтів. Наприклад, якщо обидві частини квадратного рівняння помножити на НОК(6, 3, 1)=6 , воно набуде простіший вигляд x 2 +4·x−18=0 .

На закінчення цього пункту зауважимо, що майже завжди позбавляються мінуса при старшому коефіцієнті квадратного рівняння, змінюючи знаки всіх членів, що відповідає множенню (або поділу) обох частин на −1 . Наприклад, зазвичай від квадратного рівняння −2·x 2 −3·x+7=0 переходять до рішення 2·x 2 +3·x−7=0 .

Зв'язок між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння

Формула коріння квадратного рівняння виражає коріння рівняння через його коефіцієнти. Відштовхуючись від формули коренів, можна отримати інші залежності між корінням та коефіцієнтами.

Найбільш відомі та застосовні формули з теореми Вієта виду та . Зокрема, для наведеного квадратного рівняння сума коренів дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а добуток коріння – вільному члену. Наприклад, у вигляді квадратного рівняння 3·x 2 −7·x+22=0 можна відразу сказати, що його коренів дорівнює 7/3 , а добуток коренів дорівнює 22/3 .

Використовуючи вже записані формули можна отримати і ряд інших зв'язків між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння. Наприклад, можна виразити суму квадратів коренів квадратного рівняння через його коефіцієнти: .

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.